精品解析：贵州省贵阳市清镇市博雅实验学校2023-2024学年高二下学期第三次月考数学试题

贵州贵阳清镇市博雅学2023——2024学年第二学期第三次月考 高二数学试卷 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数为纯虚数，则复数在复平面上的对应点的位置在（ ） A. 第一象限内 B. 第二象限内 C. 第三象限内 D. 第四象限内 2. 已知数列满足，（），则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 5. 若圆被直线平分，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 6. 为了响应国家节能减排的号召，甲､乙两个工厂进行了污水排放治理，已知某月两厂污水的排放量与时间的关系如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 该月内，甲乙两厂中甲厂污水排放量减少得更多 B. 该月内，甲厂污水排放量减少的速度是先慢后快 C. 在接近时，甲乙两厂中乙厂污水排放量减少得更快 D. 该月内存在某一时刻，甲､乙两厂污水排放量减少的速度相同 7. 将诗集《诗经》《唐诗三百首》，戏剧《牡丹亭》，四大名著《红楼梦》《西游记》《三国演义》《水浒传》7本书放在一排，下面结论成立的是（ ） A. 戏剧放在中间的不同放法有种 B. 诗集相邻的不同放法有种 C. 四大名著互不相邻的不同放法有种 D. 四大名著不放在两端的不同放法有种 8. 已知函数，且对于，，，都有成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 设函数，则下列结论错误的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 的一个零点为 D. 在区间上单调递增. 10. 如图，三棱台中，平面，，且有，则下列命题正确的是（ ） A. B. C. 直线和所成角为 D. 三棱台体积为 11. 已知椭圆，点分别为的左､右焦点，点分别为的左､右顶点，过原点且斜率不为0的直线与交于两点，直线与交于另一点，则（ ） A. 的离心率为 B. 的最小值为 C. 上存在一点，使 D. 面积的最大值为2 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 的展开式中的系数为______. 13. 如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，……，6，用X表示小球落入格子的号码，则下面结论中正确的序号是__________． ①；②； ③；④． 14. 设函数在上存在导数，对任意实数有，且当时，若，则实数的取值范围是__________. 四.解答题（15题13分、16题15分、17题15分、18题17分、19题17分，共77分） 15. 已知在等差数列中，． （1）求数列的通项公式； （2）若数列的前项和，则当为何值时取得最大，并求出此最大值． 16. 为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动．竞赛共有和两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道类试题得10分；每答对1道类试题得20分，答错都不得分．每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答（每道题抽后不放回）．已知某同学类试题中有7道题能答对，而他答对各道类试题的概率均为． （1）若该同学只抽取3道类试题作答，设表示该同学答这3道试题的总得分，求的分布和期望； （2）若该同学在类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率． 17. 由四棱柱截去三棱锥后得到如图所示的几何体，四边形是菱形，为与的交点，平面. （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面夹角的大小. 18. 已知椭圆的左、右焦点分别是，，且椭圆过点． （1）求椭圆C的方程； （2）过的左焦点作弦，这两条弦的中点分别为，若，证明：直线过定点． 19. 用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率． （1）求曲线在处的曲率的平方； （2）求余弦曲线曲率的最大值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵州贵阳清镇市博雅学2023——2024学年第二学期第三次月考 高二数学试卷 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数为纯虚数，则复数在复平面上的对应点的位置在（ ） A. 第一象限内 B. 第二象限内 C. 第三象限内 D. 第四象限内 【答案】A 【解析】 【分析】根据纯虚数的定义解出，利用复数的几何意义求解． 【详解】复数为纯虚数，， 复数在复平面上的对应点为，位置在第一象限． 故选：A． 2. 已知数列满足，（），则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据递推公式计算即可. 【详解】因为，（）， 所以. 故选：B. 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的性质即可求解. 【详解】由可得，故， 解得或， 故不等式的解为 故选：C 4. 已知，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式得到，即可求出，再由两角和的正切公式展开计算可得. 【详解】因为， 所以， 即， 所以，则，解得. 故选：B 5. 若圆被直线平分，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由题设，将圆心坐标代入直线方程即可求解. 【详解】由题意得圆心在直线上， 则，解得. 故选：D. 6. 为了响应国家节能减排的号召，甲､乙两个工厂进行了污水排放治理，已知某月两厂污水的排放量与时间的关系如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 该月内，甲乙两厂中甲厂污水排放量减少得更多 B. 该月内，甲厂污水排放量减少的速度是先慢后快 C. 在接近时，甲乙两厂中乙厂污水排放量减少得更快 D. 该月内存在某一时刻，甲､乙两厂污水排放量减少的速度相同 【答案】D 【解析】 【分析】选项A，结合图象，比较两厂污水排放量减少量即可求解；选项B，由切线倾斜程度的大小比较可得；选项C，在接近时污水排放量减少快慢，可以用在处切线的斜率的大小比较近似代替，比较两曲线在处切线的斜率的绝对值大小即可得；选项D，利用导数的几何意义，存在某一时刻，甲､乙两厂污水排放量的瞬时变化率即切线的斜率相等，则甲､乙两厂污水排放量减少的速度相同. 【详解】选项A，设， 设甲工厂的污水排放量减少为，乙工厂的污水排放量减少为， 结合图像可知：， 所以该月内乙工厂的污水排放量减少得更多，故A错误； 选项B，作出如图所示表示甲厂曲线的条切线可知， 直线的倾斜程度小于的倾斜程度，直线的倾斜程度大于的倾斜程度， 而这说明该月内，甲厂污水排放量减少的速度并非先慢后快， 从图象的变化也可以看出，甲厂污水排放量减少的速度先快再慢后快，故B错误；      选项C，设为接近的时刻且， 从时刻到时刻，污水排放量平均变化率， 由导数的定义与几何意义可知， 在接近时，污水排放量减少快慢，可以用在处切线的斜率的大小比较近似代替. 设甲工厂在处切线的斜率为，乙工厂在处切线的斜率为， 结合图象可知， 所以在接近时，甲工厂的污水排放量减少得更快，故C错误；    选项D，如图，利用导数的几何意义，存在时刻，两曲线切线的斜率相等， 即甲､乙两厂污水排放量的瞬时变化率相同， 所以该月内存在某一时刻，甲､乙两厂污水排放量减少的速度相同.故D正确. 故选：D. 7. 将诗集《诗经》《唐诗三百首》，戏剧《牡丹亭》，四大名著《红楼梦》《西游记》《三国演义》《水浒传》7本书放在一排，下面结论成立的是（ ） A. 戏剧放在中间的不同放法有种 B. 诗集相邻的不同放法有种 C. 四大名著互不相邻的不同放法有种 D. 四大名著不放在两端的不同放法有种 【答案】C 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理计数后进行判断即可. 【详解】选项A：戏曲书只有一本， 所以其余6本书可以全排列， 共有6! 种不同排列方法； 选项 ： 诗集共2本， 把诗集当成一本， 不同方法有6! 种， 这两本又可交换位置， 所以不同放法总数为 ； 选项C：四大名著互不相邻， 那只能在这四本书的3个空隙中放置其他书， 共有3! 种放法， 这四本书又可以全排列， 所以不同放法总数为 ； 选项D：四大名著可以在第 2 至第6这5个位置上任选4个位置放置， 共有 种放法， 这四本书放好后， 其余3本书可以在剩下的 3 个位置上全排列， 所以共有不同放法总数为 故选：C. 8. 已知函数，且对于，，，都有成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定函数单调递减，根据单调性得到不等式组，解得答案. 【详解】对于，，，都有成立，故函数在上单调递减， 则，解得. 故选：C. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 设函数，则下列结论错误的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 的一个零点为 D. 在区间上单调递增. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据正弦函数的性质求出函数的最小正周期，利用整体代换法即可求出函数的对称轴和单调区间.代入验证零点. 【详解】由周期公式知，A正确； 因为不是最值，所以直线不是函数的对称轴，B错误； 因为，所以是函数的零点，C正确； 当，则，正弦函数在区间上先增后减，故D错误. 故选：BD 10. 如图，三棱台中，平面，，且有，则下列命题正确的是（ ） A. B. C. 直线和所成角为 D. 三棱台体积为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质即可求解A，根据勾股定理即可求解B，根据异面直线的几何法可得即为直线和所成角或其补角，即可根据长度关系判断为等边三角形求解C，根据台体的体积公式即可求解. 【详解】对于A,由于平面，显然不在平面内，且与平面也不平行，所以不与垂直，A错误， 对于B，取中点，连接,由于，所以且，故四边形为平行四边形， 故,由于平面，所以由于平面，平面， 故, 故,故B正确， 对于C，连接,由于,所以即为直线和所成角或其补角， 故为等边三角形，故,C正确， 对于D,由于棱台上下底面分别为直角边为1和2的等腰直角三角形， 所以棱台的体积为,故D错误， 故选：BC 11. 已知椭圆，点分别为的左､右焦点，点分别为的左､右顶点，过原点且斜率不为0的直线与交于两点，直线与交于另一点，则（ ） A. 的离心率为 B. 的最小值为 C. 上存在一点，使 D. 面积的最大值为2 【答案】ACD 【解析】 【分析】熟悉椭圆的离心率公式，椭圆焦半径取值范围为，焦半径三角形顶角在上顶点时取最大，先对选项A、B、C作出判断，对于选项D，就需要设出直线的方程为，与椭圆方程联立，再把三角形面积计算公式转化到两根关系上来，最后代入韦达定理得到关于的函数式，从而求出最值. 【详解】由题知，该椭圆中，所以离心率为正确； 根据椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点得，距离最大为，距离最小为， 又直线的斜率不为0，所以，B错误； 当椭圆的对称可知当为短轴顶点时，取得最大值，此时， 由余弦定理得，故， 即上存在一点，使正确； 设直线的方程为，联立直线与的方程得， 设，则， 所以， 又点到直线的距离为， 所以， 令，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最大值为正确； 故选：ACD. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 的展开式中的系数为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式定理的通项公式求解. 【详解】的展开式的通项， 令，得，所以的展开式中的系数为. 故答案为：. 13. 如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，……，6，用X表示小球落入格子的号码，则下面结论中正确的序号是__________． ①；②； ③；④． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】先记，根据已知条件可得；再根据对称性和二项分布的概率公式可得出X的所有可能取值的概率；最后利用随机变量的均值公式即可求解. 【详解】由题意可知：X的所有可能取值为：1，2，3，4，5， 6；小球在下落过程中共碰撞五次；小球最后落入格子的号码等于小球发生碰撞后向右落下的次数加1. 用表示事件“碰撞后向右落下”，Y表示小球发生碰撞后向右落下的次数. 则，， 由对称性可知：； ； ； 则. 故答案为：②③④ 14. 设函数在上存在导数，对任意实数有，且当时，若，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，结合已知得出，即为偶函数，利用导数得出函数在上单调递减，所求不等式变形等价于，即，再结合单调性解不等式得出答案. 【详解】当时， 当时， 令， ， ， 为偶函数， 当时， 函数在上单调递减， ，等价于，， 即， 则当时，即时， 由函数在上单调递减，得，解得， 当时，即时， 由为偶函数，得， 由函数在上单调递减，得，解得， 综上，的取值范围为， 故答案为：. 【点睛】关键点睛：涉及给定含有导函数的不等式，根据不等式的特点结合求导公式和求导法则构造函数，再利用导数探求给定问题是解题的关键. 四.解答题（15题13分、16题15分、17题15分、18题17分、19题17分，共77分） 15. 已知在等差数列中，． （1）求数列的通项公式； （2）若数列的前项和，则当为何值时取得最大，并求出此最大值． 【答案】（1）； （2）时取得最大值为. 【解析】 【分析】（1）根据已知及等差数列通项公式求基本量，进而写出通项公式； （2）写出等差数列前n项和，应用其二次函数性质求最大值和对应n. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则， 故， 所以. 【小问2详解】 由，且， 所以， 故时取得最大，最大值为. 16. 为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动．竞赛共有和两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道类试题得10分；每答对1道类试题得20分，答错都不得分．每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答（每道题抽后不放回）．已知某同学类试题中有7道题能答对，而他答对各道类试题的概率均为． （1）若该同学只抽取3道类试题作答，设表示该同学答这3道试题的总得分，求的分布和期望； （2）若该同学在类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率． 【答案】（1）分布列见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）根据超几何分布的概率公式求解概率，即可得分布列，利用期望公式即可求解， （2）根据相互独立事件的概率，即可求解. 【小问1详解】 ，， ， 所以X的分布为 X 0 10 20 30 P 所以 【小问2详解】 记“该同学仅答对1道题”为事件M. 这次竞赛中该同学仅答对1道题得概率为. 17. 由四棱柱截去三棱锥后得到如图所示的几何体，四边形是菱形，为与的交点，平面. （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面夹角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，由已知条件证明出，即可得证平面. （2）先求平面与平面的法向量和，再由，结合二面角夹角范围和图形即可求解. 【小问1详解】 如图，取中点，连接，， 则由题意且，故四边形是平行四边形， 所以且，故且， 所以四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 由题意可知两两垂直， 故可建立如图所示的空间直角坐标系， 则由题意， 又， 所以， ， 即， 所以，，，， 设平面的一个法向量为， 则，所以， 取，则， 设平面的一个法向量为，则， 所以，取，则， 所以， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的大小为. 18. 已知椭圆的左、右焦点分别是，，且椭圆过点． （1）求椭圆C的方程； （2）过的左焦点作弦，这两条弦的中点分别为，若，证明：直线过定点． 【答案】（1） （2）设点的坐标为， 当直线的斜率都存在时，令为， 代入，整理得：，且， 所以，则，故． 由，即， 故为，代入， 所以，有， 则，故． 当时，所以， 则为，整理得， 所以过定点． 当时，，，过点， 当时，，，过点， 当一条直线斜率不存在时，对应，，故即为x轴，也过点； 综上，直线过定点． 【解析】 【分析】（1）由题意得出，再根据椭圆定义得出，再根据，即可求得椭圆方程； （2）分类讨论，当直线的斜率都存在时，设直线为，与椭圆方程联立，由韦达定理得出点坐标，由同理得出点坐标，得出直线方程分类讨论的值，即可得出定点；再补充斜率不存在时的情况即可． 【小问1详解】 由题设，因为点在椭圆上，所以， 即， 所以，， 所以椭圆C的方程为：． 【小问2详解】 略 19. 用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率． （1）求曲线在处的曲率的平方； （2）求余弦曲线曲率的最大值； 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）利用曲率的定义依次求，，从而代入即可得解； （2）利用曲率的定义求得关于的表达式，再利用三角函数基本关系式与换元法，构造，利用导数求得其最大值即可得解. 【小问1详解】 因为，则，， 所以， 故. 【小问2详解】 因为，则，， 所以， 则， 令，则，， 设，则， 显然当时，，单调递减， 所以，则最大值为1， 所以的最大值为1． 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是充分理解曲率的定义，从而利用导数即可得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $