2024-2025学年人教版八年级数学上册 点拨训练第05讲 直角三角形两锐角互余

2024-2025人教版八年级数学上 点拨*训练 第05讲 直角三角形两锐角互余（解析版） 学习目标 1.知道直角三角形两锐角互余 2.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形 3.能应用三角形内角和定理进行简单的计算和推理. 老师告诉你 1. 直角三角形的性质 （1） 直角三角形两锐角互余； （2） 直角三角形两直角边分别是另一直角边上的高。 2. 直角三角形的判定 （1） 有一个角是直角的三角形是直角三角形； （2） 有两个角互余的三角形是直角三角形。 1、 知识点拨 1.知识点导航 2.知识点梳理 知识点1：直角三角形的两锐角互余 直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余. 直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角ABC可以写成Rt△ABC. 定理应用格式：在Rt△ABC中，∵ ∠C=90°∴ ∠A+∠B=90°. 【新知导学】 例1-1 .①.如图(1)，∠B=∠C=90°，AD交BC于点O，∠A与∠D有什么关系？请说明理由. ②如图(2)，∠B=∠D=90°，AD交BC于点O，∠A与∠C有什么关系？请说明理由. ①.解：∠A=∠D. 理由如下： 方法一：(利用平行的判定和性质) ∵ ∠B=∠C=90°， ∴ AB∥CD， ∴ ∠A=∠D. 方法二：(利用直角三角形的性质) 在Rt△AOB和Rt△COD中， ∵ ∠B=∠C=90°， ∴ ∠A+∠AOB=90°，∠D+∠COD=90°， ∵ ∠AOB=∠COD， ∴ ∠A=∠D. ②解：∠A=∠C. 理由如下： 在Rt△AOB和Rt△COD中， ∵ ∠B=∠D=90°， ∴ ∠A+∠AOB=90°，∠C+∠COD=90°， ∵ ∠AOB=∠COD， ∴ ∠A=∠C. 【点评】两个探究活动的设计让学生在活用直角三角形性质的同时，有图形归纳总结初中几何的基本图形，由形得数量，让学生学会在复杂图形中找到基本图形，掌握基本解题策略。 【对应导练】 1．在中，，，点D在AB边上，连接CD，若为直角三角形，求的度数. 答案：或 解析：当时， ，， . 当时， ，， ， ， 或. 2．在一个直角三角形中，如果一个锐角为，则另一个锐角为_________度. 答案：40 解析：在一个直角三角形中，如果一个锐角为50°，则另一个锐角为， 故答案为：40. 3．如图，，，垂足为E，，则的度数是( ) A. B. C. D. 答案：C 解析：， ， ， ， ， . 故选：C. 4 .如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD与∠B有什么关系？为什么？ 解：∠ACD=∠B. 理由如下： ∵ ∠ACB=90°， ∴ ∠ACD+∠BCD=90°， ∵ CD⊥AB， ∴ ∠BDC=90°， ∴ ∠B+∠BCD=90°， ∴ ∠ACD=∠B. 知识点2：有两个角互余的三角形是直角三角形 有两个角互余的三角形是直角三角形. 定理应用格式： ∵ ∠A+∠B=90°， ∴ △ABC是直角三角形. 【新知导学】 例2-1．在下列条件中： ①； ②； ③； ④， 能确定是直角三角形的条件有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案：D 解析：①因为，，所以，所以，所以是直角三角形，故①正确；②因为，，所以，所以是直角三角形，故②正确；③因为，所以.因为，所以，所以是直角三角形，故③正确；④因为，所以.因为，所以，所以，所以，所以是直角三角形，故④正确. 故选D. 【对应导练】 1.如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C，△ABD是直角三角形吗？为什么？ 解：△ABD是直角三角形.理由如下： ∵CE⊥AD， ∴∠CED=90°， ∴∠C+∠D=90°. ∵∠A=∠C， ∴∠A+∠D=90°， ∴△ABD是直角三角形. 2．在中，，则为( )三角形. A.锐角 B.直角 C.钝角 D.等腰 答案：B 解析：， 可设，，， 根据三角形的内角和可得：， 解得：， ，，， 因此是直角三角形. 故选：B. 3．已知在中,,则的形状是( ) A.等边三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 答案：C 解析：,, 是直角三角形 二、题型训练 1.直角三角形两锐角互余的应用 1．在中，是高，，是角平分线，它们相交于点O，，．    (1)求，； (2)直接写出与的关系． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余、与角平分线有关的三角形的内角和问题，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键． （1）根据直角三角形的两个锐角互余即可得的度数；先根据三角形的内角和定理可得，再根据角平分线的定义和三角形的内角和定理求解即可得； （2）先根据三角形的内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，从而可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】（1）解：在中，是高，， ， ∵在中，，， ， ∵，分别是，的角平分线， ， ． （2）解：在中，， ∵，分别是，的角平分线， ． 2．如图，在中，，点为上一点，过点作于点． (1)当平分，且时，求的度数； (2)当点是中点，，且的面积为，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据角平分线的定义及直角三角形的性质求解即可； （）由点是中点得，又，从而求解； 此题考查了角平分线的定义，三角形中线的性质，直角三角形的性质，等面积法，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵点是中点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．如图，在中，，于D． (1)求证：； (2)若平分分别交、于E、F，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形角平分线的定义，对顶角的性质，余角的性质，难度适中． （1）由于与都是的余角，根据同角的余角相等即可得证； （2）根据直角三角形两锐角互余得出，再根据角平分线的定义得出，然后由对顶角相等的性质，等量代换即可证明． 【详解】（1）证明：，于D， ，， ； （2）证明：在中，， 同理在中，． 又平分， ， ， 又， ． 4．如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形角平分线，三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得出，根据三角形内角和定理得出，进而即可求解； （2）根据三角形内角和定理求得，根据是的角平分线，得出，根据，即可求解． 【详解】（1）解：是的角平分线， ， 在中，， ， ； （2）在中，是高，， ，， 是的角平分线，     ， ， ． 2.两锐角互余的三角形是直角三角形的应用 5．如图，平分，平分，和交于点E．写出图中所有的直角三角形（不要求证明）． 【答案】，， 【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义，结合三角形的内角和定理证得即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵和交于点E， ∴， ∴，，均为直角三角形． 【点睛】本题考查直角三角形的判定，涉及平行线的性质、角平分线的定义、邻补角、锐角互余的三角形是直角三角形等知识，熟练掌握锐角互余的三角形是直角三角形是解答的关键． 6．已知：如图，在中，D是AB上一点，，．求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【分析】利用三角形内角和定理可得，据此即可证明是直角三角形． 【详解】解：在中，D是AB上一点，，， ∵， ∴，即， ∴， ∴是直角三角形． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，掌握“三角形三个内角和等于”是解题的关键． 7．如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了直角三角形的性质与判定；由是边上的高，得；再由，即可得结论成立． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴是直角三角形． 三、牛刀小试 1．在中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形两锐角和等于90度是解题的关键．根据握直角三角形两锐角和等于90度求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴ ∵ ∴ 解得： 故选：B． 2．如图，一块直尺与一个直角三角形如图放置，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，根据平行线的性质求出，然后根据邻补角的定义求出，最后根据直角三角形两个锐角互余求出即可．准确识图是解题的关键． 【详解】解：如图， 直尺的两边互相平行， ， ， 故选：． 3．在下列条件：①；②；③；④中，不能确定为直角三角形的条件有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键．根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，从而得到答案． 【详解】解：①当时，不能判定是直角三角形， 故本小题不符合题意； ②， ，，， 是直角三角形，故本小题符合题意； ③设，则， ，解得， ，故本小题不符合题意； ④设，，， 则， 解得，故， 是直角三角形，故本小题符合题意； 综上所述，是直角三角形的是②④共2个． 故选：C 4．如图，将三角形纸片沿折叠，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质，由折叠的性质可得， ，再根据三角形的内角和定理即可求解．明确折叠前后对应角相等是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵将三角形纸片沿BD折叠， ∴， ， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故选：C． 5．如图，在四边形中，，，平分．若，则的大小为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行线的性质和角平分线的定义求得，，再利用三角形内角和定理求得的度数，然后利用角的和差即可求得答案． 【详解】解：， ，， ， ， 平分， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握相关知识是解题关键． 6．如图是一副三角尺拼成的图案，则的度数为( ) A.105° B.90° C.75° D.60° 答案：C 解析：， ， 故选C. 7．在中，，则此三角形是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 答案：B 解析：设， 因为， 所以，， 在中，， 即， 解得， 那么，，， 所以此三角形是直角三角形， 故选：B. 8．在下列条件中： ①； ②； ③； ④， 能确定是直角三角形的条件有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案：D 解析：①因为，，所以，所以，所以是直角三角形，故①正确；②因为，，所以，所以是直角三角形，故②正确；③因为，所以.因为，所以，所以是直角三角形，故③正确；④因为，所以.因为，所以，所以，所以，所以是直角三角形，故④正确. 故选D. 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．如图，在中，，点D在上，于点交与点F．若，则 ． 【答案】/42度 【分析】本题主要考查了余角的性质，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形两锐角互余，等角的余角相等是解题的关键；利用等角的余角相等和已知角可求出∠EDB，从而可求得∠EDF； 【详解】 ， ， 故答案为：； 10．如图，在中，分别是边上的高，若，则的度数是 ，的度数是 ． 【答案】 /20度 /40度 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，在和中，，求得和的度数，再由求得的度数，在中即可求得的度数． 【详解】解：∵在和中，分别是边上的高， ． 又， ∴在中，． 故答案为：；． 11．《周礼考工记》中记载有：“……半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣矩，1欘宣（其中，1矩），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若矩，欘，则 度．        【答案】//． 【分析】根据矩、宣、欘的概念计算即可． 【详解】解：由题意可知， 矩， 欘宣矩， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新概念的理解，直角三角形锐角互余，角度的计算；解题的关键是新概念的理解，并正确计算． 12．如图，在中，与的平分线交于点I，则的度数是 °．    【答案】135 【分析】本题考查了角平分线，三角形内角和定理．明确角度之间的数量关系是解题的关键． 由题意知，，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∴， 故答案为：135． 13.如图，一把直尺的一边缘经过直角三角形的直角顶点，交斜边于点；直尺的另一边缘分别交、于点、，若，，则          度． 【答案】  【解析】解：，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 先利用平行线的性质求出，再利用平角的定义求出，最后根据三角形内角和定理求出 即可． 【点评】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 三、解答题（共6小题，48分） 14．（9分）如图，在中，，的平分线交于点，小琪在写作业时，发现如下规律： ①当时，； ②当时，； ③当时，；    (1)根据上述规律，若，则________； (2)请你用数学表达式归纳出与的关系：________； (3)请证明你的结论． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． （1）利用角平分线的定义得到，，然后利用三角形的内角和定理求出即可； （2）根据所给数据归纳出与的关系即可； （3）利用角平分线的定义得到，，然后利用三角形的内角和定理求出即可证明结论． 【详解】（1）解：在中，， ， ∵，的平分线交于点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）数学表达式归纳出与的关系为， 故答案为：； （3）证明：在中， ， ∵，的平分线交于点， ∴，， ∴， ∴． 15．（6分）（1）如图①，在中，，于点D，图中有与相等的角吗？为什么？    （2）如图②，把图①中的D点向右移动，作交于点E，图中还有与相等的角吗？为什么？ （3）如图③，把图①中的D点向左移动，作交的延长线于点E，图中还有与相等的角吗？为什么？ 【答案】（1）有，见解析；（2）有，见解析；（3）有，见解析 【分析】（1）由可得，根据可得，然后根据等量代换即可解答； （2）根据平移的性质得到，于是得到，在中，，再根据等量代换得到结论； （3）根据平移的性质得到，于是得到，在中，，再根据等量代换得到结论． 【详解】解：（1）有．理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． （2）有．理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． （3）有．理由如下： 理由：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了平移的性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 16．（8分）如图，是的角平分线，点在是上，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查与角平分线的关的角的计算，直角三角形两锐角互余． （1）先根据角平分线的定义得，再根据直角三角形两锐角互余求解； （2）根据角平分线的定义和直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】（1）解：是的平分线， ． ，则． 在中，， ； （2）解：是的平分线， ， ． 17．（8分）如图，是的边上的高，平分交于E，．    (1)若，求的度数； (2)若，则______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，直角三角形的性质，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． （1）根据角平分线的定义及三角形的内角和定理可知，再由直角三角形确定，然后结合图形计算即可解答． （2）同（1）方法类似求解即可． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵，， ∴在中，， ∴， ∵是的边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∵是的边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 18．（9分）阅读并填空．将三角尺（，）放置在上（点P在内），如图①所示，三角尺的两边、恰好经过点B和点C．我们来探究：与是否存在某种数量关系． (1)特例探索：若，则______度；______度； (2)类比探索：求，，的关系，并说明理由； (3)变式探索：如图②所示，改变三角尺的位置，使点P在外，三角尺的两边、仍恰好经过点B和点C，求，，的关系，并说明理由． 【答案】(1)90；40 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查三角形内角和定理的应用． （1）利用三角形内角和定理即可解决问题． （2）结论：．利用三角形内角和定理即可证明． （3）结论：．利用三角形内角和定理即可解决问题． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 故答案为：90，40； （2）解：结论：， 证明：， ， ， ． 故答案为：； （3）解：结论：， 理由是：设交于，如图    ， ，即， ， 故答案为：． 19．（8分）在中，是的角平分线，， (1)如图1，是边上的高，，，求的度数； (2)如图2，点在上，于，猜想与、的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)，证明见详解 【分析】此题主要考查了角平分线的性质、三角形内角和定理和直角三角形的性质，解题时注意：三角形内角和是． （1）依据角平分线的定义以及垂线的定义，即可得到，，进而得出，由此即可解决问题． （2）过作于，依据平行线的性质可得，依据（1）中结论即可得到． 【详解】（1）解：如图1 平分， ， ， ， ， ，， ． （2）解：结论：． 理由：如图2，过作于， ， ， ， 由（1）可得，， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025人教版八年级数学上 点拨*训练 第05讲 直角三角形两锐角互余 学习目标 1.知道直角三角形两锐角互余 2.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形 3.能应用三角形内角和定理进行简单的计算和推理. 老师告诉你 1. 直角三角形的性质 （1） 直角三角形两锐角互余； （2） 直角三角形两直角边分别是另一直角边上的高。 2. 直角三角形的判定 （1） 有一个角是直角的三角形是直角三角形； （2） 有两个角互余的三角形是直角三角形。 1、 知识点拨 1.知识点导航 2.知识点梳理 知识点1：直角三角形的两锐角互余 直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余. 直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角ABC可以写成Rt△ABC. 定理应用格式：在Rt△ABC中，∵ ∠C=90°∴ ∠A+∠B=90°. 【新知导学】 例1-1 .①.如图(1)，∠B=∠C=90°，AD交BC于点O，∠A与∠D有什么关系？请说明理由. ②如图(2)，∠B=∠D=90°，AD交BC于点O，∠A与∠C有什么关系？请说明理由. 【对应导练】 1．在中，，，点D在AB边上，连接CD，若为直角三角形，求的度数. 2．在一个直角三角形中，如果一个锐角为，则另一个锐角为_________度. 3．如图，，，垂足为E，，则的度数是( ) A. B. C. D. 4 .如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD与∠B有什么关系？为什么？ 知识点2：有两个角互余的三角形是直角三角形 有两个角互余的三角形是直角三角形. 定理应用格式： ∵ ∠A+∠B=90°， ∴ △ABC是直角三角形. 【新知导学】 例2-1．在下列条件中： ①； ②； ③； ④， 能确定是直角三角形的条件有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【对应导练】 1.如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C，△ABD是直角三角形吗？为什么？ 2．在中，，则为( )三角形. A.锐角 B.直角 C.钝角 D.等腰 3．已知在中,,则的形状是( ) A.等边三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 二、题型训练 1.直角三角形两锐角互余的应用 1．在中，是高，，是角平分线，它们相交于点O，，．    (1)求，； (2)直接写出与的关系． 2．如图，在中，，点为上一点，过点作于点． (1)当平分，且时，求的度数； (2)当点是中点，，且的面积为，求的长． 3．如图，在中，，于D． (1)求证：； (2)若平分分别交、于E、F，求证：． 4．如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 2.两锐角互余的三角形是直角三角形的应用 5．如图，平分，平分，和交于点E．写出图中所有的直角三角形（不要求证明）． 6．已知：如图，在中，D是AB上一点，，．求证：是直角三角形． 7．如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形． 三、牛刀小试 1．在中，，，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，一块直尺与一个直角三角形如图放置，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．在下列条件：①；②；③；④中，不能确定为直角三角形的条件有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．如图，将三角形纸片沿折叠，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在四边形中，，，平分．若，则的大小为（   ）    A． B． C． D． 6．如图是一副三角尺拼成的图案，则的度数为( ) A.105° B.90° C.75° D.60° 7．在中，，则此三角形是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 8．在下列条件中： ①； ②； ③； ④， 能确定是直角三角形的条件有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．如图，在中，，点D在上，于点交与点F．若，则 ． 10．如图，在中，分别是边上的高，若，则的度数是 ，的度数是 ． 11．《周礼考工记》中记载有：“……半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣矩，1欘宣（其中，1矩），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若矩，欘，则 度．        12．如图，在中，与的平分线交于点I，则的度数是 °．    13.如图，一把直尺的一边缘经过直角三角形的直角顶点，交斜边于点；直尺的另一边缘分别交、于点、，若，，则          度． 三、解答题（共6小题，48分） 14．（9分）如图，在中，，的平分线交于点，小琪在写作业时，发现如下规律： ①当时，； ②当时，； ③当时，；    (1)根据上述规律，若，则________； (2)请你用数学表达式归纳出与的关系：________； (3)请证明你的结论． 15．（6分）（1）如图①，在中，，于点D，图中有与相等的角吗？为什么？    （2）如图②，把图①中的D点向右移动，作交于点E，图中还有与相等的角吗？为什么？ （3）如图③，把图①中的D点向左移动，作交的延长线于点E，图中还有与相等的角吗？为什么？ 16．（8分）如图，是的角平分线，点在是上，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 17．（8分）如图，是的边上的高，平分交于E，．    (1)若，求的度数； (2)若，则______． 18．（9分）阅读并填空．将三角尺（，）放置在上（点P在内），如图①所示，三角尺的两边、恰好经过点B和点C．我们来探究：与是否存在某种数量关系． (1)特例探索：若，则______度；______度； (2)类比探索：求，，的关系，并说明理由； (3)变式探索：如图②所示，改变三角尺的位置，使点P在外，三角尺的两边、仍恰好经过点B和点C，求，，的关系，并说明理由． 19．（8分）在中，是的角平分线，， (1)如图1，是边上的高，，，求的度数； (2)如图2，点在上，于，猜想与、的数量关系，并证明你的结论． 学科网（北京）股份有限公司 $$