精品解析：2024年河南省郑州市九年级中考数学押题试题

2024年河南省郑州市九年级中考数学押题卷（六） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类二次根式判断A，根据零次幂判断B，根据积的乘方判断C，根据同底数幂的除法判断D． 【详解】解：A、不是同类二次根式，不能合并，此选项运算错误，不符合题意； B、，此选项运算错误，不符合题意； C、，此选项运算正确，符合题意； D、，此选项运算错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的加法、零次幂、积的乘方、同底数幂相除，熟练掌握运算法则是解题的关键． 2. 2023年我国经济持续发展，国内生产总值达到126万亿元，同比增长．其中126万亿用科学记数法可表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：126万亿， 故选：C． 3. 一元一次不等式组 解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解每个不等式的解集，再求两个不等式的解集的公共部分即可． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示为： ， 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 4. 如果x2﹣(m+1)x+1是完全平方式，则m的值为( ) A ﹣1 B. 1 C. 1或﹣1 D. 1或﹣3 【答案】D 【解析】 【分析】根据首末两项是x和1的平方，那么中间项为加上或减去x和1的乘积的2倍． 【详解】∵x2-（m+1）x+1是完全平方式， ∴-（m+1）x=±2×1•x， 解得：m=1或m=-3． 故选：D． 【点睛】考查完全平方公式，根据两平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项求解． 5. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（单位：千帕）随气球内气体的体积（单位：立方米）的变化而变化，随的变化情况如下表所示，那么在这个温度下，气球内气体的气压与气球内气体的体积的函数关系最可能是（    ） （单位：立方米） （单位：千帕） A. 正比例函数 B. 一次函数 C. 二次函数 D. 反比例函数 【答案】D 【解析】 【分析】根据所给出的数据和常识可直接判断．此题主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式． 【详解】解：由题意可知，；；；；， 由此可得出和的函数关系是为：． 故选：D． 6. 如图1，已知、画一个，使得．在已有条件下，图2，图3分别是嘉嘉、琪琪两位同学的画图过程．下列说法错误的是（ ） A. 嘉嘉第一步作图时，是以为圆心，线段的长为半径画弧 B. 嘉嘉作图判定两个三角形全等的依据是 C. 琪琪第二步作图时，是以为圆心、线段的长为半径画弧 D. 琪琪作图判定两个三角形全等的依据是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，用尺规作图：作一个三角形，读懂两人作图的步骤及作图原理是解题的关键． 根据两人作图的过程即可对选项作出判断． 【详解】解：嘉嘉同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长，第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长，则判定的依据是，故选项A、B符合题意； 琪琪同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长，第二步作图时，截取的长度是线段的长度，则判定的依据是，故选项C不符合题意，选项D符合题意． 故选：C． 7. 2023年12月8日，济郑高铁山东段开通运营，标志着聊城进入高铁时代．寒假期间，小明和爸爸从聊城出发去某地旅游，已知两地相距约，乘高铁比开小轿车少用（假设两种出行方式的总路程相同），高铁的平均速度是小轿车的3倍，设小轿车的平均速度是，则下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系是解题的关键．根据乘高铁比开小轿车少用即可列出关于x的分式方程． 【详解】解：∵高铁的平均速度是小轿车的3倍，且小轿车的平均速度， ∴高铁的平均速度是． 根据题意得：． 故选：C． 8. 如图，在等腰中，，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点都在同一个圆上．记该圆面积为，面积为，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定圆的圆心在直角三角形斜边的中点，然后利用全等三角形的判定和性质确定△ABC是等腰直角三角形，再根据直角三角形斜边中线的性质得到，再由勾股定理解得，解得，据此解题即可． 【详解】解：如图所示，正方形的顶点都在同一个圆上， 圆心在线段的中垂线的交点上，即在斜边的中点，且AC=MC，BC=CG， ∴AG=AC+CG=AC+BC，BM=BC+CM=BC+AC， ∴AG=BM， 又∵OG=OM，OA=OB， ∴△AOG≌△BOM， ∴∠CAB=∠CBA， ∵∠ACB=90°， ∴∠CAB=∠CBA=45°， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理、直角三角形斜边的中线的性质、圆的面积、三角形的面积等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 9. 如图，平行四边形ABCD中，E是AD上的一点，且AE=AD，对角线AC，BD交于点O，EC交BD于F，BE交AC于G，如果平行四边形ABCD的面积为S，那么，△GEF的面积为（ ） A. S B. S C. S D. S 【答案】C 【解析】 【分析】过A作AM垂直于BC，交BC于点M，利用平行线间的距离相等得到三角形EBC中BC边上的高为AM，利用三角形的面积公式表示出三角形EBC的面积，利用平行四边形的面积公式表示出平行四边形ABCD的面积，得到三角形EBC的面积为平行四边形ABCD面积的一半，由平行四边形的对边相等且平行，得到AD与BC平行且相等，由两直线平行得到两对内错角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似，得到三角形AEG与三角形BCG相似，三角形EFD与三角形BCF相似，由AE=AD，得到AE=BC，即AE：BC=1：3，由相似得比例得到EG：BG=1：3，根据三角形EFG与三角形BFG底边之比为1：3，高相等得到三角形EFG的面积与三角形BFG的面积之比为1：3，即三角形EFG的面积为BEF面积的，同理得到ED=AD=BC，即DE：BC=2：3，由相似得比例得到EF：FC=2：3，由三角形BEF与三角形CFB底边之比为2：3，高相等得到三角形BEF与三角形BCF面积之比为2：3，即三角形BEF面积为三角形EBC面积的，等量代换可得出三角形EFG为平行四边形面积的，即可得到正确的选项． 【详解】解：过A作AM⊥BC于M，如图所示： ∵S△BEC= BC•AM，S▱ABCD=BC•AM， ∴S△BEC=S▱ABCD= S， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴∠EAG=∠BCG，∠AEG=∠CBG， ∴△AEG∽△CBG，又AE=AD= BC， ∴ ==， ∴S△EFG=S△BGF， 又S△EFG+S△BGF=S△BEF， ∴S△EFG=S△BEF， ∵AE=AD，AD=AE+ED， ∴ED=AD= BC， 同理得到△EFD∽△CFB， ∴==， ∴S△BEF=S△BFC， 又S△BEF+S△BFC=S△BEC， ∴S△BEF= S△BEC=S， ∴S△EFG=S． 故选：C. 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，利用了转化及等量代换的思想，灵活运用转化思想是解本题的关键． 10. 如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC=12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF=9的点P的个数是（ ） A. 0 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】P点是正方形的边上的动点，我们可以先求PE+PF的最小值，然后根据PE+PF=9判断得出其中一边上P点的个数，即可解决问题. 【详解】解：如图，作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，交BC于点H ∵点E，F将对角线AC三等分，且AC=12， ∴EC=8，FC=4=AE， ∵点M与点F关于BC对称 ∴CF=CM=4，∠ACB=∠BCM=45° ∴∠ACM=90° ∴EM= 则在线段BC存在点H到点E和点F的距离之和最小为4＜9 在点H右侧，当点P与点C重合时，则PE+PF=12 ∴点P在CH上时，4＜PE+PF≤12 在点H左侧，当点P与点B重合时，BF= ∵AB=BC，CF=AE，∠BAE=∠BCF ∴△ABE≌△CBF（SAS） ∴BE=BF=2 ∴PE+PF=4 ∴点P在BH上时，4＜PE+PF＜4 ∴在线段BC上点H的左右两边各有一个点P使PE+PF=9， 同理在线段AB，AD，CD上都存在两个点使PE+PF=9． 即共有8个点P满足PE+PF=9， 故选D． 【点睛】本题主要考查了正方形性质以及根据轴对称求最短路径，有一定难度，巧妙的运用求最值的思想判断满足题意的点的个数是解题关键. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 函数中，自变量的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得：x≥0，x-4≠0， 解得：x≥0且x≠4， 故答案为：x≥0且x≠4． 【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键． 12. 关于x的方程的解是，现给出另一个关于x的方程，则它的解是____________． 【答案】2025 【解析】 【分析】此题考查解一元一次方程，根据两个方程的特点得到所解方程的解为，由此求出x的值． 【详解】∵关于x的方程的解是， ∴方程的解是, ∴, 故答案为2025． 13. 三名运动员参加定点投篮比赛，原定出场顺序是：甲第一个出场，乙第二个出场，丙第三个出场，由于某种原因，要求这三名运动员用抽签方式重新确定出场顺序，则抽签后每个运动员的出场顺序都发生变化的概率为________． 【答案】． 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽签后每个运动员的出场顺序都发生变化的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，抽签后每个运动员的出场顺序都发生变化有2种情况， ∴抽签后每个运动员的出场顺序都发生变化的概率=， 故答案为：． 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 14. 如图，扇形的圆心角是，半径为，分别以、为直径画圆，则图中阴影部分的面积为__． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点作，，则是等腰直角三角形，由∠ACO=90°可得△AOC是等腰直角三角形，由HL定理证明，可得，根据与弦围成的弓形的面积等于与弦所围成的弓形面积可证得即可求解 【详解】解：如图，连接，过点作，， ，， 是等腰直角三角形， 是直径， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， 与弦围成的弓形的面积等于与弦所围成的弓形面积， 同理可得，与弦围成的弓形的面积等于与弦所围成的弓形面积， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形面积公式、直径所对的圆周角是直角、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造等腰直角三角形得出是解答的关键． 15. 如图，在中，，，点是边上一个动点，以为边作正方形，连接，面积的最大值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】过C作于G，过E作于H，过作于M，利用等腰三角形的性质，含直角三角形的性质，勾股定理等可求，，证明，可求，设，则，证明，得出，则可求，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：过C作于G，过E作于H，过作于M， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 设，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴ ， ∴当时，有最大值，最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，含直角三角形的性质，正方形的性质，相似三角形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形与相似三角形是解题的关键． 三、计算题：本大题共1小题，共10分． 16. （1）化简 ； （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，解不等式组，熟练掌握分式混合运算法则及解一元一次不等式组的步骤是解题关键． （1）先通分计算括号内的，同时将除法变为乘法，再因式分解，并约分； （2）先分别求出两个不等式的解集，再确定答案即可． 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 解不等式①，得； 解不等式②，得， 不等式的解集为． 四、解答题：本题共7小题，共65分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 某校组织了一次防溺水、防交通事故、防食物中毒、防校园欺凌及其他各种安全意识的调查活动，了解同学们在哪些方面的安全意识薄弱，便于今后更好地开展安全教育活动．根据调查结果，绘制出图1，图2两幅不完整的统计图． 请结合图中的信息解答下列问题： (1)本次调查的人数为___________，其中防校园欺凌意识薄弱的人数占_________%； (2)补全条形统计图； (3)若该校共有1500名学生，请估计该校学生中防溺水意识薄弱的人数； (4)请你根据题中的信息，给该校的安全教育提一个合理的建议． 【答案】（1）50， 40；（2）补图见解析；（3）120人；（4）见解析. 【解析】 【分析】(1)用“其他”的人数除以“其他”所占的百分比可得总人数，防校园欺凌意识薄弱的人数除以总人数即可该项目所占的百分比； (2)防交通事故的百分比乘总人数得到该项目的人数，再画图； (3)用样本估计总体，防溺水意识薄弱的人数的百分比乘总人数可得到总体中该项目的人数； (4)答案不唯一，合理即可． 【详解】(1)本次调查的人数为8÷16%=50，其中防校园欺凌意识薄弱的人数占20÷50×100%=40%，所以答案为50， 40； (2)防交通事故意识薄弱的人数为24%×50=12，补全图形如图； (3)1500×=120(人)； (4)答案不唯一，合理即可，如：应加强防校园欺凌的宣传力度，培养同学们的安全意识． 18. 如图，在矩形中，的垂直平分线分别交、、于、、，连接、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得，，，，可证明，则，且，四边形是平行四边形，结合题意可知即可证明； （2）由（1）知，利用勾股定理可得，即可解得，根据面积法求解即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形，是的中点， ，，，， 在和中， ， ，且 四边形是平行四边形， 垂直平分 四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形 ， 在中，， ， 四边形的面积． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的性质、勾股定理和菱形的判定和性质，解题的关键是熟悉特殊四边形之间的相互转化以及其对应的性质． 19. 如图，小睿为测量公园的一凉亭AB的高度，他先在水平地面点E处用高1.5m的测角仪DE测得，然后沿EB方向向前走3m到达点G处，在点G处用高1.5m的测角仪FG测得．求凉亭AB的高度．（A，C，B三点共线，，，，．结果精确到0.1m）（参考数据：，，，，，） 【答案】m 【解析】 【分析】根据题意可得BC＝FG＝DE＝1.5，DF＝GE＝3，∠ACF＝90°，然后设CF＝x，则CD＝（x+3），先在Rt△ACF中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，再在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： BC＝FG＝DE＝1.5，DF＝GE＝3，∠ACF＝90°， 设CF＝x， ∴CD＝CF+DF＝（x+3）， 在Rt△ACF中，∠AFC＝42°， ∴AC＝CF•tan42°≈0.9x（m）， 在Rt△ACD中，∠ADC＝31°， ∴tan31°， ∴x＝6， 经检验：x＝6是原方程的根， ∴AB＝AC+BC＝0.9x+1.5＝6.9（m）， ∴凉亭AB的高约为6.9m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 20. 阅读材料：尺规作图是起源于古希腊的数学课题，是指用没有刻度的直尺和圆规作图．无刻度直尺在作图时只可用来画直线、射线或线段．请根据以上材料按要求进行作图． （1）如图1，在中，，请用无刻度直尺与圆规在边上作出一点O，使得过点C且与相切．（保留作图痕迹，不需说明作图步骤） （2）如图2，在正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C，D是网格的四个格点，且． ①作图：请在图2中仅用无刻度直尺作出一点O，使得过点C且与相切于点D；（保留作图痕迹，不需说明作图步骤） ②若此网格中每个小正方形边长为1，则的半径为________．（可利用图2备用图计算） 【答案】（1）见详解 （2）①见详解② 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的尺规作图，圆的切线判定，勾股定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质等； （1）作出的平分线交于，即可求解； （2）①连接，作的垂直平分线，过作的垂线，交的垂直平分线于，即可求解； ②由可判定，由全等三角形的性质得，，由可判定，由相似三角形的性质得，求出，由勾股定理得，即可求解； 掌握作法，能利用判定方法及性质进行求解是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图， 是所求作的点； 【小问2详解】 解：①如图， 是所求作的点； ②如图， 由图得：， ，， 由作图过程得： ， ， 和中 ， ()， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ； 故答案：． 21. 【发现问题】 小明在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形那么，面积为定值的矩形中，其周长的取值范围如何呢？ 【解决问题】 小明尝试从函数图象的角度进行探究： （1）建立函数模型 设一矩形面积为，周长为，相邻的两边长为、，则，，即，，那么满足要求的应该是函数与的图象在第________象限内的公共点坐标． （2）画出函数图象 ①画函数的图象； ②在同一直角坐标系中直接画出的图象，则的图象可以看成是由的图象向上平移________个单位长度得到． （3）研究函数图象 平移直线，观察两函数的图象； ①当直线平移到与函数的图象有唯一公共点的位置时，公共点的坐标为________，周长的值为________； ②在直线平移的过程中，两函数图象公共点的个数还有什么情况？请直接写出公共点的个数及对应周长的取值范围． 【结论运用】 （4）面积为的矩形的周长的取值范围为________． 【答案】（1）一；（2）①见解析；②；（3）① ；； ②见解析，个交点时，；个交点时，；个交点时，；（4）  【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合，涉及画函数图象、函数图象的平移、解一元二次方程等知识，利用类比和数形结合思想求解是解答的关键． （1）根据x、y是边长求解即可； （2）①利用描点法画函数 的图象即可；②利用描点法画函数的图象，的图象即可，根据图象平移规则：上加下减求解即可； （3）①联立方程组，根据一元二次方程根的判别式求解即可； ②由①并结合图象可求解； （4）仿照前面求解思路，联立方程组，利用方程有实数根求解即可． 【详解】解：（1），都是边长，周长为， ，，， 满足要求的应该是函数与的图象在第一象限内的公共点坐标． 故答案为：一； （2）①的图象如图所示： ②的图象如图所示， 与轴的交点为， 的图象可以看成是由的图象向右平移个单位长度得到， 故答案为：； （3）①联立方程组可得：， 整理得：， 两图象有唯一交点， ， ， ， 解得：， 交点坐标为，周长， 故答案为：，； ②由①知：个交点时，；个交点时，；个交点时，； （4）设相邻的两边长为、，则，，即，， 联立方程组可得， 整理得：， 两函数有交点， ， ， 故答案为：． 22. 如图，边长为1的正方形中，轴，轴（在的右侧、在的下方），点在二次函数（为常数，且）的图像上． （1）若点的坐标为 ①求二次函数图像顶点坐标； ②判断二次函数图像与边是否相交，并说明理由； （2）若点的横坐标为，且二次函数的图像与边相交，求的范围； （3）在（2）的条件下，若二次函数在正方形内（包括边界）的部分函数最小值为，求的范围． 【答案】（1）①②不相交，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）①将A点坐代入解析式直接求出；②求出点C坐标，代入横坐标，判断函数值是否等于点C的纵坐标即可． （2）求出P、D、C三点的纵坐标，根据P点要处在C、D之间列出不等式组即可解决问题． （3）对应的函数的最小值为，即点P的纵坐标的值为，由此列出关系式，即可解决问题．再结合（2）的结果确定m的范围． 【小问1详解】 解：①把代入，得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为：， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； ②∵正方形的边长为1，且， ∴， ∴ ∴点D的坐标为，点C的坐标为 当时，， 所以，二次函数图像与边不相交； 【小问2详解】 解：如图， ∵A点的横坐标为m，正方形边长为1， ∴，，，，， ∵， 解得：， ∵， 解得：， 综上所述，． 【小问3详解】 解：∵对应的函数的最小值为， ∴， ∴． ∴， 由图象可知点P不在y轴上， ∴， ∴ 由（2）可知，且， 解得． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数和反比例函数在特定范围内的增减性、不等式与不等式组等重要知识点．第（2）问的关键是利用函数增减性列出不等式组，第（3）问的关键是利用（2）的结论，转化为不等式确定自变量取值范围． 23. 有公共顶点的正方形与正方形按如图所示放置，点分别在边和上，连接，点是的中点，连接交于点． 【观察猜想】 （1）线段与之间的数量关系是 ，位置关系是 ； 【探究证明】 （2）将图中的正方形绕点顺时针旋转，线段与之间的数量关系和位置关系是否仍然成立？并说明理由． （3）若正方形的边长为，将其沿翻折，点的对应点恰好落在边上，有最小值吗？有的话求出最小值，没有的话请说明理由． 【答案】（1）， （2）成立，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，得出，，再根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，则，根据再根据等腰三角形的性质可得，故，即可求出． （2）延长到点，使，连接，则，先证明，，类比（1）中所用的方法可证得结论． （3）延长到点，使，连接交于点，连接、，将转化为，可求出的最小值． 【详解】（1）解：∵四边形和四边形都是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为，． （2）解：成立． 理由如下：如图，延长到点，使，连接，则， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，正方形绕点顺时针旋转， ∴， ∴， 同理 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段与之间的数量关系和位置关系仍然成立． （3）解：如图，延长到点，使，连接交于点，连接、，  ∵， ∴， ∴垂直平分， ∵在线段上 ∴， 由翻折的性质可得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 当点与点重合时，，此时的值最小， ∴的值也最小， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、旋转的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，解题的关键是作辅助线构造全等三角形、直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年河南省郑州市九年级中考数学押题卷（六） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列运算正确是（ ） A. B. C. D. 2. 2023年我国经济持续发展，国内生产总值达到126万亿元，同比增长．其中126万亿用科学记数法可表示为（　　） A. B. C. D. 3. 一元一次不等式组 解集为（ ） A. B. C. D. 4. 如果x2﹣(m+1)x+1是完全平方式，则m的值为( ) A. ﹣1 B. 1 C. 1或﹣1 D. 1或﹣3 5. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（单位：千帕）随气球内气体的体积（单位：立方米）的变化而变化，随的变化情况如下表所示，那么在这个温度下，气球内气体的气压与气球内气体的体积的函数关系最可能是（    ） （单位：立方米） （单位：千帕） A. 正比例函数 B. 一次函数 C. 二次函数 D. 反比例函数 6. 如图1，已知、画一个，使得．在已有的条件下，图2，图3分别是嘉嘉、琪琪两位同学的画图过程．下列说法错误的是（ ） A. 嘉嘉第一步作图时，是以为圆心，线段的长为半径画弧 B. 嘉嘉作图判定两个三角形全等的依据是 C. 琪琪第二步作图时，是以为圆心、线段的长为半径画弧 D. 琪琪作图判定两个三角形全等的依据是 7. 2023年12月8日，济郑高铁山东段开通运营，标志着聊城进入高铁时代．寒假期间，小明和爸爸从聊城出发去某地旅游，已知两地相距约，乘高铁比开小轿车少用（假设两种出行方式的总路程相同），高铁的平均速度是小轿车的3倍，设小轿车的平均速度是，则下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在等腰中，，以该三角形三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点都在同一个圆上．记该圆面积为，面积为，则的值是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，平行四边形ABCD中，E是AD上的一点，且AE=AD，对角线AC，BD交于点O，EC交BD于F，BE交AC于G，如果平行四边形ABCD的面积为S，那么，△GEF的面积为（ ） A. S B. S C. S D. S 10. 如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC=12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF=9的点P的个数是（ ） A. 0 B. 4 C. 6 D. 8 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 函数中，自变量的取值范围是________． 12. 关于x方程的解是，现给出另一个关于x的方程，则它的解是____________． 13. 三名运动员参加定点投篮比赛，原定出场顺序是：甲第一个出场，乙第二个出场，丙第三个出场，由于某种原因，要求这三名运动员用抽签方式重新确定出场顺序，则抽签后每个运动员的出场顺序都发生变化的概率为________． 14. 如图，扇形的圆心角是，半径为，分别以、为直径画圆，则图中阴影部分的面积为__． 15. 如图，在中，，，点是边上一个动点，以为边作正方形，连接，面积的最大值是_______． 三、计算题：本大题共1小题，共10分． 16. （1）化简 ； （2）解不等式组：． 四、解答题：本题共7小题，共65分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 某校组织了一次防溺水、防交通事故、防食物中毒、防校园欺凌及其他各种安全意识的调查活动，了解同学们在哪些方面的安全意识薄弱，便于今后更好地开展安全教育活动．根据调查结果，绘制出图1，图2两幅不完整的统计图． 请结合图中的信息解答下列问题： (1)本次调查的人数为___________，其中防校园欺凌意识薄弱的人数占_________%； (2)补全条形统计图； (3)若该校共有1500名学生，请估计该校学生中防溺水意识薄弱的人数； (4)请你根据题中的信息，给该校的安全教育提一个合理的建议． 18. 如图，在矩形中，的垂直平分线分别交、、于、、，连接、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 19. 如图，小睿为测量公园的一凉亭AB的高度，他先在水平地面点E处用高1.5m的测角仪DE测得，然后沿EB方向向前走3m到达点G处，在点G处用高1.5m的测角仪FG测得．求凉亭AB的高度．（A，C，B三点共线，，，，．结果精确到0.1m）（参考数据：，，，，，） 20. 阅读材料：尺规作图是起源于古希腊的数学课题，是指用没有刻度的直尺和圆规作图．无刻度直尺在作图时只可用来画直线、射线或线段．请根据以上材料按要求进行作图． （1）如图1，在中，，请用无刻度直尺与圆规在边上作出一点O，使得过点C且与相切．（保留作图痕迹，不需说明作图步骤） （2）如图2，在正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C，D是网格的四个格点，且． ①作图：请在图2中仅用无刻度直尺作出一点O，使得过点C且与相切于点D；（保留作图痕迹，不需说明作图步骤） ②若此网格中每个小正方形边长为1，则半径为________．（可利用图2备用图计算） 21. 【发现问题】 小明在学习过程中发现：周长为定值矩形中面积最大的是正方形那么，面积为定值的矩形中，其周长的取值范围如何呢？ 【解决问题】 小明尝试从函数图象的角度进行探究： （1）建立函数模型 设一矩形的面积为，周长为，相邻的两边长为、，则，，即，，那么满足要求的应该是函数与的图象在第________象限内的公共点坐标． （2）画出函数图象 ①画函数的图象； ②在同一直角坐标系中直接画出的图象，则的图象可以看成是由的图象向上平移________个单位长度得到． （3）研究函数图象 平移直线，观察两函数的图象； ①当直线平移到与函数的图象有唯一公共点的位置时，公共点的坐标为________，周长的值为________； ②在直线平移的过程中，两函数图象公共点的个数还有什么情况？请直接写出公共点的个数及对应周长的取值范围． 【结论运用】 （4）面积为的矩形的周长的取值范围为________． 22. 如图，边长为1的正方形中，轴，轴（在的右侧、在的下方），点在二次函数（为常数，且）的图像上． （1）若点的坐标为 ①求二次函数图像顶点坐标； ②判断二次函数图像与边是否相交，并说明理由； （2）若点的横坐标为，且二次函数的图像与边相交，求的范围； （3）在（2）的条件下，若二次函数在正方形内（包括边界）的部分函数最小值为，求的范围． 23. 有公共顶点的正方形与正方形按如图所示放置，点分别在边和上，连接，点是的中点，连接交于点． 【观察猜想】 （1）线段与之间的数量关系是 ，位置关系是 ； 【探究证明】 （2）将图中的正方形绕点顺时针旋转，线段与之间的数量关系和位置关系是否仍然成立？并说明理由． （3）若正方形的边长为，将其沿翻折，点的对应点恰好落在边上，有最小值吗？有的话求出最小值，没有的话请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$