小升初拓展培优：容斥原理（讲义）-2023～2024学年六年级下册数学苏教版

容斥原理 (知识归纳+典例分析+高频真题+答案解析) 一、容斥原理的定义 容斥原理是一种重要的组合数学原理，用于计算在多重集合下的元素个数。它的基本思想是通过两个集合各自的元素个数和它们的交集个数来计算它们的并集个数。容斥原理在解决包含与排除的计数问题时非常有用。 二、容斥原理的基本公式 1、两集合的容斥关系公式： ∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣ 其中，A和B 是两个集合，∣A∪B∣表示集合A和B 的并集的元素个数，∣A∣和∣B∣分别表示集合A和B的元素个数，∣A∩B∣表示集合A和B的交集的元素个数。 2、三集合的容斥关系公式： ∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣−∣A∩B∣−∣A∩C∣−∣B∩C∣+∣A∩B∩C∣ 其中，A、B和C是三个集合，∣A∪B∪C∣表示集合A、B和C 的并集的元素个数，其他符号含义与两集合公式相同。 三、容斥原理的应用 1、计算同时满足多个条件的元素个数： 例如，在一个班级中，有多少学生既参加了数学兴趣小组又参加了语文兴趣小组。 2、计算至少满足一个条件的元素个数： 例如，在一个班级中，有多少学生至少参加了数学或语文兴趣小组中的一个。 3、计算不满足任何条件的元素个数： 例如，在一个班级中，有多少学生既没有参加数学兴趣小组也没有参加语文兴趣小组。 【典例1】三（4）班同学去社区开展“尊老爱幼，互帮互助”社会实践活动，帮助老人的有32人，帮助儿童的有24人，既帮助老人又帮助儿童的有11人．三（4）班参加这次社会实践活动的一共有几人？ 【答案】45。 【分析】参加活动的总人数等于两个活动的人数的和，其中既帮助老人又帮助儿童的计算了两次，需要减去，据此列式计算即可。 【解答】解：32+24﹣11 ＝56﹣11 ＝45（人） 答：三（4）班参加这次社会实践活动的一共有45人。 【点评】本题主要考查了容斥原理，需要学生熟记容斥原理公式，并能灵活运用。 【典例2】三年级有92个小朋友参加文艺会演，其中参加大合唱的有68人，参加舞蹈演出的有64人，每人至少参加一项表演，三年级既参加大合唱又参加舞蹈演出的有几人？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据“参加大合唱的有68人，参加舞蹈的有64人，”可得：68+64＝132（人），其中这两样都参加的被加了两次，所以这两样都参加的有132﹣92＝40人，据此解答即可． 【解答】解：68+64﹣92 ＝132﹣92 ＝40（人） 答：年级既参加大合唱又参加舞蹈演出的有40人． 【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）． 【典例3】随着国家人口政策的调整，不少同学有了兄弟姐妹。某实验学校一（3）班有32名同学，其中14人有兄弟，13人有姐妹，8人是独生子女。该班中有兄弟又有姐妹的有几人？ 【答案】3人。 【分析】有兄弟人数加有姐妹人数，再加独生子女人数，然后减去一（3）班人数，即等于既有兄弟又有姐妹的人数。 【解答】解：14+13+8﹣32 ＝35﹣32 ＝3（人） 答：该班中有兄弟又有姐妹的有3人。 【点评】熟练掌握集合问题解题方法是解答本题的关键。 【典例4】五（3）班有学生40人，报名参加英语阅读竞赛的有35人，参加数学竞赛的有27人．如果每个学生至少参加一项学科竞赛活动，那么，有多少学生两项比赛都参加？ 【答案】22人. 【分析】先用35加上27求出两者的人数和，两项比赛都参加的重复计算了一次，所以减去40人就是两项比赛都参加. 【解答】解：35+27﹣40 ＝62﹣40 ＝22（人） 答：有22人两项比赛都参加. 【点评】本题考查了容斥原理，知识点是容斥原理一：总人数＝（A+B）﹣既A又B. 【典例5】三（3）班有30人去过西湖，有20人去过长城，其中有9人两个地方都去了，没有一个地方都没去过的．三（3）班一共有多少人？ 【答案】见试题解答内容 【分析】因为有9人两个地方都去了，是重叠部分的人数，所以根据容斥原理求出三（3）班一共有：30+20﹣9＝41（人），由此得出答案即可． 【解答】解：30+20﹣9 ＝50﹣9 ＝41（人） 答：三（3）班一共有41人． 【点评】本题依据了容斥原理公式之一：A类B类元素个数总和＝属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数． 1．一批游客中，有的人懂法语，有的人懂英语，两种语言都懂的人占，另有8人两种语言都不懂，这批游客共有多少人？ 2．三年级一班有45人，他们去学习书法和绘画，每人至少学一门．学习书法的有26人，学习绘画的有25人．书法和绘画都学习的有多少人？ 3．三（5）班45名同学参加数学活动，答对第一题的有23人，答对第二题的有18人，两道题都答对的有17人，两道题都没答对的有几人？ 4．四年级有60名同学．有35人参加了跳绳，有22人参加了踢毽子，这两项活动都参加的有6人，只参加跳绳的有多少人？两项活动都没参加的有多少人？ 5．三年级有学生109人去春游，带矿泉水的有68人，带水果的有85人，每人至少带一样．三年级既带矿泉水又带水果的有多少人？ 6．某校对一年级某班新生做一项调查，学生共48人，会唱歌的人数占全班的，会跳舞的占全班的，两项都不会的有3人，两项都会的有多少人？ 7．一条公交线路从起点到终点有8个站，一辆公交车从起点站出发，前6站上车100人，前7站下车80人，则从前6站上车而在终点站下车的乘客有多少人？ 8．五年四班有48个同学，每个同学至少订阅一种课外读物，其中的同学订了《作文》，的同学订了《数学小灵通》，两种读物都订阅的有多少人？ 9．同学们到动物园游玩，参观企鹅馆的有36人，参观白鲸馆的有43人，其中两个馆都参观的有21人，每位同学至少参观这两馆中的一个，去动物园游玩的一共有几人？ 10．三（3）班做完语文作业的38人，做完数学作业的有42人，两种作业都完成的有30人，每人至少完成一种作业，三（3）班一共有学生多少人？ 11．学校举办“我的中国梦”书画作品比赛，共有210幅作品分别获得一、二等奖和优秀奖，其中优秀奖和二等奖的作品共148幅，获得一二等奖的作品共140幅，获得一等奖、二等奖和优秀奖的作品各有多少幅？ 12．三（1）班每人至少订阅了一本杂志，其中有28人订阅了《数学王国》，还有30人订阅了《作文天地》，其中两种书都订阅的有13人。三（1）班一共有多少人？ 13．“六一”少儿美术作品展览，有26件不是四年级的，有16件不是五年级的，四五年级共有作品28件，四五年级各有作品多少件？ 14．三年级有224人去郊游．带面包的有159人，带方便面的有198人，每人至少带这两种食品中的一种，两种食品都带的有多少人？ 15．三（1）班有48人，参加体育队的有36人，参加舞蹈队的有27人，每人至少参加一个队，那么这个班两队都参加的有多少人？ 16．四（1）班有40名学生，喜欢诵读古诗词的有28名，喜欢读数学故事的有25名，且每人至少喜欢其中的一种．既喜欢诵读古诗词又喜欢读数学故事的有多少人？ 17．四（3）班学生都订了报纸，其中订《中国少年报》的有38人，订《少年智力开发报》的有35人．已知四（3）班共有52名学生，则两种报纸都订了的学生有多少人？ 18．五年级一班共有36名学生，在六一表演中有12人参加了舞蹈表演，有16人参加了合唱，既要表演舞蹈又要参加合唱的有7人，那么既不参加舞蹈表演、又不参加合唱的有多少人？ 19．三一班全班学生参加兴趣小组，参加数学兴趣小组的有25人，参加语文兴趣小组的有30人，两个小组都参加的有18人．全班有多少人？ 20．78个同学报名参加文体活动，每人至少参加了体育组或文娱组中的一类，其中参加体育组的有39人，即参加体育组又参加文娱组的有18人．参加文娱组的有多少人？ 21．四年级一班有50人，喜欢吃苹果的有25人，喜欢吃橘子的有22人，两种水果都喜欢吃的有13人。两种水果都不喜欢吃的有多少人？ 22．某小学共有学生540人，在一次自愿参加的线上心理辅导讲座活动中，共有50人向辅导老师进行了提问。提问的人中，有36人用文字进行了提问，25人用语音进行了提问，那么，既用文字又用语音提问的有多少人？ 23．三（1）班一共有42人，会打篮球的有17人，会踢足球的有21人，两种运动都不会的有10人。两种运动都会的有多少人？ 24．三（2）班有38人，林老师出了两道题，每个同学都至少做对了一题，只做对第一题的有15人，两题都做对的有18人。只做对第二题的有多少人？ 25．三（1）班同学参加书画比赛，参加书法比赛的有28人，参加绘画比赛的有25人，两项都参加的有4人，参加书画比赛的有多少人？ 26．一次数学小测试，只有两道题，结果全班有20人全对。其中第1道题有31人做对，第2道题有29人做对。 （1）只做对第1道题的有多少人？ （2）只做对第2道题的有多少人？ 27．三（1）班有31人参加阅读和书法两项竞赛，全部获奖。其中阅读获奖的有12人，书法获奖的有27人，两科都获奖的有多少人？ 28．中心小学六（1）班共有45名学生，其中订《英语报》的占总人数的，订数学报的占总人数的，每人至少订阅一种．两种报都订阅的学生有多少名？ 29．四一班参加了合唱和舞蹈兴趣小组的有35人，其中有8人只参加了合唱小组，有17人既参加了合唱又参加了舞蹈小组，有多少人只参加了舞蹈小组？ 30．学校乐队招收新学员，其中会拉小提琴的有25名，会弹电子琴的有22名，两项都会的有5名。学校乐队招收了多少名新学员？ 1．【答案】见试题解答内容 【分析】把总人数看作单位“1”，至少懂一种语言的人数占总人数的；那么另外两种语言都不懂的8人占总人数的（1），然后根据分数除法的意义解答即可． 【解答】解： 8÷（1） ＝8 ＝80（人） 答：这批游客共有80人． 【点评】两量重叠问题：A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数． 2．【答案】见试题解答内容 【分析】由题意，用26+25就是只学习书法、只绘画以及书法和绘画都学习的人数的2倍，再减去总人数，即得重复计算的书法和绘画都学习的人数． 【解答】解：26+25﹣45 ＝51﹣45 ＝6（人） 答：书法和绘画都学习的有6人． 【点评】本题考查了容斥原理，关键是求出至少参加一种的人数，知识点是容斥原理一：总人数＝（A+B）﹣既A又B． 3．【答案】见试题解答内容 【分析】根据题干可知至少答对一题的总人数是18+23﹣17＝24人，由此利用总人数﹣至少答对一题的人数＝两题都不对的人数． 【解答】解：45﹣（18+23﹣17） ＝45﹣24 ＝21（人） 答：两道题都没答对的有21人． 【点评】两量重叠问题：A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数． 4．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）用参加跳绳的人数减去这两项活动都参加的人数即可； （2）根据“A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数”求出至少参加一种的人数，用总人数60减去至少参加一种的人数即可． 【解答】解：（1）35﹣6＝29（人） （2）60﹣（35+22﹣6） ＝60﹣51 ＝9（人） 答：只参加跳绳的有29人，两项活动都没参加的有9人． 【点评】容斥原理公式之一：A类B类元素个数总和＝属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数． 5．【答案】见试题解答内容 【分析】把带矿泉水的有68人和带水果的有85人加在一起，然后减去三年级的总人数就是两样都带的人数． 【解答】解：68+85﹣109 ＝153﹣109 ＝44（人）； 答：三年级既带矿泉水又带水果的有44人． 【点评】此题考查了利用容积原理解决问题的方法，两样都带的人数被算了2次，就是带矿泉水和带水果的人数比总人数多出的人数，这是解决本题的关键． 6．【答案】见试题解答内容 【分析】根据分数乘法的意义，分别求出会唱歌的人数和会跳舞的人数，然后求出两者的和，这样再减去至少会一种的人数48﹣3＝45人，就是两项都会的有多少人． 【解答】解：4832（人） 4836（人） 48﹣3＝45（人） 32+36﹣45﹣2＝23（人） 答：两项都会的有23人． 【点评】两量重叠问题：A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数． 7．【答案】20人。 【分析】首先弄清前6个车站共上车的100人，要么在前7个车站（包含第7个车站）下车，要么在第8个车站下车，由于所求的问题和第7个车站上车的人数无关，所以可以不考虑；这样的话，除终点站外前面各站共下车的80人就是100人中的80人，因此从100人中去掉80就是从前六站上车而在终点站下车的乘客；据此解答即可。 【解答】解：根据分析可得， 100﹣80＝20（人） 答：从前6站上车而在终点站下车的乘客共20人。 【点评】本题题干条件比较多，关键是理清关系，明确前6个车站共上车的100人，包括两部分，即在前7个车站（包含第7个车站）下车，和第8个车站下车。 8．【答案】28人。 【分析】有的同学订了《作文》，的同学订了《数学小灵通》，则两种读物都订的人占全部人数的（1），所以两种读物都订的有48×（1），据此解答即可． 【解答】解：48×（1） ＝48 ＝28（人） 答：两种读物都订的同学有28人。 【点评】根据订两种读物的人数分别占全部人数的分率，求出两种读物都订的人数占全部人数的分率是完成本题的关键。 9．【答案】见试题解答内容 【分析】由题意，用36+43就是只参观企鹅馆、只参观白鲸馆以及两个馆都参观的人数和，再减去重复计算的两个馆都参观的人数，即得去动物园的总人数． 【解答】解：36+43﹣21 ＝79﹣21 ＝58（人 ） 答：去动物园的一共有58人． 【点评】解答此题注意36+43把两个馆都参观的人数多算了一次，所以要减去． 10．【答案】见试题解答内容 【分析】用38加上42求出做完数学作业和做完语文作业两者的和，再减去重叠部分两种作业都完成的30人即可． 【解答】解：38+42﹣30 ＝80﹣30 ＝50（人） 答：三（3）班一共有学生50人． 【点评】两量重叠问题：A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数． 11．【答案】62、78、70幅。 【分析】140+148＝288（幅），是一、二、二、优秀奖数量的和，比一、二、优秀奖总数210幅多的数量就是二等奖的数量，即288﹣210＝78（幅）；那么一等奖就有140﹣78＝62（幅），优秀奖有148﹣78＝70（幅）；据此解答即可。 【解答】解：140+148＝288（幅） 288﹣210＝78（幅） 140﹣78＝62（幅） 148﹣78＝70（幅） 答：获得一等奖、二等奖和优秀奖的作品各有62、78、70幅。 【点评】本题主要考查容斥原理，解答本题的关键先求出二等奖的数量。 12．【答案】45人。 【分析】先计算出订两种杂志的总人数，因为有两种杂志都订的人数重复数了，所以订两种杂志的总人数就比班级实际人数多，即订两种杂志的总人数减去两种杂志都订的人数，就是班级实际的人数。 【解答】解：30+28﹣13 ＝58﹣13 ＝45（人） 答：三（1）班一共有45人。 【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）。 13．【答案】见试题解答内容 【分析】26件不是四年级的，即26件是1，2，3，5，6年级的；16件不是五年级的，即16件是1，2，3，4，6年级的；则5年级比4年级多：26﹣16＝10件，已知四五年级共有作品28件，所以4年级有：（28﹣10）÷2＝9件；5年级有：28﹣9＝19或9+10＝19件；由此解答即可． 【解答】解：四年级：[28﹣（26﹣16）]÷2 ＝18÷2 ＝9（件）； 五年级：28﹣9＝19（件）； 答：四年级有作品9件，五年级有作品19件． 【点评】此题较难，应根据题意，进行认真分析，明确5年级参赛的作品比4年级多26﹣16＝10件，是解答此题的关键． 14．【答案】见试题解答内容 【分析】带面包的有159人，带方便面的有198人，则带面包的和带方便面的共有（198+159）人，又因为实际总人数是224人，然后用带面包的和带方便面的和减去224人就是既带面包又带方便面的人数，据此解答． 【解答】解：198+159﹣224 ＝357﹣224 ＝133（人） 答：两种食品都带的有133人． 【点评】本题解答的依据是：A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数． 15．【答案】见试题解答内容 【分析】参加体育代队和参加舞蹈队的人数之和是36+27＝63人，这比已知的总人数多了63﹣48＝15人，这就是重复加的两个队都参加的人数． 【解答】解：36+27﹣48 ＝63﹣48 ＝15（人） 答：这个班两队都参加的有15人． 【点评】此题属于典型的利用容斥原理解答的问题，如果利用画图的方法分析更简洁易懂． 16．【答案】见试题解答内容 【分析】先求出喜欢诵读古诗词和喜欢读数学故事的人数和，再用人数和减去全班的人数就是两样都喜欢的人数． 【解答】解：28+25﹣40 ＝53﹣40 ＝13（人） 答：既喜欢诵读古诗词又喜欢读数学故事的有13人． 【点评】本题题考查了容斥原理；知识点是：既A又B的人数＝（A+B）﹣总人数． 17．【答案】21人。 【分析】有38人订了《中国少年报》，有35人订了《少年智力开发报》，一共有38+35＝73人，其中两种报纸都订的人数被计算了两次，根据容斥原理可知，有（38+35）﹣52名学生两种报纸都订了。 【解答】解：（38+35）﹣52 ＝73﹣52 ＝21（人） 答：两种报纸都订了的学生有21人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 18．【答案】15人。 【分析】12人参加了舞蹈表演，有16人参加了合唱，既要表演舞蹈又要参加合唱的有7人，根据容斥原理，既参加舞蹈队和参加合唱队的总人数是（12+16﹣7）人，用班级人数再减这个总人数即可求解。 【解答】解：36﹣（12+16﹣7） ＝36﹣21 ＝15（人） 答：既不参加舞蹈表演、又不参加合唱的有15人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用。 19．【答案】见试题解答内容 【分析】已知参加数学和语文兴趣小组的一共有30+25＝55人，把既参加语文兴趣小组又参加数学兴趣小组的18人重复加了一次，减去重复的18人得出答案即可． 【解答】解：30+25﹣18 ＝55﹣18 ＝37（人） 答：全班有37人． 【点评】本题依据了容斥原理公式之一：A类B类元素个数总和＝属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数． 20．【答案】见试题解答内容 【分析】根据“B类元素个数＝A类与B类元素个数的总和﹣A类元素的个数+既是A类又是B类的元素个数”代入数据解答即可． 【解答】解：78﹣39+18 ＝39+18 ＝57（人） 答：参加文娱组的有57人． 【点评】容斥原理公式之一：A类B类元素个数总和＝属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数． 21．【答案】16人。 【分析】把喜欢苹果的和喜欢橘子的人数加起来：25+22＝47（人），因为13人既喜欢吃苹果又喜欢吃橘子，所以喜欢这两种水果（至少喜欢一种）的是47﹣13＝34（人），那么总人数减去这34人，剩下的就是两种水果都不喜欢的人数；据此求解即可。 【解答】解：50﹣（25+22﹣13） ＝50﹣34 ＝16（人） 答：两种水果都不喜欢的有16人。 【点评】本题主要考查容斥原理，解题的关键是确定喜欢这两种水果的人数。 22．【答案】11人。 【分析】根据“提问的人中，有36人用文字进行了提问，25人用语音进行了提问”，可得两者的总人数：36+25＝61（人），再减去总人数50就是重复计算的人数，也就是既用文字又用语音提问的人数。 【解答】解：36+25﹣50 ＝61﹣50 ＝11（人） 答：既用文字又用语音提问的有11人。 【点评】本题是典型的容斥原理问题，关键是熟练掌握容斥原理的解题规律：既A又B＝（A+B）﹣总人数。 23．【答案】6人。 【分析】先求出会打篮球的人数与会踢足球的人数和，再加上两样都不会的人数，这样就比全班的总人数多算了一次两种运动都会的人数，所以再减去总人数42，就是两种运动都会的人数。 【解答】解：21+17+10﹣42 ＝48﹣42 ＝6（人） 答：两种运动都会的有6人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 24．【答案】5人。 【分析】总人数﹣只做对第一题的人数﹣两题都做对的人数＝只做对第二题的人数。 【解答】解：38﹣15﹣18＝5（人） 答：只做对第二题的有5人。 【点评】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。 25．【答案】49人。 【分析】根据容斥原理，参加书法比赛的+参加绘画比赛的﹣两项都参加的＝参加书画比赛的人数。据此计算即可。 【解答】解：28+25﹣4 ＝53﹣4 ＝49（人） 答：参加书画比赛的有49人。 【点评】此题主要考查了二集合容斥原理，要熟练掌握。 26．【答案】（1）11人；（2）9人。 【分析】（1）求只做对第1道题的有多少人，用第1道题做对的31人减去全班全对的20人即可； （2）求只做对第2道题的有多少人，用第2道题做对的29人减去全班全对的20人即可。 【解答】解：（1）31﹣20＝11（人） 答：只做对第1道题的有11人。 （2）29﹣20＝9（人） 答：只做对第2道题的有9人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 27．【答案】8人。 【分析】阅读获奖的人数+书法获奖的人数﹣总人数＝两科都获奖的人数。 【解答】解：12+27﹣31 ＝39﹣31 ＝8（人） 答：两科都获奖的有8人。 【点评】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。 28．【答案】见试题解答内容 【分析】把班级总人数看作单位“1”，用订了《时代英语报》的占总人数的分率加订了《小学数学报》的占总人数的分率，再减去1，就是两种都订的人数至少占了总人数的几分之几，用45乘上这个分率即得两种报纸都订的有多少人． 【解答】解：45×（1） ＝45 ＝21（人） 答：两种报纸都订阅的有21人． 【点评】两量重叠问题：既是A类又是B类的元素个数＝A类元素的个数+B类元素个数﹣A类与B类元素个数的总和． 29．【答案】10人。 【分析】先用35减去17求出只参加一种的人数，然后再减去只参加合唱小组的人数，就是只参加舞蹈小组的人数。 【解答】解：35﹣17﹣8 ＝18﹣8 ＝10（人） 答：有10人只参加了舞蹈小组。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 30．【答案】42名。 【分析】先用25加上22求出两者的人数和，然后再减去重复计算的人数5即可。 【解答】解：25+22﹣5 ＝47﹣5 ＝42（名） 答：学校乐队招收了42名新学员。 【点评】本题考查了容斥原理，知识点是容斥原理一：总人数＝（A+B）﹣既A又B。 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$