小升初拓展培优：工程问题（讲义）-2023～2024学年六年级下册数学苏教版

工程问题 (知识归纳+典例分析+高频真题+答案解析) 一、工程问题的基本定义 工作总量：一般抽象成单位“1”，表示需要完成的工作或任务的整体量。在实际问题中，这个量可能代表 一项工程、一块土地、一条水渠或一件工 作等。 工作效率：指单位时间内完成的工作量。它反映了工作主体（如工人、机器等）完成工作的速度或能力。 例如，一个工人一天能砌100块砖，那 么他的工作效率就是100块砖/天。 工作时间：指完成工作所需的时间。它是工作效率和工作量的函数，即工作时间 = 工作量 ÷ 工作效率。 二、工程问题的基本关系 在工程问题中，工作效率、工作量和工作时间之间存在以下基本关系： 工作效率 = 工作量 ÷ 工作时间 工作时间 = 工作量 ÷ 工作效率 工作量 = 工作效率 × 工作时间 三、工程问题的解题步骤 1、明确问题：首先，要仔细阅读题目，明确题目中的工作量、工作效率和需要求解的未知量（如工作时 间、工作效率等）。 2、建立模型：根据题目描述，建立数学模型。通常是将问题中的文字描述转化为数学表达式或方程。 3、求解：利用数学运算或方程求解的方法，求出未知量。 4、验证：最后，要验证解的正确性。可以通过将解代入原问题或检查解是否符合题目条件来进行验证。 【典例1】一项工程，甲队单独要10天完成，乙队单独要15天完成，乙队先单独做5天，剩下由甲队完成，甲队做了多少天？ 【答案】见试题解答内容 【分析】首先根据甲单独做10天完成，乙15天完成，工作效率＝工作量÷工作时间，分别求出甲乙的工作效率；然后根据工作量＝工作效率×工作时间，求出乙做5天的工作量，进而求出剩下的工作量；最后根据工作时间＝工作量÷工作效率，求得剩下工作由甲完成，甲到工作完成共用多少天即可． 【解答】解：（1） （天） 答：剩下由甲队完成，甲队做了天． 【点评】此题主要考查了工程问题的应用，对此类问题要注意把握住基本关系，即：工作量＝工作效率×工作时间，工作效率＝工作量÷工作时间，工作时间＝工作量÷工作效率． 【典例2】师徒二人合作一批零件，12天可以完成，师傅先做4天，徒弟接着做了2天，共完成任务的．如果师傅单独做，多少天可以完成任务？ 【答案】见试题解答内容 【分析】把这批零件的总数看成单位“1”，师徒合作的工作效率就是，师傅先做4天，徒弟接着做了2天，可以看成师徒合作了2天，师傅又干了4﹣2＝2天，先用合作的工作效率乘上2天，求出师徒合作完成的工作量，进而求出师傅2天完成的工作量，再除以2就是师傅的工作效率，进而求出师傅单干的工作时间． 【解答】解：（2）÷（4﹣2） ＝（）÷2 2 124（天） 答：如果师傅单独做，24天可以完成任务． 【点评】解决本题关键是把“师傅先做4天，徒弟接着做了2天”，看成合作2天后师傅再干2天，然后根据工作效率、工作量、工作时间三者之间的关系求解． 【典例3】甲工程队每工作6天休息一天，乙工程队每工作5天休息2天，一项工程，甲单独做需要97天，乙单独做需要75天，如果两队合作需要多少天？ 【答案】43天。 【分析】由于甲队、乙队单独做的97天和75天里包含休息的时间，所以需要算出实际的工作时间．97÷7＝13……6，甲不休息单独做需要：6×13+6＝84个工作日，即84÷6＝14个工作周；同理，75÷7＝10……5，乙不休息单独做需要：5×10+5＝55个工作日，55÷5＝11个工作周；所以两队合作每周完成：一共需要16（周）完成，那么两队合作6周，还余工程的：16，因为，所以两队合作6周后剩余的工程只需再合作一天完成，则全部工程包括休息日共需：7×6+1＝43（天）。 【解答】解：97÷7＝13……6，甲不休息单独做需要：6×13+6＝84个工作日，即84÷6＝14个工作周； 同理，75÷7＝10……5，乙不休息单独做需要：5×10+5＝55个工作日，55÷5＝11个工作周； 两队合作每周完成： 共需：16（周） 两队合作6周，还余工程的：16 因为， 所以两队合作6周后剩余的工程只需一天完成，则全部工程包括休息日共需：7×6+1＝43（天） 答：两队合作需要43天。 【点评】本题是比较复杂的工程问题，难点是求出甲、乙两队实际的工作效率。 【典例4】甲、乙、丙三人共同加工一批零件，甲比乙多加工20个，丙加工零件数是乙加工零件数的，甲加工零件数是乙、丙加工零件总数的，则甲、丙加工的零件数分别为多少个？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意，设乙加工的零件个数是x个，则甲加工的零件个数是x+20个，丙加工零件数是x个；然后根据甲加工零件数＝乙、丙加工零件总数，列出方程，解方程，求出乙加工的零件个数是多少个；最后用乙加工的零件个数加上20，求出甲加工零件数是多少；再用乙加工的零件个数乘以，求出丙加工零件数是多少即可． 【解答】解：设乙加工的零件个数是x个， 则甲加工的零件个数是x+20个，丙加工零件数是x个； 所以x x+20＝1.5x 1.5x﹣x＝x+20﹣x 0.5x＝20 0.5x×2＝20×2 x＝40 40+20＝60（个） 答：甲加工的零件数是60个，丙加工的零件数是32个． 【点评】此题主要考查了工程问题以及一元一次方程的应用，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解答此类问题的关键． 【典例5】某工程可由若干台机器在规定时间内完成．如果增加2台机器，则只需要用规定时间的就可以完成；如果减少2台机器，就要推迟小时完成．如果由1台机器完成这项要程，需要多少小时？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意，如果增加2台机器则只需要规定时间的就可以完成， 时间是规定的，效率就是原来的比原来提高： 所以原来机器台数为214（台） 如果减少2台，工作效率是原来的（14﹣2）÷14，时间就是原来的，比原来增加 原来所用时间是：4（小时） 所以由一台机器做完总工程需要14×4＝56（小时） 【解答】解：2 ＝2÷（1） ＝2 ＝14（台） 1÷[（14﹣2）÷14]﹣1 ＝11 1 （小时） 14×4＝56（小时） 答：如由一台机器完成这项要程，需要56小时． 【点评】本题属于较复杂工程问题，关键根据增加和减少机器台数所完成的工作量，算出机器台数． 1．一件工作，甲单独做要15天完成，乙独做要20天完成，现在甲、乙合作12天才完工．在这段时间里，因天气原因，甲休息了3天，那么乙休息了多少天？ 2．修一段公路，甲队单独修20天可以完成，乙队单独修30天可以完成，现在两队合修，中途甲队休息2.5天，乙队休息若干天，这样一共14天完成．问：乙队休息了几天？ 3．一项工程，甲、乙、丙合作6天可完成；如果甲工作6天，乙、丙合作两天可完成这项工程的；如果甲、乙合作3天，丙工作6天，也可完成这项工程的．甲、乙、丙单独做各需多少天？ 4．一项工程，甲、乙两人合做8天可完成．甲单独做需12天完成．现两人合做几天后，余下的工程由乙独自完成，使乙前后两段所用时间比为1：3．这个工程实际工期为多少天？ 5．甲、乙、丙三人合作完成一项工程，共得报酬1800元，三人完成这项工程的情况是：甲、乙合作8天完成工程的，接着乙、丙又合作2天，完成余下的，然后三人合作5天完成了这项工程，按劳付酬，各应得报酬多少元？ 6．一项工程甲队单独做10完成，乙队单独做30天完成．现在两队合作，在这期间，甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息），求开始到完工共用了多少天的时间． 7．一项工程，甲单独做要12小时，乙单独做要18小时．若甲做1小时后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时…，两人交替工作，问完成任务共需要多少小时？ 8．一件工作，若由甲单独做72天完成，现在甲做1天后，乙加入一起工作，合作2天后，丙也一起工作，三人再一起工作4天，完成全部工作的，又过了8天，完成了全部工作的，若余下的工作由丙单独完成，还需要几天？ 9．一项工程，甲、乙两队合做需6天完成，现在由乙队先做7天，然后甲队做4天，共完成这项工程的，如果把剩下的工程交给乙队单独做，还要多少天才能完成？ 10．一项工程，甲队独做需要20天完成，乙队独做需要30天完成．现在由甲队施工一天，然后由乙队接替甲队施工一天，第三天再由甲队接替乙队施工一天…，如此交替，最后乙队结束工作，多少天完成任务？ 11．有两个同样的仓库A和B，搬运一个仓库里的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时．甲和丙在A仓库，乙在B仓库，同时开始搬运．中途丙转向帮助乙搬运．最后，两个仓库同时搬完，丙帮助甲、乙各多少时间？ 12．一项工程，甲单独做要30天，乙单独做的时间比甲少用10天．现在两人合做，最后几天乙没有参加，结果用了18天才完成任务．乙做了多少天？休息了多少天？ 13．搬运一个仓库的货物，甲需10小时，乙需12小时，丙需15小时．有同样的仓库A和B，甲在A仓库，乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又去帮乙搬运，最后同时搬完两个仓库的货物．丙帮助甲搬运了几小时？ 14．一部书稿，甲单独打字需60天完成，乙单独打字需50天完成，已知甲每周日休息，乙每周六、周日休息．如果两人合作，从2014年4月21日（周一）开始打字，那么几月几日可以完成这部书稿？ 15．甲、乙两个修路队共同修一条长120km的路，甲队每天修3km，甲队先修1天后，由甲、乙两队共同修，一共经过13天完成了任务．乙队每天修多少千米？ 16．我们规定两人轮流做一个工程是指，第一个人先做一个小时，第二个人做一个小时，然后再由第一个人做一个小时，然后又由第二个人做一个小时，如此反复，做完为止．如果甲、乙轮流做一个工程需要9.8小时，而乙、甲轮流做同样的工程只需要9.6小时，那乙单独做这个工程需要多少小时？ 17．甲、乙两人制作同样的零件，每人每3分钟都能制作一个零件．甲每制作2个零件要休息2分钟，乙每制作3个零件要休息1分钟．现在他们要共同完成制作202个零件的任务，最少需要多少分钟？ 18．甲乙丙共同修建一套房子，2天完成了全部工作的三分之一，然后甲休息了6天．乙休息了2天，丙没有休息．已知甲的工作效率是乙的2倍，乙的工作效率是丙的2倍，那么装修这套房子从开始到完成共用了多少天？ 19．一项工程甲、乙合作完成了全工程的，剩下的由甲单独完成，甲一共做了21天，这项工程由甲单独做需30天，如果由乙单独做，需多少天？ 20．师徒二人共同加工一种零件，原计划18小时完成，但在生产工程中师傅因另有任务而少干了1个半小时，结果两人从开工到完工一共花了小时．已知徒弟每小时加工12个零件，师傅每小时加工多少个零件？ 21．甲、乙、丙三人承包一项任务，完工后共得承包1800元，三人完成这项任务的情况是；甲、乙两人先合作6天完成任务的；甲离去，乙、丙接着合作2天完成余下任务的；以后三人合作5天完成任务，按完成工作量的情况，甲、乙、丙各应的多少元？ 22．打印一部稿件，甲单独打要12小时完成，乙单独打要15小时完成．现在，甲、乙两人轮流工作．甲工作1小时，乙工作2小时；甲工作2小时，乙工作1小时；甲工作1小时，乙工作2小时…如此交替下去，打印这部稿件共要　 　小时． 23．甲、乙、丙三人承包一项工程，发给他们工资共1800元，三人完成这项工程的具体情况是：甲、乙两人合作6天完成了工程的，因为甲有事，由乙、丙合作2天完成余下工程的，以后三人合作5天完成了这项工程，按完成量的多少来付劳动报酬，甲、乙、丙各得多少元？ 24．一项工程，甲、乙合作10天完成，乙、丙合作12天完成，现在先由甲单独做9天，接着乙做6天，最后丙独做4天，刚好完成，甲独做这项工程要多少天完成任务？ 25．希望工厂里2个男工和4个女工在一天内加工全部零件的，8个男工和10个女工在一天内可加工完全部零件．如果把单独让男工加工和单独让女工加工进行比较，要在一天内完成任务，女工要比男工多多少人？ 26．一个水池安装了甲乙两个进水管，单开甲管24分钟能把空池注满，单开乙管18分钟能把空池注满．现在甲乙两管轮流开放，按照甲1分钟，乙2分钟；甲2分钟，乙1分钟；甲1分钟，乙2分钟；甲2分钟，乙1分钟…如此交替下去，要灌满一池水共需要多少分钟？ 27．一项工程，甲单独完成需要10小时，乙单独完成需要15小时，丙单独完成需要20小时．现三人合作，中途甲因有事停工几小时，结果6小时才将工作完成．问甲停工几小时？ 28．一项工程，由甲队承租，需工期80天，工程费用100万元，由乙队承担，需工期100天，工程费用80万元．为了节省工期和工程费用，实际施工时，甲乙两队合做若干天后撤出一个队，由另一个队继续做到工程完成．结算时，共支出工程费用86.5万元，那么甲乙两队合做了多少天？ 29．师徒两人合作加工520个零件，师傅每小时加工30个，徒弟每小时加工20个，几小时以后还有70个零件没有加工？ 30．搬运一个仓库的货物，甲需要8小时，乙需要10小时，丙需要15小时，有同样的仓库A和B，甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙起先帮助甲搬运，中途又转去帮助乙搬运，最后两个仓库的货物同时搬完．问：丙帮助甲、乙各多少小时？ 1．【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意求出甲的实际工作天数12﹣3＝9天，那么甲完成的工作量即可求出，进而求出乙完成这批零件的工作量，由此求出乙的实际工作天数，再进一步求得乙休息的天数即可． 【解答】解：12﹣[1（12﹣3）] ＝12﹣[1] ＝1220 ＝12﹣8 ＝4（天） 答：乙休息了4天． 【点评】此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，搞清每一步所求的问题与条件之间的关系，选择正确的数量关系解答． 2．【答案】见试题解答内容 【分析】首先根据工作效率＝工作量÷工作时间，分别求出甲乙的工作效率各是多少；然后根据工作量＝工作效率×工作时间，用甲的工作效率乘以修的时间，求出甲修了这段公路的几分之几，进而求出乙修了几分之几；最后根据工作时间＝工作量÷工作效率，用乙修的占这短公路长的分率除以乙的工作效率，求出乙修了多少天；再用14减去乙实际修的天数，求出乙队休息了几天即可． 【解答】解：14﹣[1（14﹣2.5）] ＝14﹣[1]×30 ＝1430 ＝14﹣12.75 ＝1.25（天） 答：乙队休息了1.25天． 【点评】此题主要考查了工程问题的应用，对此类问题要注意把握住基本关系，即：工作量＝工作效率×工作时间，工作效率＝工作量÷工作时间，工作时间＝工作量÷工作效率；解答此题的关键是求出甲、乙各修了这段公路的几分之几． 3．【答案】见试题解答内容 【分析】首先判断出甲工作6天，乙、丙合作两天，可以看成甲、乙、丙合作2天，甲单独做4（6﹣2＝4）天，据此求出甲单独做4天的工作量，以及甲的工作效率各是多少，再根据工作时间＝工作量÷工作效率，用1除以甲的工作效率，求出甲单独做需要多少天； 然后判断出甲、乙合作3天，丙工作6天，可以看成甲、乙、丙合作3天，丙单独做3（6﹣3＝3）天，据此求出丙单独做3天的工作量，以及丙的工作效率各是多少，再根据工作时间＝工作量÷工作效率，用1除以丙的工作效率，求出丙单独做需要多少天； 最后用甲、乙、丙的工作效率之和减去甲、丙的工作效率之和，求出乙的工作效率是多少，再根据工作时间＝工作量÷工作效率，用1除以乙的工作效率，求出乙单独做需要多少天即可． 【解答】解：甲单独做需要： 1÷[（2）÷（6﹣2）] ＝1÷[4] ＝1 ＝12（天） 丙单独做需要： 1÷[（3）÷（6﹣3）] ＝1÷[3] ＝1 ＝18（天） 乙单独做需要： 1÷（） ＝1 ＝36（天） 答：甲单独做需要12天，乙单独做需要36天，丙单独做需要18天． 【点评】此题主要考查了工程问题的应用，对此类问题要注意把握住基本关系，即：工作量＝工作效率×工作时间，工作效率＝工作量÷工作时间，工作时间＝工作量÷工作效率，解答此题的关键是求出甲、乙、丙的工作效率各是多少． 4．【答案】见试题解答内容 【分析】由题意可知，甲、乙合做8天完成，甲、乙的合做工作效率为，甲单独12天完成，甲的工作效率为，那么乙的工作效率．人合做几天后，余下的工程由乙独自完成，使乙前后两段所用时间比为1：3，设两人合做x天，那么乙单独做3x天，由此可得方程：x3x＝1，解此方程求出两人的合做时间后，即能求出实际工期为多少天． 【解答】解：． 设两人合做x天，那么乙单独做3x天，由此可得方程： x3x＝1， xx＝1， x＝1， x＝4． 4+4×3 ＝4+12， ＝16（天）． 答：这个工程实际工期为16天． 【点评】首先根据题意求出乙的工作效率，然后通过设未知数列出等量关系式是完成本题的关键． 5．【答案】见试题解答内容 【分析】根据“甲乙合做8天完成这项工程的”，可得：甲乙工作效率之和为8；再根据“乙丙又合作2天，完成余下的”，可得：乙丙的工作效率之和为（1）2；根据“以后三人合作5天完成了这项工程”，可得：甲乙丙三人工作效率之和为（1）×（1）÷5，甲乙丙三人的工作效率分别是：甲：，乙：，丙：，甲乙丙三人完成工作量的比是：（8+5）：（8+2+5）：（2+5）＝26：45：49，然后再按照比例分配，即可得出三人的钱数据此解答． 【解答】解：甲乙工作效率之和为：8； 乙丙的工作效率之和为：（1）2； 甲乙丙三人工作效率之和为：（1）×（1）÷5， 甲乙丙三人的工作效率分别是：甲：， 乙：， 丙：， 甲乙丙三人完成工作量的比是：（8+5）：（8+2+5）：（2+5）＝26：45：49， 甲得：1800390（元）， 乙得1800675（元）， 丙得1800735（元）． 答：甲得390元，乙得675元，丙得735元． 【点评】本体是复杂的工程问题，关键是求出甲乙丙三人的工作效率和完成的工作量的比． 6．【答案】见试题解答内容 【分析】甲休息2天，即乙队单独干了2天，乙单独休息8天，即甲队单独干了8天，那么剩下的工作量：182，是两队合作的工作总量，两队合作的工作时间是：（）＝1（天），所以开始到完工共用了2+8+1＝11天的时间． 【解答】解：（182）÷（）， ， ＝1（天）， 2+8+1＝11（天）； 答：开始到完工共用了11天的时间． 【点评】本题明确题意得出甲乙各自独干的工作的时间，是解决本题的关键． 7．【答案】见试题解答内容 【分析】甲单独做12小时完成，乙单独做18小时完成，则两人独做每两个小时完成全部工作的；由于36÷5＝7…1，即两人轮做7轮后，还剩下全部的，此时轮到甲做，甲独做还需要小时．则完成全部工作需要（7×2）小时． 【解答】解：， 36÷5＝7…1， 7×2 ＝14 ＝14（小时） 答：完成任务共需要14小时． 【点评】两人轮做以两小时为单位，求出轮做的整数次后求出还剩下的工作量是完成本题的关键． 8．【答案】见试题解答内容 【分析】要求余下的工作由丙单独完成，还需要几天，就要求出丙的工作效率，在此，需要一步步推算． 甲乙丙3人8天完成：，则甲乙丙3人每天完成（即3人的工作效率）：8， 甲乙丙3人4天完成：4，则甲做一天后乙做2天要做：，那么乙一天做：[3]÷2， 则丙一天做：，那么余下的由丙做要：（1）6（天）． 【解答】解：甲乙丙3人工作效率和： （）÷8， ， ； 乙的工作效率： （43）÷2， ＝（）÷2， ， ； 丙的工作效率： ， 余下的工作由丙单独完成，还需要： （1）， ， 36， ＝6（天）． 答：余下的工作由丙单独完成，还需要6天． 【点评】此题属于工程问题，工作效率、工作时间、工作量三者之间的数量关系不明显，所以就要寻求一些特殊的思路，如综合转化、整体思考等方法来解决． 9．【答案】见试题解答内容 【分析】把这项工程的工作量看成单位“1”，那么甲、乙二队合作的工作效率就是；由乙队先做7天，然后甲队做4天，可以看成甲乙合作了4天，乙又独做了3天；先求出合作4天的工作量，用已完成的工作量，减去合作的工作量就是乙3天完成的工作量；用这个工作量除以工作时间3天就是乙的工作效率，进而求出乙完成剩下工程的工作时间． 【解答】解（4）÷（7﹣4） ＝（）÷3， ， ； （1）， 15， ＝2（天）； 答：如果把剩下的工程交给乙队单独做，还要2天才能完成． 【点评】此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，解答时要注意从问题出发，找出已知条件与所求问题之间的关系，再已知条件回到问题即可解决问题． 10．【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意可知：因为最后是乙队完成，所以按照甲乙甲乙…的顺序，甲乙两队用了相同的时间，设各队均干了n天，因为甲每天完成 ，乙队每天 ，所以有1，解得n＝12，因为两队均干了12天，所以共24天．据此解答即可 【解答】解：设各队均干了n天，甲每天完成 ，乙队每天 ， 1 1 n＝12 两队均干了12天，所以共干 12+12＝24（天） 答：共需要24天完成任务． 【点评】根据题干得出甲乙的工作效率和甲乙各自工作的时间，是解决本题的关键． 11．【答案】见试题解答内容 【分析】根据已知条件“搬运一个仓库里的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时”，把一个仓库的货物总量看作单位“1”，甲每小时搬运货物的，乙每小时搬运，丙每小时搬运，三人同时搬运，每小时搬运货物的（）；又因两个仓库是同样的仓库，两个仓库的货物总量是2个单位“1”即为“2”；知道工作总量和工作效率，用除法求出三人同时搬运需要的时间：2÷（）＝8（小时）；丙在甲仓库搬运的时间为：（18）3（小时），进而求出丙在乙仓库搬运的时间． 【解答】解：2÷（）， ＝2， ＝8（小时）； （18）， ＝（1）， 15， ＝3（小时）， 8﹣3＝5（小时）； 答：丙帮助甲3小时，帮助乙5小时． 【点评】此题根据工程问题的基本关系式：工作总量÷工作效率＝工作时间解答，解答此题的关键是先求出三人同时搬运所需要的时间． 12．【答案】8天，10天。 【分析】甲单独做要30天，乙单独做的时间比甲少10天，则乙单独做需要30﹣10＝20（天）；现在两人合作，甲做了18天，完成了18，乙完成了1；那么，乙做的天数为8（天），进一步用总天数减去8天，求出乙休息的天数，据此解答。 【解答】解：乙做了： （118）÷（）， ＝（1）， ， ＝8（天）； 乙休息了： 18﹣8＝10（天）． 答：乙做了8天，休息了10天。 【点评】此题解答的关键是先求出甲18天完成的任务，进而求出乙完成的任务，进一步求出乙做的天数和休息的天数，解决问题． 13．【答案】见试题解答内容 【分析】据题意可以看做三个人一共完成了两个仓库的任务，那么因为三人自始至终都在工作，那么用的时间是2÷（）＝8小时，在这个时间甲完成了一个仓库的8，那么丙运了这个仓库的1，丙帮助甲用了3小时，据此解答即可． 【解答】解：三人搬完仓库用时：2÷（） ＝2 ＝8（小时） 甲完成了一个仓库的：8 则丙运了甲仓库的：1 且用时：3（小时） 答：丙帮助甲搬运了3小时． 【点评】将两个仓库的任务看作是由三个人共同完成，然后求出完成任务的时间是解决本题的关键． 14．【答案】见试题解答内容 【分析】把书稿的字数看作单位“1”，乙每周六、周日休息，那么两人合作时，一星期就合作5天，先求出两人合作5天完成书稿字数占总字数的分率，再求出甲1天完成书稿字数占总字数的分率，进而求出两人一周完成工作量，然后依据工作时间＝工作总量÷工作效率，求出完成任务需要的时间，最后用现在的日期加需要的时间（注意需要减去开始的一天以及最后一天）即可解答． 【解答】解：（）×5 5 ， 17﹣1﹣1 ＝5×7﹣1﹣1 ＝35﹣1﹣1 ＝34﹣1 ＝33（天） 2014年4月21日+33天＝2014年5月24日 答：5月24日可以完成这部书稿． 【点评】解答本题的关键是求出完成这部书稿需要的时间． 15．【答案】见试题解答内容 【分析】首先求出甲队先修1天后剩下的路的长度是多少；然后根据工作时间＝工作量÷工作效率，用剩下的路的长度除以13，求出两队的工作效率之和是多少；最后用两队的工作效率之和减去甲的工作效率，求出乙队每天修多少千米即可． 【解答】解：（120﹣3）÷13﹣3 ＝117÷13﹣3 ＝9﹣3 ＝6（千米） 答：乙队每天修6千米． 【点评】此题主要考查了工程问题的应用，对此类问题要注意把握住基本关系，即：工作量＝工作效率×工作时间，工作效率＝工作量÷工作时间，工作时间＝工作量÷工作效率，解答此题的关键是求出两队的工作效率之和是多少． 16．【答案】见试题解答内容 【分析】依题意可知，两次做每人所花时间为：甲乙轮流做一个工程，甲工作了5小时，乙工作了4.8小时；乙甲轮流工作时，乙工作了5小时，甲工作了4.6小时．由此可知甲工作0.4小时相当于乙工作 0.2小时，推出甲工作5小时相当于乙工作2.5小时，故求出乙单独做此工程需要的时间，解决问题． 【解答】解：甲乙轮流做一个工程，甲工作了5小时，乙工作了4.8小时；乙甲轮流工作时，乙工作了5小时，甲工作了4.6小时． 所以甲做0.4小时完成的工程等于乙做0.2小时，乙的效率是甲的0.4÷0.2＝2（倍）， 甲做5小时完成的任务乙只要2.5小时就能完成． 所以乙单独完成这个工程要：2.5+4.8＝7.3（小时）． 答：乙单独做这个工程需要7.3小时． 【点评】此工程问题有一定难度，认真分析后，求出甲乙工作效率之间的倍数关系是解答的关键． 17．【答案】见试题解答内容 【分析】要想使用时间最少，应让两人合作，甲每制作2个零件要休息2分钟，2×3+2＝8分钟，效率为，乙制作3个零件要休息1分钟．3×3+1＝10分钟也就是每10分钟做3个，效率为，二人合作，效率为，即两人20分钟能制作11个零件．202÷11＝18…4个，即两人两人同时做18个20分钟就可以做11×18＝198个，还剩4个，剩下四个一人两个，不用休息，需要2×3＝6分钟，即再做6分钟就可以了，共需要20×18+6＝366分钟． 【解答】解：要想使用时间最少，应先让两人合作制作： 2×3+2＝8分钟，即甲的效率为， 3×3+1＝10分钟，即乙的效率为； 二人合作，效率为， 即两人20分钟能制作11个零件． 202÷11＝18…4个， 即两人两人同时做18个20分钟就可以做11×18＝198个，还剩4个， 剩下四个一人两个，需要2×3＝6分钟就可以完成， 共需要20×18+6＝366（分钟）． 答：最少需要366分钟． 【点评】分别根据两人生产零件的个数及休息时间求出两人的工作效率，然后再根据总工作量及效率和进行分析是完成本题的关键． 18．【答案】见试题解答内容 【分析】由于甲的工作效率是乙的2倍，乙的工作效率是丙的2倍，所以可以把丙的工作效率看作1份，那么乙的工作效率是2份，甲的工作效率是4份，甲、乙、丙三人一天的工作效率是1+2+4＝7份． 甲、乙、丙三人2天的工作量是2×7＝14份，完成了全部工程的 ，全部工程是1442份． 已知甲、乙、丙的工作量及总工作量，由此根据他们每人所干的天数解答即可． 【解答】解：将丙的工作效率看作1份，那么乙的工作效率是2份，甲的工作效率是4份， 甲、乙、丙三人一天的工作效率为：1+2+4＝7（份）， 则总作工量为：7×242（份）； 甲乙丙如果全程合作的话需要：42÷7＝6（天）完成． 甲休息了6天，乙休息了2天，在这8天中，甲乙少干了： 4×6+2×2＝28（份 ）， 这28份甲、乙、丙三人合作得干28÷7＝4（天）． 所装修这套房子以从开始到完成需要6+4＝10（天）完成． 答：装修这套房子从开始到完成共用了10天． 【点评】根据三人工作量之间的倍数关系及前2天的工作量求出每人每天的工作效率及总工作量是完成本题的关键． 19．【答案】见试题解答内容 【分析】把这项工程的工作总量看成单位“1”，甲的工作效率是，先求出甲独自完成的部分是工作总量的几分之几，用这部分工作量除以甲的工作效率求出这部分工作量甲需要的时间，继而求出合作时用的时间；再用合作时甲的工作效率乘甲的工作时间，求出甲在合作中完成的工作量，进而求出合作中乙完成的工作量，用乙完成的工作量除以乙的工作时间就是乙的工作效率，进而求出乙独做需要的时间． 【解答】解：（1） 30 ＝9（天） 21﹣9＝12（天） 12 1÷（12） ＝1÷（） ＝1 ＝40（天） 答：如果由乙单独做，需40天． 【点评】此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，解答时要注意从问题出发，找出已知条件与所求问题之间的关系，再已知条件回到问题即可解决问题． 20．【答案】见试题解答内容 【分析】我们把这批零件的工作量看作单位“1”，他们合作的时间是（181）小时，用单位“1”减去他们共同干的工作量，剩下的就是徒弟1.5小时干的工作量，由此求出徒弟的工作效率，用12除以徒弟的工作效率就是零件的总个数，用零件的总个数乘以他们的工作效率的和就是师徒二人一小时的加工的零件的个数，减去徒弟每小时的零件个数，就是师傅每小时加工的零件个数． 【解答】解：[1（181）]， ＝[1]， ， ， 12， ＝12， ＝486（个）； 48612＝15（个）； 答：师傅每小时加工15个零件． 【点评】本题运用工作总量，工作时间，工作效率之间的数量关系进行解答即可． 21．【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意，把这项工程看作单位“1”，已知甲、乙两人先合作6天完成任务的 ，甲、乙两人工作效率和为：6； 乙、丙接着合作2天完成余下任务的 ，求出乙、丙完成这项工程的：（1），乙、丙两人工作效率和为：2；又知三人合作5天完成任务，1，三人工作效率和为：5；已知给他们三人的工资是1800元，根据按比例分配的方法即可求出甲、乙、丙各得多少元；由此解答． 【解答】解：乙的工效率为： ， ， ； 乙完成的工作量是： （6+2+5）； 甲的工作效率为： ； 甲完成的工作量为： （6+5）； 丙的工作效率为：； 丙完成工作量为： （2+5）； 甲应得： 1800330（元）； 乙应得： 1800910（元）； 丙应得： 1800560（元）； 答：甲应得330元，乙应得910元，丙应得560元． 【点评】此题的解答把工作总量看作单位“1”，分别求出甲、乙、丙的工作效率和各完成工作量的几分之几，再根据一个数乘分数的意义解答即可． 22．【答案】见试题解答内容 【分析】把工作总量看作单位“1”，甲单独打要12小时完成，则甲每小时完成，乙单独打要15小时完成，乙每小时完成，甲工作1小时，乙工作2小时完成，甲工作2小时，乙工作1小时完成，6小时甲乙共完成，则每6个小时两人完成全部的，12小时后完成，还剩，甲再工作1小时后还剩，乙再工作（小时）完成工作，12+1即是打印这部稿件共需的时间． 【解答】解： ＝（）+（） ， 12+1+（1） ＝12+1 （小时）， 答：打印这部稿件共要小时， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了实际问题﹣工程问题，关键是得出每6个小时两人完成全部的． 23．【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意可知，甲、乙两人的工作效率之和为；乙、丙两人的工作效率之和为；甲、乙、丙三人的工作效率之和为．分别可求得甲的工作效率为，乙的工作效率为，丙的工作效率为，则甲完成的工程量为：，乙完成的工程量为：，丙完成的工程量为：，三人所完成的工作量之比为．所以，甲应得元，乙应得元，丙应得元． 【解答】解：甲、乙两人的工作效率之和为：； 乙、丙两人的工作效率之和为； 甲、乙、丙三人的工作效率之和为． 则甲的工作效率为：， 乙的工作效率为：， 丙的工作效率为：， 甲完成的工程量为：， 乙完成的工程量为：， 丙完成的工程量为：， 三人所完成的工作量之比为． 所以，甲应得：（元）， 乙应得：（元）， 丙应得：（元）． 答：甲应得330元，乙应得910元，丙应得560元． 【点评】此题的解答把工作总量看作单位“1”，分别求出甲、乙、丙的工作效率和各完成工作量的几分之几，再根据一个数乘分数的意义解答即可． 24．【答案】见试题解答内容 【分析】把这件工程的工作量看成单位“1”，甲乙的工作效率和是，乙丙的工作效率和是，把两者相加相当于三人的工作效率和+乙的工作效率；先由甲单独做9天，接着乙做6天，最后丙独做4天，看成乙丙合作4天，再由甲乙合作6﹣4＝2天，剩下的由甲再独做9﹣2＝7天；用乙丙合作的工作效率乘4，求出乙丙合作完成的工作量，同理求出甲乙合作完成的工作量，再用工作总量1减去乙丙、甲乙合作的工作量，求出剩下的工作量，再除以7天，即可求出甲的工作效率，进而求出甲独做这项工程要多少天完成任务． 【解答】解：先由甲单独做9天，接着乙做6天，最后丙独做4天，看成乙丙合作4天， 再由甲乙合作6﹣4＝2（天）， 剩下的由甲再独做9﹣2＝7（天）； 142 ＝1 7 115（天） 答：甲独做这项工程要15天完成任务． 【点评】解决本题关键是把“先由甲单独做9天，接着乙做6天，最后丙独做4天，看成乙丙合作4天，再由甲乙合作6﹣4＝2天，剩下的由甲再独做9﹣2＝7天”，再根据工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系求解． 25．【答案】见试题解答内容 【分析】由“2个男工和4个女工在一天内加工全部零件的”，可知8个男工和16个女工在一天内加工全部零件的，那么6个女工在一天内加工全部零件的1，那么女工在一天内完成任务需要的人数为1÷（6）＝30（人）；同样可推出男工在一天内完成任务需要的人数，进而解决问题． 【解答】解：女工效率： （4﹣1）÷（4×4﹣10）， ＝（1）÷6， 6， ； 女工在一天内完成任务需要的人数： 130（人）； 男工效率： （1×25）÷（8×2﹣2×5）， ＝（2）÷（16﹣10）， 6， ； 男工在一天内完成任务需要的人数： 112（人）； 女工要比男工多： 30﹣12＝18（人）； 答：要在一天内完成任务，女工要比男工多18人． 【点评】运用转化法求出男女工的工作效率，是解答此题的关键． 26．【答案】见试题解答内容 【分析】由于按照甲1分钟，乙2分钟；甲2分钟，乙1分钟；甲1分钟，乙2分钟；甲2分钟，乙1分钟…如此交替下去进行注水．则在1+2+1+2＝6分钟内，甲、乙两个进水管分别工作了3分钟，由此可以6分钟为单位进行分析，将6分钟的注水量看作甲乙合作3分钟，甲乙的效率和是，则甲乙合作3分钟能完成全部工作量的（）×3，即交替工作6分钟能完成全部工作量的，13，则交替工作3轮后，还剩下全部工作量的13没有完成，然后甲再工作1分钟后，还剩下全部的，乙再开1分钟是，还没完成，所以还需要1.5分钟完成，所以共用了6×3+1+1.5＝20.5分钟． 【解答】解：由于一个轮流甲乙各开了1+2＝3分钟，则一个轮流可完成全部的： （）×3 3 13，则交替工作3轮后， 还剩下全部工作量的13没有完成， 后甲再工作1分钟后，还剩下全部的， 乙还要工作： 1.5分钟完成， 所以共用了6×3+1+1.5＝20.5（分钟） 答：共用了20.5分钟． 【点评】以6分钟的工作量为单位进行分析是完成本题的关键． 27．【答案】见试题解答内容 【分析】因为乙丙始终都在工作没有休息，所以可以求出乙丙的工作总量：（）×6，那么甲的工作总量是：1；所以甲的工作时间是：3（小时），则甲停工了：6﹣3＝3小时；据此解答． 【解答】解：6﹣[1﹣（）×6]， ＝6， ＝6﹣3， ＝3（小时）， 答：甲停工3小时． 【点评】此题是稍复杂的工程问题，关键是弄清甲的工作总量是多少，再利用“工作量、工效、工作时间”三者间的关系解答． 28．【答案】见试题解答内容 【分析】本题设出甲乙合干的天数是x天，其实甲乙各干了x天，就可以表示出甲的工作量，从而也可以求出乙的工作量，在相应的工作量下可以表示出各自的费用，把费用加在一起就是86.5万元，依此即可求解． 【解答】解：设甲队工作x天，则甲队完成的工作量是，乙队完成的工作量是（1）． 10080×（1）＝86.5 x+80﹣x＝86.5 x＝86.5﹣80 x＝6.5 x＝6.5×4 x＝26 （1）67.5 67.5＞26 答：甲乙共合做了26天． 【点评】本题考查了学生的分析应变能力，在这儿表示出甲的工作量，其实乙的工作量也就可以表示出来，再表示出各自的费用，问题就解决了． 29．【答案】见试题解答内容 【分析】此题先求出师徒两人要合作加工的零件，再根据关系式：工作总量÷工作效率之和＝工作时间，即可解决问题． 【解答】解：（520﹣70）÷（30+20）， ＝450÷50， ＝9（小时）； 答：9小时以后还有70个零件没有加工． 【点评】此题主要考查工程问题的解题思路，关键利用关系式：工作总量÷工作效率之和＝工作时间． 30．【答案】见试题解答内容 【分析】根据已知条件“搬运一个仓库里的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时”，把一个仓库的货物总量看作单位“1”，则三人的效率和是，又因两个仓库是同样的仓库，两个仓库的货物总量是2个单位“1”即为“2”，则三人合作两个仓库的货物同时搬完需要（小时），则在这个时间内丙完成了A仓库的1，则丙在A仓库搬了小时，进而求出在B仓库搬了多少小时． 【解答】解：2÷（）， ＝2， （小时）． （1） ＝（1）， ， （小时）． （小时）． 答：丙帮助甲工作了小时，帮乙工作了小时． 【点评】此题根据工程问题的基本关系式：工作总量÷工作效率＝工作时间解答，解答此题的关键是先求出三人同时搬运所需要的时间． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$