第24章 圆 单元练习 2024--2025学年人教版九年级数学上册

第24章圆同步精练（1） 一．选择题（共10小题） 1．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝4cm，则⊙O的直径AB为（　　） A．5cm B．4cm C．6cm D．8cm 2．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝74°，则∠OBC等于（　　） A．17° B．16° C．15° D．14° 3．如图，BC是⊙O的切线，点B是切点，连接CO交⊙O于点D，延长CO交⊙O于点A，连接AB，若∠C＝30°，OD＝2，则AB的长为（　　） A． B． C． D． 4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝12cm，∠BAC＝50°，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的长为（　　）cm． A． B． C． D．2π 5．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC于E，交BC于D，DF⊥AC于F．给出以下五个结论：①BD＝DC；②CF＝EF；③弧AE＝弧DE；④∠A＝2∠FDC；⑤DF是⊙O的切线．其中正确的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 6．如图，在⊙O中，AB为直径，点M为AB延长线上的一点，MC与⊙O相切于点C，圆周上有一点D与点C分居直径AB两侧，且使得MC＝MD＝AC，连接AD．现有下列结论：①MD与⊙O相切；②四边形ACMD是菱形；③AB＝MO；④∠ADM＝120°．其中正确的结论有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7．如图，把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，若EF＝CD＝4，则截面⊙O的半径等于（　　） A． B． C． D． 8．如图，AB是半圆O的直径，AC＝AD，OC＝2，∠CAB＝30°，E为线段CD上一个动点，连接OE，则OE的最小值为（　　） A． B．1 C． D．2 9．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半径OA＝1，点C是OB上一点，连接AC，沿AC将扇形折叠，使得点B落在AO的延长线上的点D处，连接CD，则图中阴影部分面积为（结果保留π）（　　） A． B． C． D． 10．如图，抛物线y＝与x轴交于A，B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ，则线段OQ的最大值（　　） A．3 B． C． D．4 二．填空题（共6小题） 11．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O外一点，CA，CD分别与⊙O相切于点A，D，连接BD，AD，若∠ACD＝50°，则∠DBA的度数是 　 　． 12．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为 　 　． 13．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，△ABC的周长为14，则BC的长为 　 　． 14．已知半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径为1，直线l的解析式为y＝x+t，若直线l与半圆只有一个交点，则t的取值范围是 　 　． 15．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BC＝12，O为BC的中点，⊙O分别与AB，AC相切于D，E两点，则⊙O的半径长为 　 　． 16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3．⊙C的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙C的一条切线PD，点D为切点，则线段PD长的最小值为 　 　． 三．解答题（共9小题） 17．如图，点A、B、C点圆O上，∠ABC＝60°，∠ABD＝∠ADB＝30°，点O在BD上． （1）求证：直线AD与⊙O相切； （2）若AB＝12，求图中阴影部分的面积． 18．在▱ABCD中，过A、B、C三点的⊙O交AD于点E． （1）求证：AB＝CE． （2）连接AC，若∠ACB＝∠DCE，求证：CD是⊙O的切线． 19．如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，C为劣弧上一点，过点C作⊙O的切线，分别交PA，PB于点D，E． （1）若△PDE的周长为12，求PA的长； （2）若∠DOE＝72°，求∠APB的度数． 20．如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B，直线PO交⊙O于点D、E，交AB于点C． （1）求证：∠ADE＝∠PAE． （2）若∠ADE＝30°，连接BD，求证：四边形ADBP是菱形． 21．如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，则（1）⊙O的直径长为 　 　；（2）△AMN周长的最小值是 　 　． 22．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，∠A＝30°，BC＝4，弦CD⊥AB于F，点E是AB延长线上一点，且AF＝EF，连接DE． （1）填空：∠BCD＝　 　°； （2）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （3）取CB的中点M，连接DM，求图中阴影部分的面积． 23．如图1，四边形ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于点E，交CD于点F，连接CE．△CFG的外接圆的圆心为点O． （1）求证：CE与△CFG的外接圆相切； （2）如图2，若线段AB上有一点H，满足EC＝EH，此时点F是CD的中点，求线段CO和EH的位置关系，并说明理由． 24．如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠BAC＝60°，延长BA至点P使AP＝AC，作CD平分∠ACB交AB于点E，交⊙O于点D．连接PC，BD． （1）求证：PC为⊙O的切线； （2）求证：BD＝PA； （3）若PC＝6，求AE的长． 25．如图1，BC是⊙O的直径，点A、D在⊙O上，连接BD、CD，DB∥OA，BC＝10，． （1）求证：AO⊥CD； （2）求BD的长； （3）如图2，连接AB，作∠CAB的角平分线交⊙O于F，求AF的长度． 第24章圆同步精练（1） 一．选择题（共10小题） 1．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝4cm，则⊙O的直径AB为（　　） A．5cm B．4cm C．6cm D．8cm 【解答】解：如图，连接OD、OC， ∵BC＝CD＝DA＝4cm， ∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°． 又OA＝OD， ∴△AOD是等边三角形， ∴OA＝AD＝4cm， ∴⊙O的直径AB为8cm． 故选：D． 2．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝74°，则∠OBC等于（　　） A．17° B．16° C．15° D．14° 【解答】解：如图，连接OC， ∵∠A＝74°， ∴∠BOC＝2∠A＝148°， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB＝（180°﹣148°）＝16°． 故选：B． 3．如图，BC是⊙O的切线，点B是切点，连接CO交⊙O于点D，延长CO交⊙O于点A，连接AB，若∠C＝30°，OD＝2，则AB的长为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：连接OB、DB，则OB＝OD＝2， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ABD＝90°，AD＝2OD＝4， ∵BC与⊙O相切于点B， ∴BC⊥OB， ∴∠OBC＝90°， ∵∠C＝30°， ∴∠BOC＝60°， ∴△BOD是等边三角形， ∴BD＝OD＝2， ∴AB＝＝＝2， 故选：C． 4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝12cm，∠BAC＝50°，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的长为（　　）cm． A． B． C． D．2π 【解答】解：连接OE，OD， ∵OD＝OB， ∴∠B＝∠ODB， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∴∠C＝∠ODB， ∴OD∥AC， ∴∠EOD＝∠AEO， ∵OE＝OA， ∴∠OEA＝∠BAC＝50°， ∴∠EOD＝∠BAC＝50°， ∵OD＝AB＝×12＝6（cm）， ∴弧DE的长＝＝π（cm）． 故选：C． 5．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC于E，交BC于D，DF⊥AC于F．给出以下五个结论：①BD＝DC；②CF＝EF；③弧AE＝弧DE；④∠A＝2∠FDC；⑤DF是⊙O的切线．其中正确的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【解答】解：连接OD，AD． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°（直径所对的圆周角是直角）， ∴AD⊥BC； 而在△ABC中，AB＝AC， ∴AD是边BC上的中线， ∴BD＝DC（正确）； ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴DB＝DC， ∵OA＝OB， ∴OD是△ABC的中位线， 即：OD∥AC， ∵DF⊥AC， ∴DF⊥OD． ∴DF是⊙O的切线（正确）； ∵DF⊥AC，AD⊥BC， ∴∠FDC+∠C＝∠CAD+∠C＝90°， ∴∠FDC＝∠CAD， 又AB＝AC，∴∠BAD＝∠CAD， ∴∠A＝2∠CAD＝2∠FDC（正确）； ∵DF是⊙O的切线， ∴∠FDE＝∠CAD＝∠FDC， ∴∠C＝∠DEC， ∴DC＝DE， 又DF⊥AC，∴CF＝EF（正确）； 当∠EAD＝∠EDA时，＝，此时△ABC为等边三角形， 当△ABC不是等边三角形时， ∠EAD≠∠EDA， 则≠，∴＝（不正确）； 综上，正确结论的序号是①②④⑤， 故选：B． 6．如图，在⊙O中，AB为直径，点M为AB延长线上的一点，MC与⊙O相切于点C，圆周上有一点D与点C分居直径AB两侧，且使得MC＝MD＝AC，连接AD．现有下列结论： ①MD与⊙O相切；②四边形ACMD是菱形；③AB＝MO；④∠ADM＝120°． 其中正确的结论有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【解答】解：连接OC，OD， ∵OC＝OD，CM＝DM，OM＝OM， ∴△CMO≌△DMO（SSS）， ∴∠ODM＝∠OCM， ∵MC与⊙O相切于点C， ∴∠OCM＝90°， ∴∠ODM＝90°， ∵OD是⊙O的直径， ∴MD与⊙O相切；故①正确； ∵△CMO≌△DMO， ∴∠COM＝∠DOM， ∴∠AOC＝∠AOD， ∵OA＝OA， ∴△AOC≌△AOD（SAS）， ∴AC＝AD， ∴AC＝AD＝CM＝DM， ∴四边形ACMD是菱形，故②正确； ∵AC＝CM， ∴∠CAM＝∠CMA， ∵∠COM＝2∠CAM， ∴∠COM＝2∠CMO， ∴∠CMO＝30°， ∴OC＝OM， ∵OC＝AB， ∴AB＝OM，故③正确； ∵四边形ACMD是菱形， ∴∠DAM＝∠DMA＝∠AMC＝∠CAM＝30°， ∴∠ADM＝120°，故④正确； 故选：A． 7．如图，把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，若EF＝CD＝4，则截面⊙O的半径等于（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设球的平面投影圆心为O，过点O作ON⊥AD于点N，延长NO交BC于点M，连接OF，如图所示： 则NF＝EN＝EF＝2， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C＝∠D＝90°， ∴四边形CDNM是矩形， ∴MN＝CD＝4， 设OF＝x，则OM＝OF， ∴ON＝MN﹣OM＝4﹣x， 在Rt△ONF中，由勾股定理得：ON2+NF2＝OF2， 即：（4﹣x）2+22＝x2， 解得：x＝， 即截面⊙O的半径长是， 故选：C． 8．如图，AB是半圆O的直径，AC＝AD，OC＝2，∠CAB＝30°，E为线段CD上一个动点，连接OE，则OE的最小值为（　　） A． B．1 C． D．2 【解答】解：过O点作OF⊥CD于F，如图， ∵AC＝AD，∠CAB＝30°， ∴，∠BOC＝2∠BAC＝60°， ∴∠OCD＝180°﹣∠DOC﹣∠ODC＝180°﹣60°﹣75°＝45°， ∵OF⊥CD， ∴∠COF＝90°﹣∠OCF＝45°＝∠OCD， ∴△COF为等腰直角三角形， ∴OC2＝CF2+OF2＝2OF2，， ∴OE的最小值为． 故选：A． 9．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半径OA＝1，点C是OB上一点，连接AC，沿AC将扇形折叠，使得点B落在AO的延长线上的点D处，连接CD，则图中阴影部分面积为（结果保留π）（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为OA＝OB＝1，且∠AOB＝90°， 所以AB＝． 由折叠可知， AD＝AB＝， 则OD＝． 设OC长为x， 则CD＝CB＝1﹣x， 在Rt△COD中， （）2+x2＝（1﹣x）2， 解得x＝， 所以． 又因为余下的阴影部分的面积与右上方的弓形面积相等， 则， 所以． 故选：C． 10．如图，抛物线y＝与x轴交于A，B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ，则线段OQ的最大值（　　） A．3 B． C． D．4 【解答】解：连接BP，如图， 当y＝0时，x2﹣4＝0，解得x1＝4，x2＝﹣4， ∴A（﹣4，0），B（4，0）， ∵Q是线段PA的中点， ∴OQ为△ABP的中位线， ∴OQ＝BP， 当BP最大时，OQ最大， 而BP过圆心C时，PB最大，如图，点P运动到P′位置时，BP最大， ∵BC＝＝5， ∴BP′＝5+2＝7， ∴线段OQ的最大值是． 故选：C． 二．填空题（共6小题） 11．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O外一点，CA，CD分别与⊙O相切于点A，D，连接BD，AD，若∠ACD＝50°，则∠DBA的度数是 　65°　． 【解答】解：∵CA，CD分别与⊙O相切于点A，点D， ∴∠CAO＝90°，AC＝CD， ∵∠ACD＝50°， ∴， ∴∠DAB＝90°﹣∠CAD＝90°﹣65°＝25°， ∵AB是直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠DBA＝90°﹣∠DAB＝90°﹣25°＝65°． 12．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为 　　． 【解答】解：由题意，∠FAB＝120°，AF＝AB＝2， ∴S阴＝＝， 13．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，△ABC的周长为14，则BC的长为 　5　． 【解答】解：∵⊙O与A B，BC，CA分别相切于点D，E，F ∴AF＝AD＝2，BD＝BE，CE＝CF， ∵△ABC的周长为14， ∴AD+AF+BE+BD+CE+CF＝14， ∴2（BE+CE）＝10， ∴BC＝5． 14．已知半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径为1，直线l的解析式为y＝x+t，若直线l与半圆只有一个交点，则t的取值范围是 　t＝或﹣1≤t＜1　． 【解答】解：若直线与半圆只有一个交点，则有两种情况：直线和半圆相切于点C或从直线过点A开始到直线过点B结束（不包括直线过点A）． 直线y＝x+t与x轴所形成的锐角是45°． 当直线和半圆相切于点C时，则OC垂直于直线，∠COD＝45°． 又OC＝1，则CD＝OD＝，即点C（﹣，）， 把点C的坐标代入直线解析式，得 t＝y﹣x＝， 当直线过点A时，把点A（﹣1，0）代入直线解析式，得t＝y﹣x＝1． 当直线过点B时，把点B（1，0）代入直线解析式，得t＝y﹣x＝﹣1． 即当t＝或﹣1≤t＜1时，直线和圆只有一个公共点； 故答案为：t＝或﹣1≤t＜1． 15．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BC＝12，O为BC的中点，⊙O分别与AB，AC相切于D，E两点，则⊙O的半径长为 　　． 【解答】解：连接OA，OE，OD， ∵AB、AC与⊙O相切于D、E两点， ∴∠OEC＝∠ODB＝∠AEO＝∠ADO＝90°， ∵点O为BC的中点， ∴， ∵OE＝OD， ∴Rt△OEC≌Rt△ODB（HL）， ∴∠C＝∠B， ∴AC＝AB，AO⊥BC， ∴， ∴， ∴， 即⊙O的半径长为， 16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3．⊙C的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙C的一条切线PD，点D为切点，则线段PD长的最小值为 　　． 【解答】解：连接DC，PC，如图所示： ∵PD为⊙C的一条切线， ∴PD⊥DC， ∴， ∵DC为半径是定值， ∴当PC最小时，PD取得最小值， 由垂线段最短可知，当PC⊥AB时，PC最小， ∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3． ∴AB＝5， ∵， ∴5PC＝12，解得， ∴ 三．解答题（共9小题） 17．如图，点A、B、C点圆O上，∠ABC＝60°，∠ABD＝∠ADB＝30°，点O在BD上． （1）求证：直线AD与⊙O相切； （2）若AB＝12，求图中阴影部分的面积． 【解答】（1）证明：连接OA，如图1所示： ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠ABD＝30°， ∴∠AOD＝∠OAB+∠ABD＝60°， ∵∠ABD＝∠ADB＝30°， ∴∠OAD＝180°﹣（∠AOD+∠ADB）＝180°﹣（60°+30°）＝90°， 即AD⊥OA， 又∵OA为⊙O的半径， ∴直线AD与⊙O相切； （2）解：连接OA，OC，过点O作OE⊥AB于E，过点O作OF⊥BC于F，如图2所示： ∵OA＝OB，OE＝⊥AB，AB＝12， ∴BE＝AE＝AB＝6， 在Rt△BOE中，∠ABD＝30°，cos∠ABD＝， ∴OB＝＝＝， ∵∠ABC＝60°，∠ABD＝30°， ∴∠OBC＝∠ABC﹣∠ABD＝30°， ∵OB＝OC，OF⊥BC， ∴∠OCB＝∠OBC＝30°，BC＝2BF， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OCB+∠OBC）＝120°， 在Rt△BOF中，OB＝，∠OBC＝30°， ∴OF＝OB＝， 由勾股定理得：BF＝＝6， ∴BC＝2BF＝12， ∴S△OBC＝BC•OF＝＝，S扇形BOC＝＝16π． ∴S阴影＝S扇形BOC﹣S△OBC＝． 18．在▱ABCD中，过A、B、C三点的⊙O交AD于点E． （1）求证：AB＝CE． （2）连接AC，若∠ACB＝∠DCE，求证：CD是⊙O的切线． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∵过A、B、C三点的⊙O交AD于点E， ∴， ∴AB＝CE． （2）证明：作直径CF，连接EF，如图所示： 则∠CEF＝90°，∠F＝∠EAC， ∴∠F+∠ECF＝90°， ∵AD∥BC， ∴∠EAC＝∠ACB， ∴∠F＝∠ACB， ∵∠ACB＝∠DCE， ∴∠F＝∠DCE， ∴∠DCE+∠ECF＝90°，即∠DCF＝90°， ∴CD⊥OC， ∴CD是⊙O的切线． 19．如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，C为劣弧上一点，过点C作⊙O的切线，分别交PA，PB于点D，E． （1）若△PDE的周长为12，求PA的长； （2）若∠DOE＝72°，求∠APB的度数． 【解答】解：（1）∵PA，PB、DE是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，C， ∴PA＝PB，DA＝DC，EC＝EB，∵ ∵△PDE的周长为12， ∴PD+PE+DE＝12， 即PD+DC+EC+PE＝12， ∴PD+DA+EB+PE＝12， 即PA+PB＝12， ∴2PA＝12， 解得PA＝6； （2）连接OA、OB、OC，如图， ∵PA，PB、DE是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，C， ∴OA⊥PA，PB⊥OB，DE⊥OC，OD平分∠ADC，OE平分∠BEC， ∴∠OAP＝∠OBP＝∠OCD＝∠OCE＝90°， ∴∠AOD＝∠COD，∠BOE＝∠COE， ∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝2∠COD+2∠COE＝2∠DOE＝2×72°＝144°， ∵∠PAO+∠PBO+∠APB+∠AOB＝360°， 即90°+90°+∠APB+144°＝360°， ∴∠APB＝36°． 20．如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B，直线PO交⊙O于点D、E，交AB于点C． （1）求证：∠ADE＝∠PAE． （2）若∠ADE＝30°，连接BD，求证：四边形ADBP是菱形． 【解答】（1）证明：如图，连接OA， ∵DE是直径， ∴∠DAE＝90° 即∠DAO+∠OAE＝90° ∵PA为⊙O的切线， ∴∠PAO＝90°， 即∠PAE+∠OAE＝90°． ∴∠DAO＝∠PAE， ∵AO＝DO ∴∠DAO＝∠ADE， ∴∠ADE＝∠PAE． （2）解：连接BD，连接OB，如图， ∵∠ADE＝30°， ∴∠AOE＝60°， ∵PA为⊙O的切线， ∴∠PAO＝90°， ∴∠APO＝90°﹣∠AOE＝30°， ∴AD＝AP ∵PA、PB为⊙O的切线， ∴PA＝PB＝AD，∠PAO＝∠PBO＝90°， ∵PO＝PO ∴Rt△APO≌Rt△BPO（HL）， ∴∠APO＝∠BPO＝30° ∴∠ADE＝∠BPO ∴AD∥BP， ∵PA＝PB＝AD， ∴四边形ADBP是菱形． 21．如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，则（1）⊙O的直径长为 　2　；（2）△AMN周长的最小值是 　4　． 【解答】解：（1）∵⊙O的面积为πr2＝2π， ∴r＝， ∴⊙O的直径长为2， 故答案为：2； （2）如图，连接AC，CM，以MN、MC为边作▱CMNE，连接AE， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AC⊥BD，AM＝CM， ∵四边CMNE为平行四边形， ∴CM＝EN， ∴AM＝EN， ∴AM+AN＝AN+EN， 当A、N、E共线时，AN+EN最小，即AE为AM+AN的最小值， 在▱CMNE中，EC＝MN＝1，EC∥MN， ∴∠ECN＝90°， ∵AC＝2， ∴AE＝＝3， ∴△AMN周长的最小值为3+1＝4， 22．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，∠A＝30°，BC＝4，弦CD⊥AB于F，点E是AB延长线上一点，且AF＝EF，连接DE． （1）填空：∠BCD＝　30　°； （2）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （3）取CB的中点M，连接DM，求图中阴影部分的面积． 【解答】解：（1）∵弦CD⊥AB于F，AB是⊙O的直径， ∴＝， ∴∠BCD＝∠A＝30°， 故答案为：30； （2）DE与⊙O相切， 理由：连接OD， ∵弦CD⊥AB于F，AB是⊙O的直径， ∴CF＝DF，∠AFC＝∠EFD＝90°， ∵AF＝EF， ∴△ACF≌△EDF（SAS）， ∴∠E＝∠A＝30°， ∵∠DOE＝2∠A＝60°， ∴∠ODE＝90°， ∴OD⊥DE， ∵OD是⊙O的半径， ∴DE与⊙O相切； （3）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠A＝30°，BC＝4， ∴AB＝2BC＝8， ∴AC＝＝4， 连接OM， ∵点M是CB的中点， ∴BM＝CM＝， ∵AO＝BO， ∴OM是△ABC的中位线， ∴OM∥AC，OM＝AC＝2， ∴∠BOM＝∠A＝30°， ∵∠BOD＝60°， ∴∠DOM＝90°， ∴图中阴影部分的面积＝△BOM的面积+扇形BOD的面积﹣△DOM的面积＝×+﹣×＝﹣2． 23．如图1，四边形ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于点E，交CD于点F，连接CE．△CFG的外接圆的圆心为点O． （1）求证：CE与△CFG的外接圆相切； （2）如图2，若线段AB上有一点H，满足EC＝EH，此时点F是CD的中点，求线段CO和EH的位置关系，并说明理由． 【解答】（1）证明：设FG的中点为O，连接OC，如图1所示： ∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝CD，AD∥BC，∠BCD＝90°，∠ADB＝∠CDB＝45°， ∴∠DCG＝90°，即△CFG为直角三角形， ∴点O为△CFG外接圆的圆心， ∴OC＝OG， ∴∠G＝∠2， ∵AD∥BC， ∴∠1＝∠G， ∴∠1＝∠2， 在△ADE和△CDE中， ， ∴△ADE≌△CDE（SAS）， ∴∠1＝∠ECD， ∴∠2＝∠ECD， ∵∠2+∠3＝∠DCG＝90°， ∴∠ECD+∠3＝90°， ∴∠ECO＝90°，即EC⊥OC， ∵OC为△CFG外接圆的半径， ∴CE与△CFG的外接圆相切； （2）解：线段CO和EH的位置关系是：CO∥EH．理由如下： 过点E作EM⊥AB，EN⊥BC，如图2所示： ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠ABC＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°， ∵EM⊥AB，EN⊥BC，∠ABC＝90°， ∴四边形BMEN为矩形， ∵∠ABD＝∠CBD＝45°， ∴EM＝EN， ∴矩形BMEN为正方形， ∴∠MEN＝90°， 在Rt△EMH与Rt△ENC中， ， ∴△EMH≌△ENC（HL）， ∴∠MEH＝∠NEC， ∵∠MEN＝90°， ∴∠MEH+∠HEN＝90°， ∴∠NEC+∠HEN＝90°，即∠HEC＝90°， 由（1）可知：∠ECO＝90°， ∴∠HEC＝∠ECO＝90°， ∴CO∥EH． 24．如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠BAC＝60°，延长BA至点P使AP＝AC，作CD平分∠ACB交AB于点E，交⊙O于点D．连接PC，BD． （1）求证：PC为⊙O的切线； （2）求证：BD＝PA； （3）若PC＝6，求AE的长． 【解答】解：（1）连接OC， ∵∠BAC＝60°，且OA＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC＝60°． ∵AP＝AC，且∠P+∠PCA＝∠BAC＝60°， ∴∠P＝∠PCA＝30°． ∴∠PCO＝∠PCA+∠ACO＝90°． ∴PC为切线； （2）连接AD． ∵CD平分∠ACB，且∠ACB＝90°， ∴∠ACD＝∠BCD＝45°． ∴AD＝BD． ∵在Rt△ADB中，AD2+BD2＝AB2． ∴AD＝BD＝AB， 又∵OA＝OC，∠CAO＝60°， ∴△ACO为等边三角形， ∴AC＝CO＝AO． ∴PA＝AC＝AO＝AB． ∴BD＝PA； （3）∵∠PCE＝∠PCA+∠ACD＝75°，∠P＝30°， ∴∠PEC＝75°， ∴PC＝PE＝6． 又在Rt△PCO中，OP＝OA+PA＝2OC，PO2＝PC2+CO2， ∴CO＝6，PO＝12． ∴OE＝OP﹣PE＝12﹣6， ∴AE＝OA﹣OE＝OC﹣OE＝6﹣（12﹣6）＝6﹣6． 25．如图1，BC是⊙O的直径，点A、D在⊙O上，连接BD、CD，DB∥OA，BC＝10，． （1）求证：AO⊥CD； （2）求BD的长； （3）如图2，连接AB，作∠CAB的角平分线交⊙O于F，求AF的长度． 【解答】（1）证明：∵BC是⊙O的直径， ∴∠D＝90°， ∵OA∥BD， ∴∠CEO＝∠D＝90°， ∴AO⊥CD； （2）解：连接AB，作AH⊥BC于H，OM⊥BD于M，如图1，则BM＝DM， ∵BC为⊙O的直径， ∴∠CAB＝90°， ∴AB＝＝4， ∵AH•BC＝AC•AB， ∴AH＝＝4， 在Rt△OAH中，OH＝＝＝3， ∵OA∥BD， ∴∠AOH＝∠EBO， 在△AOH和△OBM中， ， ∴△AOH≌△OBM（ASA）， ∴BM＝OH＝3， ∴BD＝2BM＝6； （3）解：作CG⊥AF于G，连接CF、BF，如图2， ∵AF平分∠CAB， ∴∠CAF＝∠BAF＝45°， ∴CF＝BF， ∴△CBF为等腰直角三角形， ∴CF＝BC＝5， 在Rt△ACG中，CG＝AG＝AC＝， 在Rt△GFC中，GF＝＝2， ∴AF＝AG+GF＝+2＝3． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$