第一章《勾股定理》单元测试2024-2025学年北师大版数学八年级上册

第一章《勾股定理》 章末测试 考试时间:120分钟 满分150分 班级:_ 姓名:_ 考号:_ 一、单选题(本大题共10小题,总分40分) 1.下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是( ) A.1,2,3 B.6,7,8 C.1,, D.,, 2.一根竹子长16米,折断后竹子顶端落在离竹子的底端8米处,折断处离地面的高度是( ) A.10米 B.6米 C.7米 D.9米 3.下列条件中,不能判断 ABC是直角三角形的是( ) A.AB:BC:AC=3:4:5 B.AB:BC:AC=1:2: C.∠A﹣∠B=∠C D.∠A:∠B:∠C=3:4:5 4.如图,已知矩形ABCD沿着直线BD折叠,使点C落在C′处,BC′交AD于E,AD=8,AB=4,则DE的长为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 5.如图,圆柱高8cm,底面半径为2cm,一只壁虎从上底面的点A爬到下底面上与点A相对的点B处吃食,它爬行的最短路程( 取3)大约是( ) A.10cm B.14cm C.20cm D.无法确定 6.在《天工开物》这部古代科学技术著作中,描述了多种工具和机械的制作与应用,其中有一种古代工匠们使用的名为“矩尺”的测量工具、如图,这种工具的形状类似于一个直角三角形,若书中所描述的“矩尺”的一条较短的直角边长为5尺,斜边比较长的直角边多1尺,则“矩尺”的较长的直角边的长为( ) A.12尺 B.13尺 C.24尺 D.26尺 7.荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动,小亮想利用所学的勾股定理知识测算公园里一架秋千立柱AB的高度.如图,他发现秋千静止时,秋千踏板离地面的垂直高度DB为0.4米,将踏板往前推送,使秋千绳索AD到达AE的位置,测得推送的水平距离CE为3米,此时秋千踏板离地面的垂直高度EF为1.4米,则立柱AB的高度为( ) A.3米 B.4米 C.4.4米 D.5.4米 8.如图,在 ABC中,∠C=90 ,点D是BC上一点,点E是AB上一点,连接AD,DE.若D是BC的中点,AC=6,BC=8,且 BED为直角三角形,则线段BE的长度为( ) A.5或 B.或 C.5或 D.5 9.图①叫做一个基本的“勾股树”,也叫做第一代勾股树.让图①中两个小正方形各自长出一个新的勾股树(如图②),叫做第二代勾股树.从第二代勾股树出发,又可以长出第三代勾股树(如图③).这样一生二、二生四、四生八,继续生长下去,则第四代勾股树图形中正方形的个数为( ) A.23 B.15 C.31 D.27 10.如图,已知点E在线段AB上,AE=a,AD=b(b>a),∠A=∠B=90 , ADE≌ BEC.连接DC,设DC=c,下面三个结论: ①;②2b>c;③. 正确结论的序号是( ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 二、填空题(本大题共5小题,总分20分) 11.若一个直角三角形两边的长分别为6和8,则第三边的长为 . 12.如图,∠OAB=∠OBC=∠OCD=90 ,AB=BC=CD=1,OA=2,则OD2= . 13.如图,在Rt ABC中,∠C=90 ,AB=5,BC=3,以点B为圆心,BC的长为半径画弧,交AB于点D,再以点A为圆心,AD为半径画弧,交AC于点E,则CE的长为 . 14.如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为7米,顶端距离地面24米.如果保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面20米.则小巷的宽度为 . 15.如图,一个长方体盒子,其中AB=9,BC=3,M为AB上靠近A的三等分点,在大长方体盒子上有一个小长方体盒子,EC=6,CG=1,CF=4,一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到N点,它爬行的最短路程为 . 三、解答题(本大题共10小题,总分90分) 16.如图,在 ABC中,D是BC上的点,连接AD,AD=12,AB=13,AC=15,BD=5,求BC的长. 17.三个半圆的面积分别为S1=4 ,S2=8 ,S3=12 ,这三个半圆拼成如图所示的图形, ABC一定是直角三角形吗?请说明理由. 18.如图,在 ABC中,D是BC上一点,且AB=10,AD=8,BD=6,AC=17.(1)求∠ADB的度数; (2)求 ABC的面积. 19.为了响应政府提出的“绿色长垣,文明长垣”的号召,某小区决定开始绿化,要在一块四边形ABCD空地上种植草皮.如图,经测量∠B=90 ,AB=6米,BC=8米,CD=24米,AD=26米,若每平方米草皮需要300元,问需要投入多少元? 20.为营造节日气氛,现从楼顶A处拉一条彩带AC到地面点C处,已知彩带AC的长为10m,点C到楼房底部B的距离为6m,AB⊥BC. (1)求楼房的高度AB; (2)为使美观,现计划从楼顶A处再拉一条彩带AD到地面点D处,点D在BC的延长线上,CD=9m,请求出彩带AD的长度. 21.请你观察下列四个等式: ①(22﹣1)2+42=52; ②(32﹣1)2+62=102; ③(42﹣1)2+82=172; ④(52﹣1)2+102=262. (1)请用含n(n为正整数,且n>1)的等式表示上面的规律,并证明; (2)我们知道,若三个整数能构成直角三角形的三条边长,则称这三个数为勾股数(如:3,4,5).现有一直角边为35的直角三角形,它的三边长能否为勾股数?若能,请利用(1)中得出的等式算出这组勾股数;若不能,请说明理由; (3)(1)中得出的表示上面规律的等式,是表达所有勾股数的关系式吗?若是,请利用该关系式再写出另外两组勾股数;若不是,请举一个例子说明. 22.如图1, ABC中,∠C=90 ,∠A、∠B、∠C的对边分别记为a、b、c. 实验一: 小聪和小明用八张这样的三角形纸片拼出了如图2所示的正方形. (1)在图2中,正方形CDEF的面积可表示为 ,正方形IJKL的面积可表示为 (用含a,b的式子表示) (2)请结合图2,用面积法说明(a+b)2,ab,(a﹣b)2三者之间的等量关系. 实验二: 小聪和小明分别用四个这样三角形纸片拼成了如图3所示的图形.他们根据面积法得到了一个关于边a、b、c的等式,整理后发现a2+b2=c2. (3)请你用面积法证明a2+b2=c2. 23.为了增强学生体质,丰富校园文化生活,推行中小学生每天锻炼一小时的“阳光体育运动”,某学校决定在校园内某一区域内新建一块塑胶场地,供同学们课间活动使用,如图,已知AB=9m,BC=12m,CD=17m,AD=8m,施工人员在只有卷尺的情况下,通过测量某两点之间的距离,就确定了∠ABC=90 . (1)请写出施工人员测量的是哪两点之间的距离,以及确定∠ABC=90 的依据; (2)若平均每平方米的材料成本加施工费为110元,请计算该学校建成这块塑胶场地需花费多少元? 24.定义:如图,点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB,若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形,则称点M、N是线段AB的勾股分割点. (1)已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB,若AM=1.5,MN=2.5,BN=2,则点M、N是线段AB的勾股分割点吗?请说明理由. (2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点,且AM为直角边,若AB=24,AM=6,求BN的长. 25.我区的自然风光无限,最具特色的是青龙大峡谷(A)和文佛奇峰山(B),它们位于笔直的高速公路X同侧,AB=10km,A,B到直线X的距离分别为AE=10.5km和BD=4.5km. (1)方案一:旅游开发公司计划在高速公路X旁修建一服务区C,并从服务区C向A、B两景区修建笔直公路运送游客.公司选择较节省的方案(如图1:点B关于直线X的对称点是B1,连接AB1交直线X于点C),C到A、B的距离之和S1=AC+BC,求S1. (2)方案二:在A,B两景区之间有一条与高速公路X垂直的省级公路Y,且A到省级公路Y的距离AH=7km(如图2).旅游开发公司打算在省级公路Y旁修建一服务区P,并从服务区P向A、B两景区修建笔直公路运送游客.由于地形条件的限制,P只能选择图2的位置,通过测量得PA=PB,P到A、B的距离之和S2=AP+BP.请你通过计算比较S1,S2的大小.(参考数据:) 答案 一、单选题(本大题共10小题,总分40分) 1.CBDCA. 6.ADACD. 二、填空题(本大题共5小题,总分20分) 11.10或2. 12.7. 13.2. 14.22. 15.10. 三、解答题(本大题共10小题,总分90分) 16.解:∵AD=12,AB=13,BD=5, ∴AD2+BD2=144+25=169=AB2, ∴AD2+BD2=AB2, ∴ ABD是直角三角形,∠ADB=90 , ∴∠ADC=180 ﹣90 =90 , ∴CD9, ∴BC=CD+BD=5+9=14. 17.解: ABC一定是直角三角形,理由如下: ∵S1 ()2=4 ,S2 ()2=8 ,S3 ()2=12 , ∴AC2=32,BC2=64,AB2=96, ∴AC2+BC2=AB2, ∴ ABC一定是直角三角形. 18.解:(1)∵BD2+AD2=62+82=102=AB2, ∴ ABD是直角三角形,∠ADB=90 ; (2)在Rt ACD中, ∵∠ADC=90 , ∴CD15, ∴BC=BD+CD=6+15=21, ∴ ABC的面积BC•AD21 8=84. 19.解:连接AC, ∵∠B=90 , ∴在Rt ABC中,由勾股定理得AC10(米), 在 ACD中,∵AC2+CD2=102+242=262=AD2, ∴ ACD是直角三角形,且∠ACD=90 , ∴S四边形ABCD=S ABC+S ACD AB•BCAC•CD 6 810 24 =24+120 =144(平方米), 所以需费用300 144=43200(元). ∴需要投入43200元. 20.解:(1)∵AB⊥BC,AC=10m,BC=6m, ∴(m), ∴楼房的高度AB为8m; (2)由题可得BD=BC+CD=15(m), ∴(m), ∴彩带AD的长度为17m. 21.解:(1)由题中等式的规律可得:(n2﹣1)2+(2n)2=(n2+1)2, 证明:等式左边=n4﹣2n2+1+4n2 =n4+2n2+1 =(n2+1)2=等式右边; (2)它的三边长能为勾股数,理由如下: ∵35=36﹣1=62﹣1, 把 =6代入上式得:(62﹣1)2+(2 6)2=(62+1)2, 即352+122=372, ∴它的三边长能为勾股数,为35,12,37; (3)不表示所有勾股数, 如9,12,15,92+122=152, 9,12,15是勾股数,但并不满足上面规律的等式, 故上面规律的等式不能表达所有勾股数. 22.解:(1)∵正方形CDEF的边长为a+b, ∴正方形CDEF的面积为(a+b)2. ∵正方形IJKL的边长为a﹣b, ∴正方形IJKL的面积为(a﹣b)2. 故答案为:(a+b)2,(a﹣b)2; (2)由图2可以看出,正方形CDEF的面积﹣正方形IJKL的面积=4个矩形的面积. ∴(a+b)2﹣(a﹣b)2=4ab; (3)∵S五边形BCFGI=S正方形BCED+S正方形HEFG+S BID+S IHG=S正方形ABIG+S ABC+S AGF, ∴a2+b2abab=c2abab. ∴a2+b2=c2. 23.解:(1)施工人员测量的是AC的距离.依据:若AC=15m,则∠ABC=90 . 在 ABC中,AB2+BC2=92+122=225,AC2=152=225, ∴AB2+BC2=AC2, ∴ ABC为直角三角形,且∠ABC=90 . (2)在 ADC中,AD2+AC2=82+152=289,DC2=172=289, ∴ ADC为直角三角形,且∠DAC=90 . ∴, ∴114 110=12540(元). 答:该学校建成这块塑胶场地需花费12540元. 24.解:(1)是. 理由:∵AM2+BN2=1.52+22=6.25,MN2=2.52=6.25, ∴AM2+NB2=MN2, ∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形, ∴点M、N是线段AB的勾股分割点. (2)设BN=x,则MN=24﹣AM﹣BN=18﹣x, ①当MN为最长线段时,依题意MN2=AM2+NB2, 即(18﹣x)2=x2+36, 解得x=8; ②当BN为最长线段时,依题意BN2=AM2+MN2. 即x2=36+(18﹣x)2, 解得x=10, 综上所述,BN=8或10. 25.解:由笔直的高速公路X同侧,AB=10km,A,B到直线X的距离分别为AE=10.5km和BD=4.5km.知,BF=DF﹣BD=10.5﹣4.5=6, ∴AF8, ∵点B关于直线X的对称点是B1, ∴BB1⊥CD,∴BD=DB1, ∴, ∴, ∴EC=5.6, 则CD=BD﹣EC=8﹣5.6=2.4, AC11.9, BC5.1, S1=AC+BC=11.9+5.1=17km, 答:(1)S1=17km; (2)过B点作BN⊥AE,交公路Y于M,交AE于N, ∵Y⊥X,∴AN=HM=10.5﹣4.5=6, ∵ED=8(已求出),AH=7(已知), ∴BM=BN﹣NM=ED﹣AH=8﹣7=1, 设PH=x,则PM=HM+PH=6+x, 在Rt AHP中,AP2=AH2+PH2, 在Rt PBM中,BP2=PM2+MB2, 又∵AP=BP, ∴72+x2=(x+6)2+12, 解得x=1,则AP5, 14.14. ∵1017, ∴S1>S2. 。 学科网(北京)股份有限公司 $$