2.4 线段、角的轴对称性 课件 2024—2025学年苏科版数学八年级上册

第2章 轴对称图形 数学 (SK) · 八年级上册 2 . 4 线段、角的轴对称性 回顾旧知 线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ 什么叫线段的垂直平分线？ 2 . 4 线段、角的轴对称性 知识点 1 线段的垂直平分线的性质 如图 2－17，直线 l 是线段AB 的垂直平分线，l 交 AB 于点 O. 把 OA 沿直线 l 翻折，因为∠1＝∠2＝90°，OA＝OB，所以 OA与OB重合. 线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. 2 . 4 线段、角的轴对称性 思 考 如图2－18，线段 AB 的垂直平分线 l 交 AB 于点O，点P在上 PA 与 PB 相等吗? 我们可以运用图形运动的方法，利用线段的轴对称性，证明 PA＝PB . 2 . 4 线段、角的轴对称性 把△PAO沿直线 l 翻折(如图)，因为 ∠POA＝ ∠POB，所以OA 落在射线OB 上，因为 OA ＝OB，所以点A与点B 重合.依据基本事实“两点确定一条直线”，可知 PA 与PB 重合，所以PA＝PB. 2 . 4 线段、角的轴对称性 于是，我们得到如下定理： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 2 . 4 线段、角的轴对称性 如图， ∵点A 在线段BC 的垂直平分线上， ∴ AB＝AC. 几何语言 2 . 4 线段、角的轴对称性 线段有两条对称轴，线段的垂直平分线是它的对称轴，线段自身所在的直线也是它的对称轴. 易错提醒 2 . 4 线段、角的轴对称性 特别解读 1. 线段的垂直平分线的性质中的“距离”是“该点与这条线段两个端点的距离”. 2. 用线段的垂直平分线的性质可直接证明线段相等，不必再用三角形全等来证明，因此它为证明线段相等提供了新方法. 2 . 4 线段、角的轴对称性 线段的垂直平分线外的点到这条线段两端的距离相等吗?为什么? 2 . 4 线段、角的轴对称性 讨 论 如图 2－20，点P在线段AB 的垂直平分线 l 外，PA交 l 于点Q，连接 QB. 因为点Q在AB的垂直平分线上，所以 QA＝QB，于是 PA＝PQ＋QA＝PQ＋QB ＞ PB. 2 . 4 线段、角的轴对称性 练1 如图，在△ABC 中，AB 的垂直平分线分别交 AB、BC 于点D、E，连接AE. 若 AE＝4，EC＝2，则BC 的长是 (　　) A. 2　　　　B. 4　　　　 C. 6　　　　D. 8 C 2 . 4 线段、角的轴对称性 方法点拨 利用线段垂直平分线的性质进行线段间的转化，是一种常用的解题方法. 本题中解题的关键是利用线段垂直平分线的性质将BC 的长转化为线段 AE＋EC 的长，即可求解. 2 . 4 线段、角的轴对称性 解：∵直线DE 是AB 的垂直平分线， ∴ BE＝AE. ∴ BC＝BE＋EC ＝AE＋EC ＝4＋2 ＝6. 2 . 4 线段、角的轴对称性 练 习 1. 利用网格画线段 PQ 的垂直平分线 ： l 解：如图所示. 2 . 4 线段、角的轴对称性 2. 如图，要在公路旁设一个公共汽车站，车站应设在什 么地方，才能使 A、B 两村到车站的距离相等? 2 . 4 线段、角的轴对称性 解：如图所示，连接 AB，作线段 AB 的垂直平分线l，直线l交公路于点 C，则点C就是汽车站的位置，此时 A，B 两村到车站的距离相等. 2 . 4 线段、角的轴对称性 知识点 2 线段的垂直平分线的判定 思 考 如果一个点在一条线段的垂直平分线上，那么这个点到这条线段两端的距离相等.反过来，如果一个点到一条线段两端的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上吗? 2 . 4 线段、角的轴对称性 若点Q在线段 AB 上，且 QA ＝QB，则Q是线段 AB 的中点，点Q在线段AB的垂直平分线上(如图 2－21(1)). 2 . 4 线段、角的轴对称性 若点Q在线段 AB 外，且 QA＝QB，则作 QM⊥AB，垂足为 M (如图 2－21(2)). 由∠QMA＝∠QMB＝90°，QA＝QB，QM＝QM，可证 Rt△QAM ≌ Rt△QBM (HL). 由此可知AM＝BM，即点Q在线 段AB的垂直平分线上. 2 . 4 线段、角的轴对称性 于是，我们得到如下定理： 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合. 2 . 4 线段、角的轴对称性 几何语言 如图， ∵ AB＝AC， ∴点A 在线段BC 的垂直平分线上. 2 . 4 线段、角的轴对称性 按下列作法，用直尺和圆规作线段 AB 的垂直平分线： 操 作 作 法 图 形 1.分别以点 A、B 为圆心，大于 AB 的长 为半径画弧，两弧相交于点 C、D. 2.过 C、D 两点作直线. 直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线. 2 . 4 线段、角的轴对称性 交 流 在△ABC 中，用直尺和圆规分别作AB、AC的垂直平分线l1、l2，l1、l2 相交于点 O，再作 BC 的垂直平分线， 你有什么发现? BC 的垂直平分线过点O. 2 . 4 线段、角的轴对称性 特别提醒 证明一个点在一条线段的垂直平分线上，还可以利用线段垂直平分线的定义进行推理，思路有两种： 一是作垂直，证平分； 二是取中点，证垂直. 2 . 4 线段、角的轴对称性 例1 已知：如图2－22，在三△ABC中，AB、AC 的垂直 平分线 l1、l2 相交于点 O. 求证：点 O 在 BC 的垂直平分线上. 证明：连接 OA、OB、OC. ∵点O在AB 的垂直平分线l1 上， ∴ OA＝OB (线段垂直平分线上的点 到线段两端的距离相等). 2 . 4 线段、角的轴对称性 同理 OA＝OC. ∴OB＝OC. ∴点 O 在 BC 的垂直平分线上 (到线段两端距离相等的点 在线段的垂直平分线上). 2 . 4 线段、角的轴对称性 练2 如图，AD 为∠BAC 的平分线，交BC 于点D，AE＝AF. 请判断线段AD 所在的直线是否为线段EF 的垂直平分线，若是，请给予证明；若不是，请说明理由. 2 . 4 线段、角的轴对称性 教你一招 判断线段垂直平分线的两种方法： 一是定义法，二是判定定理. 一般习惯用定义法进行判断，而利用判定定理判断更简单. 用判定定理判定一条直线是线段的垂直平分线时，一定要证明直线上有两个不同的点到线段两个端点的距离相等. 2 . 4 线段、角的轴对称性 解：线段AD 所在的直线是线段EF 的垂直平分线. 证明如下：连接DE、DF. ∵ AD 为∠BAC 的平分线， ∴∠EAD＝∠FAD. 在△AED 和△ AFD 中， AE＝AF， ∠EAD＝∠FAD， AD＝AD， 2 . 4 线段、角的轴对称性 ∴△ AED ≌△ AFD. ∴ DE＝DF. ∴点D 在线段EF 的垂直平分线上. ∵ AE＝AF， ∴点A 在线段EF 的垂直平分线上. ∴线段AD 所在的直线是线段EF 的垂直平分线. 切忌只证明一个点在直线上，就说过该点的直线是线段的垂直平分线. 2 . 4 线段、角的轴对称性 练 习 1. 利用网格在图中找一点 O，使OA＝OB＝OC. O 2 . 4 线段、角的轴对称性 2. 直线l 外有点 A、B，若要在 l 上找一点，使这点与点 A、B 的距离相等，这样的点一定能找到吗?请你画图 表示各种可能的情况. 解：不一定能找到，各种可能情况如图所示. 2 . 4 线段、角的轴对称性 2 . 4 线段、角的轴对称性 知识点 3 角平分线的性质 如图2－23，OC是∠AOB 的平分线，如果把∠1沿 OC 翻折，因为 ∠1＝∠2，所以射线 OA 与射线OB 重合. 角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴. 2 . 4 线段、角的轴对称性 操 作 在∠AOB 的平分线上任意取一点 P，分别画点 P到OA 和OB 的垂线段PC和PD(如图2－24)，PC与PD 相等吗? 我们可以运用图形运动的方法，利用角的轴对称性，证明 PC＝PD . 2 . 4 线段、角的轴对称性 把图2－24 中的△POC 沿OP 翻折(如图 2－25)，因为∠AOP＝∠BOP，所以OA与OB 重合，因为 PC⊥OA，PD⊥OB，依据基本事实“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，可知 PC 与 PD 重合，所以 PC＝PD. 2 . 4 线段、角的轴对称性 于是，我们得到如下定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等. 2 . 4 线段、角的轴对称性 讨 论 如果一个点在一个角的平分线上，那么这个点到这个角的两边距离相等； 反过来，如果一个点到一个角的两边的距离相等，那么这个点在这个角的平分线上吗? 2 . 4 线段、角的轴对称性 如图 2－26，点Q在∠AOB 内且QC⊥OA，QD⊥OB，垂足分别为 C、D，QC＝QD，作射线 OQ. 因为∠QCO＝∠QDO＝90°，QC ＝QD，OQ＝OQ，所以 Rt△QCO ≌ Rt△QDO. 于是∠AOQ＝∠BOQ，即 点Q在∠AOB 的平分线上. 2 . 4 线段、角的轴对称性 于是，我们得到如下定理： 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 2 . 4 线段、角的轴对称性 几何语言 如图， ∵ OP 平分∠ AOB， PD⊥OA 于点D， PE⊥OB 于点E， ∴ PD＝PE. 2 . 4 线段、角的轴对称性 线段垂直平分线的性质与角平分线的性质的比较 相同点：两者都可以直接得到两条线段相等； 不同点：前者指的是点到点的距离，后者指的是点 到线的距离. 2 . 4 线段、角的轴对称性 1. 角平分线的性质是由两个条件(角平分线、垂线)得到一个结论(线段相等). 2. 利用角平分线的性质证明线段相等时，证明的线段是“垂直于角两边的线段”而不是“垂直于角平分线的线段”. 特别提醒 2 . 4 线段、角的轴对称性 练3 如图，在△ABC 中，∠C＝90°，BD 平分∠ABC 交 AC 于点D. 若CD＝6，则点D 到 AB 的距离为___________． 6 2 . 4 线段、角的轴对称性 运用角平分线的性质解决问题时， 条件中必须有角平分线的性质的模型(即角平分线＋两垂直)， 若缺少某个部分， 则通过作辅助线补充完整，才能运用此性质解决问题. 方法点拨 2 . 4 线段、角的轴对称性 解：如图，过点D 作DE ⊥ AB，垂足为E． ∵∠C＝90°， ∴ DC ⊥ BC. 又∵ BD 平分∠ ABC， ∴ DE＝CD＝6， 即点D 到AB 的距离为6． 2 . 4 线段、角的轴对称性 练 习 利用网格画图： (1) 在 BC 上找一点P，使点 P 到 AB 和 AC 的距离相等； (2) 在射线 AP 上找一点Q，使 QB＝QC. 2 . 4 线段、角的轴对称性 解：如图所示(1)画出∠BAC 的角平分线交线段 BC 于点P，即为所求. (2) 画线段 BC的垂直平分线交射线AP于点Q即为所求. 2 . 4 线段、角的轴对称性 知识点 4 角平分线的判定 交 流 在△ABC 中，用直尺和圆规分别作角平分线 AD、BE，AD、BE 相交于点P，再作∠C的平分线，你有什么发现? ∠C的平分线过点P. 2 . 4 线段、角的轴对称性 判 定 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 2 . 4 线段、角的轴对称性 几何语言 如图， ∵ P 为∠AOB 内一点，PD ⊥ OA， PE⊥OB，垂足分别为D、E， 且PD＝PE， ∴点P 在∠AOB 的平分线OC 上. 2 . 4 线段、角的轴对称性 角平分线的判定定理与性质定理的关系 如图，都与距离有关，条件 PD⊥OA，PE⊥OB 都具备； (2) 点在角的平分线上 (角的 内部的)点到角两边的距离相等. 2 . 4 线段、角的轴对称性 三角形三个内角的平分线交于一点且这点到三边的距离相等. 拓 展 2 . 4 线段、角的轴对称性 特别提醒 1. 使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部. 2. 角平分线的判定是由两个条件(垂线，线段相等)得到一个结论(角平分线). 3. 角平分线的判定定理是证明两角相等的重要依据，它比利用三角形全等证两角相等更方便快捷. 2 . 4 线段、角的轴对称性 例2 已知：如图，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P . 求证：点P在∠C的平分线上. 证明： 过点 P作PF⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC， 垂足分别为 F、M、N. 2 . 4 线段、角的轴对称性 ∵AD平分∠BAC，点P在AD上. ∴ PF＝PN (角平分线上的点到角两边的距离相等). 同理 PF＝PM. ∴ PM＝PN. ∴点P在∠C的平分线上 (角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上) 2 . 4 线段、角的轴对称性 例3 已知：如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为 E、F. 求证：AD垂直平分EF. 2 . 4 线段、角的轴对称性 思考与表述 要证 AD 垂直平分 EF， 只要证 DE＝DF，AE＝AF. 已知∠1＝∠2， DE⊥AB，DF⊥AC， 只要证 ∠3＝∠4. 怎么想 怎么写 2 . 4 线段、角的轴对称性 证明：∵ DE⊥AB，DF⊥AC，∠1＝∠2， ∴ ∠3＝∠4， ∴ DE＝DF，AE＝AF (角平分线上的点到角两边的距离相等). ∴ 点 D、A在 EF 的垂直平分线上 (到线段两端距离相等的点在线 段的垂直平分线上). ∴ AD 垂直平分 EF. 2 . 4 线段、角的轴对称性 如图，BE＝CF，BF ⊥ AC 于点F，CE ⊥ AB 于点E，BF 和CE 交于点D，连接AD. 求证：AD平分∠ BAC. 练4 2 . 4 线段、角的轴对称性 证明角平分线的方法: 1. 从数量上证明被要证的线分成的两个角相等. 2. 从形上证明角的内部的点到角两边的距离相等，即只需从要证的线上的某一点向角的两边作垂线段，再证明垂线段相等即可．这样把证“某线是角的平分线”的问题转化为证“垂线段相等”的问题，体现了转化思想. 方法点拨 2 . 4 线段、角的轴对称性 证明：∵ BF⊥AC，CE⊥AB， ∴∠DEB＝∠DFC＝90° . 在△BDE 和△CDF 中，∠BDE＝∠CDF， ∠DEB＝∠DFC，BE＝CF， ∴△BDE ≌△CDF. ∴ DE＝DF. 又∵ DF⊥AC，DE⊥AB， ∴点D在∠BAC 的平分线上，即AD平分∠BAC. 2 . 4 线段、角的轴对称性 练 习 在一张纸上画△ABC 及其两个外角(如图). (1) 用折纸的方法分别折出∠BAD 和∠ABE 的平分线，设两条折痕的 交点为 O； O 2 . 4 线段、角的轴对称性 (2) 用直尺和圆规作∠ACB 的平分线CF. 点O在射线 CF 上吗?证明你的结论. 点O在射线CF上. 证明如下：分别过点O作OM⊥CD， OP⊥AB，ON⊥CE，垂足分别为 M，P，N. ∵ AO是∠BAD的平分线，OM⊥CD，OP⊥AB， 2 . 4 线段、角的轴对称性 ∴ OM＝OP (角平分线上的点到角两边的距离相等) 同理，可得ON＝OP， ∴OM＝ON， ∴CO是∠DCE 的平分线 (角的内部到角两边距离相等 的点在角的平分线上). 又∵CF 是∠DCE 的平分线， ∴点O，C，F 共线，即点O在射线CF上. 2 . 4 线段、角的轴对称性 本课小结 全等图形 线段的垂直平分线 线段的轴对称性 角的轴对称性 角平分线 判定 性质 2 . 4 线段、角的轴对称性 2 . 4 练习 1. 如图，在△ABC中，BC＝7，AB 的垂直平分线分别交 AB、BC于点D、E，AC 的垂直平分线分别交 AC、BC 于点 F、G. 求△AEG 的周长. 2 . 4 习题 2 . 4 习题 2. 如图，AB的垂直平分线分别交AB、AC 于点 D、E， AC＝9，AE∶EC ＝ 2∶1. 求点B到点E的距离， 2 . 4 习题 2 . 4 习题 3. 已知：如图，AB＝AE，BC＝ED，AF垂直平分CD. 求证：∠B＝∠E. 2 . 4 习题 2 . 4 习题 4. (1) 利用网格画四边形 ABCD 任意两边的垂直平分线， 设它们相交于点 O； 如图所示. (答案不唯一，画其中2条即可) O 2 . 4 习题 (2) 观察点O是否在另两边的垂直平分线上； (3) 把四边形 ABCD 的顶点D向左移动 8 格，还能观察 到与上面相同的结论吗? (2) 点O在另两边的垂直平分线上. (3) 不能 2 . 4 习题 5. 已知：如图，AB＝AC，DB＝DC，点E在AD 上. 求证：EB＝EC. 证明：连接 BC. ∵AB＝AC，DB＝DC(已知)， ∴AD是线段 BC 的垂直平分线 (到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上). 2 . 4 习题 又∵点E在AD上(已知)， ∴EB＝EC (线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等). 2 . 4 习题 6. 已知：如图，AB＝AC，点D、E 分别在AB、AC 上， 且AD＝AE，BE、CD 相交于点O. 求证：点O在线段 BC 的垂直平分线上. 证明：在△ABE 和△ACD 中， AB＝AC(已知)， ∵ ∠A＝∠A (公共角)， AE＝AD(已知)， 2 . 4 习题 ∴△ABE≌△ACD(SAS)， ∴∠ABE＝∠ACD. ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴AB－AD＝AC－AE， ∴BD＝CE. 在△BOD 和△COE 中， 2 . 4 习题 ∠DOB＝∠EOC (对顶角相等)， ∵ ∠DBO＝∠ECO (已证)， BD＝CE (已证)， ∴ △BOD ≌ △COE (AAS). ∴ BO＝CO. ∴点O在线段 BC 的垂直平分线上 (到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上). 2 . 4 习题 7. (1) 利用网格画四边形ABCD两个内角的平分线，设 它们相交于点O； 解：如图所示. (答案不唯一，画其中 2条即可) O 2 . 4 习题 (2) 观察点O是否在另两个内角的平分线上； (3) 把四边形 ABCD的顶点D向右平移4格，再向下平移 2 格还能观察到与上面相同的结论吗? (2)点O在另两个内角的平分线上 (3)不能 2 . 4 习题 8. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E、F，且 DE＝DF . 求证：D是BC的中点. 证明：连接AD. 2 . 4 习题 ∵DE⊥AB，DF⊥AC，且 DE＝DF， ∴AD平分∠BAC(角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上) ∴∠BAD＝∠CAD. 又∵AB＝AC，AD＝AD. ∴△ABD≌△ACD (SAS). ∴BD＝CD， ∴D是BC的中点. 2 . 4 习题 9. 如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E. △ABC的面积为70，AB＝16，BC＝12. 求 DE 的长. D 解：过点 D 作 DF⊥BC交BC 于点F. ∵BD 平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC， ∴ DE＝DF (角平分线上的点到角两边的距离相等). 2 . 4 习题 D S△ABC＝S△ABD ＋S△BCD ＝AB • DE＋ BC • DF ＝ ×16 • DE＋ ×12 • DE ＝70， ∴8DE＋6DE ＝ 70， ∴ DE＝5. 2 . 4 习题 10. 已知：如图，∠BAC 的平分线与 BC的垂直平分线相 交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F. 求证：BE＝CF. 证明：连接 DB，DC. ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∠EAD＝∠FAD， 2 . 4 习题 ∴ DE＝DF(角平分线上的点到角两边的距离相等). ∵点D在线段BC的垂直平分线上， ∴DB＝DC. 在Rt△DBE和Rt△DCF中， ∵ DB＝DC， DE＝DF， ∴Rt△DBE≌Rt△DCF(HL). ∴BE＝CF. 2 . 4 习题 11. 在七年级下册“证明”一章的学习中，我们曾做过 如下的实验： 画∠AOB＝90°，并画∠AOB 的平分线OC.. (1) 把三角尺的直角顶点落在 OC 的任意一点P上，并使三角尺的两条直角边分别与 OA、OB 垂直，垂足分别为 E、F(图①). 度量 PE、PF 的长度，这两条线段相等吗? 相等 2 . 4 习题 (2) 把三角尺绕点 P 旋转，三角尺的两条直角边分别交 OA、OB于点 E、F (图②)，PE 与PF 相等吗? 通过实验可以得到 PE＝PF 的结论，现在请你证明这个结论. 2 . 4 习题 证明如下： 如图，过点P分别作 PE⊥OA，PF⊥OB，交OA，OB 于点E′，F′. ∵ OC是∠AOB 的平分线， 且 PE′⊥OA，PF′⊥OB， ∴ PE′＝PF′ (角平分线上的点到角两边的距离相等). 2 . 4 习题 ∵∠AOB＝90°，PE′⊥OA， PF′⊥OB， ∴∠EPF′＝90°. 又∵∠EPF＝90°， ∴∠E′PE＋∠EPF′＝90°， ∠EPF′＋∠FPF′＝90°， ∴ ∠E′PE＝∠FPF′. 2 . 4 习题 在△PEE′和△PFF′中， ∠EPE＝∠FPF′(已证)， ∵ PE′＝PF′(已证)， ∠EE′P＝∠FF′P＝90°(垂直定义)， ∴△PEE′≌△PFF′(ASA). ∴ PE＝PF. 2 . 4 习题 读一读 倒 过 来 想 宋朝有个历史学家叫司马光，他不仅因编著《资治通鉴》而流芳百世，而且他在小时候砸缸救人的故事至今仍广为流传. 2 . 4 线段、角的轴对称性 100 司马光有一次跟一群小伙伴玩耍，其中一个小孩不小心跌入储满水的大缸里，由于缸太高，同伴们无法救出这个小孩，大家都慌了神. 这时司马光 把缸砸破，这样人便得救了. 在“让人离开水”有困难时，司马 光设法“让水离开人”,这就是司马光 的聪明所在. 2 . 4 线段、角的轴对称性 倒过来想，就是逆向思考，这是数学中常用的一种思维方式. 比如，本章中对“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”进行逆向思考，经过证明就得到了它的逆定理——到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；又如，对整式乘法法则和公式进行逆向思考，就得到了多项式因式分解的方法； 2 . 4 线段、角的轴对称性 再如，探求证明的途径时，如果不能顺利地从条件出发推出结论，不妨逆向思考，即从结论出发，寻找使结论成立的条件，往往能找到证明的途径。 学会“倒过来想”，有助于不断提高你提出问题和解决问题的能力. 2 . 4 线段、角的轴对称性 本课结束 This lesson is over THANKS! $$