小升初典型奥数：相遇问题（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学人教版

相遇问题 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了奥数思维拓展的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为小升初思维拓展、分班考、择校考而设计，针对小升初的高频知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习高频易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用该知识点解决问题！ 2024年8月 目录导航 资料说明 第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 知识精讲 知识清单+方法技巧 【知识点归纳】 两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动，随着时间的发展，必然面对面地相遇，这类问题叫做相遇问题．它的特点是两个运动物体共同走完整个路程．　　小学数学教材中的行程问题，一般是指相遇问题． 相遇问题根据数量关系可分成三种类型：求路程，求相遇时间，求速度． 它们的基本关系式如下： 总路程＝（甲速+乙速）×相遇时间 相遇时间＝总路程÷（甲速+乙速） 另一个速度＝甲乙速度和﹣已知的一个速度． 第二部分 典型例题 例题1：一辆客车和一辆货车从相距260千米的A、B两地同时出发，相向而行，客车每时行驶48千米，货车每时行驶56千米。两车出发后几时相遇？（根据题目中的信息写出等量关系，再依据等量关系列方程解答。） 【答案】等量关系见详解；2.5时 【分析】此题属于相遇问题，（客车的速度＋货车的速度）×相遇时间＝两地之间的距离，设两车出发后x时相遇，列出方程解答即可。 【详解】解：设两车出发后x时相遇。 （客车的速度＋货车的速度）×相遇时间＝两地之间的距离 （48＋56）×x＝260 104x＝260 104x÷104＝260÷104 x＝2.5 答：两车出发后2.5时相遇。 【点睛】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出等量关系，设未知数为x，由此列方程解决问题。 例题2：甲车每小时行32米，乙车每小时行34千米，两车同时从两地相对开出，经过3小时相遇。两地相距多少千米？ 【答案】198千米 【分析】甲车往乙地开，乙车往甲地开，两车是相对出发的，每走一个小时，两车的距离就更接近了。每个小时，两车共走了66千米，3小时相遇，那用速度和×时间＝路程，就可以求出两地相距多少千米。 【详解】（千米） 答：两地相距198千米。 【点睛】本题考查学生对于相遇问题的掌握。解决相遇问题时，可以用速度和×时间＝路程来计算。 例题3：两列火车从甲乙两地同时相对开出，4小时后在距中点48千米处相遇。已知慢车是快车速度的，快车和慢车的速度各是多少？甲乙两地相距多少千米？ 【答案】快车：84千米；慢车：60千米；576千米 【详解】快车速度： 慢车速度：（千米/时） 乙两地相距：（84＋60）×4＝576（千米） 答：快车速度84千米/时，慢车速度60千米/时，甲、乙两地相距576千米。 【点睛】本题考查行程问题中的相遇问题。求快车速度时用快车每小时比慢车多行驶的距离除以快车速度比慢车速度多的分率即可，再根据题意求出慢车速度与甲、乙两地间的距离。 例题4：两地相距480千米，甲、乙两辆汽车同时从两地相向开出，4小时后相遇，已知甲、乙两车速度的比是5∶3，甲车每小时行驶多少千米？ 【答案】75千米 【分析】求甲车每小时行驶多少千米，我们可以先根据路程÷时间＝两车的速度和，然后按比例分配，就可以求出甲车的速度。 【详解】480÷4÷（5＋3）×5 ＝480÷4÷8×5 ＝15×5 ＝75（千米） 答：甲车每小时行驶75千米。 【点睛】此题先求出速度和，再根据按比例分配来解决。 第三部分 高频真题 1．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，甲行完全程需6小时，比乙的速度快50%，相遇时，甲比乙多行180千米，求乙车速度？ 2．一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距450km的两地相向而行，公共汽车每时行40km，轿车每时行50km，几时后两车相距90km？（计算两车还未相遇时需要的时间） 3．甲、乙两车同时从相距520km的A、B两地出发，相向而行，4小时后相遇。甲车每小时比乙车每小时快10km，甲车、乙车每小时各行多少千米？ 4．甲、乙两地相距360千米，客车与货车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，3小时后相遇。客车与货车的速度比是3∶2，货车的速度是多少？ 5．甲、乙两地相距570km，小客车和卡车同时从两地相向而行，3小时后两车相遇，小客车的速度是卡车速度的，两车的速度分别是多少？ 6．某河有相距45千米的上下两港，每天定时有甲乙两船速相同的客轮分别从两港同时出发相向而行，这天甲船从上港出发掉下一物，此物浮于水面顺水漂下，4分钟后与甲船相距1千米，预计乙船出发后几小时可与此物相遇？ 7．从A市到B市，共有三段不同的公路，第三段公路的长度是第一段公路长度的2倍，甲乙两辆汽车分别从AB两市同时出发，甲汽车在第一段公路上以每小时40千米的速度行驶，在第二段公路上的速度提高50%，乙汽车在第三段公路上以每小时50千米的速度行驶，在第二段公路上把速度降低了20%，两车出发3小时24分后，甲汽车刚好行完第二段公路的时与乙汽车相遇，那么AB两市中间的公路长多少千米？ 8．绕湖一周是24千米，甲、乙二人从湖边某一地点同时出发反向而行。 （1）甲以3千米/小时的速度走，乙以5千米/小时的速度走，则两人从出发到第一次相遇用多长时间？ （2）甲以4千米/小时的速度走，每走4千米后休息10分钟；乙以6千米/小时的速度走，每走5千米后休息5分钟，则两人从出发到第一次相遇用多长时间？ 9．A、B两地相距2100千米，甲、乙两列火车从A、B两地同时相向而行，甲车的速度是65千米／小时，乙列火车的速度是48千米／小时，乙列火车出发时，从车厢里飞出一只鸽子，以75千米／小时的速度向甲车飞去，在鸽子与甲车相遇时，乙车距离A地还有多远？ 10．汽车和公交车的速度比为5∶3，两车同时从A地同向出发前往B地，到达B地后掉头返回A地两人如此往返。A、B两地相距160千米，则两车第一次相遇时，相遇地点距离B地多远？ 11．淘气家和奇思家相距1350米。一天，两人约定在两家之间的路上会合，淘气每分走72米，奇思每分走78米，两人同时从家出发，多长时间后能相遇？ 12．如图，在一条马路边有A、B、C、D四个车站，甲、乙两辆相同的汽车分别从A、D两地出发相向而行，在BC的中点相遇。已知它们在AB、BC、CD上的速度分别为30千米/时、40千米/时、50千米/时。如果甲晚出发1小时，则它们将在B点相遇；如果乙在每一段上的速度都减半，而甲的速度不变，它们的相遇地点离B点65千米，请求出A，D之间的距离。 13．甲地到乙地的距离是，一辆货车从甲地开往乙地，速度是50千米/时，同时另一辆小轿车车从乙地开往甲地，经过4个小时（未相遇），两车相距40千米，那么小轿车每小时行多少千米？ 14．小明的家住学校的南边，小芳的家在学校的北边，两家之间的路程是1410米，每天上学时，如果小明比小芳提前3分钟出发，两人可以同时到校。已知小明的速度是70米/分钟，小芳的速度是80米/分钟，求小明家距离学校有多远？ 15．一列长110米的火车以每小时30千米的速度向北缓缓驶去，铁路旁一条小路上，一位工人也正向北步行．14时10分时火车追上这位工人，15秒后离开．14时16分迎面遇到一个向南走的学生，12秒后离开这个学生．问：工人与学生将在何时相遇？ 16．在比例尺是的地图上，量得甲、乙两地的距离是25cm，甲车每小时行驶54km，乙车每小时行驶46km，几小时后相遇？ 17．甲乙两站相距840千米，两列火车同时从两站相对开出，8小时后相遇，第一列火车的速度是每小时52千米，问第二列火车的速度是多少？ 18．南京长江大桥南、北两个桥头堡大约相距1573米。红红、军军分别从南、北桥头堡同时出发，相向而行，经过13分钟相遇。军军的速度是63米/分，红红的速度是多少？ 19．有一条长2千米的小路，小明和小红同时从这条小路的两头相向而行，小明的速度是每分钟70米，小红的速度是每分钟55米，经过多少分钟两人相遇？ 20．一列快车全长米，每秒行米；一列慢车全长米，每秒行米。 （1）两列火车相向而行，从车头相遇到车尾离开，要几秒钟？ （2）两列火车同向而行，从快车车头追上慢车车尾到快车车尾追上慢车车头，需要几秒钟？ 21．下图中，外圆周长40厘米，画阴影部分是个“逗号”，两只蚂蚁分别从A，B同时爬行．甲蚂蚁从A出发，沿“逗号”四周顺时针爬行，每秒爬3厘米；乙蚂蚁从B出发，沿外圆圆周顺时针爬行，每秒爬行5厘米．两只蚂蚁第一次相遇时，乙蚂蚁共爬行了多少米？ 22．A、B两个码头相距1056km，一艘游轮和一艘货轮分别从两个码头同时相对开出，10小时后相遇。货轮的速度是游轮速度的1.2倍，游轮和货轮的速度分别是多少？ 23．甲，乙两城相距480千米，一辆货车和一辆客车分别从甲、乙两城相对开出，4小时后相遇，货车和客车的速度比是3∶5。货车和客车的速度分别是多少？（5分） 24．某城市举行“万人申奥”长跑活动，长跑队伍以每小时6千米的速度前进。长跑开始时，两名电视记者小张和小王分别从排头、排尾同时向队伍中间行进，报导这次活动。小张和小王都乘摩托车每小时行10千米，他们在离队伍中点900米处相遇。求长跑队伍有多长？ 25．一辆大客车和一辆小汽车分别从甲地和乙地出发，相向而行，大客车平均每小时行56.5千米，小汽车平均每小时行61.5千米，1.5小时两车相遇。甲乙两地之间的路程是多少千米？ 26．两列火车同时从相距480千米的两个城市出发，相向而行，甲车每小时行驶45千米，乙车每小时行驶42千米，4小时后，两列火车相距多少千米？（用方程解） 27．两列火车同时从甲、乙两站相对开出。客车每小时行驶172千米，货车每小时行驶180千米，经过4小时两车相遇。甲、乙两站相距多少千米？ 28．在比例尺是1∶5000000的地图上，量得甲、乙两地的铁路线长是4.8厘米，一列客车和一列货车同时从甲、乙两地相对开出，客车每小时行90千米，货车每小时行70千米。几小时后两列火车相遇？ 29．快车和慢车同时从相距270千米的两地出发，相向而行，经过2小时在途中相遇。快车和慢车速度的比是。快车每小时行多少千米？ 30．甲、乙两车同时分别从两地相对开出，甲车每小时行80千米，乙车速度是甲车的，经过3小时两车还相距全程的10%（未相遇），两地相距多少千米？两地的距离画在比例尺1∶2000000的地图上，应该画多长？ 31．甲、乙二人从，两地同时出发相向而行，甲每分钟行80米，乙每分钟行70米，出发一段时间后，二人在距中点60米处相遇．如果甲晚出发一会儿，那么二人在距中点220米处相遇．甲晚出发了多少分钟？ 32．小宝从甲地步行到乙地，每小时走6千米；小贝从乙地步行到甲地，每小时比小宝少走2千米．小贝出发3小时后，小宝才出发，经过2小时两人相遇．甲、乙两地相距多少千米？ 33．两地间的路程是540千米。甲、乙两辆汽车同时从两地开出，相向而行，经过4小时相遇。甲车的行驶速度是乙车的1.25倍，甲、乙两车每小时分别行驶多少千米？ 请你先根据题意画出图形，再解答。 34．客车从甲地到乙地要10小时，货车从乙地到甲地要15小时，两车同时从两地相对开出，相遇时客车比货车多行了90千米，甲、乙两地之间的距离是多少千米？相遇时客车和货车各行了多少千米？ 35．两列火车从相距千米的两城相向而行，甲列车每小时行千米，乙列车每小时行千米，小时后，甲、乙两车还相距多少千米？ 36．甲乙两辆汽车同时从相距480千米的两地相对开出，4小时后两车相遇，已知甲车每小时行65千米，乙车每小时行多少千米？ 37．甲乙两人分别从A，B两地同时出发，相向而行。甲的速度为a千米/小时，乙的速度为b千米/小时，经过2小时两人相遇。 （1）用式子表示A，B两地的距离。 （2）当a＝65，b＝70时，A，B两地的距离是多少千米？ 38．甲、乙两列火车的速度比是5∶4，乙车先从B站开往A站，当开到离B站72千米处时，甲车从A站发车开往B站。如果两列火车相遇的地方离A、B两站的比是3∶4，那么A、B两站之间的距离是多少千米？ 39．一个圆的周长为1.44米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发，沿圆周相向爬行．1分钟后它们都调头而行，再过3分钟，它们又调头爬行，依次按照1、3、5、7、…（连续奇数）分钟数调头爬行．这两只蚂蚁每分钟分别爬5.5厘米和3.5厘米，那么经过多长的时间它们初次相遇？ 40．甲、乙两船在静水中的速度分别是每小时36千米和每小时28千米，A、B两港相隔242千米，甲船从A港顺水先出发1小时后，乙船从B港沿同一航道逆水出发，相向而行，如果水流的速度为每小时14千米，那么乙船出发后几小时与甲船相遇？ 41．小张从甲地到乙地。步行速度是5千米/时，小黄从乙地到甲地，步行速度是4千米/时。现在两人同时出发，在离甲、乙两地的中点1千米处相遇。甲地和乙地相距多少千米。 42．甲、乙、丙三人步行的速度分别是：每分钟甲走90米，乙走75米，丙走60米。甲、丙从某长街的西头、乙从该长街的东头同时出发相向而行，甲、乙相遇后恰好4分钟乙、丙相遇，那麽这条长街的长度是多少米？ 43．在比例尺为1：6000000的地图上，量得两地间距离是5cm，甲、乙两辆汽车同时从两地相向而行，2时后相遇．已知甲、乙两车的速度比是2：3，那么两车速度各是多少？ 44．、两地相距米，包子从地到地需要秒，菠萝从地到地需要秒，现在包子和菠萝从、两地同时相对而行，相遇时包子与地的距离是多少米？ 45．甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，甲车每小时行驶80千米，乙车每小时行驶50千米，经过3小时两车一共行驶了全程的60%，A、B两地相距多少千米？ 46．甲乙两辆汽车同时从东西两地相向开出，甲车每小时行56.5千米，乙车每小时行47.5千米，两车在离中点32千米处相遇，求东西两地的距离是多少千米？ 47．两列火车从相距570千米的两地同时相对开出，3小时后相遇，甲车每小时行110千米，乙车每小时行多少千米？（列方程解） 48．甲乙两辆汽车分别从AB两地出发，相向而行。已知甲车和乙车的速度比是7∶9，两车出发3小时后，在距离两地中点20千米处相遇。A、B两地相距多少千米？ 49．大连到北京的铁路线长990千米。甲车从北京开往大连，速度是95千米/时，乙车同时从大连开往北京，速度是85千米/时。经过几时两车相遇？相遇地点距大连多少千米？ 参考答案： 1．100千米 【分析】根据甲的速度比乙的速度快50%，这句话，我们可以知道甲的速度就是乙的速度的（1＋0.5），乙的速度是单位1，那么我们甲的速度就是1.5，甲的速度和乙的速度之比就是1.5∶1＝3∶2，速度比是3∶2，时间不变，路程比也是3∶2，我们就可以知道全程被平均分成了5等份，而甲比乙多180千米，甲和乙相遇的路程和就是5等份，路程差根据画图我们可以知道，甲是3份，乙是2份，180千米是1份，可以求得全程，再求出甲的速度，乙的速度。 【详解】1×（1＋50%）＝1.5 甲的速度∶乙的速度＝3∶2，全程为5等份，甲的路程与乙的路程比之差就是180千米， 180×5＝900（千米） 900÷6＝150（千米） 150÷1.5＝100（千米） 答：乙的速度是100千米/时。 【点睛】掌握比的知识，路程速度时间的关系。 2．4时 【分析】首先根据题意，用两地之间的距离减去90，求出两车相距90km时，两车行驶的路程之和是多少；然后用它除以两车的速度之和，求出几时后两车相距90km即可。 【详解】（450－90）÷（40＋50） ＝360÷90 ＝4（时） 答：4时后两车相距90km。 【点睛】此题属于行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握，解答此题的关键是求出两车相距90km时，两车行驶的路程之和是多少。 3．甲车每小时70千米；乙每小时行60千米。 【分析】甲车每小时比乙车每小时快10km，可设乙车每小时行x千米，那么甲车每小时行（x＋10）千米，再根据（甲车速度＋乙车速度）×相遇时间＝总路程，列方程解答即可。 【详解】解：设乙车每小时行x千米，那么甲车每小时行（x＋10）千米。 甲：60＋10＝70（千米/时） 答：甲车每小时行70千米，乙车每小时行60千米。 【点睛】本题考查列方程解决问题，相遇问题，解答本题的关键是掌握列方程解决问题的方法。 4．48千米/时 【分析】根据路程和÷相遇时间＝速度和，用360÷3即可求出客车与货车的速度和；已知客车与货车的速度比是3∶2，把客车的速度看作3份，货车的速度看作2份，用360÷3÷（3＋2）即可求出每份是多少，进而求出2份，也就是货车的速度。 【详解】360÷3÷（3＋2） ＝360÷3÷5 ＝24（千米/时） 24×2＝48（千米/时） 答：货车的速度是48千米/时。 【点睛】本题主要考查了相遇问题以及按比分配问题，要熟练掌握相应的公式。 5．小客车100km/h；卡车90km/h 【分析】根据题意，小客车的速度是卡车速度的，设卡车速度为xkm/h，客车速度是xkm/h，卡车3小时行驶3xkm/h，客车3小时行驶x×3km/h，卡车行驶的距离＋客车行驶的距离等于甲、乙两地的距离，列方程：3x＋x×3＝570，解方程，即可解答。 【详解】解：设卡车速度为xkm/h，则客车速度xkm/h。 3x＋x×3＝570 3x＋x＝570 x＝570 x＝570÷ x＝570× x＝90 客车速度：×90＝100（km/h） 答：客车速度是100km/h，卡车速度是90km/h 【点睛】本题考查方程的实际应用，根据速度、时间、距离三者的关系，列方程，解方程。 6．3小时 【分析】物体漂流的速度与水流速度相同，所以甲船与物体的速度差即为甲船本身的船速（水速作用抵消），甲的船速为1÷＝15（千米/小时）；乙船与物体是个相遇问题，速度和正好为乙本身的船速，所以相遇时间为：45÷15，解决问题。 【详解】4分钟＝小时 甲的船速： 1÷＝15（千米/小时） 相遇时间为： 45÷15＝3（小时） 答：预计乙船出发后3小时可与此物相遇。 【点睛】物体掉进河里顺流而下，它的速度就是水速。需要注意的是甲船是顺水航行，应该比此物速度要快。 7．336千米 【详解】略 8．（1）3小时；（2）158分钟 【分析】（1）根据相遇时间＝路程和÷速度和，用24÷（3＋5）即可求出两人从出发到第一次相遇用的时间。 （2）根据题意可知，甲走4千米需要1小时10分钟，也就是70分钟；5千米是6千米的，根据分数乘法的意义，可知乙走5千米需要（60×＋5）分钟，也就是55分钟；甲出发70分钟时，甲走了4千米，乙出发70分钟的路程为（55＋15）分钟的路程，也就是5千米加上（×6）千米，即6.5千米；甲出发（70×2）分钟时，甲走了8千米；乙出发140分钟的路程为（55＋55＋30）分钟的路程，也就是（5×2）千米加上（×6）千米，即13千米；此时甲乙之间的距离是（24－8－13）千米，也就是3千米，甲距离下次休息要60分钟，乙距离下次休息要（50－30）分钟，即20分钟，这20分钟甲乙都在走，没有休息；根据速度和×相遇时间＝路程和，可知20分钟的路程和大于3千米，所以剩下3千米的路程，甲乙相遇的时间小于20分钟，根据相遇时间＝路程和÷速度和，用剩下3千米除以两人的速度和，即可求出剩下行走的时间，然后加上140分钟，即可求出两人从出发到第一次相遇用多长时间。 【详解】（1）24÷（3＋5） ＝24÷8 ＝3（小时） 答：两人从出发到第一次相遇用3小时。 （2）1小时＝60分钟 60＋10＝70（分钟） 60×＋5 ＝50＋5 ＝55（分钟） 70分钟时，甲走了4千米， 对乙，70＝55＋15 乙走了5＋×6 ＝5＋1.5 ＝6.5（千米） 140分钟时，甲走了8千米， 对乙，140＝55＋55＋30 乙走了5×2＋×6 ＝10＋3 ＝13（千米） 两人共走了8＋13＝21（千米） 此时两人相距24－21＝3（千米） 而距甲再次休息还要60分钟， 距乙再次休息还要50－30＝20（分钟） 20分钟内，甲、乙都在走，能共同走 （4＋6）× ＝10× ＝（千米） 千米＞3千米 共同走3千米需要3÷（4＋6） ＝3÷10 ＝（小时） 小时＝18分钟 140＋18＝158（分钟） 答：两人从出发到第一次相遇用158分钟。 【点睛】本题主要考查了较复杂的相遇问题，利用休息的时间节点去推算路程是解答本题的关键。 9．1380千米 【详解】甲车与鸽子的速度和：75+65＝140（千米/小时） 相遇时间：2100÷140=15（小时） 此时乙车行驶路程：15×48=720（千米） 距离A地：2100－720=1380（千米） 答：到鸽子与甲车相遇时，乙车距离A地还有1380千米． 10．40千米 【分析】汽车和公交车的速度比为5∶3，两车同时从A地同向出发前往B地，所以第一次相遇时两车行驶的时间相同，路程比为5∶3，两车第一次相遇时共行驶路程为（160×2）千米，汽车行驶的路程占总路程的，用乘法计算即可得到汽车行驶的路程，再减A、B两地距离即可得相遇地点距离B多远。 【详解】160×2×－160 ＝320×－160 ＝200－160 ＝40（千米） 答：相遇地点距离B地有40千米远。 【点睛】本题考查比的应用，关键是得出两车第一次相遇时共行驶路程为（160×2）千米，汽车行驶的路程占总路程的。 11．9分钟 【分析】根据题意可知，相遇时间×速度和＝路程和，据此设x分钟后两人相遇，列方程为（78＋72）x＝1350，然后解出方程即可。 【详解】解：设x分钟后两人相遇。 （78＋72）x＝1350 150x＝1350 x＝1350÷150 x＝1350÷150 x＝9 答：9分钟后两人相遇。 【点睛】本题主要考查了相遇问题，可列方程解决问题。 12．200千米 【分析】已知它们在AB、BC、CD上的速度分别为30千米/时、40千米/时、50千米/时，由于在BC的中点相遇，所以甲走AB路程与乙走CD路程所用时间相同，因此AB：CD＝30：50＝3：5，因为如果甲晚出发1小时，则它们将在B点相遇，所以乙走BC段用时为1小时，所以BC＝40÷1＝40千米，如果乙在每一段上的速度都减半，而甲的速度不变，则甲到B点，乙走CD的一半，甲到C点时，又走1小时，乙又走了25千米，甲乙还差65﹣40＝25千米相遇，所CD＝（25＋25）×2＝100千米，则AB＝100×＝60千米，所以AD＝60＋40＋100＝200千米。 【详解】AB：CD＝30：50＝3：5 BC＝40÷1＝40（千米） CD＝[（65﹣40）＋50÷2]×2 ＝[25＋25]×2 ＝100（千米） 100×＋40＋100 ＝60＋40＋100 ＝200（千米） 答：AD相距200千米。 【点睛】完成本题要认真分析所给条件中的距离、速度与时间之间的关系，然后解答。 13．75千米 【分析】根据题意可知，货车行驶的距离加上小轿车行驶的距离再加上两车相距距离，就是甲地到乙地的距离，设小轿车每小时行x千米，货车4小时行驶的距离是50×4千米，小轿车4小时行驶4x千米，列方程：50×4＋4x＋40＝540，解方程，即可解答。 【详解】解：设小轿车每小时行x千米。 50×4＋4x＋40＝540 200＋4x＋40＝540 4x＝540－240 4x＝300 x＝300÷4 x＝75 答：小轿车每小时行75千米。 【点睛】本题考查速度、时间、距离三者关系，根据三者关系列方程，解方程。 14．770米 【分析】先求出小明提前3分钟所走的路程，用总路程－小明前3分钟所走的路程＝两人合走的路程；再根据时间＝路程÷速度和求出合走路程所需要的时间，进而得出小明到学校所用的总时间；最后根据路程＝时间×速度，求出小明家到学校的距离即可。 【详解】70×3＝210（米） 两家之间的所剩路程是：1410－210＝1200（米） 两人的速度和是：70＋80＝150（米） 所剩路程需：1200÷（70＋80） ＝1200÷150 ＝8（分钟） 小明家距离学校：70×（8＋3） ＝70×11 ＝770（米） 答：小明家距离学校有多远770米。 【点睛】本题考查学生对速度＝路程\时间这一公式的运用，解答时需要结合题目实际进行灵活运用。 15．14时40分 【详解】工人速度是每小时30-0.11/（15/3600）=3.6千米 学生速度是每小时（0.11/12/3600）-30=3千米 14时16分到两人相遇需要时间（30-3.6）*6/60/（3.6+3）=0.4（小时）=24分钟 14时16分+24分=14时40分 16．5小时 【分析】先根据“实际距离 ＝图上距离÷比例尺”代入数据，求出甲、乙两地的路程；然后根据“路程÷速度之和＝相遇时间”，代入数据，列式解答即可。 【详解】＝25×2000000＝50000000（cm） 50000000cm＝500km ＝500÷100 ＝5（小时） 【点睛】此题关键是掌握图上距离与实际距离的换算方法，理解速度、时间、路程之间的关系。 17．53千米／小时 【分析】相遇时第一列火车走的路程与第二列火车走的路程的和为全程．而路程=速度×时间，那么第一列火车速度×相遇时间+第二列火车速度×相遇时间=全程．因此第一列火车速度+第二列火车速度=全程÷相遇时间．再由已知的第一列火车的速度，那么第二列火车的速度可知． 【详解】两列火车的速度和：840÷8=105（千米／小时） 第二列火车的速度：105-52=53（千米／小时） 答：第二列火车的速度是53千米／小时． 18．58米/分 【分析】根据题意，设红红的速度是x米/分，利用相遇问题公式：路程和＝速度和×时间，列方程解答即可。 【详解】解：设红红的速度是x米/分 （63＋x）×13＝1573 （63＋x）×13÷13＝1573÷13 63＋x＝121 63＋x－63＝121－63 x＝58 答：红红的速度是58米/分。 【点睛】解答本题关键是利用路程、速度和时间的关系做题。 19．16分钟 【分析】根据题意，把千米化成米，先求出两人的速度和，再根据路程除以速度等于时间，即可求出两人相遇的时间，据此解答即可。 【详解】2千米＝2×1000＝2000米 2000÷（70＋55） ＝2000÷125 ＝16（分） 答：经过16分钟两人相遇。 【点睛】本题解答的关键是先求出两人的速度和，再根据路程、速度、时间的关系解答，注意：千米化成米乘进率1000。 20．（1）19秒；（2）171秒 【分析】（1）这是一个相遇错车的过程，两列车共走的路程是两车车长之和。据此根据相遇时间＝路程和÷速度和求解即可； （2）这个一个超车过程，即追及问题。路程差为两车的车长和，根据追及时间＝路程差÷速度差求解即可。 【详解】（1）（250＋263）÷（15＋12） ＝513÷27 ＝19（秒） 答：两列火车相向而行，从车头相遇到车尾离开，要19秒。 （2）（250＋263）÷（15－12） ＝513÷3 ＝171（秒） 答：从快车车头追上慢车车尾到快车车尾追上慢车车头，需要171秒。 【点睛】利用相遇、追及公式巧解火车行程问题。理解掌握公式相遇时间＝路程和÷速度和，追及时间＝路程差÷速度差。 21．1.5米 【详解】“逗号”的周长=外圆的周长， 乙蚂蚁要追上甲蚂蚁要比甲蚂蚁多行：40÷2+40=60（厘米） 两只蚂蚁第一次相遇需要：60÷（5-3）=30（秒） 所以乙蚂蚁爬了5×30=150（厘米）=1.5米 答：两只蚂蚁第一次相遇时，乙蚂蚁共爬行了1.5米． 22．游轮速度48千米/时；货轮速度57.6千米/时 【分析】根据题意：相遇问题中，两地距离＝游轮行驶距离＋货轮行驶距离，路程＝速度×时间，可将游轮速度设为未知数x，则货轮速度为1.2x，据此列出方程得出答案。 【详解】解：设游轮速度为x，则货轮速度为1.2x，则可列出方程： 则货轮速度：（千米/时） 答：游轮速度是48千米/时；货轮速度是57.6千米/时。 【点睛】本题主要考查的是列方程解决实际问题，解题的关键是熟练掌握相遇问题中的等量关系，进而列出方程得出答案。 23．货车的速度是45千米/时，客车的速度是75千米/时 【分析】考查相遇问题的基本数量关系以及按比例分配的知识。 【详解】根据相遇问题中，总路程÷时间＝速度和，可得480÷4＝120千米。再结合题意“货车和客车的速度比是3∶5”，可得货车的速度120×＝45千米/时，客车的速度120×＝75千米/时。 解题方法不唯一。 【点睛】可以先求出速度和，再按比例分配求各自的速度；也可以先按比例分配求出各自行驶的路程，再求出各自的速度。 24．3千米 【分析】根据题意，小张和小王都乘摩托车每小时行10千米，如果队伍没移动，他们相遇，肯定在队伍中点； 实际上他们在离队伍中点900米处相遇，说明队伍移动了900米，根据队伍的速度，可以求出队伍移动的时间，也就是两人相遇时的时间； 他们原来一个在排头一个在排尾，距离就是队伍长度，用相遇时间乘它们的速度和就是队伍长。 【详解】900米＝0.9千米 0.9÷6＝0.15（小时） 0.15×（10＋10） ＝0.15×20 ＝3（千米） 答：队伍的长度是3千米。 25．177千米 【分析】相遇问题的基本关系式为：速度和×相遇时间＝路程；据此解答。 【详解】（56.5＋61.5）×1.5 ＝118×1.5 ＝177（千米） 答：甲乙两地之间的路程是177千米。 【点睛】本题考查的是相遇问题的计算方法。 26．132千米 【分析】设两列火车相距x千米，因为两列火车相向而行，可知甲乙两车速度和×时间+两车相距的距离=两个城市的距离，据此列方程解答。 【详解】解：设两列火车相距x千米 （45＋42）×4＋x＝480 87×4＋x＝480 348＋x＝480 348＋x－348＝480－348 x＝132 答：两列火车相距132千米。 【点睛】此题主要考查列方程解决实际问题的能力，搞清楚相遇问题中的等量关系是解题关键。 27．1408千米 【分析】已知客车每小时行驶172千米，货车每小时行驶180千米，相遇时间是4小时，根据总路程＝（客车的速度＋货车的速度）×相遇时间，代入数据，即可求出甲、乙两站相距多少千米。 【详解】（172＋180）×4 ＝352×4 ＝1408（千米） 答：甲、乙两站相距1408千米。 28．1.5小时 【分析】先根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出甲、乙之间的路程，再根据相遇时间＝路程÷速度和，代入数据解答即可。 【详解】4.8÷＝24000000（厘米） 24000000厘米＝240千米 240÷（90＋70） ＝240÷160 ＝1.5（小时） 答：1.5小时后两列火车相遇。 【点睛】此题主要考查比例尺的实际应用，以及路程、相遇时间、速度和三者之间关系的实际应用。 29．75千米 【分析】用270÷2求出快车和慢车的速度和，再除以总份数即可求出每份是多少千米，用每份的千米数乘快车速度对应的份数即可。 【详解】270÷2÷（5＋4）×5 ＝135÷9×5 ＝75（千米） 答：快车每小时行75千米。 【点睛】求出快车和慢车的速度和，进而求出每份是多少千米是解答本题的关键。 30．500千米；25厘米 【分析】把两地之间的全程看作单位“1”，首先求得乙车速度，再根据速度和×时间＝共同行驶的路程，求出甲、乙两车3小时共行了多少千米，又知经过3小时两车还相距全程的10%（未相遇），即经过3小时后两车共行了全程的（1﹣10%），根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法解答可求得全程，再根据“实际距离×比例尺＝图上距离”解答即可。 【详解】（80×＋80）×3÷（1﹣10%） ＝150×3÷0.9 ＝450÷0.9 ＝500（千米） 500千米＝50000000厘米 50000000×＝25（厘米） 答：两地相距500千米，两地的距离画在比例尺1∶2000000的地图上，应该画25厘米长。 【点睛】此题考查的目的是理解掌握路程、速度、时间三者之间的关系及应用，以及百分数意义的应用，关键是找清单位“1”。 31．7.5分钟 【详解】同时出发，相遇时甲多走(米)，相遇时间为(分)，因此甲、乙两地距离为(米)．当甲晚出发一会儿时，两人各用时间分别为乙用时：(分)，甲用时：(分)， 所以甲比乙晚出发(分)． 32．32千米 【详解】小贝的速度：6-2=4（千米/小时） 从出发到相遇：小贝走了3+2=5（小时） 小宝走了2小时． 甲乙两地相距：4×5+6×2=32（千米） 答：甲乙两地相距32千米． 33．；甲车的速度是75千米/时，乙车的速度是60千米/时 【分析】先用两地之间的路程除以相遇时间，求出速度和，甲车的行驶速度是乙车的1.25倍，那么速度和就是乙车速度的（1＋1.25）倍，用速度和除以这个倍数，即可求出乙车的速度，进而求出甲车的速度。 【详解】画图如下： 540÷4＝135（千米/时） 135÷（1＋1.25） ＝135÷2.25 ＝60（千米/时） 135﹣60＝75（千米/时） 答：甲车的速度是75千米/时，乙车的速度是60千米/时。 【点睛】解决本题先根据速度和＝总路程÷相遇时间，求出两车的速度和，再根据和倍公式：两数和÷倍数和＝1倍的数进行求解。 34．450千米；270千米；180千米 【分析】由题意可知，货车每小时行全程的，客车每小时行全程的，相遇时间为1÷（＋），相遇时间×（－）求出客车比货车多行全程的分率，它对应的数量是90，据此用除法求出甲、乙两地之间的距离，进而求出相遇时客车和货车各行了多少千米。 【详解】1÷（＋） ＝1÷ ＝6（小时） 6×（－） ＝6× ＝ 90÷＝450（千米） （450＋90）÷2 ＝540÷2 ＝270（千米） 450－270＝180（千米） 答：甲、乙两地之间的距离是450千米，相遇时客车和货车各行了270千米、180千米。 【点睛】根据工作量÷效率和＝工作时间求出两车的相遇时间是完成本题的关键。 35．70千米 【详解】两车的相距路程减去小时两车共行的路程，就得到了两车还相距的路程：（千米）． 36．55千米 【分析】设乙车每小时行x千米，则甲车行的路程＋乙车行的路程＝两地相距的距离，其中路程＝速度×时间，据此列方程解答即可。 【详解】解：设乙车每小时行x千米。 65×4＋4x＝480 4x＝480－260 4x＝220 x＝55 答：乙车每小时行55千米。 【点睛】此题考查了列方程解决实际问题，找准等量关系解答即可。 37．（1）2（a＋b）千米 （2）270千米 【分析】（1）甲的速度加乙的速度等于甲、乙两人的速度和，再根据路程＝速度和×相遇时间，即可写出表示两地间距离的式子。 （2）把a＝65，b＝70代入（1）的式子中即可计算出A、B两地间的距离。 【详解】（1）A，B两地的距离：（a＋b）×2＝2（a＋b）千米 （2）当a＝65，b＝70时 2（a＋b） ＝2×（65＋70） ＝2×135 ＝270（千米） 答：A，B两地的距离是270千米。 38．315千米 【分析】先求出甲车行三份时乙车行的份数，再求72千米所占的份数，用除法就可求出全程的距离。 【详解】假设甲车行了3份的路程，根据题意得 72千米对应的份数：4－3÷5×4 ＝4－2.4 ＝1.6（份） 每份路程为：72÷1.6＝45（千米）   全程：45×（3＋4） ＝45×7 ＝315（千米） 答：A、B两站之间的距离是315千米。 【点睛】此题考查了比的应用，根据题意找出具体数量72千米对应的份数是解题关键。 39．64分 【详解】解：因为圆的半周长是：1.44÷2=0.72（米）=72（厘米）．如果不考虑往返的情况，两只蚂蚁所需的相遇时间是：72÷（5.5＋3.5）=8（分）．然后再考虑往返的情况，如下表： 经过时间（分） 1 3 5 7 9 11 13 15 16 向上半圆爬行的时间 1 2 2 2 1 向下半圆爬行的时间 2 2 2 2 不难看出，第15分钟后，两只蚂蚁向下半圆爬行刚好都需要8分钟． 根据表格分析，它们初次相遇的时间是：1+3+5+7+9+11+13+15=64（分）． 【点睛】利用列表法进行分析，也是解决行程问题常用的手段． 40．3小时 【分析】此题为相遇问题，先求出甲船从A港顺水出发1小时所行驶的路程，用242减去该路程，就是乙船从B港出发时两船的相距路程，因为甲船顺水行驶，乙船逆水行驶，根据顺水速度＝静水船速＋水速，逆水速度＝静水速度－水速，分别求出两船的实际行驶速度，再由相遇时间＝路程÷速度和，即可求解。 【详解】乙船出发时，两船相距路程： 242－（36＋14）×1 ＝242－50 ＝192（千米） 两船速度和： （36＋14）＋（28－14） ＝36＋14＋28－14 ＝36＋28 ＝64（千米/小时） 相遇时间： 192÷64＝3（小时） 答：乙船出发后3小时与甲船相遇。 【点睛】本题考查流水行船问题，解决此类问题的关键是灵活运用速度、时间和路程之间的关系，并注意是顺水还是逆水行驶，相关公式如下： 速度＝路程÷时间，时间＝路程÷速度，路程＝速度×时间 顺水速度＝静水速度＋水速，逆水速度＝静水速度－水速 相遇时间＝路程÷速度和，追及时间＝路程÷速度差 41．18千米 【分析】小张比小黄走的快，所以根据相遇地点在离甲、乙两地的中点1千米处，可以知道到相遇时，小张走的路程比全长的一半多1千米，小黄走的路程比全长的一半少1千米，那么从出发到相遇这段时间里，小张和小黄的路程差就是1＋1＝2（千米），根据路程差÷速度差＝共同行驶的时间，可以得到，从出发到相遇他们走的时间为：2÷（5－4）＝2（小时），这个时间也就是相遇时间，再根据路程和＝速度和×相遇时间，可以得到，全长为：（5＋4）×2＝18（千米）。 【详解】（1＋1）÷（5－4） ＝2÷1 ＝2（小时） （5＋4）×2 ＝9×2 ＝18（千米） 答：甲地和乙地相距18千米。 【点睛】这道题的关键是根据分析或画图理解从出发到相遇时，小张和小黄的路程差是1＋1＝2（千米），然后灵活运用行程问题的公式即可求出全长。 42．2970米 【分析】甲、乙相遇后4分钟乙、丙相遇，说明甲、乙相遇时乙、丙还差4分钟的路程，即还差4×（75＋60）＝540米；而这540米也是甲、乙相遇时间里甲、丙的路程差，所以甲、乙相遇＝540÷（90－60）＝18分钟，所以长街长＝18×（90＋75）＝2970米。 【详解】4×（75＋60）÷（90－60）×（90＋75） ＝4×135÷30×165 ＝540÷30×165 ＝18×165 ＝2970（米） 答：这条长街的长度是2970米。 【点睛】熟练掌握相遇问题的解题方法，是解答此题的关键。 43．甲车60千米/小时；乙车90千米/小时 【详解】5÷＝30000000（厘米）＝300（千米） 300÷2＝150（千米/小时） 150×＝60（千米/小时） 150﹣60＝90（千米/小时） 答：甲车的速度是60千米/小时，乙车的速度是90千米/小时． 44．60米 【详解】包子的速度：(米／秒)，菠萝的速度：(米／秒)，相遇的时间：(秒)，包子距地的距离：(米)． 45．650千米 【分析】经过3小时两车一共行驶了全程的60%，则两车1小时可行驶全程的（60%÷3），根据对应量÷对应分率＝单位“1”的量，用（80＋50）÷（60%÷3），即可求得。 【详解】（80＋50）÷（60%÷3） ＝130÷0.2 ＝650（千米） 答：A、B两地相距650千米。 【点睛】本题的关键是求出两车1小时所走路程的对应分率是20%。 46．738.4千米 【分析】两车在离中点32千米处相遇，那么快车（甲车）比慢车（乙车）多行2个32千米，即32×2＝64千米，再用甲车的速度减去乙车的速度，求出速度差，用路程差除以速度差，求出相遇时间，再把两车的速度相加，求出速度和，然后用速度和乘相遇时间，即可求出AB两地间的距离是多少千米。 【详解】32×2＝64（千米） 64÷（56.5－47.5） ＝64÷9 ≈7.1（小时） （56.5＋47.5）×7 ＝104×7.1 ＝738.4（千米） 答：东西两地的距离是738.4千米。 【点睛】解决本题关键是明确相遇时两车的路程差是2个32千米，再根据“时间＝路程差÷速度差”，求出相遇时间，然后根据“路程＝速度和×相遇时间”求解。 47．80千米 【详解】解：设乙车每小时行x千米 110×3＋3x＝570 3x＝240 x＝80 答：乙车每小时行80千米。 48．320千米 【分析】根据“速度＝路程÷时间”，因为甲乙是同时出发，相遇时间一定，所以甲车和乙车的速度比等于路程比为7∶9；由“距离两地中点20千米处相遇”可知，相遇时乙车比甲车多行驶（20×2）千米；用多行的距离除以乙车比甲车多的（9－7）份，计算出一份的数，再乘总份数（7＋9）份，所得结果即为两地的距离，据此解答。 【详解】甲车和乙车的速度比是7∶9，则甲车和乙车行驶路程的比为7∶9。 相遇时乙车比甲车多行驶：20×2＝40（千米） 40÷（9－7）×（7＋9） ＝40÷2×16 ＝20×16 ＝320（千米） 答：A、B两地相距320千米。 49．5.5小时；467.5千米 【分析】相遇时两车行的路程和就是两地之间的距离，根据相遇问题的数量关系式：相遇时间＝路程÷速度和，可以计算出经过几时两车相遇，再用乙车速度乘相遇时间，可以计算出相遇地点距大连多少千米。 【详解】990÷（95＋85） ＝990÷180 ＝5.5（时） 85×5.5＝467.5（千米） 答：经过5.5时两车相遇；相遇地点距大连467.5千米。 【点睛】本题考查行程问题的解题方法，解题关键是掌握行程问题的数量关系，利用相遇时间＝路程÷速度和，路程＝速度×时间，列式计算。 学科网（北京）股份有限公司 $$