精品解析：山东省德州市陵城区陵城区江山实验学校2022-2023学年八年级下学期期末数学模拟试题（1）

2022-2023年江山实验学校八下期末测试模拟卷 一、单选题（本大题共12小题，共48分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列各组数中，以它们为边的三角形是直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 9，16，25 C. 12，15，20 D. 1，2， 2. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 人数相同的七年级甲、乙两班学生在同一次数学周考中，班级平均分和方差如下：，，，则成绩较为稳定的班级是（ ） A. 甲班 B. 乙班 C. 两班成绩一样稳定 D. 无法确定 4. 关于函数y＝－2x＋1，下列结论正确的是（ ） A. 图像经过点（－2，1） B. y随x的增大而增大 C. 图像与y轴交点为（0，1） D. 图像不经过第二象限 5. 如图，顺次连接四边形各边中点得四边形，要使四边形为菱形，则应添加的条件是（　　） A. B. C. D. 6. 为了解某种电动汽车一次充电后行驶的里程数，抽检了10辆车，统计结果如图所示，则在一次充电后行驶的里程数这组数据中，众数和中位数分别是（　　） A. 220，220 B. 220，210 C. 200，220 D. 230，210 7. 如图，是的角平分线，，，则图中有（ ）等腰三角形． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 无法确定 8. 如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，M是AD的中点．若BC＝8，OB＝5，则OM的长为（　　） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 4 9. 一次函数的图像经过点，每当x增加1个单位时，y增加3个单位，则此函数图像向上平移2个单位长度的表达式是（ ） A. B. C. D. 10. 一次数学课上，老师请同学们在一张长为18厘米．宽为16厘米的长方形纸板上．剪下一个腰长为10厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其它两个顶点在长方形的边上，剪下的等腰三角形的面积为（　　　） A. 50 B. 50或40 C. 50或40或30 D. 50或30或20 11. 有3张边长为a的正方形纸片，8张边长分别为a、b（b＞a）的矩形纸片，10张边长为b的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为（　　） A. a+5b B. a+4b C. 2a+2b D. a+3b 12. 已知，两地间有汽车站，客车由地驶向站、货车由地经过站去地（客货车在，两地间沿同一条路行驶），两车同时出发，匀速行驶，（中间不停留）货车的速度是客车速度的．如图所示是客、货车离站的路程与行驶时间之间的函数关系图像．小明由图像信息得出如下结论：①客车速度为60千米/时；②货车由地到地用14小时；③货车由地出发行驶120千米到达站；④客车行驶480千米时与货车相遇．你认为正确的结论有（ ）个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题 （本大题共6小题，共24分） 13. 已知是正整数，则满足条件的n的最小值是______． 14. 如图，在△ABC中，∠C=35°，AB=AD，DE是AC的垂直平分线，则∠BAD=__________度． 15. 近年来，咸宁市经济运行呈现稳中向好，好中显优，持续发展的良好态势.下表是咸宁市2013—2018年GDP总量统计结果（单位：亿元）： 年份 2013年 2014年 2015年 2016年 2017年 2018年 GDP总量 872 964 1030 1108 1235 1362 咸宁市2013—2018年GDP总量这组数据的中位数是___. 16. 如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为_____． 17. 如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动到点A停止，设点P的运动路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则的周长为_____ 18. 如图，在中，，，点E的边上， ，点P是线段AC上一动点，点F是线段上一动点， ___________．当的值最小时， ___________ 三、解答题（本大题共78分） 19. （1）计算： （2）已知，求的值． 20. 一个长13米的梯子斜靠在与地面垂直的墙上，梯子的顶端距离地面12米． （1）如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端滑动多少米？（结果保留根号） （2）如果梯子的顶端下滑的距离等于底端滑动的距离，那么这个距离是多少? 21. 为了解某区九年级学生身体素质情况，该区从全区九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次体育考试科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次抽样测试的学生人数是 ； （2）图1中∠α的度数是 ° ，把图2条形统计图补充完整； （3）该区九年级有学生4500名，如果全部参加这次体育科目测试，请估计不及格的人数是多少？ 22. 如图，正方形ABCD中，点P是直线BC上一点，连接PA，将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，在直线BA上取点F，使BF=BP，且点F与点E在BC同侧，连接EF、CF． （1）如图①，当点P在CB延长线上时，求证：四边形PCFE是平行四边形． （2）如图②，当点P在线段BC上时，四边形PCFE是否还是平行四边形，说明理由． 23. 郑州“7．20”特大暴雨灾害，人民的生活受到了极大的影响．“一方有难，八方支援”，某市筹集了大量的生活物资，用A、B两种型号的货车，分两批运往郑州，具体运输情况如表： 第一批 第二批 A型货车的辆数（单位：辆） 1 2 B型货车的辆数（单位：辆） 3 5 累计运输物资的吨数（单位：吨） 28 50 备注：第一批、第二批每辆货车均满载 （1）求A、B两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资？ （2）该市后续又筹集了70吨生活物资，若想恰好一次全部运走，需要怎样安排两种型号的货车？有哪几种运输方案？ （3）运送生活物资到受灾地区，运输公司不收取任何费用，但是一辆A型货车需油费500元，一辆B型货车需油费450元，为了节约成本，运送上述70吨物资到郑州应选择哪种运输方案？ 24. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD=2AD，点E在线段OC上，且OE=CE． （1）求证：； （2）若，分别是，的中点， ①求证：△是等腰三角形； ②当时，时，求平行四边形的面积． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y=kx+b交y轴于点A（0，1），交x轴于点B（3，0）.平行于y轴的直线x=1交AB于点D，交x轴于点E，点P是直线x=1上一动点，且在点D的上方，设P（1，n）. （1）求直线AB的表达式； （2）求△ABP的面积（用含n的代数式表示）； （3）当S△ABP=2时，以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC，直接写出点C的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022-2023年江山实验学校八下期末测试模拟卷 一、单选题（本大题共12小题，共48分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列各组数中，以它们为边的三角形是直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 9，16，25 C. 12，15，20 D. 1，2， 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，只需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、∵12＋22≠32，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵92＋162≠252，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C、∵122＋152≠202，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D、∵12＋22＝2，∴能够构成直角三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】点评：本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 2. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【详解】解：若式子在实数范围内有意义，则，解得：， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键． 3. 人数相同的七年级甲、乙两班学生在同一次数学周考中，班级平均分和方差如下：，，，则成绩较为稳定的班级是（ ） A. 甲班 B. 乙班 C. 两班成绩一样稳定 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据方差判断稳定性． 【详解】解：∵，，179＜80, ∴甲的成绩比较稳定， 故选：A． 【点睛】此题考查利用方差作出判断，方差越小，事件越稳定，掌握方差的性质是解题的关键． 4. 关于函数y＝－2x＋1，下列结论正确的是（ ） A. 图像经过点（－2，1） B. y随x的增大而增大 C. 图像与y轴交点为（0，1） D. 图像不经过第二象限 【答案】C 【解析】 【分析】将答案所给的点代入函数，在验证即可判断A；由x的系数即可判断B；将x=0代入函数解析式，比较即可判断C；根据y＝－2x＋1，判断出图像过二、三、四象限 【详解】A：当x=-2时，，故A错误，不符合题意 B： y＝－2x＋1，则y随x的增大而减小，故B错误，不符合题意 C：当x=0时，y=1，故C正确，符合题意 D：根据y＝－2x＋1，判断出图像过二、三、四象限，故D错误，不符合题意 故选：C 【点睛】本题考查一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键，属于基础题． 5. 如图，顺次连接四边形各边中点得四边形，要使四边形为菱形，则应添加的条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形中位线的性质得到，；，，即有四边形为平行四边形，当和，只能判断四边形为平行四边形；当，只能判断四边形为矩形；当，可判断四边形为菱形． 【详解】解：∵E、F、G、H为四边形各中点， ∴，；，，， ∴四边形为平行四边形， 要使四边形为菱形，则， 而， ∴． 当和，只能判断四边形为平行四边形，故A、B选项错误； 当，只能判断四边形为矩形，故C选项错误； 当，可判断四边形为菱形，故D选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的判定定理：邻边相等的平行四边形是菱形，也考查了平行四边形的判定以及三角形中位线的性质，掌握菱形的判定方法是解题的关键． 6. 为了解某种电动汽车一次充电后行驶的里程数，抽检了10辆车，统计结果如图所示，则在一次充电后行驶的里程数这组数据中，众数和中位数分别是（　　） A. 220，220 B. 220，210 C. 200，220 D. 230，210 【答案】A 【解析】 【详解】由题意知,200,210,210，210,220,220,220,220,230,230,230，故众数中位数都是220， 故选A. 7. 如图，是的角平分线，，，则图中有（ ）等腰三角形． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】先根据，得出是等腰三角形；然后根据，是的角平分线，求出，得出是等腰三角形；最后根据，，求出，得出是等腰三角形． 【详解】， 是等腰三角形， ， ， ， ， 是的角平分线， ， ， 是等腰三角形， ，， ， 是等腰三角形， 等腰三角形有、、，共3个等腰三角形． 故答案为：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定定理，牢记等腰三角形的判定定理是解题的关键． 8. 如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，M是AD的中点．若BC＝8，OB＝5，则OM的长为（　　） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】首先由O是矩形ABCD对角线AC的中点，可求得AC的长，然后由勾股定理求得AB的长，即CD的长，又由M是AD的中点，可得OM是△ACD的中位线，继而求得答案． 【详解】解：∵O是矩形ABCD对角线AC的中点，OB＝5， ∴AC＝2OB＝10， ∴CD＝AB＝， ∵M是AD的中点， ∴OM＝CD＝3． 故选：C． 【点睛】此题考查了矩形的性质、直角三角形的性质以及三角形中位线的性质．注意利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得AC的长是关键． 9. 一次函数的图像经过点，每当x增加1个单位时，y增加3个单位，则此函数图像向上平移2个单位长度的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得一次函数的图像也经过点；由此可以求出一次函数的表达式；再根据平移的规律可得出结果； 【详解】解：由题意可得一次函数的图像也经过点； ∴ 解得： ∴此函数的表达式为： 将函数向上平移个单位长度所得函数的表达式为： 故选：D． 【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数的表达式以及函数的平移；熟练运用待定系数法求一次函数的表达式是解题的关键． 10. 一次数学课上，老师请同学们在一张长为18厘米．宽为16厘米的长方形纸板上．剪下一个腰长为10厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其它两个顶点在长方形的边上，剪下的等腰三角形的面积为（　　　） A. 50 B. 50或40 C. 50或40或30 D. 50或30或20 【答案】C 【解析】 【分析】本题中由于等腰三角形的位置不确定，因此要分三种情况进行讨论求解，①如图（1），②如图（2），③如图（3），分别求得三角形的面积． 【详解】解：如图四边形是矩形，cm，cm； 本题可分三种情况： ①如图（1）：中，cm； cm2； ②如图（2）：中，cm； 在中，cm； 根据勾股定理有：cm； cm2； ③如图（3）：中，cm； 在中，cm； 根据勾股定理有cm； cm2． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键在于能够进行正确的讨论． 11. 有3张边长为a的正方形纸片，8张边长分别为a、b（b＞a）的矩形纸片，10张边长为b的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为（　　） A. a+5b B. a+4b C. 2a+2b D. a+3b 【答案】D 【解析】 【分析】利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵a2+6ab+9b2＝（a+3b）2， ∴拼成的正方形的边长最长可以为a+3b， 故选D． 【点睛】本题是对完全平方公式的实际运用的考查，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键. 12. 已知，两地间有汽车站，客车由地驶向站、货车由地经过站去地（客货车在，两地间沿同一条路行驶），两车同时出发，匀速行驶，（中间不停留）货车的速度是客车速度的．如图所示是客、货车离站的路程与行驶时间之间的函数关系图像．小明由图像信息得出如下结论：①客车速度为60千米/时；②货车由地到地用14小时；③货车由地出发行驶120千米到达站；④客车行驶480千米时与货车相遇．你认为正确的结论有（ ）个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据图像可知客车从A地驶向C地，用9小时，行驶了720千米，求出速度，判断①；进而得出货车的速度，即可求出货车从B地到A所用时间，判断②；再根据货车的行驶的速度和时间，计算判断③；最后设两车相遇时间为x小时，根据两车行驶的路程和等于总路程列出方程，求出解即可得出答案，判断④即可． 【详解】观察图像可知，客车从A地到B地用了9小时，行驶了720千米，所以客车的速度是（千米/时），可知①不正确； 货车的速度是（千米/时），可知B地和C地的距离是2×60=120（千米），从C地到A地所用时间是720÷60=12（小时），所以货车由B地出发行驶120千米到C站，货车由B地和A地用时12+2=14（小时），则②③正确．设客车行驶x小时两车相遇，得 ， 解得， 80×6=480（千米）． 所以客车行驶了480千米时与货车相遇． 可知④正确，正确的有3个． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了函数图像的综合问题，从图像中获取信息是解题的关键． 二、填空题 （本大题共6小题，共24分） 13. 已知是正整数，则满足条件的n的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】由2n＞0可得n＞0，根据1为最小正整数，令=1求得n即可； 【详解】解：由题意得：2n＞0，n＞0， 是正整数则≥1， 当=1时，n=， 当n＞时，2n＞1，＞1， ∴n的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，不等式的性质，掌握1为最小正整数是解题关键． 14. 如图，在△ABC中，∠C=35°，AB=AD，DE是AC的垂直平分线，则∠BAD=__________度． 【答案】40； 【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DC，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质求出∠ADB的度数，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线， ∴DA=DC， ∴∠DAC=∠C=35°， ∴∠ADB=∠DAC+∠C=70°， ∵AB=AD， ∴∠B=∠ADB=70°， ∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=40°， 故答案为40． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 15. 近年来，咸宁市经济运行呈现稳中向好，好中显优，持续发展的良好态势.下表是咸宁市2013—2018年GDP总量统计结果（单位：亿元）： 年份 2013年 2014年 2015年 2016年 2017年 2018年 GDP总量 872 964 1030 1108 1235 1362 咸宁市2013—2018年GDP总量这组数据的中位数是___. 【答案】1069 【解析】 【分析】根据中位数的求法：把一组数据按大小顺序排列，最中间的一个或两个的平均数，即为数据的中位数，进行求解即可. 【详解】把6年的数据按大小顺序排列为：872，964，1030，1108，1235 ，1362. 故其中位数为：， 故答案为1069. 【点睛】本题考查了中位数的求法：把一组数据按大小顺序排列，最中间的一个或两个的平均数，即为数据的中位数. 16. 如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先求出点，再观察图象，即可求解． 【详解】解：∵函数过点， ∴， 解得：， ∴， ∴不等式的解集为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，解决本题的关键是要根据题意求出点A的坐标． 17. 如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动到点A停止，设点P的运动路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则的周长为_____ 【答案】8+ 【解析】 【分析】先结合函数的图象求出BC、CD的值，即可得出△ABC的周长． 【详解】解：动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止， 而当点P运动到点C，D之间时，△ABP的面积不变． 函数图象上横轴表示点P运动的路程，x=3时，y开始不变，说明BC=3，当x=8时，接着变化，说明CD=8-3=5． ∴AC==， △ABC的周长为=3+5+=8+， 故答案为：8+． 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，在解题时要能根据函数的图象求出线段的长度从而得出三角形的周长是本题的关键． 18. 如图，在中，，，点E的边上， ，点P是线段AC上一动点，点F是线段上一动点， ___________．当的值最小时， ___________ 【答案】 ①. 10 ②. ## 【解析】 【分析】根据勾股定理即可求出；作点E关于的对称点，过点作于点F，交于点P，通过证明得出，，进而得出，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：在中，由勾股定理可得：， 作点E关于的对称点，过点作于点F，交于点P． ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理可得：， 即，解得：． 故答案为：10，． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理，根据题意做出辅助线构建全等三角形，根据勾股定理列出方程求解． 三、解答题（本大题共78分） 19. （1）计算： （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式除法法则计算即可； （2）先算出和的值，再将所求式子变形后整体代入即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2），， ，， ． 【点睛】本题考查二次根式的计算、平方差公式，解题的关键是掌握二次根式运算的相关法则． 20. 一个长13米的梯子斜靠在与地面垂直的墙上，梯子的顶端距离地面12米． （1）如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端滑动多少米？（结果保留根号） （2）如果梯子的顶端下滑的距离等于底端滑动的距离，那么这个距离是多少? 【答案】（1）米 （2）7米 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理即可求解； （2）设该距离为x，下滑后，有AB=13，AC=12-x，BC=5+x，利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 如图， 根据题意，下滑前，有AB=13，AC=12，∠C=90°， ∴， 下滑之后，有AB=13，AC=11，∠C=90°， ∴此时的， ∴梯子底端滑动的距离为：米， 答：梯子的底端下滑米； 【小问2详解】 设该距离为x米，根据（1）的结果，可知下滑前BC=5， 根据题意，下滑后，有AB=13，AC=12-x，BC=5+x，∠C=90°， ∴利用勾股定理有：， 即：， 解方程得：x=7，（x=0不合题意，舍去）， 答：所求的距离为7米． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用和解一元二次方程的知识，明确题意，并将其抽象为数学模型是解答本题的关键． 21. 为了解某区九年级学生身体素质情况，该区从全区九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次体育考试科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次抽样测试的学生人数是 ； （2）图1中∠α的度数是 ° ，把图2条形统计图补充完整； （3）该区九年级有学生4500名，如果全部参加这次体育科目测试，请估计不及格的人数是多少？ 【答案】（1）40 （2）144；图见详解； （3）225人 【解析】 【分析】（1）根据B级的人数除以B级所占的百分比，可得抽测的人数； （2）根据A级的人数除以抽测的人数，可得A级人数所占抽测人数的百分比，根据圆周角乘以A级人数所占抽测人数的百分比，可得A级的扇形的圆心角，根据有理数的减法，可得C级抽测的人数，然后补出条形统计图； （3）根据D级抽测的人数除以抽测的总人数，可得D级所占抽测人数的百分比，根据八年级的人数乘以D级所占抽测人数的百分比，可得答案． 【小问1详解】 解：本次抽样的人数是14÷35%=40（人）， 故答案是：40； 【小问2详解】 解：∠α=×360=144°， C级的人数是40-16-14-2=8（人）， 故答案是：144． 【小问3详解】 解：估计不及格的人数是4500×=225（人）， ∴不及格的人数是225人； 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了利用样本估计总体． 22. 如图，正方形ABCD中，点P是直线BC上一点，连接PA，将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，在直线BA上取点F，使BF=BP，且点F与点E在BC同侧，连接EF、CF． （1）如图①，当点P在CB延长线上时，求证：四边形PCFE是平行四边形． （2）如图②，当点P在线段BC上时，四边形PCFE是否还是平行四边形，说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）四边形PCFE是平行四边形，理由见详解 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质，得出，，再根据SAS，得出，再由其性质，得出，，再根据旋转的性质，得出，，进而得出，再根据角的关系和平行线的判定定理，得出，再根据平行四边形的判定定理，即可得出结论； （2）由（1）得出，再由其性质，得出，，再根据旋转的性质，得出，，进而得出，再根据角的关系和平行线的判定定理，得出，再根据平行四边形的判定定理，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：在正方形中， ∵，， 又∵， ∴， ∴，． 又由旋转得：，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴四边形为平行四边形． 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形． 理由：由（1）得：， ∴，． 由旋转得：，， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、旋转的性质、平行线的判定、平行四边形的判定，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理． 23. 郑州“7．20”特大暴雨灾害，人民的生活受到了极大的影响．“一方有难，八方支援”，某市筹集了大量的生活物资，用A、B两种型号的货车，分两批运往郑州，具体运输情况如表： 第一批 第二批 A型货车的辆数（单位：辆） 1 2 B型货车的辆数（单位：辆） 3 5 累计运输物资的吨数（单位：吨） 28 50 备注：第一批、第二批每辆货车均满载 （1）求A、B两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资？ （2）该市后续又筹集了70吨生活物资，若想恰好一次全部运走，需要怎样安排两种型号的货车？有哪几种运输方案？ （3）运送生活物资到受灾地区，运输公司不收取任何费用，但是一辆A型货车需油费500元，一辆B型货车需油费450元，为了节约成本，运送上述70吨物资到郑州应选择哪种运输方案？ 【答案】（1）每辆型货车满载能运10吨生活物资，每辆型货车满载能运6吨生活物资； （2）共有3种运输方案：方案1：安排7辆型货车；方案2：安排4辆型货车，5辆型货车；方案3：安排1辆型货车，10辆型货车； （3）运送上述70吨物资到郑州应选择运输方案1：安排7辆型货车． 【解析】 【分析】（1）设每辆型货车满载能运吨生活物资，每辆型货车满载能运吨生活物资，根据前两批运输所使用的货车的数量及累计运输物资的吨数，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设应安排辆型货车，辆型货车，利用运输物资的吨数每辆型货车满载物资的吨数安排型货车的数量每辆型货车满载物资的吨数安排型货车的数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为自然数，即可得出各运输方案； （3）利用选择各方案所需油费每辆型货车所需油费安排型货车的数量每辆型货车所需油费安排型货车的数量，可求出选择各方案所需油费，比较后即可得出结论． 【小问1详解】 解：设每辆型货车满载能运吨生活物资，每辆型货车满载能运吨生活物资， 依题意得：， 解得：． 答：每辆型货车满载能运10吨生活物资，每辆型货车满载能运6吨生活物资． 【小问2详解】 解：设应安排辆型货车，辆型货车， 依题意得：， ． 又，均为自然数， 或或， 共有3种运输方案， 方案1：安排7辆型货车； 方案2：安排4辆型货车，5辆型货车； 方案3：安排1辆型货车，10辆型货车． 【小问3详解】 解：选择方案1所需油费（元）； 选择方案2所需油费（元）； 选择方案3所需油费（元）． ， 运送上述70吨物资到郑州应选择运输方案1：安排7辆型货车． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）根据各数量之间的关系，求出选择各方案所需油费． 24. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD=2AD，点E在线段OC上，且OE=CE． （1）求证：； （2）若，分别是，的中点， ①求证：△是等腰三角形； ②当时，时，求平行四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，， ， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴由等腰三角形的性质可知， ∴． （2） ①证明：∵△BOC是等腰三角形，E是CO中点， ∴， ∴， ∵G为AB中点， ∴， ∵E、F分别是OC、OD的中点， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． ②120 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质可知，，， ，则，，可得是等腰三角形，由等腰三角形的性质可知，进而结论得证； （2）①由等腰三角形的性质可知，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，由中位线的性质可知，由平行四边形的性质可知，可得，进而结论得证；②证明四边形是平行四边形，则，证明，则是等腰三角形，，设，则，，在中，由勾股定理得，，即，求出满足要求的值，进而可得的值，根据计算求解即可得平行四边形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②解：由题意知，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得，，即， 解得或 （不合题意，舍去）， ∴，， ∴， ∴平行四边形的面积为120． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，中位线，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y=kx+b交y轴于点A（0，1），交x轴于点B（3，0）.平行于y轴的直线x=1交AB于点D，交x轴于点E，点P是直线x=1上一动点，且在点D的上方，设P（1，n）. （1）求直线AB的表达式； （2）求△ABP的面积（用含n的代数式表示）； （3）当S△ABP=2时，以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC，直接写出点C的坐标. 【答案】（1）y＝﹣x+1；（2）n﹣1；(3) （3，4）或（5，2）或（3，2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求直线AB的解析式； （2）根据铅直高度与水平宽度的积可得三角形的面积； （3）先计算当S△ABP＝2时，P的坐标，以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC，分三种情况讨论：分别以三个顶点为直角顶点画三角形，根据图形可得C的坐标． 【详解】（1）设直线AB的解析式是y＝kx+b， 把点A（0，1），点B（3，0）代入得：解得：， ∴直线AB的解析式是：y＝﹣x+1； （2）∵P（1，n）， ∴D（1，），即PD＝n﹣， ∴S△ABP＝PD▪OB＝（n﹣）×3＝n﹣1； （3）当S△ABP＝2时，2＝n﹣1，解得n＝2， ∴点P（1，2）． ∵E（1，0）， ∴PE＝BE＝2， ∴∠EPB＝∠EBP＝45° ①如图1，∠CPB＝90°，BP＝PC， 过点C作CN⊥直线x＝1于点N． ∵∠CPB＝90°，∠EPB＝45°， ∴∠NPC＝∠EPB＝45°． 又∵∠CNP＝∠PEB＝90°，BP＝PC， ∴△CNP≌△BEP， ∴PN＝NC＝EB＝PE＝2， ∴NE＝NP+PE＝2+2＝4， ∴C（3，4）． ②如图2，∠PBC＝90°，BP＝BC， 过点C作CF⊥x轴于点F． ∵∠PBC＝90°，∠EBP＝45°， ∴∠CBF＝∠PBE＝45°． 又∵∠CFB＝∠PEB＝90°，BC＝BP， ∴△CBF≌△PBE． ∴BF＝CF＝PE＝EB＝2， ∴OF＝OB+BF＝3+2＝5， ∴C（5，2）． ③如图3，∠PCB＝90°， ∴∠CPB＝∠EBP＝45°， ∠CPB＝∠EBP，BP＝BP，∠PCB＝∠PEB＝90° ∴△PCB≌△BEP， ∴PC＝CB＝PE＝EB＝2， ∴C（3，2）． ∴以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC， 综上所述点C的坐标是（3，4）或（5，2）或（3，2）． 【点睛】本题是待定系数法求函数的解析式、一次函数图象上点的坐标特征，以及三角形的面积的综合应用，求得直线的解析式是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $