阶段专项提分练四　综合运用等腰三角形的性质进行判定和计算 2024-2025学年 湘教版数学八年级上册

综合运用等腰三角形的性质进行判定和计算 利用等腰三角形的定义进行判定 【典例1】已知,a,b,c为△ABC的三边长,b,c满足(b-2)2+|c-3|=0,且a为方程|a-4|=2的解,请判断△ABC的形状. 思路点拨利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出b,c的值,进而利用三角形三边关系和方程得出a的值,从而判断出其形状. 【变式1】△ABC中,三边长a,b,c满足(a-b)(b-c)(c-a)=0,则这个三角形一定为( )　　　　　　　　　　　　　 A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 【变式2】如果△ABC是等腰三角形,且=0,则△ABC的周长为( ) A.13 B.17 C.17或22 D.22 【变式3】已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足a2+2b2+c2-2b(a+c)=0,则此三角形的形状为　 　.  利用等腰三角形的性质求角 【典例2】如图,△ABC中,∠A=30°,AB=AC,D,E分别是AC,AB上的两点,且BD=BC=BE,连接DE.求∠BDE的度数. 思路点拨根据AB=AC,利用三角形内角和定理求出∠ABC和∠C的度数,再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DBC的度数,然后可求出∠BDE的度数. 【变式1】如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=24°,延长BC到点D,使CD=AC,连接AD,则∠D的度数为( ) A.39° B.40° C.49° D.51° 【变式2】(2024·遵义质检)“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的,借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.如图,这个三等分角仪由两根有槽的棒PB,PD组成,两根棒在P点相连,并可绕点P转动,C点固定,CP=OC=OA,点O,A可在槽中滑动.若∠PCO=130°,则∠AOB的度数是( ) A.50° B.65° C.75° D.80° 等腰三角形性质与判定的综合应用 【典例3】如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,∠B=30°,连接AD. (1)若∠BAD=45°,求证:△ACD为等腰三角形; (2)若△ACD为直角三角形,求∠BAD的度数. 思路点拨(1)根据等腰三角形的性质求出∠C的度数,根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数,求出∠CAD=∠ADC,根据等腰三角形的判定得出即可; (2)有两种情况:①当∠ADC=90°时,②当∠CAD=90°时,分别求出即可. 【变式】如图,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点M,且过点M的直线DE∥BC,分别交AB,AC于D,E两点,若AB=12,AC=10,则△ADE的周长为　 　.  等边三角形性质与判定的综合应用 【典例4】如图,△ABC为等边三角形,DE⊥BC,EF⊥AC,FD⊥AB,垂足分别为E,F,D,求证:△DEF是等边三角形. 思路点拨根据等边三角形的性质和垂直的定义得到∠FED=∠EDF= ∠DFE=60°,进而得到△DEF是等边三角形. 【变式】如图,在等边△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O,且OD∥AB,OE∥AC. (1)试判定△ODE的形状,并说明你的理由; (2)若BC=10,求△ODE的周长. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 综合运用等腰三角形的性质进行判定和计算 利用等腰三角形的定义进行判定 【典例1】已知,a,b,c为△ABC的三边长,b,c满足(b-2)2+|c-3|=0,且a为方程|a-4|=2的解,请判断△ABC的形状. 思路点拨利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出b,c的值,进而利用三角形三边关系和方程得出a的值,从而判断出其形状. 【解析】∵(b-2)2+|c-3|=0, ∴b-2=0,c-3=0, 解得b=2,c=3, ∵a为方程|a-4|=2的解, ∴a-4=±2, 解得a=6或2, ∵a,b,c为△ABC的三边长,b+c<6, ∴a=6不合题意舍去, ∴a=b=2, ∴△ABC是等腰三角形. 【变式1】△ABC中,三边长a,b,c满足(a-b)(b-c)(c-a)=0,则这个三角形一定为(B)　　　　　　　　　　　　　 A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 【变式2】如果△ABC是等腰三角形,且=0,则△ABC的周长为(D) A.13 B.17 C.17或22 D.22 【变式3】已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足a2+2b2+c2-2b(a+c)=0,则此三角形的形状为　等边三角形　.  利用等腰三角形的性质求角 【典例2】如图,△ABC中,∠A=30°,AB=AC,D,E分别是AC,AB上的两点,且BD=BC=BE,连接DE.求∠BDE的度数. 思路点拨根据AB=AC,利用三角形内角和定理求出∠ABC和∠C的度数,再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DBC的度数,然后可求出∠BDE的度数. 【解析】∵AB=AC,∴∠ABC=∠C, ∵∠ABC+∠C+∠A=180°,∠A=30°, ∴∠ABC=∠C=75°,∵BD=BC=BE, ∴∠BED=∠BDE,∠BCD=∠BDC=75°, ∴∠DBC=180°-∠BCD-∠BDC=30°, ∴∠DBE=45°, ∴∠BDE=(180°-∠DBE)=67.5°. 【变式1】如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=24°,延长BC到点D,使CD=AC,连接AD,则∠D的度数为(A) A.39° B.40° C.49° D.51° 【变式2】(2024·遵义质检)“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的,借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.如图,这个三等分角仪由两根有槽的棒PB,PD组成,两根棒在P点相连,并可绕点P转动,C点固定,CP=OC=OA,点O,A可在槽中滑动.若∠PCO=130°,则∠AOB的度数是(C) A.50° B.65° C.75° D.80° 等腰三角形性质与判定的综合应用 【典例3】如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,∠B=30°,连接AD. (1)若∠BAD=45°,求证:△ACD为等腰三角形; (2)若△ACD为直角三角形,求∠BAD的度数. 思路点拨(1)根据等腰三角形的性质求出∠C的度数,根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数,求出∠CAD=∠ADC,根据等腰三角形的判定得出即可; (2)有两种情况:①当∠ADC=90°时,②当∠CAD=90°时,分别求出即可. 【解析】(1)∵AB=AC,∠B=30°, ∴∠B=∠C=30°, ∴∠BAC=180°-30°-30°=120°, ∵∠BAD=45°, ∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=120°-45°=75°,∠ADC=∠B+∠BAD=75°, ∴∠ADC=∠CAD, ∴CA=CD,即△ACD为等腰三角形; (2)有两种情况:①当∠ADC=90°时, ∵∠B=30°, ∴∠BAD=∠ADC-∠B=90°-30°=60°; ②当∠CAD=90°时,∠BAD=∠BAC-∠CAD=120°-90°=30°, 即∠BAD的度数是60°或30°. 【变式】如图,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点M,且过点M的直线DE∥BC,分别交AB,AC于D,E两点,若AB=12,AC=10,则△ADE的周长为　22　.  等边三角形性质与判定的综合应用 【典例4】如图,△ABC为等边三角形,DE⊥BC,EF⊥AC,FD⊥AB,垂足分别为E,F,D,求证:△DEF是等边三角形. 思路点拨根据等边三角形的性质和垂直的定义得到∠FED=∠EDF= ∠DFE=60°,进而得到△DEF是等边三角形. 【证明】∵FD⊥AB,EF⊥AC,△ABC为等边三角形, ∴∠A=60°,∠ADF=∠CFE=90°, ∴∠AFD=30°, ∴∠DFE=60°. 同理可证∠FDE=∠DEF=60°, ∴△DEF是等边三角形. 【变式】如图,在等边△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O,且OD∥AB,OE∥AC. (1)试判定△ODE的形状,并说明你的理由; (2)若BC=10,求△ODE的周长. 【解析】(1)△ODE是等边三角形.理由如下: ∵△ABC是等边三角形, ∴∠ABC=∠ACB=60°. ∵OD∥AB,OE∥AC, ∴∠ODE=∠ABC=60°, ∠OED=∠ACB=60°, ∴△ODE为等边三角形. (2)见全解全析 学科网（北京）股份有限公司 $$