24.2.2 直线和圆的位置关系—切线长定理与内切圆课件2024-2025学年人教版数学九年级上册

24.2.2 直线和圆的位置关系 切线长定理与内切圆 教材分析 本节课是人教版数学九年级(上)22.2.2 直线和圆的位置关系第三节内容。学生在学习了圆的基本知识和直线与圆的位置关系,在本节开始学习三角形的内切圆的性质及相关计算。本节课是在学习了直线与圆的位置关系基础上的加深与拓展,即圆与几条直线同时相切就演变成了三角形的内切圆。因此在本章的教学中具有重要作用,要求学生有较强的综合能力。 学情分析 一、学生基础与认知水平 学生对圆的相关知识有一定把握,对圆的图形认知水平较高,这对学习三角形内切圆有一定帮助。但书写证明过程可能存在一定难度。 二、学习困难与应对策略 本班学生数学基础较好,但学困生在课上需要充分调动积极性,通过小组长和老师合作,带动所有学生融入课堂 教学目标 1.知识目标: 了解三角形的内切圆、三角形的内心等概念。 通过探究作三角形内切圆的过程,归纳内心的性质,进一步提高归纳能力与作图能力。 2.能力目标: 经历三角形的内切圆的作法及内切圆半径的推导过程。 3.情感目标: 培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识。 教学重、难点 重点:三角形的内切圆性质的应用教学 难点:三角形的内切圆的计算公式推导 教法与学法 1.教法 : 导学案教学模式是以让学生学会学习为宗旨,以学案为依托,以教师为主导,以学生为主体,以创新性、发展性为目标,实现学生自学能力、合作能力、创新能力和整体素质共同提高的一种教学模式。“学案”的作用:它可以指导预习,也可用于课堂教学,并且系统的学案还是一份很好的学习资料。 2.学法: 自主、探索的学习方式 复习回顾 1.圆的切线是如何定义的? 如果直线和圆只有一个公共点,那么这条直线叫做圆的切线. 2.判断一条直线是圆的切线有哪些方法? (1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线; (2)和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线; (3)经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线. 复习回顾 3.切线的性质有哪些? (1)切线和圆只有一个公共点; (2)圆心到切线的距离等于半径; (3)切线垂直于过切点的半径; (4)经过圆心且垂直于切线的直线 必经过切点; (5)经过切点垂直于切线的直线 必过圆心. 补充内容 切线的性质定理: 圆的切线垂直于过切点的半径. 探究新知 在同一个平面内,有一点P和⊙O,过点P能否作⊙O的切线? 如果能,可以作几条切线?如果不能,说明理由. O P 点P在⊙O内 点P在⊙O上 O P 点P在⊙O外 O P P A B 作法: ①连接OP,作线段OP的中点M ②以点M为圆心,OM为半径作⊙M,交⊙O于A、B两点 ③连接AP、BP则直线AP、BP即为⊙O的切线 M 获得新知 如图,过圆外一点P有两条直线PA,PB分别与⊙O相切. 经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间线段的长, 叫做这点到圆的切线长. 线段PA,PB的长就叫做点P到⊙O的切线长. 切线 切线长 无法度量 可以度量 切线是直线 切线长是切线上一条线段的长, 即圆外一点与切点之间的距离. 切线与切线长的区别: 思考:如图从圆外一点P引圆的两条切线PA、PB,切点分别为A、B. 图中的PA与PB,∠APO与∠BPO有什么关系? 探究新知 方法一: 利用圆的轴对称性 方法二: 连接OA、OB ∵PA、PB是⊙O的两条切线 ∴OA⊥PA、OB⊥PB ∴∠OAP=∠OBP=90 OP=OP OA=OB ∵在Rt OAP和Rt OBP中, ∴Rt OAP≌Rt OBP(HL) ∴PA=PB,∠APO=∠BPO 切线长定理为证明线段相等、角相等 提供了新的方法. 切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 例1.如图, ABC是直角三角形,以斜边AB为直径作半圆,半圆的圆心为O,过A、C两点作半圆的切线,交点为D,连接DO交AC于点E. (1)求证:OD∥BC; (2)若AC=2BC,求证:AB=AD. 例2.如图,以AB为直径作⊙O,在⊙O上取一点C,延长AB至点D,连接DC,∠DCB=∠DAC,过点A作AE⊥AD交DC的延长线于点E. (1)求证:CD是⊙O的切线; (2)若CD=4,DB=2,求AE的长. 例3.如图,⊙O与 ABC的边BC相切于点D,与AB、AC的延长线分别相切于点E、F,连接OB,OC. (1)若∠ABC=80 ,∠ACB=40 ,求∠BOC的度数. (2)∠BOC与∠A有怎样的数量关系,并说明理由. 下面是一块三角形的铁皮,如何在它上面截下一块圆形的用料,并且使截下来的圆与三角形的三边都相切? 探究新知 1、三角形的内切圆的定义: 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 内切圆的圆心叫做三角形的内心. 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点, (2)三角形的内心到三角形三边的距离相等, 都等于内切圆的半径. (1)三角形的内心与三角形顶点的连线, 平分三角形的内角. 2、三角形内心的性质: 1. 如图,点O是 ABC内切圆的圆心, 若 2. 如图,点O是 ABC外接圆的圆心, 若 A B C O A B C O 例4.如图, ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F,且AB=9,BC=14,CA=13.求AF、BD、CE的长. 大本126页第4题 例5.如图, ABC中,∠C=90 ,⊙O是 ABC的内切圆, D,E,F是切点. (1)求证:四边形ODCE是正方形; (2)如果AB=5,AC=3,求内切圆⊙O的半径. 大本126页第5题 探究三角形内切圆的半径:(直角三角形) 直角三角形内切圆半径公式: A B C O D E F r r r 如图,⊙O是Rt ABC的内切圆, .切点分别是D、E、F. 已知AC=b,AB=c,BC=a,求Rt ABC内切圆的半径r. 探究三角形内切圆的半径:(一般三角形) 如图,⊙O是 ABC的内切圆,切点分别是D、E、F.已知AC=b, AB=c,BC=a,求 ABC内切圆的半径r. A C B O r r r F D E 一般三角形内切圆半径公式: 大本11题 归纳: (1) (2) 三角形的外接圆与三角形的内切圆,有什么区别呢? 外心:三角形外接圆的圆心(或三角形三边中垂线的交点). 三角形外心 到三角形的 三个顶点的 距离相等. 锐角三角形的外心在形内; 直角三角形的外心在斜边中点; 钝角三角形的外心在形外. 内心:三角形内切圆的圆心(或三角形三内角平分线的交点). 三角形内心 到三角形的 三边的距离相等. 三角形的内心一定在三角形形内. 图形 点O名称 性质 位置 角度关系 O 辨析: 如图,点E是 ABC的内心,AE的延长线和 ABC的外接圆相交于点D,连接BE, (1)若∠CBD=34 ,求∠BEC的度数; (2)求证:DE=DB. 教学反思 因为这些内容对学生来讲,强度比较,任务比较多,所以主要发挥了教师的主导作用,以丰富学生的间接经验为出发点实施课堂教学活动。 本节课只重视了知识的传授,而忽视了与现实生活的结合,比如可引入一些三角形中做最大圆的问题,从而激发学生的学习兴趣。课堂气氛比较沉闷。课堂时间的把握不够准确,有拖堂现象。对课堂练习设计不够精细。 板书设计不合理。课堂小结环节过于简单。由于本节课知识点有一定难度和时间的限制,对学困生的照顾不够。 Lavf57.83.100 Lavf57.83.100 $$