4.5 相似三角形判定定理的证明-【七彩作业】2024-2025学年九年级数学上册同步教学设计（北师大版）河北专版

课时目标 了解相似三角形三个判定定理的证明过程,发展推理能力. 学习重点 　　了解相似三角形三个判定定理的证明过程. 学习难点 　　了解相似三角形三个判定定理的证明过程. 课时活动设计 　　复习回顾 　　1.判定两个三角形全等的方法有哪些? 　　解:ASA,AAS,SSS,SAS. 　　2.判定两个三角形相似的方法有哪些? 　　解:(1)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 　　(2)两角分别相等的两个三角形相似. 　　(3)三边成比例的两个三角形相似. 　　设计意图:通过回顾复习已得结论入手,激发学生的学习兴趣. 　　探究新知 　　提问:那么我们怎么证明相似三角形的判定是真命题呢? 　　定理1:两角分别相等的两个三角形相似. 　　如何对文字命题进行证明?与同伴进行交流. 　　学生组内合作,互相交流讨论.教师参与讨论并给予指导,通过多媒体展示证明过程. 　　已知:如图1,在△ABC和△A'B'C'中,∠A=∠A',∠B=∠B'. 　　求证:△ABC∽△A'B'C'. 图1 　　证明:在△ABC的边AB(或它的延长线)上截取AD=A'B',过点D作BC的平行线,交AC于点E(如图2),则∠ADE=∠B,∠AED=∠C, =　(平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的对应线段成比例).  　　过点D作AC的平行线,交BC于点F,则 =　(平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的对应线段成比例).  图2 　　∴ = . 　　∵DE∥BC,DF∥AC, 　　∴四边形DFCE是平行四边形. 　　∴DE=CF.∴ =　.∴ ==　.  　　而∠ADE=∠B,∠DAE=∠BAC,∠AED=∠C,∴　△ADE∽△ABC　.  　　∵∠A=∠A',∠ADE=∠B=∠B',AD=A'B',∴△　ADE　≌△　A'B'C'　.∴△ABC∽△A'B'C'.  　　设计意图:通过证明,我们可以得到命题1是一个真命题,从而得出相似三角形判定定理1:两角分别相等的两个三角形相似. 　　推理证明 　　1.可以类比前面的证明方法,来继续证明定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 　　教师引导学生自主探索证明思路和证明方法. 　　已知:如图,在△ABC和△A'B'C'中,∠A=∠A',=. 　　求证:△ABC∽△A'B'C'. 　　证明:在△ABC的边AB(或它的延长线)上截取AD=A'B',过点D作BC的平行线,交AC于点E,则∠B=∠ADE,∠C=∠AED, 　　∴△ABC∽△ADE(两角分别相等的两个三角形相似). 　　∴=. 　　∵=,AD=A'B', 　　∴=. 　　∴=. 　　∴AE=A'C'. 　　而∠A=∠A', 　　∴△ADE≌△A'B'C'. 　　∴△ABC∽△A'B'C'. 　　2.让学生独立完成三边成比例的两个三角形相似的证明.从而得到相似三角形判定定理3:三边成比例的两个三角形相似. 　　已知:如图,在△ABC和△A'B'C'中,==. 　　求证:△ABC∽△A'B'C'. 　　证明:在△ABC的边AB,AC(或它们的延长线)上分别截取AD=A'B',AE=A'C',连接DE. 　　∵=,AD=A'B',AE=A'C', 　　∴=. 　　而∠BAC=∠DAE, 　　∴△ABC∽△ADE(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似). 　　∴=. 　　又=,AD=A'B'. 　　∴=. 　　∴=. 　　∴DE=B'C'. 　　∴△ADE≌△A'B'C'. 　　∴△ABC∽△A'B'C'. 　　设计意图:鼓励学生积极思考,模仿前面的证明过程进行证明.可让学生板书过程,或老师在学生中寻找具有代表性资源,通过投影修正过程中存在的问题. 　　巩固训练 　　1.判断题: 　　(1)所有的等边三角形都相似.　　　　(　􀳫　) 　　(2)所有的直角三角形都相似. (　✕　) 　　(3)所有的等腰三角形都相似. (　✕　) 　　(4)所有的等腰直角三角形都相似. (　􀳫　) 　　2.如图,AD⊥BC于点D,CE⊥AB于点E,且交AD于点F,你能从中找出几对相似三角形? 　　解:6对.△AFE∽△CFD,△ABD∽△CBE,△DCF∽△DAB,△AEF∽△CEB,△AEF∽△ADB,△CDF∽△CFB. 　　3.如图,在正方形网格上△A1B1C1和△A2B2C2,它们相似吗? 　　解:相似. 　　由图可知,A1B1==2,B1C1==2,A1C1=4,A2B2==,B2C2==,A2C2=2. 　　∴===2. 　　∴△A1B1C1∽△A2B2C2. 　　设计意图:通过上面的练习,灵活运用三种判定定理判断两个三角形是否相似,加深对相似三角形判定定理的理解,提高运用判定定理解决问题的能力. 　　课堂小结 　　通过本节课的学习,你学会了哪些知识和方法? 　　相似三角形的判定定理的选择: 　　1.已知有一角相等,可选判定定理1和2; 　　2.已知有两边对应成比例,可选判定定理2和3. 　　设计意图:鼓励学生结合本节课的学习过程,谈谈自己的收获与感想,让学生学会疏理、归纳和总结. 　　课堂8分钟. 　　1.教材第102页习题4.9第1,2,3,4题. 　　2.七彩作业. *4.5　相似三角形判定定理的证明 相似三角形的判定定理的选择: 1.已知有一角相等,可选判定定理1和2; 2.已知有两边对应成比例,可选判定定理2和3. 教学反思         学科网（北京）股份有限公司 $$