4.4 探索三角形相似的条件-【七彩作业】2024-2025学年九年级数学上册同步教学设计（北师大版）河北专版

第1课时　相似三角形的定义及其判定定理1 课时目标 1.经历两个三角形相似条件的探索过程,增强发现问题、提出问题的意识,进一步体会类比、分类、归纳等思想与方法. 　　2.了解相似三角形的概念,掌握“两角分别相等的两个三角形相似”的判定方法. 　　3.能够运用上述相似三角形的条件解决简单的问题,发展应用意识. 学习重点 　　了解相似三角形的概念,掌握相似三角形的判定定理1:两角分别相等的两个三角形相似. 学习难点 　　运用两角分别相等的两个三角形相似解决相关问题. 课时活动设计 　　情境引入 　　各小组派代表展示自己小组课前调查搜集的相似三角形,并解释从相似三角形中获取的信息,总结出相似三角形的概念. 　　总结:相似三角形概念:三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形. 　　设计意图:培养学生从相似三角形中获得信息的能力,而且由此引出:生活中有很多相似三角形,那么人们在判断三角形相似时,是以什么为依据呢?这就是本节课要研究的问题,自然引出课题. 　　探究新知 　　学生分小组进行讨论. 　　1.依据全等三角形的定义:两个三角形的三条边及三个角都对应相等,这样的两个三角形全等,你还记得三角形全等的其他判定方法吗? 　　2.如果两个三角形只有一个角相等,它们一定相似吗?如果有两个角分别相等呢? 　　3.与同伴合作,两个人分别画△ABC和△A'B'C',使得∠A和∠A'都等于∠α,∠B和∠B'都等于∠β,此时,∠C和∠C'相等吗?三边的比,,相等吗?这样的两个三角形相似吗?改变∠α,∠β的大小,再试一试. 　　4.如果两个三角形有若干个角对应相等,那么至少有几个角对应相等就能保证这两个三角形相似? 　　相似三角形的判定定理1:两角分别相等的两个三角形相似. 　　设计意图:以复习旧知识和问题串的形式引导学生逐步深入思考三角形相似的条件,问题1是让学生回顾旧知识,为新知识学习奠定基础,起到“抛砖引玉”的作用,问题2为学生提供了猜测、交流、联想的机会,问题3通过画图、测量、计算等,对所猜测的结论进行验证,问题4实际上起到归纳总结的作用. 　　典例精讲 　　例　如图,D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点,DE∥BC,AB=7,AD=5,DE=10,求BC的长. 　　解:∵DE∥BC, 　　∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C. 　　∴△ADE∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似). 　　∴=. 　　∴BC===14. 　　设计意图:通过分析例题,理解判定定理1的使用方法:在两个三角形中,两内角分别相等→两个三角形相似→对应边成比例,从而解决问题. 　　巩固训练 　　1.如图,在△ABC和△DEF中,∠A=40°,∠B=80°,∠E=80°,∠F=60°,则△ABC与△DEF　相似　.(“相似”或“不相似”)  　　2.有一个锐角相等的两个直角三角形是否为相似三角形? 　　解:有一个锐角相等的两个直角三角形是相似三角形,理由是两角对应相等的两个三角形相似. 　　设计意图:在上面的问题中,两个三角形中是否有两角对应相等是解决问题的关键,通过分析问题,加深对相似三角形判定定理1的理解,培养学生的推理能力. 　　课堂小结 　　通过本节课的学习,你有何收获?还有哪些疑问? 　　1.相似三角形的概念:三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形. 　　2.相似三角形的判定定理1:两角分别相等的两个三角形相似. 　　3.相似三角形的对应角相等,对应边成比例. 　　设计意图:学生畅所欲言自己的切身感受和实际收获,进一步认识相似三角形的判定,提高逻辑推理能力. 　　课堂8分钟. 　　1.课本第90页习题4.5第1,2,3题. 　　2.七彩作业. 第1课时　相似三角形的定义及其判定定理1 1.相似三角形的概念:三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形. 2.相似三角形的判定定理1:两角分别相等的两个三角形相似. 3.相似三角形的对应角相等,对应边成比例. 教学反思         第2课时　相似三角形的判定定理2 课时目标 1.理解并掌握相似三角形的判定定理“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”. 　　2.在进行探索的活动过程中,发展类比的数学思想,增强学生的探索、发现、归纳意识,增强合情推理的语言表达能力. 　　3.培养学生积极思考、动手、观察的能力,使学生感悟几何知识在生活中的价值. 学习重点 　　掌握相似三角形的判定定理“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”. 学习难点 　　相似三角形判定定理在实际问题中的灵活运用. 课时活动设计 　　复习回顾 　　1.相似三角形的相关概念. 　　(1)三个角对应　相等　、三条边对应　成比例　的两个三角形叫做相似三角形.  　　(2)相似三角形的对应角　相等　,对应边　成比例　.  　　(3)相似比等于　1　的两个三角形全等.  　　2.我们已经学过哪些判定两个三角形相似的方法?类比三角形全等的判定,你认为可能还有哪些方法能判定两个三角形相似?(请大胆猜想) 　　3.(1)两个三角形有两边成比例,它们一定相似吗? 　　(2)在(1)的前提下,如果再增加一个条件,你能说出有哪几种可能的情况吗? 　　(3)在(1)的前提下,如果增加一角相等,你能说出有哪几种可能的情况吗? 　　设计意图:通过课前预习发现学生易出现的错误,巩固上节课学过的知识,为新课的学习做好铺垫,有利于帮助学生体会到新旧知识之间的联系与转化. 　　情境导入 　　如图,A,B两点被池塘隔开,为测量A,B两点间的距离,在池塘边任选一点C,连接AC,BC,并延长AC到点D,使CD=AC,延长BC到点E,使CE=BC,连接DE,如果测量DE=20 m,那么AB=2×20=40 m.你知道这是为什么吗? 　　设计意图:通过生活中的的实际问题入手,激发了学生的求知欲和好奇心,激起了学生探究活动的兴趣. 　　探究新知 　　以四人为一组,合作探究、交流展示: 　　1.画△ABC与△A'B'C',使∠A=∠A',=都等于给定的值k.设法比较∠B与∠B'(或∠C与∠C')的大小.△ABC和△A'B'C'相似吗? 　　2.改变k值的大小,再试一试. 　　由学生归纳总结:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 　　3.如果△ABC与△A'B'C'两边成比例(如图),且其中一边所对的角相等,那么这两个三角形一定相似吗?由此你能得到什么结论? 　　小结:两边对应成比例且其中一边所对的角对应相等的两个三角形不一定相似. 　　设计意图:学生以自己的思维方式进行探究,充分经历从特殊到一般的过程;讲解中小组之间互相补充,培养了学生们的合作交流精神和语言表达能力. 　　典例精讲 　　例　如图,D,E分别是△ABC的边AC,AB上的点,AE=1.5,AC=2,BC=3,且=,求DE的长. 　　解:∵AE=1.5,AC=2,∴==. 　　∵=,∴=. 　　又∵∠EAD=∠CAB, 　　∴△ADE∽△ABC(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似). 　　∴==.∵BC=3,∴DE=BC=×3= 　　设计意图:此题是“共角型”相似三角形的典型例题,旨在让学生观察认识图形,并充分体会从直观发现到自觉说理的过渡过程,渗透了简单逻辑推理的思想,为第五节相似三角形判定定理的证明的学习做好铺垫,从而达到承前启后的目的. 　　巩固训练 　　1.如图,(1)若= 　,则△ABC∽△AEF;  　　(2)若∠E=　∠B　,则△ABC∽△AEF.  　　2.如图,在△ABC中,∠A=52°,AB=2.5,AC=5.5.在△DEF中,∠E=52°,DE=7,EF=3,△ABC与△EDF是否相似?为什么? 　　解:不相似,理由:∵AB=2.5,AC=5.5,DE=7,EF=3,∴==,==.∴≠,∴△ABC与△EDF不相似. 　　设计意图:通过这两道练习,对比判定定理1,2的使用条件,加深对这两个定理的理解,对本节课的知识进行巩固练习. 　　课堂小结 　　通过这节课的学习,你有哪些收获? 　　1.相似三角形的判定定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 　　2.两边对应成比例且其中一边所对的角对应相等的两个三角形不一定相似. 　　3.常见模型: 　　设计意图:让学生复述本节课所学知识,从归纳总结中获取知识,从而加深对本节知识的理解,培养学生梳理知识的学习习惯. 　　课堂8分钟. 　　1.教材第93页习题4.6第1,2,3,4题. 　　2.七彩作业. 第2课时　相似三角形的判定定理2 1.相似三角形的判定定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 2.两边对应成比例,且其中一边所对的角对应相等的两个三角形不一定相似. 3.常见模型: 教学反思         第3课时　相似三角形的判定定理3 课时目标 1.掌握相似三角形的判定定理“三边成比例的两个三角形相似”,能够运用相似三角形的条件解决简单的问题. 　　2.通过对判定定理的探索,发展思维的灵活性,进一步培养逻辑推理能力. 学习重点 　　掌握相似三角形的判定定理:“三边成比例的两个三角形相似”. 学习难点 　　相似三角形的判定定理在实际问题中的灵活运用. 课时活动设计 　　复习回顾 　　1.三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形(定义); 　　2.两角分别相等的两个三角形相似; 　　3.两边成比例及夹角相等的两个三角形相似. 　　设计意图:通过复习回顾,巩固上节课学过的知识,为新课的学习作铺垫,有利于帮助学生体会到新旧知识之间的联系与转化. 　　探究新知 　　1.画△ABC与△A'B'C',使,和都等于给定的值k. 　　(1)设法比较∠A与∠A'的大小. 　　(2)△ABC与△A'B'C'相似吗?说说你的理由. 　　2.改变k值的大小,再试一试. 　　注意事项:按照上面的步骤进行,这里的k由自己定,为了节约时间,一个组取一个相同的k值,不同的组取不同的k值. 　　学生根据画出的相似三角形的图形及在画相似三角形中的“发现”进行相互交流,教师给予适当的帮助,后由学生展示、讲解画出来的相似三角形,展示自己探索的过程及自己得出的结论. 　　师:经过大家的亲身参与体会,你们得出的结论是什么呢? 　　生:结论为∠A=∠A',△ABC∽△A'B'C',理由:∠A=∠A',=. 　　根据“两边成比例及夹角相等的两个三角形相似”可知△ABC∽△A’B’C’. 　　师:其他组的同学的结论相同吗? 　　生:相同. 　　师:经过大家的探讨,我们又掌握了一种相似三角形的判定方法. 　　判定定理3:三边成比例的两个三角形相似. 　　△ABC与△A'B'C'的边长如图所示,这两个三角形是否相似? 　　解:如图,在△ABC与△A'B'C'中, 　　===, 　　则△ABC∽△A'B'C'.　　　 　　设计意图:通过活动使得学生对相似三角形的判定定理3有了系统的了解,通过学生自己的探索和教师对知识的系统教学,加深了学生对知识的记忆. 　　典例精讲 　　例　如图,在△ABC和△ADE中,==,∠BAD=20°,求∠CAE的度数. 　　解:∵==, 　　∴△ABC∽△ADE(三边成比例的两个三角形相似). 　　∴∠BAC=∠DAE. 　　∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, 　　即∠BAD=∠CAE. 　　∵∠BAD=20°, 　　∴∠CAE=20°. 　　设计意图:通过分析例题,明晰定理的使用方法,规范综合法证明的数学格式,加深学生对相似三角形判定定理3的理解. 　　巩固训练 　　1.如图,每组中的两个三角形是否相似?为什么? 　　解:(1)不相似.因为两个三角形三边的比不相等. 　　(2)相似.因为三边成比例的两个三角形相似. 　　2.如图,△ABC与△A'B'C'相似吗?你有哪些判断方法? 　　学生先独立思考,然后小组合作交流. 　　解:△ABC∽△A'B'C'. 三角形相似的判断方法 三边成比例的两个三角形相似 两角分别相等的两个三角形相似 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 定义法 　　设计意图:巩固对本节知识的理解,并让学生将上两节课:“相似三角形的判定定理1”“相似三角形的判定定理2”与本课知识“相似三角形的判定定理3”的内容系统地掌握. 　　课堂小结 全等三角形的判定定理 ASA,AAS,SSS,SAS 相似三角形的判定定理 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 两角分别相等的两个三角形相似 三边成比例的两个三角形相似 　　设计意图:让学生养成自主梳理知识要点的习惯,提高归纳总结的能力,在归纳总结的过程中,通过对比全等三角形的判定定理和相似三角形的判定定理,完善知识架构. 　　课堂8分钟. 　　1.教材第95页习题4.7第1,2题. 　　2.七彩作业. 第3课时　相似三角形的判定定理3 　　　 全等三角形的判定定理 ASA,AAS,SSS,SAS 相似三角形的判定定理 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 两角分别相等的两个三角形相似 三边成比例的两个三角形相似 教学反思         第4课时　黄金分割 课时目标 1.知道黄金分割的定义;会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点;会找一条线段的黄金分割点. 　　2.通过找一条线段的黄金分割点,培养学生理解与动手能力. 　　3.理解黄金分割的现实意义,让学生认识数学与生活的密切联系. 学习重点 　　了解黄金分割的意义并能运用. 学习难点 　　找出黄金分割点和作黄金矩形. 课时活动设计 　　复习回顾 　　1.什么是“成比例线段”? 　　解:四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于c与d的比,即=,那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段,简称比例线段. 　　2.相似三角形的相关概念: 　　(1)三个角对应　相等　、三条边对应　成比例　的两个三角形叫做相似三角形.  　　(2)相似三角形的对应角　相等　,对应边　成比例　.  　　3.相似三角形的判定定理有哪些? 　　解:两角分别相等的两个三角形相似;两边成比例且夹角相等的两个三角形相似;三边成比例的两个三角形相似. 　　设计意图:通过复习回顾,巩固上节学过的知识,为新课的学习作铺垫,帮助学生体会新旧知识之间的联系与转化. 　　探究新知 　　一个五角星如图所示. 　　(1)从图中找出相等的角、相等的线段. 　　(2)在图中找出两对相似比不同的相似三角形. 　　小亮认为,=,你同意他的看法吗?说说你的理由. 　　学生组内合作,互相交流讨论,教师及时给予指导并引出黄金分割的相关概念. 　　一般地,点C把线段AB分成两条线段AC和BC(如图),如果=,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫黄金比. 　　设计意图:通过对五角星进行探究,发现黄金分割所描述的线段之比,获得对黄金分割的直观认识,进而得到黄金分割的定义. 　　典例精讲 　　1.计算黄金比. 　　解:由=,得AC2=AB·BC. 　　设AB=1,AC=x,则BC=1-x. 　　∴x2=1×(1-x), 　　即x2+x-1=0. 　　解这个方程,得x1=,x2=(不符合题意,舍去). 　　所以,黄金比=≈0.618. 　　2.如图1是古希腊时期的帕提侬神庙,如果把图中用虚线表示的矩形画成如图2中的矩形ABCD,以矩形ABCD的宽为边在其内部作正方形AEFD,那么,我们可以惊奇的发现,=.点E是AB的黄金分割点吗?矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗? 图1　　　图2 　　解:由=,可以得到=,即=.所以点E是AB的黄金分割点.是黄金比,也就是说,矩形ABCD的宽与长的比是黄金比. 　　设计意图:通过分析帕提侬神庙中的黄金分割,加深对黄金分割的理解,体会黄金分割在现实生活中的广泛应用和文化价值. 　　操作感知 　　1.提出问题:如何找到一条线段的黄金分割点? 　　多数学生尝试画出1 cm,2 cm的线段,通过计算找到黄金分割点大概的位置.可以用这种方法大概的找到当线段长为a时黄金分割点的位置,但不能精确地找到. 　　2.如图,已知线段AB,按照如下方法画图: 　　(1)经过点B作BD⊥AB,使BD=AB; 　　(2)连接DA,在DA上截取DE=DB; 　　(3)在AB上截取AC=AE,则点C为线段AB的黄金分割点. 　　3.提出问题:为什么点C为线段AB的黄金分割点? 　　方法提示:设AB=2a,分别求出AC和BC,并计算和,或计算AC2和BC·AB. 　　设AB=2a,则BD=a,DE=a. 　　在Rt△ABD中,AD===. 　　∴AE=AD-ED=-a=(-1). 　　∴AE=AE=(-1)a,BC=AB-AC=2a-(-1)a=3-. 　　∴=,=. 　　∴=. 　　∴点C为线段AB的黄金分割点. 　　注意事项:由于学生所学过的尺规作图方法有限,作图工具可以用三角尺和刻度尺. 　　设计意图:向学生介绍一种作黄金分割点的方法,同时巩固学生对黄金分割的认识. 　　巩固训练 　　1.电视节目主持人在主持节目时,站在舞台的黄金分割点处最自然得体,若舞台AB长为20 m,试计算主持人应走到离A点至少多少米处是比较得体的位置?(A在B左边,主持人在A处结果精确到0.1 m). 　　解:她离点A至少20×(1-)=10(3-)=30-10≈7.6(m). 　　2.人体下半身(即脚底到肚脐的长度)与身高的比越接近0.618越给人以美感,遗憾的是即使是身材修长的芭蕾舞演员也达不到如此完美.某女士身高1.68 m,下半身1.02 m,她应选择多高的高跟鞋才能使她看起来更美丽?(精确到1 cm) 　　解:1.02 m=102 cm,1.68 m=168 cm. 　　设她应选择的高跟鞋的高为x cm. 　　根据题意,得=0.618,解得x≈5. 　　答:她应选择约5 cm的高跟鞋看起来更美丽. 　　3.采用如下方法也可以作出一条已知线段AB的黄金分割点H. 　　(1)以线段AB为边作正方形ABCD; 　　(2)取AD的中点E,连接EB; 　　(3)延长DA至F,使EF=EB; 　　(4)以线段AF为边作正方形AFGH. 　　点H就是线段AB的黄金分割点. 　　任意作一条线段,用上述方法作出这条线段的黄金分割点,你能说说这种作法的道理吗? 　　解:设AB=2,那么在Rt△BAE中,BE===.于是EF=BE=,AH=AF=BE-AE=-1,BH=AB-AH=3-,因此=,点H是AB的黄金分割点. 　　设计意图:前两个练习题与本节课第一环节相呼应,在于展示黄金分割在人类生活中的作用,提高学生解决问题的能力.第3题向学生介绍另一种可以作黄金分割点的方法,同时进一步巩固学生对黄金分割点的认识. 　　课堂小结 　　1.什么叫做黄金分割?黄金比是多少? 　　解:一般地,点C把线段AB分成两条线段AC和BC(如图),如果=,那么称线段AB被点C分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫黄金比.其中ACAB=1≈0.618,即≈0.618. 　　2.一条线段有几个黄金分割点? 　　解:一条线段有2个黄金分割点. 　　3.如何用尺规作线段的黄金分割点? 　　解:(方法一)已知线段AB,按照如下方法画图. 　　(1)经过点B作BD⊥AB,使BD=AB; 　　(2)连接DA,在DA上截取DE=DB; 　　(3)在AB上截取AC=AE,则点C为线段AB的黄金分割点. 　　(方法二)如图,设AB是已知的线段,在AB上作正方形ABCD,取AD的中点E,连接EB,延长DA至点F,使EF=EB,以线段AF为边作正方形AFGH,点H就是AB的黄金分割点. 　　4.如何说明一个点是一条线段的黄金分割点? 　　解:分得的线段比符合黄金分割定义. 　　设计意图:鼓励学生总结本节课所学的知识,并应用到现实之中,逐步形成正确的数学观,培养学生的审美意识. 　　课堂8分钟. 　　1.教材第98页习题4.8第1,4题. 　　2.七彩作业. 第4课时　黄金分割 　　　一般地,点C把线段AB分成两条线段AC和BC(如图),如果=,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫黄金比.其中ACAB=1≈0.618,即≈0.618. 教学反思         学科网（北京）股份有限公司 $$