4.1 成比例线段-【七彩作业】2024-2025学年九年级数学上册同步教学设计（北师大版）河北专版

第1课时　成比例线段 课时目标 1.了解相似图形、线段的比的概念;会求两条线段的比,运用线段的比解决实际问题. 　　2.掌握比例的基本性质,提高解决问题的能力,培养学生的数学应用意识,体会数学与自然、社会的密切联系. 学习重点 　　理解成比例线段的概念并会求解. 学习难点 　　了解比例的基本性质及其简单应用. 课时活动设计 　　情境引入 　　通过用幻灯片展示生活中的图片,突出每组图片形状相同的特点. 　　设计意图:引发学生思考每组图片的特征,激发学生的学习兴趣. 　　探究新知 　　1.你能在下面这些图形中找出形状相同的图形吗?这些形状相同的图形有什么不同? 　　教师提出问题,学生以小组的形式进行讨论交流,教师随机选取学生回答问题,引出学生线段的比的必要性. 　　形状相同而大小不同的两个平面图形,较大的图形可以看作是由较小的图形“放大”得到的,较小的图形可以看成是由较大的图形“缩小”得到的.在这个过程中,两个图形上的相应线段也被“放大”或“缩小”.因此,对于形状相同而大小不同的两个图形,我们可以用相应线段长度的比来描述它们的大小关系. 　　2.归纳小结. 　　如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长度分别是m,n,那么就说这两条线段的比就是它们长度的比,即AB∶CD=m∶n,或写成=.其中,AB,CD分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把表示成比值k,那么=k,或AB=k·CD.两条线段的比实际上就是两个数的比. 　　如图,五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'形状相同,AB=5 cm,A'B'=3 cm.AB∶A'B'=5∶3,就是线段AB与线段A'B'的比,这个比值刻画了这两个五边形的大小关系. 　　3.想一想. 　　两条线段长度的比与所采用的长度单位有没有关系? 　　通过上面的活动学生应该对这个问题有了一定的认识:两条线段长度的比与所采用的长度单位无关. 　　4.做一做. 　　如图,设小方格的边长为1,四边形ABCD与四边形EFGH的顶点都在格点上,那么AB,AD,EF,EH的长度分别是多少? 　　分别计算,,,的值.你发现了什么? 　　学生独立解答,师生共同订正答案,然后教师引导学生发现这四组对应线段的比相等,进而引出比例线段的概念. 　　四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于c与d的比,即=,那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段,简称比例线段. 　　在图中AB,EF,AD,EH是成比例线段,AB,AD,EF,EH也是成比例线段. 　　5.议一议. 　　如果a,b,c,d四个数成比例,即=,那么ad=bc吗?反过来,如果ad=bc,那么a,b,c,d四个数成比例吗? 　　学生在小组内交流,教师及时给予提示,最后进行总结归纳. 　　小结:比例的基本性质: 　　如果=,那么ad=bc. 　　如果ad=bc(a,b,c,d都不等于0),那么=. 　　设计意图:通过发现这些形状相同的图形的不同点,引出线段的比的概念.学生实际操作并进行讨论后得出:两条线段长度的比与所采用的长度单位没有关系.引入成比例线段的概念,进而研究比例的基本性质. 　　典例精讲 　　如图,一块矩形绸布的长AB=a m,宽AD=1 m,按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗,且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同,即=,那么a的值应当是多少? 　　解:根据题意可知,AB=a m,AE=a m,AD=1 m. 　　由=,得 　　=, 　　即a2=1. 　　∴a2=3. 　　开平方,得a=(a=-舍去). 　　设计意图:通过教材上的例题,让学生利用所学的知识来解决实际生活中的问题. 　　巩固训练 　　1.一条线段的长度是另一条线段长度的5倍,则这两条线段之比是　51　.  　　2.一条线段的长度是另一条线段长度的,则这两条线段之比是　35　.  　　3.已知a,b,c,d是成比例线段,a=4 cm,b=6 cm,d=9 cm,则c=　6 cm　.  　　4.如果2x=5y,那么= 　.  　　5.把mn=pq写成比例式,错误的是(　D　) 　　A.=　　　　B.=　　　　C.=　　　　D.= 　　6.已知abc=234,且a+b+c=15,则a= 　,b=　5　,c= 　.  　　7.判断下列四条线段是否成比例. 　　(1)a=2,b=,c=,d=2; 　　(2)a=,b=3,c=2,d=; 　　(3)a=4,b=6,c=5,d=10; 　　(4)a=12,b=8,c=15,d=10. 　　解:(1)否;(2)否;(3)否;(4)是. 　　设计意图:通过有梯度的练习,巩固课堂上所学的知识,加深学生对线段的比和成比例线段的认识. 　　课堂小结 　　这节课我们学习了哪些知识?你有什么收获?你有什么发现、探索? 　　设计意图:让学生回顾本节课的学习内容,提高学生归纳总结的能力. 　　课堂8分钟. 　　1.教材第79页习题4.1第1,2题. 　　2.七彩作业. 第1课时　成比例线段 1.两条线段的比. 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长度分别是m,n,那么就说这两条线段的比就是它们长度的比,即ABCD=mn,或写成=.其中,AB,CD分别叫做这个线段比的前项和后项. 2.成比例线段. 四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于c与d的比,即=,那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段,简称比例线段. 3.比例的基本性质. 如果=,那么ad=bc. 如果ad=bc(a,b,c,d都不等于0),那么=. 教学反思         第2课时　等比性质 课时目标 1.理解比例的等比性质;理解并掌握比例的基本性质及其简单应用;发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力. 　　2.经历运用线段的比解决问题的过程,在观察、计算、讨论、想象等活动中获取知识. 　　3.通过本节课的教学,培养学生的数学应用意识,体会数学与现实生活的密切联系. 学习重点 　　让学生理解并掌握比例的性质及其简单应用. 学习难点 　　运用比例的性质解决有关问题. 课时活动设计 　　复习回顾 　　复习:1.成比例线段的定义; 　　2.比例的基本性质; 　　3.若3m=2n,你可以得到的值吗?呢? 　　设计意图:学生思考回顾上节课的内容,更好地进入本节课的学习. 　　探究新知 　　1.如图,已知==,你能求出与的值吗?它们有怎样的关系?如果=,那么与有怎么样的关系?在求解过程中,你有什么发现? 　　教师提出问题,学生先独立完成计算,再在小组内交流自己的计算结果及发现,组内达成共识后在班内展示,教师给予正确引导. 　　议一议:已知a,b,c,d,e,f六个数.如果=,那么=和=成立吗?为什么? 　　学生独立完成,教师随机选择学生进行回答. 　　2.如图,,,,的值相等吗?的值又是多少?在求解过程中,你有什么发现? 　　议一议:已知a,b,c,d,e,f六个数.如果==(b+d+f≠0),那么=成立吗?为什么? 　　学生独立完成,教师随机选择学生进行回答. 　　如果==…=(b+d+…+n≠0),那么=吗? 　　学生尝试总结a,b,…,n之间的关系,教师多媒体展示. 合比性质 如果=,那么= 等比性质 如果==…=(b+d+…+n≠0), 那么= 　　注意事项:要强调等比性质中,分母b+d+…+n≠0. 　　设计意图:通过由特殊到一般的方法归纳出合比性质与等比性质,加深对成比例线段的理解. 　　典例精讲 　　1.已知=,求与的值. 　　解:∵=,∴=+1=+1=. 　　∵=,∴=-1=-1=-. 　　2.在△ABC与△DEF中,若===,且△ABC的周长为18 cm,求△DEF的周长. 　　解:∵===, 　　∴==. 　　∴4(AB+BC+CA)=3(DE+EF+FD),即DE+EF+FD=(AB+BC+CA). 　　又∵△ABC的周长为18 cm,即AB+BC+CA=18 cm, 　　∴DE+EF+FD=(AB+BC+CA)=×18=24(cm),即△DEF的周长为24 cm. 　　设计意图:学到的知识要会应用升华,在这个环节中,让学生灵活运用比例的合比性质及等比性质.解决实际问题.师生互动,主要还是学生的动,要体现教师的主导作用,学生的主体作用.让学生会主动学习,遇到问题,要善于分析思考. 　　巩固训练 　　1.已知==(b+d≠0),求的值. 　　解:=. 　　2.若=,则= 　.  　　3.若=,则的值为 　.  　　4.已知==. 　　(1)求的值;　(2)求的值. 　　解:(1)∵==, 　　∴=,=. 　　∴=+1+=3. 　　(2)设===k, 　　∴a=3k,b=5k,c=7k. 　　∴===-1. 　　5.如图,已知每个小方格的边长均为1,求AB,DE,BC,DC,AC,EC的长,并计算△ABC与△EDC的周长比. 　　解:由勾股定理,得AB=2,DE=,BC=2,DC=,AC=2,EC=,△ABC的周长=AB+BC+AC=2(++),△EDC的周长=DE+DC+EC=++,所以△ABC与△EDC的周长比等于21. 　　设计意图:通过有针对性的练习,加深学生对合比性质与等比性质的理解,进一步巩固本堂课所学知识,提高应用能力. 　　课堂小结 　　谈谈本节课的收获,与同伴进行交流. 　　设计意图:复习比例的基本性质,合比性质,等比性质,巩固本节课所学的内容. 　　课堂8分钟. 　　1.课本第81页习题4.2第3题. 　　2.七彩作业. 第2课时　等比性质 　　　 合比性质 如果=,那么= 等比性质 如果==…=(b+d+…+n≠0), 那么= 教学反思         学科网（北京）股份有限公司 $$ 一、单元学习主题 　　本单元是“图形与几何”领域“图形的变化”主题中的“图形的相似”. 二、单元学习内容分析 1.课标分析 　　《标准2022》指出初中阶段“图形与几何”领域包括“图形的性质”“图形的变化”和“图形与坐标”三个主题,其中“图形的变化”强调从运动变化的观点来研究图形,理解图形在变化中的不变量.相似图形是现实生活中广泛存在的现象(全等图形其实就是它的一个特例).在本章的学习中,学生将通过实际情境认识成比例的线段,了解线段的比、比例的基本性质.通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割.通过具体实例认识图形的相似,了解图形相似的意义,会判断简单的相似三角形.了解相似多边形和相似比.掌握基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.了解相似三角形的判定定理:两角分别相等的两个三角形相似;两边成比例且夹角相等的两个三角形相似;三边成比例的两个三角形相似.了解相似三角形判定定理的证明.了解相似三角形的性质定理:相似三角形对应线段的比等于相似比;面积比等于相似比的平方.了解图形的位似,知道利用位似可以将一个图形放大或缩小.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题.在直角坐标系中,探索并了解将一个多边形的顶点坐标(有一个顶点为原点,有一条边在横坐标轴上)分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形是位似的. 2.本单元教学内容分析 　　北师大版教材九年级上册第四章“图形的相似”,本章包括八个小节:4.1成比例线段;4.2平行线分线段成比例;4.3相似多边形;4.4探索三角形相似的条件;4.5相似三角形判定定理的证明;4.6利用相似三角形测高;4.7相似三角形的性质;4.8图形的位似. 　　单元内容结构图如下: 　　基于《标准2022》的要求和学生的认知基础,“图形的相似”这一章学习的总体思路是:以数形结合为基本方法,以合情推理能力与演绎推理能力的培养为主线,在贴近学生生活的情境和丰富的数学活动中,了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段,掌握平行线分线段成比例的基本事实;类比三角形全等,探索三角形相似的条件,了解相似三角形的判定定理和性质定理;了解图形的位似,体会多边形的顶点坐标分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形的位似关系;会利用图形的相似解决一些简单的实际问题. 三、单元学情分析 　　学生通过对相交线、平行线、三角形、四边形(主要是平行四边形)等图形性质与证明的学习,已经积累了较为丰富的数学活动经验,空间观念逐步增强,几何直观与推理能力都得到了一定的培养,为相似图形的学习打下了基础.学生虽然积累了相应的数学活动经验,但图形的相似对推理能力、计算能力要求较高.在学习过程中.可以通过实际情境和新颖的数学情境的设置,使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程,在探索过程中由学生自主突破难点. 四、单元学习目标 　　1.在研究与图形相似有关的问题中,经历观察、操作、类比、归纳、交流等过程,进一步发展几何直观、空间观念和推理能力,发展发现问题、提出问题、解决问题的能力,积累数学活动经验. 　　2.了解线段的比、成比例线段,掌握比例的性质及平行线分线段成比例的基本事实. 　　3.了解相似多边形和相似比. 　　4.探索并了解三角形相似的条件和性质. 　　5.了解相似三角形判定定理的证明. 　　6.了解图形的位似,能够利用位似将一个图形放大或缩小. 　　7.探索并了解多边形的顶点坐标(有一个顶点为原点、有一条边在横坐标轴上)分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形的位似关系. 　　8.了解黄金分割,了解相似图形在现实生活中的应用;在探索问题、合作交流过程中,进一步体会数学与自然及人类社会的密切联系和数学的价值,增强应用意识. 五、单元学习内容及学习方法概览 六、单元评价与课后作业建议 　　本单元课后作业整体设计体现以下原则: 　　针对性原则:每课时作业严格按照《标准2022》设定针对性的作业,及时反馈学生的学业质量情况. 　　层次性原则:教师注意将作业分层进行,注重知识的层次性和学生的层次性.知识由易到难,由浅入深,循序渐进,突出基础知识,基本技能,渗透人人学习数学,人人有所获.重视过程与方法,发展数学的应用意识和创新意识. 　　根据以上建议,本单元作业设置为两部分,基础性作业和拓展性作业. 学科网（北京）股份有限公司 $$