2.5 一元二次方程的根与系数的关系-【七彩作业】2024-2025学年九年级数学上册同步教学设计（北师大版）河北专版

课时目标 1.理解掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根x1,x2与系数a,b,c之间的关系. 　　2.利用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题. 学习重点 　　利用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题. 学习难点 　　推导一元二次方程的根与系数的关系. 课时活动设计 　　知识回顾 　　1.一元二次方程的一般形式?(ax2+bx+c=0(a≠0)) 　　2.一元二次方程有实数根的条件是什么?(Δ=b2-4ac≥0) 　　3.当Δ>0,Δ=0,Δ<0时,根的情况如何?(当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根;当Δ=0时,方程有两个相等的实数根;当Δ<0时,方程没有实数根.) 　　4.一元二次方程的求根公式是什么? 　　设计意图:以问题串的形式引导学生思考,回忆公式法解一元二次方程的相关知识,有利于学生衔接前后知识,形成清晰的知识脉络. 　　情境引入 　　同学们,我们来做一个游戏,看谁能选用合适的方法解下列一元二次方程,并观察方程的根与系数有什么关系. (1)x2-2x=0;　　(2)6x2+x-2=0;　　(3)2x2-3x+1=0. 　　设计意图:通过游戏入手,激起了学生探究新知的兴趣.自然引出本节课要学习的课题. 　　探究新知 　　计算填表(验证第一环节游戏的结果). 方程 x1 x2 x1+x2 x1x2 x2-2x=0 0 2 2 0 6x2+x-2=0 - - - 2x2-3x+1=0 1 　　问题: 　　1.观察方程的系数与两根的和与两根的积有什么关系?把猜想结果在小组内讨论. 　　教师引导学生得出根与系数关系的猜想:x+x2=-,x1x2=. 　　2.你能证明上面的猜想吗?请证明,并用文字语言叙述说明. 　　分小组讨论以上的问题,并推理证明. 　　证明: 　　我们知道,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)当b2-4ac≥0两个根: 　　x1=,x2=. 　　于是,两根之和为 　　x1+x2=+==-; 　　两根之积为 　　x1·x2=· 　　　　　= 　　　　　= 　　　　　=. 　　即如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根 x1, x2,那么x1+x2=-, x1x2=. 　　设计意图:本环节采用“实践—观察—发现—猜想—证明”的过程,使学生既动手动脑,又动口,教师引导启发,避免注入式地讲授,体现学生的主体学习特性,培养了学生的创新意识和创新精神. 　　巩固训练 　　1.根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积. 　　(1)2x2-3x-1=0,x1+x2= 　,x1x2=　-　;  　　(2)3x2+5x=0,x1+x2=　-　,x1x2=　0　;  　　(3)x2+7x=-6,x1+x2=　-7　,x1x2=　6　;  　　(4)5x2+kx-6=0,x1+x2=　-　,x1x2=　-　.  　　2.已知一元二次方程2x2-3x-5=0的两个根分别为x1,x2,求下列式子的值. 　　(1)+;　(2)+;　(3)x1-x2. 　　解:(1)这里a=2,b=-3,c=-5. 　　那么x1+x2=,x1x2=. 　　∵+=(x1+x2)2-2x1x2, 　　∴+=+2×=. 　　(2)∵+=, 　　∴+==-. 　　(3)∵(x1-x2)2=-2x1x2+=+5=, 　　∴x1-x2=±. 　　3.已知方程6x2+kx-5=0的一个根为1,求它的另一个根及k的值. 　　解:∵方程6x2+kx-5=0的1个根为1, 　　∴6×12+k×1-5=0. 　　∴k=-1. 　　∴方程为6x2-x-5=0. 　　∵两根之和为-,a=6,b=-1 　　∴-=. 　　∵有1个根为1, 　　∴另1个根为-1=-. 　　注意事项:两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数中的符号是学生的易错点.将两根的平方和、倒数和、差转化为两根和与积的代数式时,部分学生不能熟练地掌握. 　　设计意图:应用根与系数的关系,求一元二次方程中与方程的根有关的代数式的值,是根与系数关系的经典应用.通过上面的练习加深学生对所学知识的理解,明确知识的使用方法. 　　扩展应用 　　1.已知三角形的两边长a,b是方程x2-12x+k=0的两个根,三角形的第三条边c=4,求这个三角形的周长. 　　解:∵a、b是方程x2-12x+k=0的两个根, 　　已知a=1,b=-12,c=k. 　　∴两根之和a+b=12. 　　∴三角形周长=12+4=16. 　　2.已知三角形的两边长a,b是方程x2-12x+k=0的两个根,三角形的第三条边c能等于15吗? 　　解:∵a,b是方程x2-12x+k=0的两个根. 　　已知a=1,b=-12,c=k, 　　∴两根之和a+b=12 　　∵15>12, 　　∴第三条边c不能等于15. 　　3.利用根与系数的关系,写出一个一元二次方程,使它的两根分别为2和3. 　　解:2x2-10x+12=0.(答案不唯一) 　　设计意图:第1,2题把一元二次方程根与系数的关系与三角形三边关系组合,借此锻炼学生综合分析、推理、归纳的能力.第3题已知方程的两根写出一个一元二次方程,是一元二次方程根与系数关系的逆用,培养学生的逻辑思维. 　　课堂小结 　　在方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,a,b,c有哪些作用? 　　1.二次项系数a是否为零,决定着方程是否为二次方程. 　　2.当a≠0时,b=0,a,c异号,方程两根互为相反数. 　　3.当a≠0时,b=0可判定根的情况. 　　4.当a≠0,b2-4ac≥0时,x1+x2=-,x1x2=. 　　5.当a≠0,c=0时,方程必有一根为0. 　　设计意图:通过交流总结,回顾本节课所学知识,加深学生对相关知识的理解.帮助学生养成梳理知识要点的习惯,在归纳总结的过程中,逐步形成完整的知识框架. 　　课堂8分钟 　　1.教材第51页习题2.8第1,3题. 　　2.七彩作业. *2.5一元二次方程的根与系数的关系 根与系数的关系:　　　　　　　　　　例 (1)x1+x2=-; (2)x1x2=. 学科网（北京）股份有限公司 $$