2.4 用因式分解法求解一元二次方程-【七彩作业】2024-2025学年九年级数学上册同步教学设计（北师大版）河北专版

课时目标 1.会用因式分解法(提公因式法、公式法)解决某些简单的数字系数的一元二次方程. 　　2.能根据具体的一元二次方程的特征,灵活地选择方程的解法,体会解决问题方法的多样性. 学习重点 　　用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些简单的一元二次方程. 学习难点 　　用提公因式法或公式法将一元二次方程适当变形. 课时活动设计 　　知识回顾 　　问题1.我们已经学过的解一元二次方程的方法有哪些? 　　①直接开平方法,将一元二次方程化为x2=p(p≥0)的形式,再开平方求解; 　　②用配方法解一元二次方程的关键是将方程转化为(x+m)2=n(n≥0)的形式; 　　③用公式法解一元二次方程应先将方程化为一般形式. 　　问题2.多项式因式分解的方法有哪些? 　　①提公因式法:ma+mb+mc=m(a+b+c); 　　②平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b); 　　③完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)2; 　　④“+”字相乘法:x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q). 　　设计意图:以问题串的形式引导学生思考,回忆解一元二次方程的方法和多项式因式分解的方法,有利于学生衔接前后知识,形成清晰的知识脉络,为学生后面的学习作铺垫. 　　探究新知 　　1.一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗?如果相等,这个数是几?你是怎样求出来的? 　　学生A:设这个数为x. 　　根据题意,可列方程x2=3x,∴x2-3x=0. 　　∵a=1,b=-3,c=0,∴b2-4ac=9.∴x=. 　　∴x1=0,x2=3. 　　∴这个数是0或3. 　　学生B:设这个数为x. 　　根据题意,可列方程x2=3x,∴x2-3x=0. 　　x2-3x+=,=. 　　∴x-=,或x-=-. 　　∴x1=3,x2=0. 　　∴这个数是0或3. 　　学生C:设这个数为x. 　　根据题意,可列方程x2=3x, 　　∴x2-3x=0,即x(x-3)=0. 　　∴x=0或x-3=0.∴x1=0,x2=3. 　　∴这个数是0或3. 　　学生D:设这个数为x. 　　根据题意,可列方程x2=3x, 　　两边同时约去x,得x=3, 　　∴这个数是3. 　　2.观察学生C的做法,你发现了什么?他运用了什么方法解一元二次方程?(小组讨论) 　　教师总结:当一元二次方程的一边为0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就让两个因式各自为0,化成两个一元一次方程,进而达到降次. 　　设计意图:通过一元二次方程不同解法的比较,使学生能够根据方程的具体特征,灵活选取适当的解法. 　　一起探究 　　展示因式分解法如何通过降次求解一元二次方程. 　　以方程3x2=6x为例. 　　分析:先因式分解,使一元二次方程转化为两个一次因式乘积等于0的形式,再使这两个一次因式分别等于0,从而实现降次,这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.基本步骤如下: 　　3x2=6x 　　　↓ ①移项,使一元二次方程右边为0. 　　3x2-6x=0 　　　↓ ②分解,把左边运用因式分解化为两个一次因式的乘积. 　　3x(x-2)=0 　　　↓③赋值,分别令每个因式等于0,得到两个一元一次方程. 　　3x=0,x-2=0. 　　　↓④求解,分别解这两个一元一次方程,它们的根就是原方程的解. 　　x1=0,x2=2. 　　归纳:左分解,右化0,两因式,各求解. 　　设计意图:师生互动,引导学生归纳总结,通过已知ab=0,则a=0或b=0,引出因式分解法解一元二次方程的概念和步骤,提高学生的归纳能力和理解能力. 　　典例精讲 　　例　解下列方程: 　　(1)5x2=4x; 　　(2)x-2=x(x-2); 　　(3)(x+1)2-25=0. 　　解:(1)原方程可变形为5x2-4x=0, 　　∴x(5x-4)=0. 　　∴x=0,或5x-4=0. 　　∴x1=0,x2=. 　　(2)原方程可变形为(x-2)-x(x-2)=0, 　　∴(x-2)(1-x)=0. 　　∴x-2=0,或1-x=0. 　　∴x1=2,x2=1. 　　(3)原方程可变形为[(x+1)+5][(x+1)-5]=0, 　　∴(x+6)(x-4)=0. 　　∴x+6=0,或x-4=0. 　　∴x1=-6,x2=4. 　　设计意图:例题讲解中,第(1)题学生独自完成,考查了学生对引例的掌握情况,便于及时反馈.第(2)(3)题师生互动共同合作,进一步规范解题步骤. 　　巩固训练 　　1.解方程:(1)(x+2)(x-4)=0;　(2)x2-4=0; 　　(3)4x(2x+1)=3(2x+1). 　　解:(1)(x+2)(x-4)=0,　　　　(2)原方程可变形为x2-22=0, 　　　x+2=0,或x-4=0,　　　　　　(x+2)(x-2)=0. 　　　x1=-2,x2=4.　　　　　　　　　x+2=0,或x-2=0. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　x1=-2,x2=2. 　　(3)原方程可变形为(2x+1)(4x-3)=0, 　　　　2x+1=0,或4x-3=0. 　　　　x1=-,x2=. 2.一个数平方的两倍等于这个数的7倍,求这个数. 　　解:设这个数为x, 　　则2x2=7x, 　　即2x2-7x=0, 　　x(2x-7)=0, 　　解得x=0,或2x-7=0. 　　所以x1=0,x2=. 　　故这个数为0或. 　　设计意图:通过精心设计的练习题,学生可以更加清晰地回忆起课堂上讲解的概念和原理.通过不断地练习,学生可以巩固获得的基础知识,将零散的知识点串联起来,完善对新方法的认知. 　　扩展应用 　　一元二次方程(m-1)x2+3mx+(m+4)(m-1)=0有一个根为0,求m的值. 　　注意事项:学生交流合作,教师提出问题进行适当的引导,题中一个根为0有什么用? 　　解:∵一元二次方程(m-1)x2+3mx+(m+4)(m-1)=0有一个根为0. 　　∴把x=0代入方程,得(m+4)(m-1)=0. 　　∴m+4=0,或m-1=0. 　　∴m1=-4,m2=1. 　　又∵m-1≠0,∴m≠1.∴m=-4. 　　设计意图:通过有实际背景的练习题,可以有效地巩固和深化学生对本节知识的理解和应用.这些练习题不仅是对学生所学知识的检验,更是他们灵活运用知识、提高逻辑思维能力的有力工具. 　　课堂小结 　　1.用因式分解法解一元二次方程的基本思路和关键是什么? 　　2.在应用因式分解法时,应注意什么问题? 　　3.因式分解法体现了怎样的数学思想? 　　设计意图:通过思考上面的问题,对所学知识进行回顾,培养学生的归纳概括能力和语言表达能力.帮助学生将零散的知识点串联起来,逐步形成完整的知识框架. 　　课堂8分钟. 　　1.教材第47页习题2.7第1,2题. 　　2.七彩作业. 2.4用因式分解法求解一元二次方程 解一元二次方程的方法: 4.因式分解法(略).　　　　　　　　　例(略) 教学反思         学科网（北京）股份有限公司 $$