2.3 用公式法求解一元二次方程-【七彩作业】2024-2025学年九年级数学上册同步教学设计（北师大版）河北专版

第1课时　公式法 课时目标 1.在教师的指导下,学生能够正确地推导出一元二次方程的求根公式,并在探求过程中培养学生的数学建模意识和合情推理能力. 　　2.不解方程,会用一元二次方程根的判别式判断出方程的根的情况,并在此过程中,培养学生观察和总结的能力. 　　3.通过正确、熟练地使用求根公式解一元二次方程,提高学生的综合运算能力. 学习重点 　　用求根公式解一元二次方程. 学习难点 　　推导一元二次方程的求根公式. 课时活动设计 　　复习引入 　　用配方法解下列方程:(1)2x2+3=7x;(2)3x2+2x+1=0. 　　全班同学在练习本上运算,可找一名同学上黑板演算. 　　由学生总结用配方法解方程的一般方法. 　　解:(1)2x2+3=7x. 　　将方程化成一般形式,得2x2-7x+3=0. 　　两边同时除以二次项系数2,得x2-x+=0, 　　移项,得x2-x=-. 　　配方,得x2-x+=-+,即=. 　　两边开平方,得x-=±, 　　即x1=3,x2=. 　　(2)3x2+2x+1=0. 　　两边同时除以二次项系数3,得x2+x+=0, 　　移项,得x2+x=-. 　　配方,得x2+x+=-+,即=-. 　　∵-<0, 　　∴原方程无解. 　　设计意图:进一步夯实用配方法解方程的一般步骤.选择了一个没有解的方程,让学生切实的感受到并不是所有的一元二次方程在实数范围内都有解. 　　自主探究 　　探究1　任何一元二次方程都可以写成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),能否也用配方法得出ax2+bx+c=0的解呢? 　　学生在演算纸上自主推导,并针对自己在推导过程中遇见的问题在小范围内自由研讨.最后由师生共同归纳、总结,得出求根公式. 　　解:两边同时除以二次项系数a,得x2+x+=0. 　　问:为什么可以两边同时除以二次项系数a? 　　答:因为a≠0. 　　配方,得x2+x+-+=0, 　　即-=0,=. 　　问:现在可以两边开平方吗? 　　答:不可以,因为不能保证≥0. 　　问:什么情况下≥0? 　　学生讨论后回答: 　　∵a≠0,∴4a2>0. 　　要使≥0,只要b2-4ac≥0即可. 　　∴当b2-4ac≥0时,两边开平方取“±”得 　　x+=±,x+=±, 　　x=-±,x=. 　　问:如果b2-4ac<0时,会出现什么问题? 　　答:方程无解. 　　问:如果b2-4ac=0呢? 　　答:方程有两个相等的实数根. 　　注意事项:学生的主要问题通常出现在这样的几个地方: 　　(1)x2+x+-+=0中-+运算的符号出现错误或通分出现错误. 　　(2)未意识到只有当b2-4ac≥0时,两边才能开平方. 　　(3)两边开平方,忽略取“±”. 　　探究2　归纳总结公式法的定义和根的判别式. 　　小结:(1)我们把x=称为一元二次方程的求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法. 　　(2)对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根;当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根;当b2-4ac<0时,方程没有实数根.由此可知,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况可由b2-4ac来判定.我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,通常用希腊字母“Δ”来表示. 　　设计意图:让学生亲身经历公式的推导过程,一方面可以巩固配方法,另一方面有助于理解求根公式. 　　典例精讲 　　1.判断下列方程是否有解.(学生口答) 　　(1)2x2+3=7x;　　　(2)x2-7x=18;　　　(3)3x2+2x+1=0; 　　(4)9x2+6x+1=0; (5)16x2+8x=3; (6)2x2-9x+8=0. 　　学生迅速演算或口算出b2-4ac,从而判断出根的情况. 　　问:判断第(3)题是否有解,公式法与配方法对比,哪种方法更简捷? 　　2.上述方程如果有解,求出方程的解. 　　学生口述,教师板书第(1)(4)题. 　　(1)解方程:2x2+3=7x. 　　解:先将方程化成一般形式,得2x2-7x+3=0. 　　确定a,b,c的值分别为a=2,b=-7,c=3. 　　∵b2-4ac=(-7)2-4×2×3=25>0, 　　∴原方程有两个不相等的实数根. 　　∴x===, 　　即x1=3,x2=. 　　问:与配方法相比较,哪种解法更简捷? 　　(4)解方程:9x2+6x+1=0. 　　解:确定a,b,c的值分别为a=9,b=6,c=1. 　　∵b2-4ac=62-4×9×1=0, 　　∴原方程有两个相等的实数根. 　　∴x====-. 　　即x1=x2=-. 　　剩下的题目,教师可根据时间情况选择使用,个别学生上黑板做题,其他同学在座位上练习. 　　设计意图:通过分析典型例题,帮助学生理解公式法,并通过判断示范,规范学生使用公式法求解一元二次方程的格式.在解答过程中,结合例题理解判别式与一元二次方程的根的情况之间的联系. 　　课堂小结 　　1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么? 　　2.如何判断一元二次方程根的情况? 　　3.用公式法解方程时,应注意的问题是什么? 　　4.你在解方程的过程中有哪些小技巧? 　　教师引导学生对本节课内容进行回顾与反思,并在小组内进行交流. 　　设计意图:通过思考上面的问题,引导学生梳理本节课的收获,反思自己的学习过程,积累学习经验.让学生养成自主梳理知识要点的习惯,提高归纳总结的能力. 　　课堂8分钟. 　　1.教材第43页习题2.5第1,2题. 　　2.七彩作业. 第1课时　公式法 一.解一元二次方程的方法: 公式法. 二.根的判别式. 教学反思     第2课时　公式法的实际应用 课时目标 1.通过一元二次方程的建模过程,体会方程的解必须符合实际意义,增强应用数学的意识,巩固解一元二次方程的方法. 　　2.通过设计方案培养学生的创新思维能力,提升应用数学去解决实际问题的能力. 学习重点 　　应用一元二次方程求解与图形面积相关的问题. 学习难点 　　根据面积公式列一元二次方程. 课时活动设计 　　知识回顾 　　你能举例说明什么是一元二次方程吗?它有什么特点?怎样用配方法解一元二次方程?怎样用公式法解一元二次方程? 　　设计意图:帮助学生回忆一元二次方程及其解法,为后面说明设计方案的合理性作铺垫. 　　情境引入 　　教师提出问题:现在我遇到这样的问题,看大家能否帮我解决? 图1 　　如图1,在一块长为16 m,宽为12 m的矩形荒地上,要建造一个花园,并使花园所占面积为荒地面积的一半.你觉得这个方案能实现吗?若可以实现,你能给出具体的设计方案吗? 　　设计意图:以情境引入课题,将数学知识与实际生活情境相结合,培养学生运用数学知识解决实际问题的能力,学生能够更好地理解数学知识的实际应用,提高数学应用能力,同时也能够激发学生的探究兴趣和动力. 　　交流探究 　　先让学生自己设计,画出草图,然后到黑板上展示、交流自己的作品. 　　学生的设计多种多样,这里只选具有代表性的几种(如图2). (1)　　(2)　　(3)　　(4) (5)　　(6) 图2 　　在学生自行设计和展现作品时,教师可以提出具有挑战性、开放性的问题,以激发学生的学习热情.例如,(1)你能说明你的设计是符合要求的吗?(2)以上图形哪些可以直接说明符合上面的条件?剩下的图形怎样通过计算来说明? 　　设计意图:让学生先独立思考,独自设计,再合作交流、互相补充,培养学生的创新思维能力和合作学习的意识. 　　自主探究 　　1.如何设未知数?怎样列方程? 　　2.分组解图2中的(5),(6)所列的方程. 　　图2(5)的解答: 　　解:设小路的宽为x m. 　　由题意,得(16-2x)(12-2x)=16×12×. 　　整理,得x2-14x+24=0. 　　配方,得x2-14x+49=-24+49, 　　即(x-7)2=25. 　　开平方,得x-7=±5. 　　所以x1=12,x2=2. 　　问题:你认为小路的宽为12 m或2 m都符合实际意义吗? 　　图2(6)的解答: 　　解:设扇形的半径为x m. 　　由题意,得πx2=16×12×, 　　即πx2=96. 　　开平方,得x=±≈5.5, 　　即x1≈5.5,x2≈-5.5(不符合题意,舍去). 　　设计意图:通过问题的解答和验证,使学生明确用数学知识解决实际问题时,它的解要符合实际意义.还能使学生增强应用数学的意识,巩固用配方法解一元二次方程的方法与步骤. 　　典例精讲 　　在一幅长90 cm、宽40 cm的风景画(如图3)的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边,制成一幅挂图,如果要求风景画的面积是整个挂图面积的72%,那么金色纸边的宽应该是多少? 图3　　　图4　　　图5 　　出示图4和图5进行比较,你认为哪一幅图是按要求镶上的金色纸边,你将如何设未知数从而列出方程? 　　解:根据题意可知图4是符合要求的. 　　设金色纸边的宽为x cm. 　　由题意,得(90+2x)(40+2x)×72%=90×40. 　　整理,得x2+65x-350=0,解得x1=5,x2=-70(不符合题意,舍去). 　　所以金色纸边的宽是5 cm. 　　设计意图:学生经历应用矩形面积公式建立一元二次方程,应用方程解决问题的全过程.获得应用一元二次方程解决实际问题的方法,积累解决相关问题的经验. 　　课堂小结 　　通过本节课的学习,你有哪些感悟?还有哪些困惑? 　　设计意图:通过思考上面的问题,反思本节课的学习过程,从学习方法,学习过程,获得的知识等几个方面归纳自己的收获.有助于学生深入理解课堂内容,同时促进他们独立思考和自主学习能力的提升. 　　课堂8分钟. 　　1.教材第45页习题2.6第2,3,4题. 　　2.七彩作业. 第2课时　公式法的实际应用 　应用一元二次方程解决问题的一般步骤:　　　　例 教学反思         学科网（北京）股份有限公司 $$