2.2 用配方法求解一元二次方程-【七彩作业】2024-2025学年九年级数学上册同步教学设计（北师大版）河北专版

第1课时　直接开平方法和配方法 课时目标 1.能根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程. 　　2.理解配方法,能用配方法解二次项系数为1的一元二次方程,体会转化等数学思想. 学习重点 　　用直接开平方法解形如x2=p或(x+n)2=p(p≥0)的方程;配方法解二次项系数为1的一元二次方程. 学习难点 　　把方程化为x2=p或(x+n)2=p(p≥0)的形式;理解并掌握用配方法解二次项系数为1的一元二次方程. 课时活动设计 　　知识回顾 　　1.平方根的定义:如果x2=a(a≥0),那么x叫做a的平方根. 　　2.如果一个数的平方等于4,那么这个数是　±2　;如果一个数的平方等于7,那么这个数是　±　;如果x2=a,那么x=　±　.  　　3.用字母表示因式分解的完全平方公式:　(a±b)2=a2±2ab+b2　.  　　4.练一练:x2-4x+4=　(x-2)2　;x2+6x+9=　(x+3)2　.  　　设计意图:通过以上题目的练习,引导学生复习开平方和完全平方公式,为本课时的学习作铺垫. 　　新知引入 　　怎样解x2=2? 　　解:根据平方根的定义,x是2的平方根,即x=±,记为x1=,x2=-.这种直接通过求平方根来解一元二次方程的方法叫做直接开平方法. 　　设计意图:利用实际问题,让学生初步体会开方法在解一元二次方程中的应用,为后面学习配方法作铺垫. 　　典例精讲 　　1.解下列方程: 　　(1)x2- 4=0; (2)4x2-1=0. 　　分析:x2- 4=0先将-4移项,再直接开平方;4x2-1=0也同样先移项,在两边同时除以4,化为x2=p的形式,再用直接开平方法直接计算. 　　解:(1)x2-4=0,x2=4,x=±2,即x1=2,x2=-2. 　　(2)4x2-1=0,4x2=1,x2=,x=±,即x1=,x2=-. 　　2.解方程:(x+1)2=2. 分析:只要把(x+1)看成是一个整体,就可以用直接开平方法求解. 解:(x+1)2=2 x+1=± 即x1=-1+, x2=-1-. 　　设计意图:通过例题讲解,引导学生用直接开平方法解一元一次方程,提高学生分析问题、解决问题的能力. 　　探究新知 　　1.做一做:(填空配成完全平方式,体会如何配方) 　　填上适当的数,使下列等式成立. 　　(1)x2+12x+　36　=(x+6)2;(2)x2-6x+　9　=(x-3)2;  　　(3)x2+8x+　16　=(x+　4　)2;(4)x2-4x+　4　=(x-　2　)2.  　　2.想一想,解方程x2- 12x-15=0的流程是怎样的? x2- 12x-15=0 　　↓移项,把常数项移到方程的右边 x2- 12x=15 　　↓两边都加36使左边配成x2-2bx+b2的形式 x2- 12x+36=15+36 　　↓使等式左边写成完全平方式 (x-6)2=51 　↓ 两边开平方 x-6=± 　↓ x-6=,或x-6=- 　　　　↓ 解一元一次方程 x1=6+ ,x2=6- 　　设计意图:配方法的关键是正确配方,而要正确配方就必须熟悉完全平方公式的特征,在此通过几个填空题,使学生能够用语言叙述并充分理解等式的左边填的是“一次项系数一半的平方”,右边填的是“一次项系数的一半”,进一步复习巩固完全平方公式中常数项与一次项系数的关系. 　　典例精讲 　　解方程:x2+8x-9=0.(师生共同解决) 　　解:可以把常数项移到方程的右边,得x2+8x=9. 　　两边都加上42(一次项系数8的一半的平方), 　　得x2+8x+42=9+42,即(x+4)2=25. 　　两边开平方,得x+4=±5,即x+4=5或x+4=-5. 　　所以x1=1,x2=-9. 　　小结:例题中,我们通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根.这种解一元二次方程的方法称为配方法. 　　用这种方法解一元二次方程的思路是什么?关键又是什么?(小组合作交流) 　　设计意图:通过对上述题目的讲解,规范配方法解一元二次方程的过程,让学生充分理解用配方法解一元二次方程的关键是将方程转化成(x+m)2=n(n≥0)的形式.同时提醒学生注意:有的方程虽然有两个不同的解,但在处理实际问题时要根据实际意义检验结果的合理性,对结果进行取舍. 　　巩固训练 　　解下列方程: 　　(1)x2-10x+25=7;　(2)x2-14x=8; 　　(3)x2+3x=1;　　　(4)x2+2x+2=8x. 　　解:(1)方程可转化为(x-5)2=7,开平方得x-5=±,即x-5=或x-5=-.所以x1=5+,x2=5-; 　　(2)两边都加上72得x2-14x+49=8+49,即(x-7)2=57.两边开方得x-7=±,即x-7=或x-7=-.所以x1=7+,x2=7-; 　　(3)两边同时加上,得x2+3x+=1+,即=.两边开平方得x+=±,即x+=或x+=-.所以x1=,x2=; 　　(4)移项得x2+2x-8x=-2,两边都加9得x2-6x+9=-2+9,即(x-3)2=7.两边开平方得x-3=±,即x-3=或x-3=-.所以x1=3+,x2=3-. 　　设计意图:通过巩固练习,学生可以更好地掌握本节课的知识点,并为后续的学习打下坚实的基础.同时,教师也可以根据学生的练习情况,及时了解学生的学习状况,为后续的教学做好充分的准备. 　　课堂小结 　　师生互相交流、总结配方法解一元二次方程的基本思路和关键步骤,以及应用配方法时应注意的问题. 　　设计意图:培养学生及时反思的习惯,归纳本节课的收获.让学生养成自主梳理知识要点的习惯,逐渐培养出独立思考和自主学习的能力. 　　课堂8分钟. 　　1.教材第37页习题2.3第1,2,3题. 　　2.七彩作业. 第1课时　直接开平方法和配方法 解一元二次方程的方法:　　　　例(略) 1.直接开方法(略). 2.配方法(略). 教学反思         第2课时　用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程 课时目标 1.经历用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的过程,体会其中的化归思想. 　　2.能利用一元二次方程解决有关的实际问题,能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性,进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力. 学习重点 　　用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程. 学习难点 　　将二次项系数不为1的一元二次方程转化为二次项系数为1的一元二次方程. 课时活动设计 　　回顾旧知 　　1.回顾配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤. 　　例如,x2-6x-40=0. 　　解:移项,得x2-6x=40. 　　方程两边都加上9(一次项系数一半的平方),得x2-6x+32=40+32, 　　即(x-3)2=49. 　　开平方,得x-3=±7, 　　即x-3=7或x-3=-7. 　　所以x1=10,x2=-4. 　　2.将下列各式填上适当的项,配成完全平方式.(口头回答) 　　(1)x2+2x+　1　=(x+　1　)2;  　　(2)x2-4x+　4　=(x-　2　)2;  　　(3)x2+　12x　+36=(x+　6　)2;  　　(4)x2+10x+　25　=(x+　5　)2;  　　(5)x2-x+ 　=(x- 　)2.  　　设计意图:回顾配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤,为本节课研究二次项系数不为1的一元二次方程的解法奠定基础. 　　探究新知 　　请同学们比较下列两个一元二次方程的联系与区别. 　　(1)x2+6x+8=0;　(2)3x2+18x+24=0. 　　解:两个方程之间的区别是方程(2)的二次项系数为3,不符合上节课解题的基本形式;联系是当方程(2)的两边同时除以3以后,这两个方程式为同解方程. 　　探讨方程(2)应该如何求解呢? 　　设计意图:学生们做了方程的变形以后,对二次项系数不为1的方程的解法有了初步的感受和思路. 　　典例精讲 　　解方程:3x2+8x-3=0. 　　解:方程两边同时除以3,得x2+x-1=0, 　　移项,得x2+x=1. 　　配方,得x2+x+=1+,即=. 　　两边开平方,得x+=±,即x+=,或x+=-.所以x1=,x2=-3. 　　注意事项:(1)当一次项系数为分数时,所要添加常数项仍然为一次项系数一半的平方,理解这样做的原理,树立解题的信心.(2)得到x+=±后,在移项得到x+=与x+=-的过程中,要注意符号问题,这一步在计算过程中容易出错. 　　设计意图:通过上述例题的讲解,继续规范配方法解一元二次方程的过程.让学生充分理解并掌握用配方法解一元二次方程的基本思路,理解配方法解一元二次方程的关键是将方程转化成(x+m)2=n(n≥0)形式. 　　扩展应用 　　一个小球从地面以15 m/s的初速度竖直向上弹出,它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系:h=15t-5t2,小球何时能达到10 m的高度? 　　解:根据题意,得15t-5t2=10. 　　方程两边都除以-5,得t2-3t=-2. 　　配方,得t2-3t+=-2+,即=. 　　两边开平方,得t-=±,即t-=或t-=-.所以t1=2,t2=1. 　　所以当t=1或2时,小球能达到10 m的高度. 　　设计意图:在前边学习的基础上,通过上述试题进一步提高学生分析问题、解决问题的能力,帮助学生熟练掌握配方法在实际问题中的应用. 　　巩固训练 　　1.解下列方程: 　　(1)3x2-9x+2=0;　(2)2x2+6=7x;　(3)4x2-8x-3=0. 　　解:(1)移项,得3x2-9x=-2. 方程两边同时除以3,得x2-3x=-. 配方,得x2-3x+=-+,即=. 两边开平方,得x-=±. 所以x1=+,x2=-; (2)移项,得2x2-7x=-6. 方程两边同时除以2,得x2-x=-3. 配方,得x2-x+=-3+,即=. 两边开平方,得x-=±. 所以x1=2,x2=; (3)移项,得4x2-8x=3. 两边同时除以4,得x2-2x=. 配方,得x2-2x+12=+12,即(x-1)2=. 两边开平方,得x-1=±. 所以x1=1+,x2=1-. 　　2.印度古算术中有这样一首诗:“一群猴子分两队,高高兴兴在游戏.八分之一再平方,蹦蹦跳跳树林里;其余十二叽喳喳,伶俐活泼又调皮.告我总数共多少,两队猴子在一起”大意是:一群猴子分两队,一队猴子数是猴子总数的八分之一的平方,另一队猴子数是12,那么猴子的总数是多少?请同学们解决这个问题. 　　解:设总共有x只猴子,由题意,可得+12=x. 　　解得x1=16,x2=48. 　　答:总共有16只或48只猴子. 　　设计意图:对利用一元二次方程解决实际问题进行巩固练习,培养学生的阅读能力和数学建模能力. 　　课堂小结 　　1.解一元二次方程的基本步骤. 　　2.利用一元二次方程解决实际问题的思路. 　　设计意图:让学生养成及时总结的习惯,反思学习的过程和收获的知识点,积累学习经验,在归纳总结的过程中,了解自己对本节课内容还有哪些困惑并解决. 　　课堂8分钟. 　　1.教材第40页习题2.4第1,3题. 　　2.七彩作业. 第2课时　用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程 解一元二次方程的方法: 配方法. 教学反思         学科网（北京）股份有限公司 $$