2.1 认识一元二次方程-【七彩作业】2024-2025学年九年级数学上册同步教学设计（北师大版）河北专版

第1课时　一元二次方程 课时目标 1.经历由具体问题抽象出一元二次方程概念的过程,进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型. 　　2.理解一元二次方程及其相关概念. 学习重点 　　抽象概括出一元二次方程的概念. 学习难点 　　通过具体情境建立数学模型. 课时活动设计 　　情境引入 图1 　　幼儿园某教室矩形地面的长为8 m,宽为5 m,现准备在地面的正中间铺设一块面积为18 m2的地毯(如图1),四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同,你能求出这个宽度吗? 如果设所求的宽度为x m,那么你能列出怎样的方程? 解:(8-2x)(5-2x)=18. 图2 　　注意事项:教学中,为了帮助学生理解题意,可以先提出问题:你能找到图中的矩形地面、条形区域和地毯区域吗?并让一学生指出对应的三部分,再要求学生从这一实物图中抽象出几何图形(如图2). 　　设计意图:培养学生的问题意识,增强学生分析问题的能力,提升学生抽象思维能力,同时也为后续归纳一元二次方程的概念提供材料. 　　探究新知 1.你能找到关于102,112,122,132,142这五个数之间的等式吗? 　　解:102+112+122=132+142. 通过前面的学习,直接让学生设未知数,列出适合条件的方程. 如果将这五个连续整数中的第一个数设为x,那么怎么用含x的代数式表示其余四个数?根据题意,你能列出怎样的方程? 解:x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2. 注意事项:在找五个连续整数,使前三个数的平方和等于后两个数的平方和的问题时,部分学生有困难,并且寻找的方式也有不同,有的学生采取代入特殊值一个一个去试,有的学生直接归结为方程去解决.对于那些需要帮助的学生,教师应给予必要的指导. 　　2.如图,一个长为10 m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m.如果梯子的顶端下滑1 m.那么梯子的底端滑动多少米? 你能计算出滑动前梯子底端距墙的距离吗?如果设梯子底端滑动x m,那么你能列出怎样的方程? 解:(x+6)2+72=102. 　　结合上面得到的三个方程:(8-2x)(5-2x)=18,x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2,(x+6)2+72=102,观察它们的共同点,得到一元二次方程的概念及其各部分的名称. 　　归纳:上面的方程都是只含有一个未知数x的整式方程,并且都可以化成ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)的形式,这样的方程叫做一元二次方程.我们把ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)称为一元二次方程的一般形式,其中ax2,bx,c分别称为二次项,一次项和常数项,a,b分别称为二次项系数和一次项系数. 　　设计意图:通过具体的例子来归纳一元二次方程的概念,加深对概念的理解. 　　巩固训练 　　1.把方程3(x+2)2=4(x-3)2化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项. 　　解:方程(3x+2)2=4(x-3)2化成一般形式为5x2+36x-32=0,它的二次项系数是5,一次项系数是36,常数项是-32.(答案不唯一) 　　2.从前有一天,一个笨汉拿着竹竿进屋,横拿竖拿都进不去,横着比门框宽4尺,竖着比门框高2尺.他的邻居教他沿着门的两个对角斜着拿竿,这个笨汉一试,不多不少刚好进去了.你知道竹竿有多长吗?请根据这一问题列出一元二次方程. 　　解:设竹竿长为x尺,则门框宽为(x-4)尺,门框高为(x-2)尺.由题意得x2=(x-4)2+(x-2)2,即x2-12x+20=0. 　　设计意图:通过及时巩固一元二次方程的有关概念,使学生可以更好地掌握本节课的知识点. 　　课堂小结 　　让学生通过本节课的学习,自己归纳本节课的知识要点,学会了什么?还有哪些困惑? 　　设计意图:让学生养成自主梳理知识要点的习惯,提高归纳总结的能力,在归纳总结的过程中,了解自己对本节课内容还有哪些困惑并解决. 　　课堂8分钟. 　　1.教材第32页习题2.1第1,2题. 　　2.七彩作业. 教学反思         第2课时　一元二次方程解的估算 课时目标 1.经历探索满足一元二次方程的解或近似解的过程,促进学生对方程解的理解,发展学生的估算意识和估算能力. 　　2.进一步提高学生分析问题的能力,培养学生大胆尝试的精神,让学生在尝试的过程中体验到学习数学的乐趣;培养学生的合作学习意识,让学生学会在合作学习中相互交流. 学习重点 　　估算一元二次方程的近似解. 学习难点 　　估算一元二次方程的近似解. 课时活动设计 　　复习引入 　　在上一节课中,我们得到了如下的两个一元二次方程: (8-2x)(5-2x)=18,即2x2-13x+11=0; (x+6)2+72=102,即x2+12x-15=0. 　　上一节课的两个问题是否已经完全解决了?你能求出各方程中的x吗? 　　设计意图:上述两个问题是承接上一课时的现实问题,适当的回顾是引导学生将现实问题转化为数学问题,并对该数学问题进行解答. 　　探究新知 　　1.有一根外带有塑料皮长为100 m的电线,不知什么原因中间有一处不通,现给你一只万用表(能测量电流是否流通)进行检查,你怎样快速地找到断裂处?与同伴进行交流. 　　2.对于前一课第一个问题,我们知道,x满足方程(8-2x)(5-2x)=18,即2x2-13x+11=0. 　　(1)根据题目的已知条件,你能确定x的大致范围吗?说说你的理由. 　　(2)x可能小于0吗?可能大于4吗?可能大于2.5吗?说说你的理由,并与同伴进行交流. 　　(3)完成下表: x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 2x2-13x+11 　　(4)你知道所求的宽度x(m)是多少吗?还有其他求解方法吗?与同伴进行交流. 　　设计意图:设计问题1,目的在于激发学生的学习兴趣,同时让学生体会和理解“夹逼”的思想,为问题2的解决提供铺垫;问题2引领学生经历一个初步估计范围、逐步逼近的过程,为后续其他问题的解决提供了样本、范例. 　　巩固训练 　　上节课通过设未知数得到满足条件的方程,即梯子底端滑动的距离x(m)满足方程(x+6)2+72=102,把这个方程化为一般形式为x2+12x-15=0. 　　(1)你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗? 　　(2)小明认为底端也滑动了1 m,他的说法正确吗?为什么? 　　(3)底端滑动的距离可能是2 m吗?可能是3 m吗?为什么? 　　(4)x的整数部分是几?十分位是几? 　　解:(1)能猜出. 　　(2)不正确.∵当x=1时,左边=1+12-15≠0,∴不正确. 　　(3)不可能. 　　∵当x=2时,左边=22+12×2-15≠0,当x=3时,左边=32+12×3-15≠0, 　　∴不可能是2 m或3 m. 　　(4)当x=1时,1+12×1-15=-1.当x=2时,22+12×2-15=13, 　　∴1<x<2. 　　进一步计算: x 1.1 1.2 1.3 1.4 x2+12x-15 -0.59 0.84 2.29 3.76 　　∴1<x<1.2.∴x整数部分是1,十分位是1. 　　设计意图:在本环节中,使学生充分体验探求方程解的过程,这是对上一环节的练习巩固,更重要的是在列表求解的过程中,引导学生先确定解的范围,从而建立两边“夹逼”的思想方法,进而体会无限逼近的思想,促进学生对方程解的理解,为后面学习掌握配方法解一元二次方程做好充分的准备.同时,对于近似解的讨论,一方面可以促进学生对方程解的理解,发展学生的估算意识和能力,另一方面又为方程精确解的研究做了铺垫. 　　课堂小结 　　师生互相交流总结探索解一元二次方程的基本思路和关键步骤,以及在求解(或近似解)时应注意的问题. 　　设计意图:培养学生及时反思的习惯.这种习惯不仅有助于学生深入理解课堂内容,而且能够提高他们独立思考和自主学习的能力. 　　课堂8分钟. 　　1.教材第35页习题2.2第1,2题. 　　2.七彩作业. 第2课时　一元二次方程解的估算 1.一元二次方程解(略).　　　　　　　例2x2-13x+11=0(略). 2.估算的方法(略). 教学反思         学科网（北京）股份有限公司 $$ 一、单元学习主题 　　本单元是“数与代数”领域“方程与不等式”主题中的“一元二次方程”. 二、单元学习内容分析 1.课标分析 　　《标准2022》指出初中阶段数与代数领域包括“数与式”“方程与不等式”和“函数”三个主题,在本章的学习中,学生将进一步根据具体问题中的数量关系列出方程,一元二次方程作为数学领域中的基本方程之一,其研究和掌握对于理解和解决实际问题具有重要意义.在学习一元二次方程的过程中,首先要经历从具体情境中抽象出方程的过程.这一过程不仅有助于深入理解方程的本质,更能体会到方程作为刻画现实世界数量关系的有效模型的价值.同时,这一过程也要求建立起符号意识,运用数学符号来准确表达数量关系. 　　在理解一元二次方程及其相关概念的基础上,需要掌握求解方程的方法,如配方法、公式法和因式分解法等.这些方法不仅能帮助求解一元二次方程,更能培养数学思维和解决问题的能力.在求解过程中,要善于运用转化思想,将复杂问题转化为简单问题,从而找到解决方案.理解一元二次方程的根的判别式也是必不可少的,通过判别式,可以判断方程根的情况.除此之外,还要了解一元二次方程的根与系数之间的关系,这种关系能更深入地理解方程的根与系数之间的内在联系,为解决实际问题提供有力支持. 　　此外,还需要学习如何估计一元二次方程的解.这一过程不仅有助于培养估算意识和能力,还能提高数感.在实际应用中,往往需要根据实际情况对方程的解进行估计,以便快速找到合理的解决方案. 　　在实际生活中,许多现象和问题都可以通过一元二次方程来刻画和解决.例如,在物理学中,物体的自由落体运动、抛体运动等都可以通过一元二次方程来描述.在经济学中,企业利润最大化、成本最小化等问题也常常需要借助一元二次方程来解决.此外,一元二次方程还在生物学、化学、工程学等多个领域发挥着重要作用.学习一元二次方程,不仅可以让学生更好地理解这些领域的实际问题,还可以提高学生的数学素养和解决问题的能力.通过解一元二次方程,可以更深入地理解代数运算、方程解法、图形分析等基本数学概念,进一步培养学生的逻辑思维和空间想象力. 2.本单元教学内容分析 　　北师大版教材九年级上册第二章“一元二次方程”,本章包括六个小节:2.1认识一元二次方程;2.2用配方法求解一元二次方程;2.3用公式法求解一元二次方程;2.4用因式分解法求解一元二次方程;2.5一元二次方程的根与系数的关系;2.6应用一元二次方程. 　　一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效模型,随着数学应用的日趋广泛,一元二次方程的工具作用显得愈发重要.本章遵循了“问题情境—建立模型—解释、应用与拓展”的模式,首先通过具体问题情境建立有关方程,并归纳出一元二次方程的有关概念,然后探索其各种解法,并在现实情境中加以应用,切实提高学生的应用意识和能力.当然,列方程、解方程和方程应用并不是截然割裂的,而应该是同一个问题解决过程中的几个步骤.在学习时要注意加强它们之间的联系,力求将解方程的技能训练与实际问题的解决融为一体,在解决实际问题的过程中提高学生的解题技能. 三、单元学情分析 　　本单元内容是北师大版教材数学九年级上册第二章一元二次方程,学生已经学习了一元一次方程、二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程等,初步感受了方程的模型作用,积累了利用方程解决实际问题的经验,并能解决相关的实际问题.与一元一次方程相比,一元二次方程更加复杂,在探索的过程中对学生的运算能力、推理能力、归纳能力以及对模型观念和应用意识要求较高.因此,探究配方法,推导求根公式以及一元二次方程的应用对学生来说仍会有一定的困难. 四、单元学习目标 　　1.经历从具体情境中抽象出一元二次方程的过程,进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的有效模型,建立符号意识. 　　2.理解一元二次方程及其相关概念,理解配方法,能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程,并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想. 　　3.经历估计一元二次方程解的过程,进一步培养估算意识和能力,发展数感. 　　4.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根和两个实数根是否相等. 　　5.了解一元二次方程的根与系数的关系. 　　6.能利用一元二次方程解决有关实际问题,体会数学与现实生活的紧密联系;能根据具体问题的实际意义,检验方程的解是否合理,进一步培养分析问题、解决问题的意识和能力. 五、单元学习内容及学习方法概览 六、单元评价与作业建议 　　本单元课后作业整体设计体现以下原则: 　　针对性原则:每课时课后作业严格按照新课程标准设定针对性的课后作业,及时反馈学生的学业质量情况. 　　层次性原则:教师注意将课后作业分层进行,注重知识的层次性和学生的层次性.知识由易到难,由浅入深,循序渐进,突出基础知识,基本技能,渗透人人学习数学,人人有所收获.重视过程与方法,发展数学的应用意识和创新意识. 　　根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业. 学科网（北京）股份有限公司 $$