1.1 菱形的性质与判定-【七彩作业】2024-2025学年九年级数学上册同步教学设计（北师大版）河北专版

第1课时　菱形的性质 课时目标 1.经历菱形性质的探索、发现、猜想、证明的过程,进一步发展合情推理和演绎推理的能力. 　　2.认识菱形,掌握菱形的性质. 　　3.能够用综合法证明菱形的性质定理. 　　4.进一步体会证明的必要性,以及计算与证明在解决问题中的作用. 学习重点 　　菱形性质的探索与证明. 学习难点 　　引导学生探究菱形的性质,并利用菱形的性质解决实际问题. 课时活动设计 回顾旧知 　　在八年级下学期,我们学习了平行四边形,那么什么样的四边形是平行四边形呢?它有哪些性质呢? 　　引导学生从以下几个方面思考总结. 　　从对称性看:平行四边形是中心对称图形,对称中心是对角线的交点; 　　从边看:对边平行且相等; 　　从角看:对角相等,相邻的两个角互补; 　　从对角线看:对角线互相平分. 　　设计意图:本环节旨在通过提问,复习并梳理平行四边形的性质,为菱形性质的学习作铺垫. 　　新课引入 　　给出几幅含有菱形的生活图片,学生在欣赏图片的过程中发现特殊的平行四边形——菱形. 　　概念:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 　　想一想:你还能再举出一些生活中菱形的例子吗? 　　设计意图:通过这个环节,培养学生的观察和对比分析能力.从观察入手,四幅图中均含有菱形,第三幅图中含有正方形也是菱形的意图,可以通过测量、比较第四幅图中的菱形,发现邻边相等的特征,从而引出菱形的定义.由于给出的图形都是静态的,所以可以让学生列举出一些生活中的动态菱形的例子,如菱形衣帽架、电动门等. 　　探究新知 　　1.想一想. 　　(1)菱形是特殊的平行四边形,它具有一般平行四边形的所有性质.你能列举一些这样的性质吗? 　　(2)你认为菱形还具有哪些特殊的性质?请与同伴交流. 　　学生分小组讨论菱形的性质,组长组织组员讨论,让尽可能多的组员发言,并汇总结果.教师巡视,并参与到学生的讨论中,启发同学们类比平行四边形,从图形的边、角和对角线三个方面探讨菱形的性质.对于学生的结论,教师要及时评价,积极引导. 　　2.做一做. 　　用菱形纸片折一折,回答下列问题: 　　(1)菱形是轴对称图形吗?如果是,它有几条对称轴?对称轴之间有什么位置关系? 　　(2)菱形中有哪些相等的线段? 　　学生分小组折纸探索,并汇总结果.教师引导学生分析怎样折纸才能得到正确的结论. 　　结论: ①类比平行四边形,从对称性看,菱形是中心对称图形;从边看,对边平行且相等;从角看,对角相等,相邻的两个角互补;从对角线看:对角线互相平分. 　　②菱形是轴对称图形,有两条对称轴,对称轴为菱形对角线所在的直线,两条对角线互相垂直. 　　③菱形的四条边相等. 　　3.证明菱形的性质. 　　通过折纸活动,已经对菱形的性质有了初步的理解,下面要对菱形的性质进行严格的逻辑证明. 　　已知:如图,在菱形ABCD中,AB=AD,对角线AC与BD相交于点O. 　　求证:(1)AB=BC=CD=AD;(2)AC⊥BD. 　　分析:(1)菱形不仅对边相等,而且邻边相等,即可证明菱形的四条边均相等.(2)因为菱形是平行四边形,所以点O是对角线AC与BD中点;又因为在菱形中可以得到等腰三角形,即利用“三线合一”来证明结论. 　　证明:(1)∵四边形ABCD是菱形, 　　∴AB=CD,AD=BC(菱形的对边相等). 　　又∵AB=AD,∴AB=BC=CD=AD. 　　(2)∵AB=AD,∴△ABD是等腰三角形. 　　又∵四边形ABCD是菱形,∴OB=OD(菱形的对角线互相平分). 　　在等腰三角形ABD中,∵OB=OD,∴AO⊥BD,即AC⊥BD. 　　教师强调“菱形的四条边相等”“菱形的对角线互相垂直”,加深学生的印象. 　　归纳总结 　　定理1:菱形的四条边相等. 　　定理2:菱形的对角线互相垂直. 　　设计意图:学生经过折纸这一操作活动后,再经过逻辑证明,把操作层面的感知上升到了理性认识,充分了解菱形的本质特征.本环节让学生进行猜想、探究和证明,符合学生的认知规律.同时,将操作活动得到的结论与逻辑推理相结合,是对数学知识进行探索活动的自然延续,实现了从感性认识到理性认识的升华. 　　典例精讲 　　例1　如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,∠BAD=60°,BD=6,求菱形的边长AB和对角线AC的长. 　　解:∵四边形ABCD是菱形, 　　∴AB=AD(菱形的四条边相等),AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直),OB=OD=BD=×6=3(菱形的对角线互相平分). 　　在等腰三角形ABD中, 　　∵∠BAD=60°, 　　∴△ABD是等边三角形. 　　∴AB=BD=6. 　　在Rt△AOB中,由勾股定理,得OA2+OB2=AB2, 　　∴OA===3. 　　∴AC=2OA=6(菱形的对角线互相平分). 　　例2　如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O.已知AB=5 cm,AO=4 cm,求BD的长. 　　解:∵四边形ABCD是菱形, 　　∴AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直). 　　在Rt△AOB中,由勾股定理,得AO2+BO2=AB2, 　　∴BO===3(cm). 　　∵四边形ABCD是菱形, 　　∴BD=2BO=2×3=6(cm)(菱形的对角线互相平分). 　　∴BD的长是6 cm. 　　设计意图:学生通过本环节的学习,进一步理解和掌握菱形的性质,对前面所学知识有更深的认识,同时提高学生的逻辑推理能力,培养学生的主动探索能力,激发学生学习的兴趣. 　　课堂小结 　　通过这节课的学习,你有哪些收获?有何感想?学会了哪些方法?先想一想,再分享给大家. 　　设计意图:教师鼓励学生交流课堂实践的经历、感受和收获,培养学生的归纳能力,使学生形成完整的知识结构,培养学生的自我评价能力、反思意识及总结能力. 　　课堂8分钟. 　　1.教材第4~5页习题1.1第1,2,3,4题. 　　2.七彩作业. 第1课时　菱形的性质 1.菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形. 2.菱形的性质:四条边相等;对角线互相垂直. 3.例题. 教学反思         第2课时　菱形的判定 课时目标 1.理解菱形的判定定理及其证明,并能利用判定定理解决一些简单的问题. 　　2.经历实际操作,探索菱形判定定理的证明过程,发展合情推理能力和演绎推理的能力. 　　3.在具体问题的证明过程中,有意识地渗透实验论证、逆向思维的思想,提高学生的推理能力. 学习重点 　　菱形判定定理的发现与证明. 学习难点 　　菱形判定定理的应用. 课时活动设计 　　回顾旧知 　　1.菱形的定义是什么? 　　2.如图1,已知四边形ABCD是菱形,则它的边有什么特点?对角线有什么特点? 　　3.如图2,已知菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,并且AC=6 cm,BD=8 cm,则菱形ABCD的周长为多少? 图1　　　图2 　　设计意图:通过以上几个问题回顾上节课探究过的菱形的性质定理,从而为本节课课堂上的理论证明作铺垫.同时以这种知识衔接的形式对这部分知识进行自主预习,激发学生对本节知识的学习兴趣、积极性和主动性. 　　探究新知 　　根据菱形的定义,有一组邻边相等的平行四边形是菱形.除此之外,你认为还有什么条件可以判断一个平行四边形是菱形?先想一想,再与同伴交流. 　　小明的想法:平行四边形的不少性质定理与判定定理都是互逆命题.受此启发,我猜想:四边相等的平行四边形是菱形,对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 　　小颖的想法:我觉得,对角线互相垂直的平行四边形有可能是菱形,但“四边相等的平行四边形是菱形”实际上与“邻边相等的平行四边形是菱形”一样. 　　你是怎么想的?你认为小明的想法如何?与同伴交流一下. 　　探究1　对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗? 　　已知:如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AC⊥BD. 　　求证:▱ABCD是菱形. 　　证明:∵四边形ABCD是平行四边形, 　　∴OA=OC. 　　又∵AC⊥BD,∴直线BD是线段AC的垂直平分线. 　　∴BA=BC.∴四边形ABCD是菱形(菱形的定义). 　　判定定理1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 　　探究2　四条边相等的四边形是菱形吗? 　　已知:如图,四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD. 　　求证:四边形ABCD是菱形. 　　证明:∵AB=CD,AD=BC, 　　∴四边形ABCD是平行四边形. 　　又∵AB=BC,∴四边形ABCD是菱形(菱形的定义). 　　判定定理2:四边相等的四边形是菱形. 　　设计意图:菱形判定定理的证明首先可以让学生对菱形的性质和判定的关系有一定的认识,再对比性质定理的证明进行,同时,通过独立思考和教师引导,培养学生遇到题目时冷静思考找到解题思路的良好习惯.在分析思路时,逐步锻炼学生的推理论证能力. 　　做一做 　　你能用折纸等办法得到一个菱形吗?动手试一试. 　　如图,先将一张长方形的纸对折、再对折,最后沿图中的虚线剪下,将纸展开,就得到了一个菱形. 　　你能说说小颖这样做的道理吗? 　　小颖的方法是利用轴对称制作了一个四边相等的四边形,因此一定是菱形.教学中,可以引导学生利用菱形的判定方法说明自己制作方法是正确的,从而巩固学生对菱形判定定理的理解. 　　设计意图:通过“做一做”鼓励学生利用菱形的判定方法,说明制作菱形方案的正确性,巩固对菱形判定定理的理解. 　　典例精讲 　　例　已知:如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AB=,OA=2,OB=1. 　　求证:▱ABCD是菱形. 　　证明:在△AOB中, 　　∵AB=,OA=2,OB=1, 　　∴AB2=OA2+OB2. 　　∴△AOB是直角三角形,∠AOB是直角. 　　∴AC⊥BD. 　　∴▱ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形). 　　设计意图:例题是对菱形判定定理的直接应用,通过证明思路的探寻和分析,进一步巩固对菱形判定定理的理解和应用. 　　课堂小结 　　学生互相交流菱形的性质与判定定理,何时应该选择性质定理,何时应该选择判定定理,菱形与平行四边形的关系,遇到菱形实际问题时如何分析解题思路,以及遇到困难时如何克服等. 　　设计意图:鼓励学生结合前面的准备活动畅所欲言自己的感受和收获,让学生在不知不觉中提高自己的推理论证能力,并且对于研究科学需要严谨性这一点有了深刻的认识. 　　课堂8分钟. 　　1.教材第7页习题1.2第1,2,3题. 　　2.七彩作业. 第2课时　菱形的判定 1.判定定理1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 2.判定定理2:四边相等的四边形是菱形. 3.例题. 教学反思         第3课时　菱形的性质与判定的综合应用 课时目标 1.能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题,并掌握菱形面积的求法. 　　2.经历菱形性质定理及判定定理的应用过程,体会数形结合、转化等思想方法. 　　3.在学习过程中感受数学与生活的联系,增强学生的数学应用意识;在学习过程中通过小组合作交流,培养学生的合作交流能力与数学表达能力. 学习重点 　　菱形的性质与判定的理解和掌握. 学习难点 　　菱形的性质与判定的综合应用. 课时活动设计 　　回顾旧知 　　1.如图所示,在菱形ABCD中,AB=6,对角线AC,BD相交于点E.请回答下列问题: 　　(1)其余三条边AD,DC,BC的长度各是多少? 　　(2)对角线AC与BD有什么位置关系? 　　(3)若∠ADC=120°,求AC的长. 　　学生独立完成,并展示答案. 解:(1)AD=DC=BC=AB=6. (2)AC⊥BD. (3)AC=6. 　　2.如图所示:在▱ABCD中添加一个条件使其成为菱形. 　　添加方式1:　　AB=AD(答案不唯一)　　.  　　添加方式2:　　AC⊥BD(答案不唯一)　　.  　　设计意图:通过一些简单题目的设计,帮助学生回顾菱形的相关性质及判定方法,学生从题目入手,不仅能回顾相关知识,而且能激发学生的学习兴趣. 　　典例精讲 　　例1　如图,四边形ABCD是边长为13 cm的菱形,其中对角线BD长10 cm.求: 　　(1)对角线AC的长度; 　　(2)菱形ABCD的面积. 　　解:(1)∵四边形ABCD是菱形,AC与BD相交于点E, 　　∴∠AED=90°(菱形的对角线互相垂直), 　　DE=BD=×10=5(cm)(菱形的对角线互相平分). 　　∴AE===12(cm). 　　∴AC=2AE=2×12=24(cm)(菱形的对角线互相平分). 　　(2)S菱形ABCD=S△ABD+S△CBD=2×S△ABD=2×BD·AE=2××10×12=120(cm2). 　　例2　如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC与BD相交于点E,其中BD的长为12,AC的长为16.求: (1)菱形的边长; (2)菱形一条边上的高. 解:(1)∵四边形ABCD是菱形,BD=12,AC=16, ∴BE=DE=BD=6,AE=CE=AC=8. ∴在Rt△ABE中,AB==10. ∴菱形的边长为10. (2)设菱形一条边上的高为h,由题意,得10 h=×12×16, 解得h=9.6. ∴菱形一条边上的高为9.6. 　　设计意图:通过例题让学生对菱形的相关性质进行灵活应用,同时学生对于具体的问题通过自主思考、教师点拨后基本能形成比较好的解题思路.例2第二问,学生必须灵活运用“菱形的面积等于对角线乘积的一半”这一结论求出面积,进而求出一边上的高. 　　拓展提高 　　1.如图,两张等宽的纸条交叉重叠在一起,重叠部分ABCD是菱形吗?为什么? 　　　　　　　　　　　　第1题图　　　　　　 　　第2题图 　　解:是.理由:根据纸条的两长边互相平行说明重叠的部分ABCD是平行四边形.由纸条等宽说明两条邻边上的高相等,进而利用平行四边形的面积说明两邻边相等,故重叠的部分ABCD是菱形. 　　2.如图,你能用一张锐角三角形纸片ABC折出一个菱形,且使∠A成为菱形一个内角吗?动手试一试. 　　学生小组内交流、讨论. 　　设计意图:通过动手操作,引起学生的学习兴趣,同时通过做题对于菱形的相关判定方法也进行了巩固. 　　课堂小结 　　通过本节课的学习你有哪些收获?还存在什么疑问?请从以下三个方面进行总结:知识收获、方法收获、关注问题.总结完成后请小组内进行交流.教师应对解题方法、解题思路进行升华点拨. 　　设计意图:能起到巩固所学知识、归纳学习方法及提高学生归纳概括能力的作用. 　　课堂8分钟. 　　1.教材第9页习题1.3第1,2,3,4题. 　　2.七彩作业. 第3课时　菱形的性质与判定的综合应用 1.菱形的面积等于对角线乘积的一半. 2.例题. 教学反思         学科网（北京）股份有限公司 $$ 一、单元学习主题 　　本单元是“图形与几何”领域“图形的性质”主题中的“特殊平行四边形”. 二、单元学习内容分析 1.课标分析 　　《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下简称《标准2022》)指出“图形的性质”强调通过实验探究、直观发现、推理论证来研究图形,在用几何直观理解几何基本事实的基础上,从基本事实出发推导几何图形的性质和定理,理解和掌握尺规作图的基本原理和方法.学生将经历图形的抽象、分类、性质探讨的过程,在参与观察、实验、证明等数学活动中,发展合情推理和演绎推理能力,掌握图形与几何的基础知识和基本技能.理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念,以及它们之间的关系.探索并证明菱形、矩形、正方形的性质定理(菱形的四条边相等,对角线互相垂直;矩形的四个角都是直角,对角线相等;正方形的四个角都是直角,四条边相等,对角线相等且互相垂直平分)以及它们的判定定理(四条边相等的四边形是菱形,对角线互相垂直的平行四边形是菱形;有三个角是直角的四边形是矩形,对角线相等的平行四边形是矩形;有一组邻边相等的矩形是正方形,对角线互相垂直的矩形是正方形,有一个角是直角的菱形是正方形,对角线相等的菱形是正方形).探索并掌握直角三角形的性质定理(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半),培养推理能力. 2.本单元教学内容分析 　　北师大版教材九年级上册第一章“特殊平行四边形”,本章包括三个小节:1.1菱形的性质与判定;1.2矩形的性质与判定;1.3正方形的性质与判定. 　　本章设计注意渗透归纳、类比、转化等数学思想,并通过引导探索过程来渗透与展现证明的思路.此外,还应注意引导学生探索证明的不同思路与方法,如在一种证明结束后提出“你还有其他证明方法吗?与同伴进行交流”.并进行适当的比较和讨论,提高学生分析及寻求证明思路的能力. 三、单元学情分析 　　本单元内容是北师大版数学九年级上册第一章特殊平行四边形,在前面的学习中,学生已学习了三角形和平行四边形,初步积累了一定的探究平面图形的性质与判定的数学活动经验,初步掌握了几何证明的基本要求、基本步骤和基本方法.本章中的大部分结论都是先通过合情推理进行探索,再用演绎推理加以证明,对学生来说是一个难点.在教学中,应把证明作为探索活动的自然延续与必要发展,让学生对发现的结论进行分析说明,并按照几何证明的要求进行表达,实现合情推理与演绎推理的有机结合. 四、单元学习目标 　　1.经历菱形、矩形、正方形概念的抽象过程,以及它们的性质与判定的探索、猜测与证明的过程,丰富数学活动经验,进一步发展合情推理能力和演绎推理能力. 　　2.理解菱形、矩形、正方形的概念,了解它们与平行四边形之间的关系,进一步体会从一般到特殊的思考问题的方法,增强发现问题和提出问题的能力. 　　3.证明菱形、矩形、正方形的性质定理及判定定理,并能够证明其他相关结论. 　　4.探索并掌握直角三角形的性质定理:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 　　5.提高自主探究的能力和与他人合作交流的意识. 五、单元学习内容及学习方法概览 六.单元评价与课后作业建议 　　本单元课后作业整体设计体现以下原则: 　　针对性原则:每课时课后作业严格按照《标准2022》设定针对性的作业,及时反馈学生的学业质量情况. 　　层次性原则:教师注意将课后作业分层进行,注重知识的层次性和学生的层次性.知识由易到难,由浅入深,循序渐进,突出基础知识,基本技能,渗透人人学习数学,人人有所获.重视过程与方法,发展数学的应用意识和创新意识. 　　根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业. 学科网（北京）股份有限公司 $$