精品解析：2023 年广东省佛山市石门实验学校中考全真模拟数学试题（三）

佛山市2022-2023学年石门实验学校中考全真模拟试卷（三） 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，a=3，c=5，则sinA的值是（ 　 ） A. B. C. D. 2. 如图，空心圆柱的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为，和，另一个三角形的最短边长为2.5 cm，则它的最长边为（ ） A. 3cm B. 4cm C. 4.5cm D. 5cm 4. 如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（　　） A. B. 1 C. D. 5. 如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=8，tan∠ABD=，则线段AB的长为（　　） A. B. 2 C. 5 D. 10 7. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形 C. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 8. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是( ) A. B. C. D. 10. 欧几里得的《原本》记载，形如的方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取．则该方程的一个正根是（ ） A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 一汽车沿着坡度为的斜坡向下走了1000米，则它距离地面的垂直高度下降了______米． 12. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为____________ 13. 如图，中，D、E分别是、的点，要使，需添加一个条件是______．（只要写一个条件） 14. 如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠ABC=_____． 15. 有A、B两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），以小莉掷A立方体朝上的数字为x、小明掷B立方体朝上的数字为y来确定点P（x，y），那么他们各掷一次所确定的点P落在反比例函数上的概率为__________. 16. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？” 用今天的话说，大意是：如图，是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门位于的中点，南门位于的中点，出东门15步的处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于处的树木（即点在直线上）？请你计算的长为__________步． 三、解答题 17. 计算： （1）； （2）解方程：． 18. 如图，在中，=8，=4,=6,,是的平分线，交于点,求的长. 19. 如图，海上有一灯塔P，在它周围6海里内有暗礁．一艘海轮以18海里/时的速度由西向东方向航行，行至A点处测得灯塔P在它的北偏东60°的方向上，继续向东行驶20分钟后，到达B处又测得灯塔P在它的北偏东45°方向上，如果海轮不改变方向继续前进有没有触礁的危险? 20. 如图①所示，可以自由转动的转盘被三等分，指针落在每个扇形内的机会均等． (1)现随机转动转盘一次，停止后，指针指向1的概率为________； (2)小明和小华利用这个转盘做游戏，若采用图②中游戏规则，你认为对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由． 21. 如图，一次函数的图象与轴、轴分别相交于、两点，且与反比例函数的图象在第二象限交于点．如果点的坐标为，，点是的中点． （1）求点的坐标； （2）求一次函数和反比例函数的解析式． （3）若点，都在此反比例函数图象上且，比较与的大小．（直接写出结果） 22. 为积极响应新旧动能转换．提高公司经济效益．某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y(单位∶台)和销售单价(单位∶万元)成一次函数关系． (1)求年销售量与销售单价的函数关系式； (2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润．则该设备的销售单价应是多少万元？ 23. 如图，在Rt△ABM和Rt△ADN的斜边分别为正方形的边AB和AD，其中AM=AN. (1)求证：Rt△ABM≌Rt△AND (2)线段MN与线段AD相交于T，若AT=,求的值 24. 定义：在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积的数值相等，则这个点叫做“和谐点”，围成的矩形叫做“和谐矩形”． 如图1，矩形的周长与面积的数值相等，则点 是“和谐点”，矩形是“和谐矩形”． （1）在图1中画出矩形以点O为位似中心的位似图形，使它与“和谐矩形”的相似比是，并判断点P的对应点是不是“和谐点”； （2）如图2，若点是反比例函数图象上的“和谐点”，请直接写出满足条件的所有M点的坐标； （3）是否存在一个新的矩形，使它的周长和面积分别是“和谐矩形”周长和面积的一半？若存在，求出它的长和宽；若不存在，请说明理由． 25. 已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边做正方形ADEF，连接CF （1）如图1，当点D在线段BC上时．求证CF+CD=BC； （2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系； （3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变； ①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系； ②若正方形ADEF的边长为，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 佛山市2022-2023学年石门实验学校中考全真模拟试卷（三） 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，a=3，c=5，则sinA的值是（ 　 ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】sinA= ．故选B． 2. 如图，空心圆柱的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的棱都应表现在左视图中． 【详解】解：圆柱的左视图是矩形，里面有两条用虚线表示的看不到的棱， 故选C． 【点睛】本题考查了几何体的三视图，熟练掌握基本几何体的三视图是解题的关键． 3. 要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为，和，另一个三角形的最短边长为2.5 cm，则它的最长边为（ ） A. 3cm B. 4cm C. 4.5cm D. 5cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形三边对应成比例进行求解即可得. 【详解】设另一个三角形的最长边为xcm，由题意得 5：2.5=9：x， 解得：x=4.5， 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键． 4. 如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（　　） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形，即可求出所求． 【详解】如图，连接BC， 由网格可得AB=BC=，AC=，即AB2+BC2=AC2， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴∠BAC=45°， 则tan∠BAC=1， 故选：B． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 5. 如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的矩形场地还是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程． 【详解】解：由题意有， 故选：C． 6. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=8，tan∠ABD=，则线段AB的长为（　　） A. B. 2 C. 5 D. 10 【答案】C 【解析】 【详解】分析：根据菱形的性质得出AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，求出OB，解直角三角形求出AO，根据勾股定理求出AB即可． 详解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO=CO，OB=OD， ∴∠AOB=90°， ∵BD=8， ∴OB=4， ∵tan∠ABD=， ∴AO=3， 在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB==5， 故选C． 点睛：本题考查了菱形的性质、勾股定理和解直角三角形，能熟记菱形的性质是解此题的关键． 7. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形 C. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查特殊平行四边形的判定，解题的关键是正确理解特殊平行四边形的性质，本题属于基础题型．根据特殊的平行四边形的性质即可求出答案． 【详解】解：对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故A说法错误． 对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，故B说法错误． 对角线互相平分的四边形是平行四边形，故C说法错误． 对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故D说法正确．符合题意． 故选：D． 8. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程有两个不等的实数根，故＞0，得不等式解答即可． 【详解】试题分析：由已知得＞0，即（﹣3）2﹣4m＞0， 解得m＜． 故选B． 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根的判别式，本题属于基础题型． 9. 二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的图象可得再分析反比例与一次函数的图象即可． 【详解】由抛物线图像可知， 所以反比例函数应在二、四象限，一次函数过原点，应在二、四象限． 故选D 10. 欧几里得的《原本》记载，形如的方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取．则该方程的一个正根是（ ） A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长 【答案】B 【解析】 【分析】可以利用求根公式求出方程的根，根据勾股定理求出AB的长，进而求得AD的长，即可发现结论． 【详解】用求根公式求得： ∵ ∴ ∴ AD的长就是方程的正根． 故选：B． 【点睛】本题考查解一元二次方程及勾股定理等，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 一汽车沿着坡度为的斜坡向下走了1000米，则它距离地面的垂直高度下降了______米． 【答案】600 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，根据题意设，利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图，在中，， 设， 由勾股定理得， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∴它距离地面的垂直高度下降了600米， 故答案为：600． 12. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为____________ 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义，先将方程整理得到，根据一元二次方程的解以及定义得到，，求出a的值即可． 【详解】解：， 是关于的一元二次方程的一个根， 解得： 又，即， ， 故答案为：2． 13. 如图，中，D、E分别是、的点，要使，需添加一个条件是______．（只要写一个条件） 【答案】或或 【解析】 【分析】由是公共角，根据相似三角形的判定方法，即可得要使，可添加：或或等． 此题考查了相似三角形的判定．此题属于开放题，答案不唯一．注意掌握两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似与有两组角对应相等的两个三角形相似是解此题的关键． 【详解】解：是公共角， 要使，可添加：或或等． 故答案为：如或或等（此题答案不唯一）． 14. 如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠ABC=_____． 【答案】 【解析】 【详解】∵AB所在的直角三角形的两直角边分别为：2，4， ∴AB=． ∴sin∠ABC=． 15. 有A、B两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），以小莉掷A立方体朝上的数字为x、小明掷B立方体朝上的数字为y来确定点P（x，y），那么他们各掷一次所确定的点P落在反比例函数上的概率为__________. 【答案】 【解析】 【详解】共有36种情况，其中（1，6）（2，3）（3，2）（6，1）在双曲线 上，所以概率是 ，故答案为：． 16. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？” 用今天的话说，大意是：如图，是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门位于的中点，南门位于的中点，出东门15步的处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于处的树木（即点在直线上）？请你计算的长为__________步． 【答案】 【解析】 【分析】由正方形的性质得到∠EDG=90°，从而∠KDC+∠HDA=90°，再由∠C+∠KDC=90°，得到∠C=∠HDA，即有△CKD∽△DHA，由相似三角形的性质得到CK：KD=HD：HA，求解即可得到结论． 【详解】∵DEFG是正方形， ∴∠EDG=90°， ∴∠KDC+∠HDA=90°． ∵∠C+∠KDC=90°， ∴∠C=∠HDA． ∵∠CKD=∠DHA=90°， ∴△CKD∽△DHA， ∴CK：KD=HD：HA， ∴CK：100=100：15， 解得：CK=． 故答案为． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用．解题的关键是证明△CKD∽△DHA． 三、解答题 17. 计算： （1）； （2）解方程：． 【答案】（1） （2），． 【解析】 【分析】（1）原式第一项利用负指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值化简，最后一项利用负数的绝对值等于它的相反数化简，即可得到结果； （2）首先将方程移项整理为一般形式然后利用分解因式转化为一次方程来求解． 此题考查了解一元二次方程因式分解法，以及实数的混合运算， 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 方程移项得：， 解得：， ∴或 解得：，． 18. 如图，在中，=8，=4,=6,,是的平分线，交于点,求的长. 【答案】4 【解析】 【详解】【分析】由已知条件先求得CD=BC=4，然后再证明△ABE∽△CDE，根据相似三角形对应边成比例结合CE+AE=AC=6即可求得AE的长. 【详解】∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD=∠CBD， ∵CD∥AB， ∴∠ABD=∠D， ∴∠CBD=∠D， ∴CD=BC=4， 又∵CD∥AB， ∴△ABE∽△CDE， ∴= ， ∵CE+AE=AC=6， ∴AE=4. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题的关键. 19. 如图，海上有一灯塔P，在它周围6海里内有暗礁．一艘海轮以18海里/时的速度由西向东方向航行，行至A点处测得灯塔P在它的北偏东60°的方向上，继续向东行驶20分钟后，到达B处又测得灯塔P在它的北偏东45°方向上，如果海轮不改变方向继续前进有没有触礁的危险? 【答案】海轮不改变方向继续前进无触礁危险 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的方向角问题，构造直角三角形并恰当运用锐角三角函数是解题的关键． 过点P作于C点，在和中，根据三角函数就可以把表示出来，在直角中，根据锐角三角函数，就得到一个关于的方程，求得．进而判断如果海轮不改变方向继续前进有没有暗礁的危险． 【详解】解：过点P作于C点，如图所示， ，， ，， ． 在中， ， 即， 得． ∵， ∴海轮不改变方向继续前进无触礁危险． 20. 如图①所示，可以自由转动的转盘被三等分，指针落在每个扇形内的机会均等． (1)现随机转动转盘一次，停止后，指针指向1的概率为________； (2)小明和小华利用这个转盘做游戏，若采用图②中游戏规则，你认为对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由． 【答案】（1）；（2）该游戏不公平． 【解析】 【分析】(1)、根据概率的计算法则得出概率；(2)、根据题意进行列表，然后分别得出小明获胜和小华获胜的概率，从而得出答案. 【详解】(1)、根据题意得：随机转动转盘一次，停止后，指针指向1的概率为； (2)、列表得： 1 2 3 1 （1，1） （2，1） （3，1） 2 （1，2） （2，2） （3，2） 3 （1，3） （2，3） （3，3） 所有等可能的情况有9种，其中两数之积为偶数的情况有5种，之积为奇数的情况有4种， ∴P（小明获胜）=，P（小华获胜）=， ∵＞， ∴该游戏不公平． 考点：概率的计算 21. 如图，一次函数的图象与轴、轴分别相交于、两点，且与反比例函数的图象在第二象限交于点．如果点的坐标为，，点是的中点． （1）求点的坐标； （2）求一次函数和反比例函数的解析式． （3）若点，都在此反比例函数图象上且，比较与的大小．（直接写出结果） 【答案】（1）点C的坐标为 （2）一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为 （3）当或时，，当时，， 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式及函数交点，掌握函数交点坐标满足函数的解析式是解题的关键． （1）根据条件可先求得点坐标，再根据中点，可求得点坐标； （2）把点坐标代入反比例函数解析式可求得反比例函数解析式，根据、两点坐标可求得一次函数解析式． （3）根据反比例函数图象在每一象限的增减性进行判定即可． 【小问1详解】 解：作轴于， ． ， ． ． 点是的中点， 是的中点． ，． 点的坐标为． 【小问2详解】 设反比例函数的解析式为， ． 所求反比例函数的解析式为． 设一次函数为， ，， 解得：． 所求一次函数的解析式为． 【小问3详解】 由图象可知：的图象在第二或第四象限，y随x增大而增大， 故：当或时，， 当时，， 22. 为积极响应新旧动能转换．提高公司经济效益．某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y(单位∶台)和销售单价(单位∶万元)成一次函数关系． (1)求年销售量与销售单价的函数关系式； (2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润．则该设备的销售单价应是多少万元？ 【答案】（1）；（2）该公可若想获得10000万元的年利润，此设备的销售单价应是50万元． 【解析】 【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出年销售量y与销售单价x的函数关系式； （2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣10x+1000）台，根据总利润=单台利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其小于70的值即可得出结论． 【详解】（1）设年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=kx+b（k≠0）， 将（40，600）、（45，550）代入y=kx+b，得：， 解得：， ∴年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=﹣10x+1000． （2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣10x+1000）台， 根据题意得：（x﹣30）（﹣10x+1000）=10000， 整理，得：x2﹣130x+4000=0， 解得：x1=50，x2=80． ∵此设备的销售单价不得高于70万元， ∴x=50． 答：该设备的销售单价应是50万元/台． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 23. 如图，在Rt△ABM和Rt△ADN的斜边分别为正方形的边AB和AD，其中AM=AN. (1)求证：Rt△ABM≌Rt△AND (2)线段MN与线段AD相交于T，若AT=,求的值 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用HL证明即可； （2）证明△DNT∽△AMT，可得，由AT=AD，推出，在Rt△ABM中，tan∠ABM=． 【详解】（1）∵AD=AB，AM=AN，∠AMB=∠AND=90° ∴Rt△ABM≌Rt△AND（HL）． （2）由Rt△ABM≌Rt△AND易得：∠DAN=∠BAM，DN=BM ∵∠BAM+∠DAM=90°；∠DAN+∠ADN=90° ∴∠DAM=∠ADN ∴ND∥AM ∴△DNT∽△AMT ∴ ∵AT=AD， ∴ ∵Rt△ABM ∴tan∠ABM=． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题 24. 定义：在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积的数值相等，则这个点叫做“和谐点”，围成的矩形叫做“和谐矩形”． 如图1，矩形的周长与面积的数值相等，则点 是“和谐点”，矩形是“和谐矩形”． （1）在图1中画出矩形以点O为位似中心的位似图形，使它与“和谐矩形”的相似比是，并判断点P的对应点是不是“和谐点”； （2）如图2，若点是反比例函数图象上的“和谐点”，请直接写出满足条件的所有M点的坐标； （3）是否存在一个新的矩形，使它的周长和面积分别是“和谐矩形”周长和面积的一半？若存在，求出它的长和宽；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）点不是“和谐点” （2）所有M点的坐标为、、、 （3） 不存在． 假设存在，不妨设新矩形长为x， 则宽为， 依题意有 ∵，此方程无实数根． ∴不存在． 【解析】 【分析】本题是一道新定义型代数几何综合题，考查反比例函数图象的性质、位似图形性质，矩形性质，平面直角坐标系中图形面积的求法，理解新定义是解题的关键． （1）画出位似图形，再根据和谐点的定义，利用矩形的面积和周长公式进行证明即可； （2）利用和谐点的定义列出关于x，y的方程组，由此可以求得M点坐标． （3）假设存在，根据定义列方程求解． 【小问1详解】 如图1，四边形为所求． P的对应点不是“和谐点”． 由题意得，点的坐标为， ∵，， ， ∴点不是“和谐点” 【小问2详解】 若点是反比例函数图象上的“和谐点”， 依题意得： ∴， 解得：，，，， 所有M点的坐标为：、、、， 【小问3详解】 略 25. 已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边做正方形ADEF，连接CF （1）如图1，当点D在线段BC上时．求证CF+CD=BC； （2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系； （3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变； ①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系； ②若正方形ADEF的边长为，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度． 【答案】 （1）证明：∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠ACB=∠ABC=45°．∴AB=AC． ∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°． ∵∠BAD=90°﹣∠DAC，∠CAF=90°﹣∠DAC，∴∠BAD=∠CAF． ∵在△BAD和△CAF中， ∴△BAD≌△CAF（SAS）． ∴BD=CF． ∵BD+CD=BC， ∴CF+CD=BC． （2）CF﹣CD=BC； （3）①CD﹣CF=BC；②2． 【解析】 【分析】（1）三角形ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可证明△BAD≌△CAF，从而证得CF=BD，据此即可证得． （2）同（1）相同，利用SAS即可证得△BAD≌△CAF，从而证得BD=CF，即可得到CF﹣CD=BC． （3）①同（1）相同，利用SAS即可证得△BAD≌△CAF，从而证得BD=CF，即可得到CD﹣CB=CF． ②证明△BAD≌△CAF，△FCD是直角三角形，然后根据正方形的性质即可求得DF的长，则OC即可求得． 【详解】解：（1）略 （2）CF-CD=BC； 理由：∵∠BAC=90°，∠ABC=45°， ∴∠ACB=∠ABC=45°， ∴AB=AC， ∵四边形ADEF是正方形， ∴AD=AF，∠DAF=90°， ∵∠BAD=90°-∠DAC，∠CAF=90°-∠DAC， ∴∠BAD=∠CAF， ∵在△BAD和△CAF中， ， ∴△BAD≌△CAF（SAS） ∴BD=CF ∴BC+CD=CF， ∴CF-CD=BC； （3）①∵∠BAC=90°，∠ABC=45°， ∴∠ACB=∠ABC=45°， ∴AB=AC， ∵四边形ADEF是正方形， ∴AD=AF，∠DAF=90°， ∵∠BAD=90°-∠BAF，∠CAF=90°-∠BAF， ∴∠BAD=∠CAF， ∵在△BAD和△CAF中， ， ∴△BAD≌△CAF（SAS）， ∴BD=CF， ∴CD-BC=CF， ②∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠ACB=∠ABC=45°．∴AB=AC． ∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°． ∵∠BAD=90°﹣∠BAF，∠CAF=90°﹣∠BAF，∴∠BAD=∠CAF． ∵在△BAD和△CAF中， ∴△BAD≌△CAF（SAS）．∴∠ACF=∠ABD． ∵∠ABC=45°，∴∠ABD=135°．∴∠ACF=∠ABD=135°．∴∠FCD=90°． ∴△FCD是直角三角形． ∵正方形ADEF的边长为且对角线AE、DF相交于点O， ∴DF=AD=4，O为DF中点． ∴OC=DF=2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $