精品解析：2024年湖南省长沙市长郡集团中考押题数学试题(八)

2024年湖南省长沙市长郡集团中考数学押题金卷（八） 数 学 温馨提示： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁： 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共 25 个小题，考试时量 120 分钟，满分 120 分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，最大的是（　　） A. B. 0 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先化简绝对值，然后把选项中的4个数按从小到大排列，即可得出最大的数． 【详解】∵， ∴， ∴最大的数是2． 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的大小比较，一般地，正数大于零，零大于负数，两个负数，绝对值大的反而小． 2. 中国剪纸项目是“人类非物质文化遗产代表作”之一．下列剪纸作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 本题考查了中心对称图形，轴对称图形的甄别，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意原； B、原图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； C、原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； D、图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：A． 3. 我国自主研制的全球最大集装箱船“地中海泰莎”号的甲板面积近似于4个标准足球场，可承载吨的货物，数字用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：． 故选：A． 【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键． 4. 在数学活动课上，小明同学将含角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺上，测得，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质和三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：如图： ∵， ∴， 在中，， ∵， 故， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，熟练掌握以上性质是解题的关键． 5. 从1，2，3，4，5，5六个数中随机选取一个数，这个数恰为该组数据的众数的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由众数的概念可知六个数中众数为5，然后根据简单概率计算公式求解即可． 【详解】解：1，2，3，4，5，5六个数中，数字5出现了2次，出现的次数最多， 故这组数据的众数为5， 所以从六个数中随机选取一个数，这个数恰为该组数据的众数的概率为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了求一组数据的众数以及简单概率计算，正确确定该组数据的众数是解题关键． 6. 一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根据一次函数解析式判断其经过的象限，当一次函数中，时，函数图象经过第一、二、三象限，由此可得答案． 【详解】解：中，，， 函数图象经过第一、二、三象限， 函数图象不经过第四象限， 故选：D． 7. 如图，在中，若，，则扇形(阴影部分)的面积是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理求得，然后根据扇形面积公式进行计算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故选：B. 【点睛】本题考查了圆周角定理，扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式以及圆周角定理是解题的关键． 8. 若关于的方程解为正数，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】将分式方程化为整式方程解得，根据方程的解是正数，可得，即可求出的取值范围． 【详解】解： ∵方程的解为正数，且分母不等于0 ∴， ∴，且 故选：D． 【点睛】此题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数，解不等式，将方程化为整式方程求出整式方程的解，列出不等式是解答此类问题的关键． 9. 《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数，，的计算公式：，，，其中，，是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（　　） A. 3，4，5 B. 5，12，13 C. 6，8，10 D. 7，24，25 【答案】C 【解析】 【分析】首先证明出，得到a，b是直角三角形的直角边然后由，，是互质的奇数逐项求解即可． 【详解】∵， ∴． ∵， ∴． ∴a，b是直角三角形的直角边， ∵，是互质的奇数， ∴A．， ∴当，时，，，， ∴3，4，5能由该勾股数计算公式直接得出； B．， ∴当，时，，，， ∴5，12，13能由该勾股数计算公式直接得出； C．，， ∵，是互质的奇数， ∴6，8，10不能由该勾股数计算公式直接得出； D．， ∴当，时，，，， ∴7，24，25能由该勾股数计算公式直接得出． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股数的应用，通过，，是互质的奇数这两个条件去求得符合题意的t的值是解决本题的关键． 10. 如图，在平面直角坐标系中有一系列格点，其中，且，是整数．记，如，即，，即，，即，，以此类推．则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用图形寻找规律，再利用规律解题即可． 本题考查了坐标的规律，熟练掌握规律的探索是解题的关键． 【详解】解：第1圈有1个点，即，这时； 第2圈有8个点，即到，这时； 第3圈有16个点，即到，这时； 依次类推，第n圈，； 由规律可知：是在第4圈上，且，即，故A选项不正确： 是在第23圈上，且，即，故选项B正确； 第n圈，，所以，故C，D选项不正确； 故选：B． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 27的立方根为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】找到立方等于27的数即可． 【详解】解：∵33=27， ∴27的立方根是3， 故答案为：3． 12. 分解因式：_________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再根据平方差公式进行二次分解，平方差公式：． 本题考查了因式分解，熟练掌握平方差公式分解是解题的关键． 【详解】解：原式． 故答案为：． 13. 在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值是___________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据关于原点对称的两个点，横、纵坐标互为相反数，进行解答即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的两个点的坐标特点，解题的关键是熟练掌握关于原点对称的两个点，横、纵坐标互为相反数． 14. 如图，在中，若，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等边对等角得出，再有三角形内角和定理及等量代换求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查等边对等角及三角形内角和定理，结合图形，找出各角之间的关系是解题关键． 15. 若关于的一元二次方程的两个实数根分别是一个菱形的两条对角线长，且该菱形的面积为11，则菱形的边长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先设出菱形两条对角线的长，利用根与系数的关系及对角线与菱形面积的关系得等式，再根据菱形的边长与对角线的关系求出菱形的边长． 【详解】解：设菱形的两条对角线长分别为a、b， 由题意，得． ∴菱形的边长 ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，根与系数关系定理，方程组，勾股定理，熟练掌握根与系数关系定理，方程组，勾股定理是解题的关键． 16. 已知一次函数的图象与反比例函数（且）的图象共有两个交点，且满足两交点横坐标的乘积， 则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】令，根据函数与方程的关系、由根与x系数的关系得到，由，得到，即可． 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根与系数关系定理，解不等式，熟练掌握根与系数关系定理是解题的关键． 【详解】解：令， 整理得， ∵反比例函数（且）的图象与一次函数的图象两个交点横坐标为、， ∴， ∵， ∴， ∴，又， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】利用零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，绝对值化简计算即可求出值． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，绝对值化简，熟练掌握运算法则是解题的关键． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先通分括号内的式子，再算括号外的除法，然后将的值代入化简后的式子计算即可．熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 如图，某数学兴趣小组为了测量古树的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端在同一水平线上的点A出发，沿斜面坡度为的斜坡前进到达点，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点．在点处测得古树的顶端的俯角为，底部的俯角为，求古树的高度（参考数据：，，，计算结果用根号表示，不取近似值）． 【答案】古树的高度为 【解析】 【分析】延长，交于点G，过点B作于点F，根据斜面的坡度为，设，则，根据勾股定理得出，求出，证明四边形为矩形，得出，根据三角函数求出，，最后求出结果即可． 【详解】解：延长，交于点G，过点B作于点F，如图所示： 则， ∵斜面的坡度为， ∴设，则， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去， 即， ∵为水平方向，为竖直方向， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴在中，， ∵， ∴在中，， ∴． 答：古树的高度为． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是作出辅助线，数形结合，熟练掌握三角函数的定义． 20. 2023年3月22日至28日是第三十届“中国水周”，某学校组织开展主题为“节约用水，共护母亲河”的社会实践活动．A小组在甲，乙两个小区各随机抽取30户居民，统计其3月份用水量，分别将两个小区居民的用水量分为5组，第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，并对数据进行整理、描述和分析，得到如下信息： 信息一： 甲小区3月份用水量频数分布表 用水量（x/m） 频数（户） 4 9 10 5 2 信息二：甲、乙两小区3月份用水量数据的平均数和中位数如下： 甲小区 乙小区 平均数 9.0 9.1 中位数 9.2 a 信息三：乙小区3月份用水量在第三组的数据为：9，9.2，9.4，9.5，9.6，9.7，10，10.3，10.4，10.6． 根据以上信息，回答下列问题： （1）__________； （2）在甲小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为，在乙小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为，比较，大小，并说明理由； （3）若甲小区共有600户居民，乙小区共有750户居民，估计两个小区3月份用水量不低于的总户数； （4）因任务安排，需在B小组和C小组分别随机抽取1名同学加入A小组，已知B小组有3名男生和1名女生，C小组有2名男生和2名女生，请用列表或画树状图的方法，求抽取的两名同学都是男生的概率． 【答案】（1） （2）在甲小区抽取的用户中，3月份用水量的平均数为：9.0； 低于本小区平均用水量的户数为（户），故在甲小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为，即； 在乙小区抽取的用户中，3月份用水量的平均数为：9.1； 低于本小区平均用水量的户数为（户），故在乙小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为，即； ∵，故． （3）90户 （4） 【解析】 【分析】（1）根据中位数的定义进行计算即可； （2）根据题意分别求出3月份用水量低于平均数的户数，再计算进行比较即可； （3）用总户数乘以不低于所占的比例即可求解； （4）画树状图，共有16种等可能的结果，其中抽取的两名同学都是男生的结果有8种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵随机抽取了30户居民， 故中位数是数据从小到大排列的第15个和第16个的平均数； 根据条形统计图可知：用水量在的有3户，用水量在的有11户，用水量在的有10户，用水量在的有4户，用水量在的有2户，故中位数是在第三组中，且是第三组中第1个和第2个的平均数， ∵乙小区3月份用水量在第三组的数据为：9，9.2，9.4，9.5，9.6，9.7，10，10.3，10.4，10.6． ∴乙小区3月份用水量的中位数是； 故答案为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：甲小区3月份用水量不低于的总户数为（户）， 乙小区3月份用水量不低于的总户数为（户）， 40+50=90（户） 即两个小区3月份用水量不低于的总户数有90户． 【小问4详解】 解：画树状图如图： 共有16种等可能的结果，其中抽取的两名同学都是男生的结果有6种， ∴抽取的两名同学都是男生的概率为． 【点睛】本题考查了用树状图法求概率，中位数，条形统计图，用样本估计总体等，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 21. 如图，和相交于点，，，点、分别是、的中点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，的外接圆半径为2，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵点E、F分别是的中点， ∴， ∴ ∵，， ∴四边形是平行四边形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的判定定理得到，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据线段中点的定义得到； （2）根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，求得，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形． 本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形判定，圆的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴四边形是矩形． ∴的外接圆圆心为点O， 又∵， ∴， ∴． 22. 要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，A种规格是长、宽、高都为的正方体无盖木盒，B种规格是长、宽、高各为，，的长方体无盖木盒，如图1．现有200张规格为的木板材，对该种木板材有甲、乙两种切割方式，如图2．切割、拼接等板材损耗忽略不计． （1）设制作A种木盒x个，则制作B种木盒__________个；若使用甲种方式切割的木板材y张，则使用乙种方式切割的木板材__________张； （2）该200张木板材恰好能做成200个A和B两种规格的无盖木盒，请分别求出A，B木盒的个数和使用甲，乙两种方式切割的木板材张数； （3）包括材质等成本在内，用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元．根据市场调研，A种木盒的销售单价定为a元，B种木盒的销售单价定为元，两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元．在（2）的条件下，两种木盒的销售单价分别定为多少元时，这批木盒的销售利润最大，并求出最大利润． 【答案】（1）， （2）制作A种木盒100个，B种木盒100个；使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板50张 （3）A种木盒的销售单价定为18元，B种木盒的销售单价定为11元时，这批木盒的销售利润最大，最大利润为1750元 【解析】 【分析】（1）根据题意即可求解； （2）根据题意可得，制作一个A种木盒需要长、宽均为的木板5个，制作一个B种木盒需要长、宽均为的木板1个，长为10cm、宽为的木板4个；甲种方式可切割长、宽均为的木板4个，乙种方式可切割长为10cm、宽为的木板8个；列关系式求解即可； （3）先根据（2）中数据求得总成本金额，根据利润=售价-成本列式，根据一次函数的性质进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，制作A种木盒x个， 故制作B种木盒个； ∵有200张规格为的木板材，使用甲种方式切割的木板材y张， 故使用乙种方式切割的木板材张； 故答案为：，． 【小问2详解】 解：使用甲种方式切割的木板材y张，则可切割出个长、宽均为的木板， 使用乙种方式切割的木板材张，则可切割出个长为、宽为的木板； 设制作A种木盒x个，则需要长、宽均为的木板个， 制作B种木盒个，则需要长、宽均为的木板个，需要长为、宽为的木板个； 故 解得：， 故制作A种木盒100个，制作B种木盒100个， 使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板材50张， 【小问3详解】 解：∵用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元，且使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板材50张， 故总成本为（元）； ∵两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元， 即， 解得：， 故的取值范围为； 设利润为，则， 整理得：， ∵，故随的增大而增大， 故当时，有最大值，最大值为， 则此时B种木盒的销售单价定为（元）， 即A种木盒的销售单价定为18元，B种木盒的销售单价定为11元时，这批木盒的销售利润最大，最大利润为1750元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一次函数的性质，一元一次不等式组的应用，根据题意找出等量关系进行列式是解题的关键． 23. 如图，是的直径，点，是上的点，且，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点，过点作于点，交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵是半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据，得出，由，得出，根据已知条件得出，证明，结合已知条件可得，即可得证； （2）连接，根据已知条件得出，，得出，证明，得出，，进而求得，，根据，求得，进而即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，连接， ∵，， 设，则 ∴， ∴， 即 解得：， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴,， ∴， ∴， 解得：， ∴ ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵, , ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 24. 如图，等腰△ABC两腰AB，AC分别交⊙O于点D，E，点A在⊙O外，点B，C在⊙O上（不与D，E重合），连结BE，DE．已知∠A＝∠EBC，设＝k（0＜k＜1）． （1）若∠A＝50°，求的度数； （2）若k＝，求的值； （3）设△ABC，△ADE，△BEC的周长分别为c，c1，c2，求证：1＜≤． 【答案】（1）30°； （2）； （3）由（2）可得， ，， ，， ， 由（2）可得， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的性质可求，可求，即可求解； （2）通过证明，可求，设，则，，，通过证明，可求，可求，即可求解； （3）由相似三角形的性质可得，，可得，由二次函数的性质可求解． 【详解】解：（1），， ， ， ， 的度数； （2），， ， ，， ， 设，则，， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， ， ， ， ， ； （3）略 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，利用参数表示相似三角形的相似比是本题的关键． 25. 在平面直角坐标系内，抛物线交y轴于点C，过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D． （1）求点C，D的坐标； （2）当时，如图1，该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点P为直线上方抛物线上一点，将直线沿直线翻折，交x轴于点，求点P的坐标； （3）坐标平面内有两点，以线段为边向上作正方形． ①若，求正方形的边与抛物线的所有交点坐标； ②当正方形的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为时，求a的值． 【答案】（1）， （2） （3）①，，；② 【解析】 【分析】（1）先求出，再求出抛物线对称轴，根据题意可知C、D关于抛物线对称轴对称，据此求出点D的坐标即可； （2）先求出，如图，设上与点M关于直线对称的点为，由轴对称的性质可得，利用勾股定理建立方程组，解得或（舍去），则，求出直线的解析式为，然后联立，解得或，则； （3）分图3-1，图3-2，图3-3三种情况，利用到x轴的距离之差即为纵坐标之差结合正方形的性质列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：在中，当时，， ∴， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， ∵过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D， ∴C、D关于抛物线对称轴对称， ∴； 【小问2详解】 解：当时，抛物线解析式为， 当，即，解得或， ∴； 如图，设上与点M关于直线对称的点为， 由轴对称的性质可得， ∴， 解得：，即 ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，解得或 ∴； 【小问3详解】 解：①当时，抛物线解析式为，， ∴， ∴，， 当时，， ∴抛物线恰好经过； ∵抛物线对称轴为直线， 由对称性可知抛物线经过， ∴点时抛物线与正方形的一个交点， 又∵点F与点D重合， ∴抛物线也经过点； 综上所述，正方形的边与抛物线的所有交点坐标为，，； ②如图3-1所示，当抛物线与分别交于T、D， ∵当正方形的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为， ∴点T的纵坐标为， ∴， ∴， 解得（舍去）或； 如图3-2所示，当抛物线与分别交于T、S， ∵当正方形的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为， ∴， 解得（舍去，因为此时点F在点D下方） 如图3-3所示，当抛物线与分别交于T、S， ∵当正方形的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）； 当时，， 当 时，， ∴不符合题意； 综上所述，． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，轴对称的性质，正方形的性质等等，利用分类讨论和数形结合的思想求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年湖南省长沙市长郡集团中考数学押题金卷（八） 数 学 温馨提示： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁： 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共 25 个小题，考试时量 120 分钟，满分 120 分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，最大的是（　　） A. B. 0 C. 2 D. 2. 中国剪纸项目是“人类非物质文化遗产代表作”之一．下列剪纸作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 我国自主研制的全球最大集装箱船“地中海泰莎”号的甲板面积近似于4个标准足球场，可承载吨的货物，数字用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 在数学活动课上，小明同学将含角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺上，测得，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 5. 从1，2，3，4，5，5六个数中随机选取一个数，这个数恰为该组数据的众数的概率为（　　） A. B. C. D. 6. 一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 如图，在中，若，，则扇形(阴影部分)的面积是( ) A. B. C. D. 8. 若关于的方程解为正数，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 9. 《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数，，的计算公式：，，，其中，，是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（　　） A. 3，4，5 B. 5，12，13 C. 6，8，10 D. 7，24，25 10. 如图，在平面直角坐标系中有一系列格点，其中，且，是整数．记，如，即，，即，，即，，以此类推．则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 27的立方根为_____． 12. 分解因式：_________． 13. 在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值是___________． 14. 如图，在中，若，，，则______． 15. 若关于的一元二次方程的两个实数根分别是一个菱形的两条对角线长，且该菱形的面积为11，则菱形的边长为__________． 16. 已知一次函数的图象与反比例函数（且）的图象共有两个交点，且满足两交点横坐标的乘积， 则的取值范围是_________． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，某数学兴趣小组为了测量古树的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端在同一水平线上的点A出发，沿斜面坡度为的斜坡前进到达点，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点．在点处测得古树的顶端的俯角为，底部的俯角为，求古树的高度（参考数据：，，，计算结果用根号表示，不取近似值）． 20. 2023年3月22日至28日是第三十届“中国水周”，某学校组织开展主题为“节约用水，共护母亲河”的社会实践活动．A小组在甲，乙两个小区各随机抽取30户居民，统计其3月份用水量，分别将两个小区居民的用水量分为5组，第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，并对数据进行整理、描述和分析，得到如下信息： 信息一： 甲小区3月份用水量频数分布表 用水量（x/m） 频数（户） 4 9 10 5 2 信息二：甲、乙两小区3月份用水量数据的平均数和中位数如下： 甲小区 乙小区 平均数 9.0 9.1 中位数 9.2 a 信息三：乙小区3月份用水量在第三组的数据为：9，9.2，9.4，9.5，9.6，9.7，10，10.3，10.4，10.6． 根据以上信息，回答下列问题： （1）__________； （2）在甲小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为，在乙小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为，比较，大小，并说明理由； （3）若甲小区共有600户居民，乙小区共有750户居民，估计两个小区3月份用水量不低于的总户数； （4）因任务安排，需在B小组和C小组分别随机抽取1名同学加入A小组，已知B小组有3名男生和1名女生，C小组有2名男生和2名女生，请用列表或画树状图的方法，求抽取的两名同学都是男生的概率． 21. 如图，和相交于点，，，点、分别是、的中点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，的外接圆半径为2，求四边形的面积． 22. 要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，A种规格是长、宽、高都为的正方体无盖木盒，B种规格是长、宽、高各为，，的长方体无盖木盒，如图1．现有200张规格为的木板材，对该种木板材有甲、乙两种切割方式，如图2．切割、拼接等板材损耗忽略不计． （1）设制作A种木盒x个，则制作B种木盒__________个；若使用甲种方式切割的木板材y张，则使用乙种方式切割的木板材__________张； （2）该200张木板材恰好能做成200个A和B两种规格的无盖木盒，请分别求出A，B木盒的个数和使用甲，乙两种方式切割的木板材张数； （3）包括材质等成本在内，用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元．根据市场调研，A种木盒的销售单价定为a元，B种木盒的销售单价定为元，两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元．在（2）的条件下，两种木盒的销售单价分别定为多少元时，这批木盒的销售利润最大，并求出最大利润． 23. 如图，是的直径，点，是上的点，且，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点，过点作于点，交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 24. 如图，等腰△ABC两腰AB，AC分别交⊙O于点D，E，点A在⊙O外，点B，C在⊙O上（不与D，E重合），连结BE，DE．已知∠A＝∠EBC，设＝k（0＜k＜1）． （1）若∠A＝50°，求的度数； （2）若k＝，求的值； （3）设△ABC，△ADE，△BEC的周长分别为c，c1，c2，求证：1＜≤． 25. 在平面直角坐标系内，抛物线交y轴于点C，过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D． （1）求点C，D的坐标； （2）当时，如图1，该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点P为直线上方抛物线上一点，将直线沿直线翻折，交x轴于点，求点P的坐标； （3）坐标平面内有两点，以线段为边向上作正方形． ①若，求正方形的边与抛物线的所有交点坐标； ②当正方形的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为时，求a的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $