4.7 第2课时 相似三角形的周长与面积的比 正文-【七彩作业】2024-2025学年九年级数学上册同步习题课件（北师大版）河北专版

九年级上册 2024 数学 北师大版 2 第四章　图形的相似 4.7　相似三角形的性质 第2课时　相似三角形的周长与面积的比 思路点拨 相似三角形的周长与面积的比 1. 若两个相似三角形的相似比为1∶3，则它们周长的比为(　D　) A. 1∶9 B. 1∶6 C. 6∶1 D. 1∶3 D 　　根据相似三角形周长的比等于相似比进行解答即可. 【解析】∵两个相似三角形的相似比为1∶3， ∴它们周长的比为1∶3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 第2课时　相似三角形的周长与面积的比 素养达标 能力突破 基础通关 2. 已知△ ABC ∽△ DEF ， AB ＝3， DE ＝5，△ ABC 的周长为12， 则△ DEF 的周长为(　C　) A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 【解析】∵△ ABC ∽△ DEF ， ∴△ ABC 的周长∶△ DEF 的周长＝ AB ∶ DE ＝3∶5. ∵△ ABC 的周长为12， ∴△ DEF 的周长为20. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 第2课时　相似三角形的周长与面积的比 素养达标 能力突破 基础通关 3. 如图，已知△ ABO ∽△ DEO ，且 BO ∶ EO ＝1∶3，则△ ABO 与 △ DEO 的面积比是(　C　) A. 1∶3 B. 3∶1 C. 1∶9 D. 9∶1 第3题图 C 【解析】∵△ ABO ∽△ DEO ，且 BO ∶ EO ＝1∶3， ∴△ ABO 与△ DEO 的面积比是1∶9. 思路点拨 　　根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可直接得到答案. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 第2课时　相似三角形的周长与面积的比 素养达标 能力突破 基础通关 4. 若△ ABC ∽△ DEF ， S△ ABC ∶ S△ DEF ＝2∶3，则△ ABC 与△ DEF 的 相似比为(　C　) A. 2∶3 B. 4∶9 C. ∶ D. 3∶2 【解析】∵△ ABC ∽△ DEF ， S△ ABC ∶ S△ DEF ＝2∶3， ∴△ ABC 与△ DEF 的相似比为 ∶ . C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 第2课时　相似三角形的周长与面积的比 素养达标 能力突破 基础通关 5. (2023·石家庄第41中学期中)如图所示，在△ ABC 中， DE ∥ BC ， DE 分别交边 AB ， AC 于 D ， E 两点，若 AD ∶ DB ＝2∶3，则△ ADE 与△ ABC 的面积比为(　C　) A. 2∶3 B. 4∶9 C. 4∶25 D. 4∶21 第5题图 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 第2课时　相似三角形的周长与面积的比 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】∵在△ ABC 中， DE ∥ BC ， ∴△ ABC ∽△ ADE . ∵ AD ∶ DB ＝2∶3， AD ＋ DB ＝ AB ， ∴△ ADE 与△ ABC 的相似比为 ＝ . ∴△ ADE 与△ ABC 的面积比为 ＝ . 第5题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 第2课时　相似三角形的周长与面积的比 素养达标 能力突破 基础通关 6. (2023·石家庄第28中学月考)如图，在边长为1的小正方形组成的网格 中， A ， B ， C ， D 四个点均在格点上， AC 与 BD 相交于点 E ，连接 AB ， CD ，则△ ABE 与△ CDE 的周长比为(　D　) A. 1∶4 B. 4∶1 C. 1∶2 D. 2∶1 D 【解析】由网格图可知 AB ∥ CD ， AB ∶ CD ＝2∶1， ∴△ ABE ∽△ CDE . ∴△ ABE 与△ CDE 的周长比为 AB ∶ CD ＝2∶1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 第2课时　相似三角形的周长与面积的比 素养达标 能力突破 基础通关 7. 两个相似三角形的面积之比为1∶4，小三角形的周长为4，则另一个 三角形的周长为 ⁠. 【解析】∵两个相似三角形的面积之比为1∶4，∴这两个相似三角 形的周长之比为1∶2.设另一个三角形的周长为 x ，则4∶ x ＝1∶2， 解得 x ＝8. 8　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 第2课时　相似三角形的周长与面积的比 素养达标 能力突破 基础通关 8. 【教材第110页例2改编】如图，将△ ABC 沿 AC 方向平移得到 △ DEF ，设 BC 与 DE 交于 G 点，若 C 是线段 DF 的中点，求 S△ CDG ∶ S四边形 CGEF 的值. 解：依据题意，可知 CG ∥ EF ， ∴∠ DGC ＝∠ E ，∠ DCG ＝∠ F . ∴△ CGD ∽△ FED . ∵ C 是线段 DF 的中点， ∴ CD ∶ DF ＝1∶2.∴ S△ CDG ∶ S△ FDE ＝1∶4. ∴ S△ CDG ∶ S四边形 CGEF ＝1∶3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 第2课时　相似三角形的周长与面积的比 素养达标 能力突破 基础通关 9. 如图，在△ ABC 中，点 D ， E ， F 分别在边 AB ， AC ， BC 上，连接 DE ， EF . 已知四边形 BFED 是平行四边形， ＝ . (1)若 AB ＝8，求线段 AD 的长； 解：(1)∵四边形 BFED 是平行四边形， ∴ DE ∥ BF . ∴ DE ∥ BC . ∴△ ADE ∽△ ABC . ∴ ＝ ＝ .∵ AB ＝8，∴ AD ＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 第2课时　相似三角形的周长与面积的比 素养达标 能力突破 基础通关 (2)若△ ADE 的面积为1，求平行四边形 BFED 的面积. 解：(2)∵△ ADE ∽△ ABC ， ∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝ . ∵△ ADE 的面积为1，∴△ ABC 的面积是16. ∵四边形 BFED 是平行四边形， ∴ EF ∥ AB . ∴△ EFC ∽△ ABC . ∵ ＝ ，∴ ＝ .∴ ＝ ＝ . ∴△ EFC 的面积为9. ∴平行四边形 BFED 的面积为16－9－1＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 第2课时　相似三角形的周长与面积的比 素养达标 能力突破 基础通关 10. (2023·保定新秀学校期中)如图1，将一张三角形纸片沿虚线裁下一个 小三角形，依据作图痕迹及图2中所示的数据，裁下的小三角形纸片的 周长是(　B　) A. 22 B. 22.5 C. 23 D. 23.5 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 第2课时　相似三角形的周长与面积的比 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】根据基本作图得∠ ADE ＝∠ C ， CE ＝ DE ＝6， BC ＝12， BD ＝10.5， 设 AE ＝ x ， AD ＝ y ， ∵∠ ADE ＝∠ C ，∠ DAE ＝∠ CAB ， ∴△ ADE ∽△ ACB . ∴ ＝ ＝ ，即 ＝ ＝ . ∴ x ＝9， y ＝7.5. ∴裁下的小三角形纸片的周长为6＋9＋7.5＝22.5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 第2课时　相似三角形的周长与面积的比 素养达标 能力突破 基础通关 11. (2023·邯郸大名县实验学校月考)如图，有一锐角为30°的三角尺，它 的内外两个三角形是相似的.三角尺的斜边长为12 cm，其内部三角形的 最短边长为3 cm，则这个三角尺内外两个三角形的面积比为(　D　) A. 1∶ B. 1∶2 C. 1∶3 D. 1∶4 第11题图 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 第2课时　相似三角形的周长与面积的比 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】如图，∵∠ B ＝30°， AB ＝12 cm， ∴ AC ＝ AB ＝6 cm. ∵内部三角形的最短边长为3 cm，即 DF ＝3 cm， 且△ ABC ∽△ DEF ，∴ ＝ ＝ . ∴ ＝ ＝ .∴这个三角尺内外两个三角形的面积比为1∶4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 第2课时　相似三角形的周长与面积的比 素养达标 能力突破 基础通关 12. 如图，△ ABC ∽△ ADE ， S△ ABC ∶ S四边形 BDEC ＝1∶3， BC ＝ ， 则 DE 的长为 ⁠. 第12题图 2 　 【解析】∵ S△ ABC ∶ S四边形 BDEC ＝1∶3， ∴ S△ ABC ∶ S△ ADE ＝1∶4. ∵△ ABC ∽△ ADE ，∴ ＝ .∴ ＝ . ∵ BC ＝ ，∴ DE ＝2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 第2课时　相似三角形的周长与面积的比 素养达标 能力突破 基础通关 13. 如图，在▱ ABCD 中， E 是 CD 延长线上一点， BE 与 AD 交于点 F ， DE ∶ CD ＝2∶3. (1)求证：△ EFD ∽△ BFA ； (1)证明：∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴ AB ∥ CD ，即 AB ∥ EC . ∴∠ E ＝∠ ABF ，∠ EDF ＝∠ A . ∴△ EFD ∽△ BFA . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 第2课时　相似三角形的周长与面积的比 素养达标 能力突破 基础通关 (2)如果△ ABF 的面积为9，求▱ ABCD 的面积. (2)解：∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴ AD ∥ BC ， CD ＝ AB . ∴△ EFD ∽△ EBC . ∵ DE ∶ CD ＝2∶3，∴ ＝ ， ＝ . ∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝ . ∵△ ABF 的面积为9，∴ S△ EFD ＝4. ∴ S△ EBC ＝25. ∴ S▱ ABCD ＝ S△ EBC － S△ EFD ＋ S△ ABF ＝25－4＋9＝30. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 第2课时　相似三角形的周长与面积的比 素养达标 能力突破 基础通关 14. 两对相似的直角三角形按如图所示的方式摆放得矩形 ABCD ，其中 △ ADH ∽△ BAE ，△ ADH ≌△ CBF ，△ ABE ≌△ CDG . 若 EF ∶ FG ＝1∶2， AB ∶ BC ＝2∶3，则矩形 EFGH 与矩形 ABCD 的面积之比为 (　D　) A. B. C. D. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 第2课时　相似三角形的周长与面积的比 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】由题意可以假设 EF ＝ GH ＝ a ， EH ＝ FG ＝2 a ， DH ＝ BF ＝ x ， AE ＝ CG ＝ y . ∴ AH ＝ y ＋2 a ， BE ＝ x ＋ a . ∵△ ADH ∽△ BAE ，∴ ＝ ＝ . ∴ ＝ ＝ ，解得 x ＝ a ， y ＝ a . ∵∠ AHD ＝90°，∴ AD ＝ ＝ a ， CD ＝ AD ＝ a . ∴矩形 EFGH 与矩形 ABCD 的面积之比＝2 a2∶ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 第2课时　相似三角形的周长与面积的比 素养达标 能力突破 基础通关 15. 如图，在△ ABC 中，点 D ， E 分别在边 AC ， AB 上， AG 平分∠ BAC ，分别交 DE ， BC 于点 F ， G ，且 AD · AG ＝ AF · AB . (1)求证：△ ADF ∽△ ABG ； (1)证明：∵ AG 平分∠ BAC ， ∴∠ DAF ＝∠ BAG . ∵ AD · AG ＝ AF · AB ， 即 ＝ . ∴△ ADF ∽△ ABG . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 第2课时　相似三角形的周长与面积的比 素养达标 能力突破 基础通关 (2)若△ ADF 与△ ABG 的周长之比是2∶5， AE ＝8，求 AC 的长. (2)解：由(1) , 知△ ADF ∽△ ABG ， ∴∠ ADE ＝∠ B . ∵∠ DAE ＝∠ BAC ，∴△ DAE ∽△ BAC . ∴ ＝ . ∵△ ADF 与△ ABG 的周长之比是2∶5， ∴ ＝ . ∵ AE ＝8，∴ ＝ .∴ AC ＝20. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 第2课时　相似三角形的周长与面积的比 素养达标 能力突破 基础通关 $$