2.6 第1课时 应用一元二次方程(一) 正文-【七彩作业】2024-2025学年九年级数学上册同步习题课件（北师大版）河北专版

九年级上册 2024 数学 北师大版 2 第二章　一元二次方程 2.6　应用一元二次方程 第1课时　应用一元二次方程(一) 利用一元二次方程解决几何图形问题 1. 如图，在长为32米，宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的小路(图中 阴影部分)，余下部分种植草坪，要使小路的面积为100平方米.设小路的 宽为 x 米，则下面所列方程正确的是(　B　) A. 32×20－32 x －20 x ＝100 B. 32 x ＋20 x － x2＝100 B. (32－ x )(20－ x )＋ x2＝100 C. (32－ x )(20－ x )＝100 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第1课时　应用一元二次方程(一) 素养达标 能力突破 基础通关 2. 一个直角三角形的两条直角边相差3 cm，面积是9 cm2，则较长的直 角边的长为(　D　) A. cm B. 2 cm C. 3 cm D. 6 cm 【解析】设较长的直角边的长为 x cm，则较短的直角边的长为( x －3)cm. 由题意，得 x ( x －3)＝9， 解得 x1＝6， x2＝－3(不符合题意，舍去). ∴ x ＝6，即较长的直角边的长为6 cm. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第1课时　应用一元二次方程(一) 素养达标 能力突破 基础通关 3. (2023·秦皇岛卢龙县期中)某工作队，决定在该村山脚下，围一块面积 为600 m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广.如图所示，茶园一 面靠墙，墙长35 m，另外三面用69 m长的篱笆围成，其中一边开有一 扇1 m宽的门(不包括篱笆).求这个茶园的长和宽. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第1课时　应用一元二次方程(一) 素养达标 能力突破 基础通关 解：设这个茶园的宽 AB 为 x m，则长 BC 为(69＋1－2 x )m. 根据题意，得 x (69＋1－2 x )＝600.整理，得 x2－35 x ＋300＝0. 解得 x1＝15， x2＝20， 当 x ＝15时，69＋1－2 x ＝40＞35，不符合题意，舍去； 当 x ＝20时，69＋1－2 x ＝30＜35，符合题意. ∴ x ＝20.∴69＋1－2 x ＝70－2×20＝30. 答：这个茶园的长为30 m，宽为20 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第1课时　应用一元二次方程(一) 素养达标 能力突破 基础通关 利用一元二次方程解决古代数学问题 4. 《九章算术》勾股章有一问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在 木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚 有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问绳索有多 长？若设绳索长度为 x 尺，根据题意，可列方程为(　C　) A. 82＋ x2＝( x －3)2 B. 82＋( x ＋3)2＝ x2 C. 82＋( x －3)2＝ x2 D. x2＋( x －3)2＝82 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第1课时　应用一元二次方程(一) 素养达标 能力突破 基础通关 5. 杨辉是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律 的数学家.他与秦九韶、李冶、朱世杰并称“宋元数学四大家”.他所著 的《田亩比类乘除捷法》(1275年)提出了这样一个问题：“直田积(矩形 面积)八百六十四步(平方步)，只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少一十 二步).问阔及长各几步.”若设阔为 x 步，则可列方程为(　A　) A. x ( x ＋12)＝864 B. x ( x －12)＝864 C. x ( x ＋6)＝864 D. x ( x －6)＝864 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第1课时　应用一元二次方程(一) 素养达标 能力突破 基础通关 利用一元二次方程解决动态几何图形问题 6. 【教材第52页例1改编】如图，某海军基地位于 A 处，其正南方向100海里处有一重要目标 B ，在 B 正东方向200海里处有一重要目标 C ，小岛 D 位于 A 正东方向200海里处.一艘军舰从 A 出发经 B 到 C 匀速巡航，一艘补给船同时从 D 沿南偏西方向匀速航行，欲将一批物品送达军舰.军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由 B 到 C 的途中与补给船相遇于 E 处，那么相遇时补给船航行了多少海里？(精确到1海里) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第1课时　应用一元二次方程(一) 素养达标 能力突破 基础通关 解：由题意，得四边形 ABCD 是矩形， BC ＝ AD ＝200海里. ∴∠ C ＝90°， AB ＝ CD ＝100海里， 设相遇时补给船航行了 x 海里，则军舰航行了2 x 海里， ∴ DE ＝ x 海里， AB ＋ BE ＝2 x 海里. ∵ AB ＝100海里， BC ＝200海里， ∴ CE ＝ AB ＋ BC －( AB ＋ BE )＝(300－2 x )海里， 在Rt△ CDE 中， CD2＋ CE2＝ DE2，∴1002＋(300－2 x )2＝ x2， 解得 x ＝200－ 或 x ＝200＋ (舍去)， ∴ DE ＝200－ ≈118(海里)， ∴相遇时补给船航行了约118海里. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第1课时　应用一元二次方程(一) 素养达标 能力突破 基础通关 7. (2023·廊坊第四中学期中)如图，在△ ABC 中，∠ B ＝90°， AB ＝12 cm， BC ＝24 cm，动点 P 从点 A 开始沿边 AB 向点 B 以2 cm/s的速度移动，动点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以4 cm/s的速度移动，如果 P ， Q 两点分别从 A ， B 两点同时出发，设运动时间为 t s . (1)用含 t 的式子表示： AP ＝ cm， BP ＝ cm， BQ ＝ cm； 2 t 　 (12－2 t )　 4 t 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第1课时　应用一元二次方程(一) 素养达标 能力突破 基础通关 (2)当△ PBQ 的面积为32 cm2时，求运动时间. 解：∵ BQ ＝4 t cm， BP ＝(12－2 t )cm，∠ B ＝90°， ∴ S△ PBQ ＝ BP · BQ ＝ (12－2 t )·4 t ＝－4 t2＋24 t . 由题意，得－4 t2＋24 t ＝32， 整理，得 t2－6 t ＋8＝0. 解得 t1＝2， t2＝4. 答：当运动时间是2 s或4 s时，△ PBQ 的面积为32 cm2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第1课时　应用一元二次方程(一) 素养达标 能力突破 基础通关 8. 如图，露在水面上的鱼线 BC 长为3 m.钓鱼者想看看鱼钩上的情况 把鱼竿 AC 提起到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'长为4 m， 若BB'的长为1 m，试问鱼竿 AC 有多长？设AB'的长为 x m，则以下 所列方程正确的是(　A　) A A. x2＋42＝( x ＋1)2＋32 B. x2＋42＝( x ＋1)2－32 C. ( x －1)2＋42＝ x2＋32 D. ( x －1)2＋32＝ x2＋42 【解析】∵AB'＝ x m，AC'＝ AC ，∴AB'2＋B'C'2＝ AB2＋ BC2， 即 x2＋42＝( x ＋1)2＋32. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第1课时　应用一元二次方程(一) 素养达标 能力突破 基础通关 9. (2023·邯郸馆陶县实验中学月考)如图是一张长12 cm，宽10 cm的矩形 铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分(阴影 部分)可制成底面积是24 cm2的有盖的长方体铁盒，则剪去的正方形的 边长为 cm，该铁盒的体积是 cm3. 2　 48　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第1课时　应用一元二次方程(一) 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】设剪去的正方形的边长为 x cm，则制成有盖的长方体铁盒的 底面长为(10－2 x )cm，宽为 ＝(6－ x )cm. 依题意，得(10－2 x )(6－ x )＝24， 整理，得 x2－11 x ＋18＝0， 解得 x1＝2， x2＝9(不合题意，舍去). ∴该铁盒的体积为24×2＝48(cm3). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第1课时　应用一元二次方程(一) 素养达标 能力突破 基础通关 10. (2023.唐山丰润区期中)如图，有长为34米的篱笆，一面利 用墙(墙的最大可用长度为22米)围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，园 主在花圃的前端各设计了两个宽1米的小门，设花圃的宽 AB 为 x 米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第1课时　应用一元二次方程(一) 素养达标 能力突破 基础通关 (1)若围成的花圃面积为96平方米，求此时的宽 AB ； (1)解：∵花圃的宽 AB 为 x 米， ∴花圃的长 AD 为(34＋2－3 x )米. 依题意得 x (34＋2－3 x )＝96， 解得 x1＝4， x2＝8. 当 x ＝4时，34＋2－3 x ＝24＞22，不符合题意，舍去； 当 x ＝8时，34＋2－3 x ＝12＜22，符合题意. 答：此时宽 AB 为8米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第1课时　应用一元二次方程(一) 素养达标 能力突破 基础通关 (2)①能围成面积为120平方米的花圃吗？若能，请求出 x 的值；若不 能，请说明理由； (2)①解：不能围成面积为120平方米的花圃. 依题意，得 x (34＋2－3 x )＝120， 整理，得 x2－12 x ＋40＝0， ∴Δ＝(－12)2－4×1×40＝－16＜0. ∴该方程无实数根，即不能围成面积为120平方米的花圃. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第1课时　应用一元二次方程(一) 素养达标 能力突破 基础通关 ②直接写出当 AB ＝ 米时，花圃的面积最大. 【解析】花圃的面积为 x (34＋2－3 x )＝－3 x2＋36 x ＝－3( x －6)2＋108， 所以当 x ＝6，即 AB ＝6时，花圃的面积取得最大值. 6　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第1课时　应用一元二次方程(一) 素养达标 能力突破 基础通关 $$