第1章 周测(1.3 正方形的性质与判定) 正文-【七彩作业】2024-2025学年九年级数学上册同步习题课件（北师大版）河北专版

九年级上册 2024 数学 北师大版 2 第一章　特殊平行四边形 周测(1.3) 一、选择题(共10题，每题4分，共40分) 1. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是(　B　) A. 对角线平分一组对角 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直平分 D. 四条边相等 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(1.3) 解答题 填空题 选择题 2. (2023·石家庄桥西区期末)下列图形有四条对称轴的是(　C　) A. 平行四边形 B. 菱形 C. 正方形 D. 矩形 【解析】A. 平行四边形不一定是轴对称图形，故此选项不符合题意； B. 菱形是轴对称图形，有2条对称轴，故此选项不符合题意；C. 正方形 是轴对称图形，有4条对称轴，故此选项符合题意；D. 矩形是轴对称图 形，有2条对称轴，故此选项不符合题意. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(1.3) 解答题 填空题 选择题 3. (2023·唐山古冶区二模)如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 的 顶点 A 的坐标为(－6，4)，点 B ， C 在 x 轴上，将正方形 ABCD 平移 后，点 O 成为新正方形的对称中心，则正方形 ABCD 的平移过程可能是 (　D　) A. 先向右平移8个单位长度，再向下平移4个单位长度 B. 先向右平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度 C. 先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 D. 先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(1.3) 解答题 填空题 选择题 【解析】∵四边形 ABCD 为正方形，点 B ， C 在 x 轴上，且点 A 的坐标 为(－6，4)， ∴ AB ＝ BC ＝ CD ＝ AD ＝4， OB ＝6. ∴ OC ＝2，∴点 B 的坐标为(－6，0)，点 C 的坐标为(－2，0).∴正方形 ABCD 的对称中心的坐标为(－4，2). ∵将正方形 ABCD 平移后，点 O 成为新正方形的对称中心， ∴正方形 ABCD 的平移过程即为对称中心的平移过程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(1.3) 解答题 填空题 选择题 ∵正方形 ABCD 的对称中心的坐标为(－4，2)，平移后的正方形的对称 中心为坐标原点，即(0，0)， ∴正方形 ABCD 的平移过程为先向右平移4个单位长度，再向下平移2个 单位长度. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(1.3) 解答题 填空题 选择题 4. 如图是四边形的结构图，其中①，②，③，④表示需要添加的条件， 则下列描述正确的是(　D　) A. ①对角线相等 B. ②对角线互相垂直、平分 C. ③对角线互相垂直 D. ④对角线互相平分、垂直且相等 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(1.3) 解答题 填空题 选择题 【解析】①矩形加上邻边相等或者对角线互 相垂直可得正方形，故A选项错误； ②平行四边形加上对角线互相垂直且相等， 可得正方形，故B选项错误； ③菱形加上一个角是直角或者对角线相等， 可得正方形，故C选项错误； ④四边形加上对角线互相平分、垂直且相等 可得正方形，故D选项正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(1.3) 解答题 填空题 选择题 5. 如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCO 的顶点 A 的坐标为(2，0)， 将该正方形绕着点 A 顺时针旋转45°得到正方形AB'C'O'，则点B'的坐标 是(　D　) A. (1，3) B. (3，1) C. ( ，2＋ ) D. (2＋ ， ) 第5题图 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(1.3) 解答题 填空题 选择题 【解析】如图，过点 B '作 B ' D ⊥ x 轴，垂足为 D . ∵将该正方形绕着点 A 顺时针旋转45°， ∴∠BAB'＝45°， AB ＝AB'. 又∵∠ BAD ＝90°，∴∠B'AD＝45°. ∴△B'AD是等腰直角三角形. ∴ AD ＝ B ' D . ∵ A (2，0)，∴ OA ＝ AB ＝2.∴AB'＝2. ∵在Rt△ADB'中， AD2＋B'D2＝AB'2， ∴2 AD2＝4，解得 AD ＝ (负值已舍去). ∴ OD ＝2＋ .∴B'(2＋ ， ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(1.3) 解答题 填空题 选择题 6. 四边形 ABCD 的对角线 AC ， BD 交于点 O ，有下列论断：① AB ＝ BC ；②∠ DAB ＝90°；③ BO ＝ DO ， AO ＝ CO ；④四边形 ABCD 为矩 形；⑤四边形 ABCD 为菱形；⑥四边形 ABCD 为正方形.其中推理不正 确的是(　D　) A. ⇒⑤ B. ⇒⑥ D C. ⇒④ D. ⇒⑥ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(1.3) 解答题 填空题 选择题 【解析】A. 由③，得四边形 ABCD 是平行四边形，再由①，得有一组 邻边相等的平行四边形是菱形，故该选项正确； B. 由②⑤，得有一个角是直角的菱形是正方形，故该选项正确； C. 由③，得四边形 ABCD 是平行四边形，再由②，得有一个角是直角 的平行四边形是矩形，故该选项正确； D. 由③④不能判断四边形是正方形，故该选项错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(1.3) 解答题 填空题 选择题 7. 如图，将一张边长为6分米的正方形纸片 ABCD 对折，使 AB 与 DC 重 合，折痕为 EF ，展开铺平后在 CD 上找一点 G ，将该纸片沿着 BG 折 叠，使点 C 恰好落在 EF 上，记为点C'，则FC'的长为(　C　) A. 5.5分米 B. (3 ＋1)分米 C. 3 分米 D. (2 ＋1)分米 第7题图 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(1.3) 解答题 填空题 选择题 【解析】∵四边形 ABCD 是边长为6分米的正方形， ∴ BC ＝6分米. 由折叠，得点 B 与点 C 关于直线 EF 对称， ∴ EF 垂直平分 BC . ∴∠BFC'＝90°， BF ＝ CF ＝ BC ＝3分米.由折叠的性质，得BC'＝ BC ＝6分米， ∴FC'＝ ＝ ＝3 (分米). 第7题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(1.3) 解答题 填空题 选择题 8. (2023·保定校考期末)如图，四边形 ABCD 为正方形， E 为 CD 上一 点， BF ⊥ AE 于点 F ，连接 DF ，设∠ ABF ＝α，若 BF ＝2 AF ，则 ∠ ADF 可表示为(　C　) A. B. ＋15° C. 45°－α D. 60°－α C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(1.3) 解答题 填空题 选择题 【解析】如图所示，过点 D 作 DG ⊥ AE 于点 G . ∵四边形 ABCD 是正方形，∴ AB ＝ DA ，∠ BAD ＝90°. ∵ BF ⊥ AE ， DG ⊥ AE ，∴∠ AFB ＝∠ DGA ＝90°. ∴∠ FAB ＋∠ GAD ＝90°＝∠ GAD ＋∠ GDA . ∴∠ FAB ＝∠ GDA . ∴△ ABF ≌△ DAG (AAS). ∴ AG ＝ BF ， AF ＝ DG ，∠ GAD ＝∠ FBA ＝α. ∵ BF ＝2 AF ，∴ AG ＝2 AF . ∴ AF ＝ FG ＝ DG . ∴△ DFG 是等腰直角三角形. ∴∠ DFG ＝45°. ∴∠ ADF ＝∠ DFG －∠ DAG ＝45°－α. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(1.3) 解答题 填空题 选择题 9. (2023·邢台威县期末)如图，在△ ABC 中，点 D 在边 BC 上(不与点 B ， C 重合)，连接 AD ，过点 D 分别作 DE ∥ AC ，交 AB 于点 E ， DF ∥ AB 交 AC 于点 F ，下列判断正确的是(　B　) 甲：四边形 AEDF 是平行四边形； 乙：若 AD 平分∠ BAC ，则四边形 AEDF 是菱形； 丙：若 AD ⊥ BC ，则四边形 AEDF 是正方形. B A. 甲、乙、丙都对 B. 只有甲、乙对 C. 只有乙、丙对 D. 只有甲对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(1.3) 解答题 填空题 选择题 【解析】∵ DE ∥ AC ， DF ∥ AB ， ∴四边形 AEDF 是平行四边形，故甲正确； ∵ AD 平分∠ BAC ，∴∠ DAB ＝∠ DAC . ∵ DE ∥ AC ，∴∠ ADE ＝∠ DAC . ∴∠ DAB ＝∠ ADE . ∴ AE ＝ DE . ∴四边形 AEDF 是菱形，故乙正确； 若 AD ⊥ BC ，不能证明四边形 AEDF 是正方形，故丙错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(1.3) 解答题 填空题 选择题 10. 如图，在正方形 ABCD 中，△ ABE 和△ CDF 为直角三角形， ∠ AEB ＝∠ CFD ＝90°， AE ＝ CF ＝5， BE ＝ DF ＝12，则 EF 的长是(　C　) A. 7 B. 8 C. 7 D. 7 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(1.3) 解答题 填空题 选择题 【解析】如图，设 AE 的延长线交 FD 于点 G ， CF 的延长线交 BE 于点 H ，由正方形的性质，得∠ BAD ＝∠ ABC ＝∠ BCD ＝∠ ADC ＝90°， AB ＝ BC ＝ CD ＝ AD ，由“SSS”可证△ ABE ≌△ CDF ，所以∠ ABE ＝∠ CDF . 易证∠ ABE ＝∠ DAG ＝∠ CDF ＝∠ BCH ，所以∠ BAE ＝ ∠ ADG . 由“ASA”可证△ ABE ≌△ DAG ，所以 AE ＝ DG ， BE ＝ AG ，同理可得 AE ＝ DG ＝ CF ＝ BH ＝5， BE ＝ AG ＝ DF ＝ CH ＝ 12，所以 EG ＝ GF ＝ FH ＝ HE ＝7.因为∠ HEG ＝90°，所以四边形 EGFH 是正方形.所以 EH ＝ HF ＝ BE － BH ＝ BE － AE ＝12－5＝7.所 以 EF ＝7 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(1.3) 解答题 填空题 选择题 二、填空题(共4题，每题5分，共20分) 11. 如图，正方形 ABCD 的两条对角线相交于点 O ， AB ＝2，则 AC ＝ .　　　 第11题图 2 　 【解析】∵四边形 ABCD 是正方形， ∴ AB ＝ BC ＝2，∠ ABC ＝90°. ∴ AC ＝ ＝2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(1.3) 解答题 填空题 选择题 12. 如图，在正方形 ABCD 的外侧作等边三角形 ADE ，则∠ BEC 的度数 为 ⁠. 第12题图 30°　 【解析】根据题意可得 AB ＝ AE ，∠ AED ＝∠ DAE ＝60°，∠ BAD ＝90°， ∴∠ BAE ＝∠ BAD ＋∠ DAE ＝150°. ∴∠ BEA ＝∠ EBA ＝ (180°－∠ BAE )＝15°. 同理可得∠ CED ＝15°， ∴∠ BEC ＝∠ AED －∠ BEA －∠ CED ＝60°－15°－15°＝30°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(1.3) 解答题 填空题 选择题 13. 如图，正方形 ABCD 的边长为12， E ， F 分别为 AB ， BC 上的动点 ( E ， F 均不与正方形的顶点重合)，且 AE ＋ CF ＝4， P 是对角线 AC 上 的一个动点，则 PE ＋ PF 的最小值是 ⁠. 4 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(1.3) 解答题 填空题 选择题 【解析】如图，作点 E 关于 AC 的对称点E'，连接PE'， 过点 F 作 FG ⊥ AD 于点 G ， ∴ AE ＝ AE '， PE '＝ PE . ∴ PE ＋ PF ＝PE'＋ PF ， ∴当E'， P ， F 三点共线时， PE ＋ PF ＝PE'＋ PF ＝E'F， 此时 PE ＋ PF 的值最小，E'F即为所求， ∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠ DAC ＝∠ BAC ＝45°. ∴点E'在边 AD 上. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(1.3) 解答题 填空题 选择题 ∵ GF ⊥ AD ，∠ D ＝∠ BCD ＝90°，∴四边形 CDGF 是矩形. ∴ GD ＝ CF ， GF ＝ CD ＝12. ∴GE'＝12－( GD ＋AE')＝12－4＝8. 在Rt△CE'F中，由勾股定理，得E'F＝ ＝4 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(1.3) 解答题 填空题 选择题 14. 如图1，在正方形 ABCD 中， E ， F ， G ， H 分别为边 AB ， BC ， CD ， DA 上的点， HA ＝ EB ＝ FC ＝ GD ，连接 EG ， FH ，交点为 O . 将正方形 ABCD 沿线段 EG ， HF 剪开，再把得到的四个四边形接图2的 方式拼接成一个四边形.若正方形 ABCD 的边长为3 cm， HA ＝ EB ＝ FC ＝ GD ＝1 cm，则图2中阴影部分的面积为 cm2. 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(1.3) 解答题 填空题 选择题 【解析】如图，连接 GH ， HE ， EF ， FG ，由 HA ＝ EB ＝ FC ＝ GD ＝1 cm， AB ＝ BC ＝ CD ＝ AD ＝3 cm，∠ A ＝∠ B ＝∠ C ＝∠ D ＝90°，易得四边形 GHEF 是正方形， S正方形 ABCD ＝32＝9(cm2)， GF ＝ EF ＝ EH ＝ GH ＝ ＝ (cm).根据已知条件，知重新拼成的四边形是正方形，且拼成的正方形的边长为正方形 GHEF 的对角线长，设其边长为 a cm，根据勾股定理，得 a ＝ ＝ ，其面积为( )2＝10(cm2)， ∴ S阴影＝10－ S正方形 ABCD ＝10－9＝1(cm2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(1.3) 解答题 填空题 选择题 三、解答题(共4题，共40分) 15. (8分)如图，四边形 ABCD 的对角线 AC ， BD 互相垂直平分，请从以 下三个选项中选择一个合适的选项作为已知条件，使四边形 ABCD 是正 方形. ①∠ ABC ＝90°；② AC ＝ BD ；③ BC2＋ CD2＝ BD2. (1)你选择的条件是 ；(填序号，填一个即可) ①　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(1.3) 解答题 填空题 选择题 (2)根据你选择的条件写出证明过程. 证明：∵四边形 ABCD 的对角线 AC ， BD 互相垂直平分， ∴四边形 ABCD 是菱形. ∵∠ ABC ＝90°， ∴四边形 ABCD 是正方形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(1.3) 解答题 填空题 选择题 16. (9分)如图，已知△ ABC ， AD 平分∠ BAC . (1)用尺规完成以下基本作图：作 AD 的垂直平分线交 AB 于点 E ，交 AC 于点 F ，交 AD 于点 G ，连接 DE ， DF ；(不写作法，不下结论，保留 作图痕迹) (1)解：如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(1.3) 解答题 填空题 选择题 (2)若∠ BAC ＝90°，求证：四边形 AEDF 是正方形. (2)证明： EF 垂直平分 AD ，∴ AE ＝ DE ， AF ＝ DF . ∴∠1＝∠ ADE ，∠2＝∠ ADF . ∵ AD 是∠ BAC 的平分线，∴∠1＝∠2. ∴∠ ADE ＝∠ ADF 。 又∵ AD ＝ AD ，∴△ ADE ≌△ ADF (ASA). ∴ AE ＝ AF ＝ DE ＝ DF . ∴四边形 AEDF 是菱形. 又∵∠ BAC ＝90°， ∴四边形 AEDF 是正方形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(1.3) 解答题 填空题 选择题 17. (11分)如图，在△ ABC 中，∠ C ＝90°，∠ BAC ，∠ ABC 的平分线 交于点 D ， DE ⊥ BC 于点 E ， DF ⊥ AC 于点 F . (1)求证：四边形 CEDF 为正方形； (1)证明：如图，过点 D 作 DN ⊥ AB 于点 N . ∵∠ ACB ＝90°， DE ⊥ BC 于点 E ， DF ⊥ AC 于点 F ， ∴四边形 CEDF 是矩形. 又∵∠ BAC ，∠ ABC 的平分线交于点 D ， ∴ DF ＝ DE ＝ DN . ∴四边形 CEDF 是正方形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(1.3) 解答题 填空题 选择题 (2)若 AC ＝12， BC ＝16，求 CE 的长. (2)解：如图，连接 CD . ∵ AC ＝12， BC ＝16，∠ C ＝90°， ∴ AB ＝ ＝ ＝20. ∵ S△ ABC ＝ S△ ACD ＋ S△ BCD ＋ S△ ABD ， ∴ DF · AC ＋ DE · BC ＋ DN · AB ＝ AC · BC . 由(1)，知 DF ＝ DE ＝ DN ＝ CE ， ∴ CE ( AC ＋ BC ＋ AB )＝ AC · BC ， ∴ CE ＝ ＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(1.3) 解答题 填空题 选择题 18. (12分)如图，一次函数 y ＝－2 x ＋2的图象与 x 轴、 y 轴分别交于点 A ， B . (1)点 A 的坐标为 ，点 B 的坐标为 ⁠； 【解析】直线 y ＝－2 x ＋2中，令 x ＝0，得 y ＝2， ∴ B (0，2). 令 y ＝0，得－2 x ＋2＝0，∴ x ＝1. ∴ A (1，0). (1，0)　 (0，2)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(1.3) 解答题 填空题 选择题 (2)以线段 AB 为一边在第一象限内作平行四边形 ABCD ，其顶点 D 的坐 标为(3，1).求证：四边形 ABCD 是正方形.(提示：过点 D 作 x 轴的垂线) 证明：由(1)，知 A (1，0)， B (0，2)， ∴ OA ＝1， OB ＝2. 如答图，过点 D 作 DE ⊥ x 轴于点 E ，则∠ AED ＝90°. ∵ D (3，1)，∴ DE ＝1， AE ＝3－1＝2. ∴ OA ＝ DE ， OB ＝ AE . ∵∠ AOB ＝∠ DEA ＝90°，∴△ AOB ≌△ DEA (SAS). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(1.3) 解答题 填空题 选择题 ∴ AB ＝ AD ，∠ DAE ＝∠ ABO . ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴四边形 ABCD 是菱形. ∵∠ OAB ＋∠ OBA ＝90°，∴∠ OAB ＋∠ DAE ＝90°. ∴∠ BAD ＝90°. ∴四边形 ABCD 是正方形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(1.3) 解答题 填空题 选择题 $$