1.1 第3课时 菱形的性质与判定的综合应用 正文-【七彩作业】2024-2025学年九年级数学上册同步习题课件（北师大版）河北专版

九年级上册 2024 数学 北师大版 2 第一章　特殊平行四边形 1.1　菱形的性质与判定 第3课时　菱形的性质与判定的综合应用 菱形的面积 1. 【教材第8页例3改编】如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 交 于点 O ，已知 AO ＝3， OB ＝6，则菱形 ABCD 的面积是(　C　) A. 9 B. 18 C. 36 D. 72 第1题图 C 【解析】∵四边形 ABCD 是菱形， ∴ AC ＝2 AO ＝6， BD ＝2 BO ＝12. ∴ S菱形 ABCD ＝ AC · BD ＝ ×6×12＝36. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第3课时　菱形的性质与判定的综合应用 素养达标 能力突破 基础通关 2. 如图，四边形 ABCD 的四边相等，面积为120 cm2，对角线 AC ＝24 cm， 则四边形 ABCD 的另一条对角线的长是(　A　) A. 10 cm B. 15 cm C. 20 cm D. 26 cm 第2题图 A 【解析】∵四边形 ABCD 的四边相等， ∴四边形 ABCD 为菱形. ∴ AC ⊥ BD ， S四边形 ABCD ＝ AC · BD . ∴ ×24× BD ＝120. ∴ BD ＝10 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第3课时　菱形的性质与判定的综合应用 素养达标 能力突破 基础通关 菱形的性质与判定的综合应用 3. (2023·廊坊第四中学期中)如图，把一张长方形的纸片对折两次，然后 剪下一个角，为了得到一个锐角为60°的菱形，剪口与折痕所成的角α的 度数应为(　D　) A. 15°或30° B. 30°或45° C. 45°或60° D. 30°或60° 第3题图 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第3课时　菱形的性质与判定的综合应用 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】∵菱形的对角线互相垂直平分且平分每一组对角， ∴一内角为60°的菱形中，与其相邻的另一内角为120°. 又∵长方形的纸片对折两次，纸片的折痕正好通过该菱形的对角线. ∴剪口与折痕所成的角应为30°或60°. 第3题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第3课时　菱形的性质与判定的综合应用 素养达标 能力突破 基础通关 4. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 为菱形， O 为原点，点 A 的坐标为(8，0)，∠ AOC ＝60°，则对角线交点 E 的坐标为(　D　) A. (4，2 ) B. (2 ，4) C. (2 ，6) D. (6，2 ) 第4题图 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第3课时　菱形的性质与判定的综合应用 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】如图，过点 E 作 EF ⊥ x 轴于点 F ， ∵四边形 OABC 为菱形，∠ AOC ＝60°， ∴∠ AOE ＝ ∠ AOC ＝30°， OB ⊥ AC . ∴∠ FAE ＝60°. ∴∠ AEF ＝30°. ∵ A (8，0)，∴ AO ＝8. ∴ AE ＝ AO ＝ ×8＝4. ∴ AF ＝ AE ＝2. ∴ EF ＝ ＝ ＝2 . ∵ OF ＝ AO － AF ＝8－2＝6， ∴ E (6，2 ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第3课时　菱形的性质与判定的综合应用 素养达标 能力突破 基础通关 5. (2023·廊坊广阳区一模)如图，两个等宽的长方形纸条交叉叠放在一 起，若重合部分构成的四边形为 ABCD ，求证：四边形 ABCD 是菱形. 证法一：设两张等宽的纸条的宽为 h . ∵纸条的对边平行， ∴ AD ∥ BC ， AB ∥ DC . ∴四边形 ABCD 是平行四边形. ∵ S四边形 ABCD ＝ BC · h ＝AB · h ， ∴ BC ＝ AB ，四边形 ABCD 是菱形. 证法二：∵ AB ＝ 0.9 cm， BC ＝0.9 cm， CD ＝0.9cm， AD ＝ 0.9 cm，(直尺测量) ∴ AB ＝ BC ＝ CD ＝ AD . ∴四边形 ABCD 是菱形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第3课时　菱形的性质与判定的综合应用 素养达标 能力突破 基础通关 下列说法正确的是(　B　) B A. 证法1还需要证明三角形全等，该证明才完整 B. 证法1的证明过程是严谨且完整的 C. 证法2用特殊到一般法证明了该问题 D. 证法2只要测量够一百个四边形的边长进行验证，就能证明该问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第3课时　菱形的性质与判定的综合应用 素养达标 能力突破 基础通关 6. 如图，在菱形 ABCD 中，∠ ADB ＝60°，点 E ， F 分别在 AD ， CD 上，且∠ EBF ＝60°. (1)求证：△ ABE ≌△ DBF ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第3课时　菱形的性质与判定的综合应用 素养达标 能力突破 基础通关 (1)证明：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴ AD ＝ AB ＝ BC ＝ CD . ∵∠ ADB ＝60°，∴△ ADB 是等边三角形. ∴ BD ＝ AD ＝ AB ＝ BC ＝ CD . ∴△ BDC 是等边三角形. ∴∠ ABD ＝∠ A ＝∠ BDF ＝60°. ∵∠ ABD ＝∠ EBF ＝60°，∴∠ ABE ＝∠ DBF . 在△ ABE 和△ DBF 中，∵ ∴△ ABE ≌△ DBF (ASA). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第3课时　菱形的性质与判定的综合应用 素养达标 能力突破 基础通关 (2)判断△ BEF 的形状，并说明理由. (2)解：△ BEF 是等边三角形. 理由：由(1)，知△ ABE ≌△ DBF ，∴ BE ＝ BF . ∵∠ EBF ＝60°，∴△ BEF 是等边三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第3课时　菱形的性质与判定的综合应用 素养达标 能力突破 基础通关 7. 如图所示，四边形 ABCD 的四边相等，且面积为120 cm2，对角线 AC ＝24 cm，则四边形 ABCD 的周长为(　A　) A. 52 cm B. 40 cm C. 39 cm D. 26 cm A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第3课时　菱形的性质与判定的综合应用 素养达标 能力突破 基础通关 8. 如图，在菱形 ABCD 中， P 是对角线 AC 上一动点，过点 P 作 PE ⊥ BC 于点 E ， PF ⊥ AB 于点 F . 若菱形 ABCD 的周长为20，面积为24，则 PE ＋ PF 的值为(　B　) A. 4 B. C. 6 D. B 【解析】如图，连接 BP ， ∵菱形 ABCD 的周长为20， ∴ AB ＝ BC ＝20÷4＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第3课时　菱形的性质与判定的综合应用 素养达标 能力突破 基础通关 又∵菱形 ABCD 的面积为24， ∴ S△ ABC ＝24÷2＝12. 又∵ S△ ABC ＝ S△ ABP ＋ S△ CBP ， ∴ S△ ABP ＋ S△ CBP ＝12. ∴ AB · PF ＋ BC · PE ＝12. ∵ AB ＝ BC ， ∴ AB ·( PE ＋ PF )＝12. ∵ AB ＝5，∴ PE ＋ PF ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第3课时　菱形的性质与判定的综合应用 素养达标 能力突破 基础通关 9. (2023·廊坊校考期末)如图，在边长为4的菱形 ABCD 中， E 为 AD 边的 中点，连接 CE 交对角线 BD 于点 F . 若∠ DEF ＝∠ DFE ，则这个菱形 的面积为(　B　) A. 16 B. 6 C. 12 D. 30 B 【解析】如图，连接 AC ，交 BD 于点 O ， ∵四边形 ABCD 为菱形， ∴ AD ∥ BC ， CB ＝ CD ＝ AD ＝4， AC ⊥ BD ， BO ＝ OD ， OC ＝ AO . ∵ E 为 AD 边的中点， ∴ DE ＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第3课时　菱形的性质与判定的综合应用 素养达标 能力突破 基础通关 ∵∠ DEF ＝∠ DFE ，∴ DF ＝ DE ＝2. ∵ DE ∥ BC ，∴∠ DEF ＝∠ BCF . ∵∠ DFE ＝∠ BFC ， ∴∠ BCF ＝∠ BFC . ∴ BF ＝ BC ＝4. ∴ BD ＝ BF ＋ DF ＝4＋2＝6. ∴ OB ＝ OD ＝3， 在Rt△ BOC 中，∵ OC ＝ ＝ ， ∴ AC ＝2 OC ＝2 . ∴菱形 ABCD 的面积＝ AC · BD ＝ ×2 ×6＝6 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第3课时　菱形的性质与判定的综合应用 素养达标 能力突破 基础通关 10. 如图1，点 P 从菱形 ABCD 的顶点 A 出发，沿 A → D → B 以 1 cm/s的速度匀速运动到点 B . 图2是点 P 运动时，△ PBC 的面积 y (cm2) 随时间 x (s)变化的函数关系图象，则菱形 ABCD 的周长为(　D　) A. 5 B. C. D. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第3课时　菱形的性质与判定的综合应用 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】如图，过点 D 作 DE ⊥ BC 于点 E ，由图象分析可知菱形的边 长为 a ，即 AB ＝ BC ＝ CD ＝ AD ＝ a ， BD ＝5，菱形 BC 边上的高为 3，即 DE ＝3. ∴ BE ＝ ＝ ＝4. 在Rt△ DCE 中， DC ＝ a ， CE ＝4－ a ， DE ＝3， ∴ a2＝32＋(4－ a )2， 解得 a ＝ ， ∴菱形 ABCD 的周长为4 a ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第3课时　菱形的性质与判定的综合应用 素养达标 能力突破 基础通关 　　此题考查菱形的性质和解直角三角形.由题图1可知当点 P 在 AD 上 运动时，△ PBC 的底和高不变，面积不变；当点 P 在 DB 上运动时，面 积在减小.故结合题图2可知菱形的边长为 a ，高为3， BD ＝5，进而构 建直角三角形，由勾股定理可得到答案. 思路点拨 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第3课时　菱形的性质与判定的综合应用 素养达标 能力突破 基础通关 11. 如图，在四边形 ABCD 中， AB ＝ CD ， BC ＝ AD ， E ， F 分别是边 CD ， BC 上的点，连接 BE ， DF 交于点 G ， BE ＝ DF . 添加 下列条件之一使四边形 ABCD 成为菱形：① CE ＝ CF ；② BE ⊥ CD ， DF ⊥ BC . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第3课时　菱形的性质与判定的综合应用 素养达标 能力突破 基础通关 (1)你添加的条件是 (填序号)，并证明； 证明：∵ AB ＝ CD ， BC ＝ AD ， ∴四边形 ABCD 是平行四边形. ∵ BE ⊥ CD ， DF ⊥ BC ， ∴∠ BEC ＝∠ DFC ＝90°. ∵∠ DCF ＝∠ BCE ， BE ＝ DF ， ∴△ DCF ≌△ BCE (AAS). ∴ BC ＝ DC . ∴四边形 ABCD 是菱形. ②　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第3课时　菱形的性质与判定的综合应用 素养达标 能力突破 基础通关 (2)在(1)的条件下，连接 CG ，若 CG ＝2， BC ＝2 ， BG ＝2 ，求 菱形 ABCD 的面积. 解：由菱形的性质可知， CD ＝ BC ＝2 ， ∵∠ BEC ＝90°， 由勾股定理，得 CG2－ GE2＝ CE2＝ BC2－ BE2， ∴22－ GE2＝(2 )2－(2 ＋ GE )2，解得 GE ＝ . ∴ BE ＝2 ＋ ＝ . ∴ S菱形 ABCD ＝ CD × BE ＝2 × ＝16 ， 即菱形 ABCD 的面积为16 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第3课时　菱形的性质与判定的综合应用 素养达标 能力突破 基础通关 $$