第二十四章解直角三角形学情评估试题2024-2025学年华东师大版九年级数学上册

华师版九年级数学上册第二十四章学情评估 一、选择题(每题3分，共24分) 题序 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝30°，AC＝2 ，则BC＝(　　) A．2 B．2 C．4 D．6 2．用计算器求cos 15°的值，正确的按键顺序是(　　) A. B. C. D. 3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，D为AC的中点，BD＝2，则BC的长为(　　) A. B．2 C．2 D．4 (第3题)　　　(第4题)　　　 4．如图，一架3 m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙上，M为AB的中点，当梯子的上端沿墙壁下滑时，OM的长度将(　　) A．变大 B．变小 C．不变 D．先变大后变小 5. 如图是我们经常看到的一种折叠桌子的示意图，它是由下面的支架AD，BC与桌面构成的，已知OA＝OB＝OC＝OD＝20 cm，∠COD＝60°，则点A到地面(CD所在的平面)的距离是(　　) (第5题) A．30 cm B．60 cm C．40 cm D．60 cm 6．在△ABC中，∠B，∠C都是锐角，tan B＝1，cos C＝，则对△ABC的形状最确切的判断是(　　) A．锐角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 7．在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且有c2＋4b2－4bc＝0，则sin A＋cos A的值为(　　) A. B. C. D. 8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，点F是AB的中点，连结CF，将线段CF沿射线BC方向平移到ED，且点D在AC上，则线段CF在平移过程中扫过的区域(四边形CFDE)的周长和面积分别是(　　) (第8题) A．16，6 B．18，18 C．16，12 D．12，16 二、填空题(每题3分，共18分) 9．如果α是锐角，sin α＝cos 30°，那么α为________． 10．将一把直尺与一把三角尺按如图所示的方式放置，若sin∠1＝，则∠2的度数为________． (第10题)　(第11题) 　(第12题)　(第14题) 11．如图，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则cos ∠BAC的值为______． 12．如图，一束光线照在坡度i＝1 的斜坡上，被斜坡上的平面镜反射成与地面平行的光线，则这束光线与坡面的夹角α是________度． 13．若三角形两边长分别为6和8，这两边的夹角为60°，则其面积为________． 14．如图，AB＝6，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝120°，P是直线l上一点，当△APB为直角三角形时，AP＝______________． 三、解答题(15，16题每题8分，17～19题每题10分，20题12分，共58分) 15．计算： (1)；　　　(2)2tan 30°＋tan 45°－4cos 30°. 16．(1)在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，BC＝8，求AB和AC的长； (2)在△ABC中，∠C＝90°，BC＝，AC＝3 ，解这个直角三角形． 17．如图，某人为了测量小山顶上的塔DE的高，他在山下的点A处测得塔尖点D的仰角为45°，再沿AC方向前进48 m到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为37°，求塔DE的高度. (第17题) 18．如图①，某款线上教学设备由底座、支撑臂AB、连杆BC、悬臂CD和安装在D处的摄像头组成．如图②是该款设备放置在水平桌面上的示意图．已知支撑臂AB⊥l，AB＝18 cm，BC＝40 cm，CD＝44 cm，固定∠ABC＝148°，可通过调试悬臂CD与连杆BC的夹角提高拍摄效果． (1)当悬臂CD与桌面l平行时，∠BCD＝________°； (2)问悬臂端点C到桌面l的距离约为多少？ (3)已知摄像头点D到桌面l的距离为30 cm时拍摄效果较好，那么此时悬臂CD与连杆BC的夹角∠BCD的度数约为多少？(参考数据：sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.60) (第18题) 19．为了美化环境，提高民众的生活质量，市政府在三角形花园ABC边上修建一个四边形人工湖泊ABDE，并沿湖泊修建了人行步道．如图，点C在点A的正东方向170 m处，点E在点A的正北方向，点B，D都在点C的正北方向，BD长为100 m，点B在点A的北偏东30°方向，点D在点E的北偏东58°方向． (1)求步道DE的长度； (2)点D处有一个小商店，某人从点A出发沿人行步道去商店购物，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D，他走哪条路较近？请说明理由．(结果精确到个位，参考数据：sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.60，≈1.73) (第19题) 20．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，OA＝8，OC＝4，点P为对角线AC上一动点，过点P作PQ⊥PB，PQ交x轴于点Q. (1)tan ∠ACB＝________； (2)在点P从点C运动到点A的过程中，的值是否发生变化？如果发生变化，请求出其变化范围；如果不发生变化，请求出其值； (3)若将△QAB沿直线BQ折叠后，点A与点P重合，请直接写出PC的长． (第20题) 答案 一、1.B　2.A　3.C　4.C　5.D　6.B　7.B　 8．C　点拨：由平移的性质可知DF∥CE，DF＝CE， ∴四边形CFDE是平行四边形． 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6， ∴AC＝＝＝8. ∵点F是AB的中点，∴CF＝AF＝AB＝5. ∵DF∥CE，∴＝＝，∠CDF＝180°－∠ACB＝90°，∴点D是AC的中点，CD＝AC＝4， ∴DF是△ABC的中位线，∴DF＝BC＝3. ∴四边形CFDE的周长为2(DF＋CF)＝2×(3＋5)＝16， 四边形CFDE的面积为DF·CD＝3×4＝12. 二、9.60°　10.135°　11.　12.30　13.12 　 14．3或3 或3 三、15.解：(1)原式＝＝＝3＋. (2)原式＝2×＋1－4×＝＋1－2 ＝1－. 16．解：(1)在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，BC＝8， ∴AB＝＝＝，AC＝＝＝. (2)在△ABC中，∠C＝90°，BC＝，AC＝3 ， ∴tan A＝＝＝，∴∠A＝30°， ∴AB＝2BC＝2 ，∠B＝90°－∠A＝60°. 17．解：由题意知∠BCD＝90°，∠EBC＝37°，∠A＝45°，∠DBC＝60°.设BC＝x m，在Rt△BCE中，EC＝BC·tan ∠EBC＝BC·tan 37°≈x m，在Rt△BCD中，DC＝BC·tan ∠DBC＝BC·tan 60°＝x m．∵∠A＝45°，∴易得AC＝CD，∴x＋48＝x，解得x＝24＋24 ，∴EC≈(18＋18 )m，DC＝(72＋24 )m， ∴DE＝DC－EC≈(72＋24 )－(18＋18 ) ＝54＋6 (m)． 答：塔DE的高度约为(54＋6 )m. 18．解：(1)58 (2)如图，过点C作CF⊥l，垂足为点F，过点B作BN⊥CF，垂足为点N，则易得四边形ABNF是矩形， ∴FN＝AB＝18 cm，∠ABN＝90°. ∵∠ABC＝148°，∴∠CBN＝∠ABC－∠ABN＝148°－90°＝58°，在Rt△CBN中，BC＝40 cm， ∴CN＝40·sin 58°≈40×0.85＝34(cm)， ∴CF＝CN＋FN≈34＋18＝52(cm)， ∴悬臂端点C到桌面l的距离约为52 cm. (第18题) (3)如图，过点D作DE⊥l，垂足为点E，过点D作DM⊥CF，垂足为点M，则易得四边形DEFM是矩形， ∴MF＝DE.由题意得DE＝30 cm，∴MF＝30 cm， ∴CM＝CF－MF≈52－30＝22(cm)， 在Rt△CDM中，CD＝44 cm，CM≈22 cm， ∴cos ∠DCM＝≈，∴∠DCM≈60°. 在Rt△CBN中，∵∠CBN＝58°，∴∠BCN＝32°， ∴∠BCD＝∠DCM－∠BCN≈60°－32°＝28°.∴此时悬臂CD与连杆BC的夹角∠BCD的度数约为28°. 19．解：(1)如图，过点D作DF⊥AE，交AE的延长线于点F. (第19题) 由题易得四边形ACDF是矩形，∴DF＝AC＝170 m， 在Rt△EFD中，∠DEF＝58°，∴DE＝≈＝200(m)，∴步道DE的长度约为200 m. (2)从点A出发，经过点B到达点D的路较近． 理由：在Rt△EFD中，∠DEF＝58°，DF＝170 m， ∴EF＝≈＝106.25(m)． 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°－30°＝60°，AC＝170 m， ∴BC＝AC·tan 60°＝170 m， AB＝＝＝340(m)． ∵BD＝100 m， ∴CD＝BC＋BD＝(170 ＋100)m. ∵四边形ACDF是矩形， ∴AF＝CD＝(170 ＋100)m， ∴AE＝AF－EF≈170 ＋100－106.25≈288(m)． 因此，某人从点A出发，经过点B到达点D的路程为AB＋BD＝340＋100＝440(m)，从点A出发，经过点E到达点D的路程为AE＋DE≈288＋200＝488(m)． ∵440＜488， ∴从点A出发，经过点B到达点D的路较近． 20．解：(1) (2)的值不发生变化． 过点P作PF⊥OA于点F，反向延长PF交BC于点E，∴PE⊥BC，∴易得四边形OFEC是矩形， ∴EF＝OC＝4.设PE＝a，则PF＝EF－PE＝4－a. 在Rt△CEP中，tan∠ACB＝＝， ∴CE＝2PE＝2a. ∴BE＝BC－CE＝8－2a＝2(4－a)． ∵PQ⊥PB， ∴∠BPE＋∠FPQ＝90°. ∵∠BPE＋∠EBP＝90°， ∴∠FPQ＝∠EBP. ∵∠PFQ＝∠BEP＝90°， ∴△PFQ∽△BEP， ∴＝. 又∵PF＝4－a，BE＝2(4－a)，∴＝＝. (3)PC＝. ( 10 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$