导数的综合问题讲义-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

徐州三中高二上数学复习 第08讲:导数的综合问题 【知识回顾】 知识点一:求不等式恒成立问题的方法 (1)分离参数法 若不等式(是实参数)恒成立,将转化为或恒成立,进而转化为或,求的最值即可. (2)数形结合法 结合函数图象将问题转化为函数图象的对称轴、区间端点的函数值或函数图象的位置关系(相对于轴)求解.此外,若涉及的不等式转化为一元二次不等式,可结合相应一元二次方程根的分布解决问题. (3)主参换位法 把变元与参数变换位置,构造以参数为变量的函数,根据原变量的取值范围列式求解,一般情况下条件给出谁的范围,就看成关于谁的函数,利用函数的单调性求解. 知识点二:函数存在性和恒成立问题,下述结论: ①存在解;恒成立; ②存在解;恒成立; ③存在解;恒成立; ④存在解;恒成立 知识点三:利用导数证明不等式问题,方法如下: (1)直接构造函数法:证明不等式(或)转化为证明(或),进而构造辅助函数; (2)适当放缩构造法:一是根据已知条件适当放缩;二是利用常见放缩结论; (3)构造“形似”函数,稍作变形再构造,对原不等式同解变形,根据相似结构构造辅助函数. 【题型归纳】 题型一、利用导数研究恒成立问题 1.设实数,若对任意的,不等式恒成立,则实数m的最小值为( ) A. B. C.1 D. 【答案】B 【分析】根据对数的运算性质将不等式等价为恒成立,构造函数,,利用导数求解函数单调性进而得最值即可求解. 【详解】因为,不等式成立,即,进而转化为恒成立, 构造函数,可得, 当,,单调递增,则不等式恒成立等价于恒成立,即恒成立,即恒成立, 设,可得, 当时,,单调递增;当时,,单调递减, 所以当,函数取得最大值,最大值为, 所以,即实数m的取值范围是. 故选:B. 2.已知函数,若在定义域上恒成立,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】由得在上恒成立,令,求出的最大值即可求解. 【详解】的定义域为, 由在定义域上恒成立,得在上恒成立, 令,, 令得, 时,,单调递增, 时,,单调递减, 所以,所以. 故选:A 3.若关于x的不等式对任意恒成立,则整数m的取值可能为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】AB 【分析】构造函数,求导,利用导数求解函数的最值,进而将问题转为,即可由一元二次不等式求解. 【详解】令,则, 由于函数在单调递增,在单调递减, 所以在单调递增, 又,所以当单调递减,当单调递增, 所以当时,取极小值也是最小值,故, 对于不等式对任意恒成立, 则,所以, 故整数m的取值可能为0,1,2, 故选:AB 题型二:利用导数研究能成立问题 4.若存在,使不等式成立,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】等价变形给定的不等式,并令,构造函数,将问题转化为存在,使得成立,再借助导数求解即得. 【详解】依题意, , 令,即,由,得, 令,则原问题等价于存在,使得成立, 求导得,由,得,由,得, 因此函数在上单调递减,在上单调递增, 而,又, 则当时,,若存在,使得成立, 只需且,解得且,即, 所以的取值范围为. 故选:D 5.已知函数,若存在,使,则m的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】将题意转化为,,令,即,对求导,求出在的最大值即可得出答案. 【详解】若存在,使,即, 所以,令,, ,令,解得:, 令,解得:, 所以在上单调递增,在上单调递减, 所以 所以. 故选:C. 6.若在上有解,则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】由变形为,令,从而利用的单调性可得在上有解,参变分离后可得,令,求导后利用单调性即可求解. 【详解】因为,所以, 令,则, 因为在R上都是增函数,所以在R上是增函数, 所以在上有解,即, 令,则 所以当时,,在上单调递增, 所以. 故选:B 题型三:利用导数研究零点问题 7.已知函数,若有两个零点,则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据已知条件,分类讨论求导函数判断函数单调性及极值点,结合零点存在定理可得参数范围. 【详解】已知函数,函数的定义域为 , 当时,恒成立,所以在上单调递减,故时,至多有一个零点; 当时,令得,当时,;当时,,所以在上单调递减,在上单调递增. 此时最小值为, ①当时,由于,故只有一个零点; ②当时,即,故没有零点; ③当时,即,又 ; , 由零点存在定理知在上有一个零点;在有一个零点. 所以有两个零点,a的取值范围为; 故选:A. 8.设函数,,函数有两个零点的m的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】对求导,得到的解析式,令,分参得到,转化为函数与的图象有两个交点,求m范围. 【详解】因为,所以,, 所以, 因为有两个零点,所以有两个大于0的根, 化简得:,令函数,, 所以, 当时,,在上单调递增, 当时,,在上单调递减, 因为,, 所以函数与的图象有两个交点, 所以. 故选:B. 9.设函数,其中. (1)讨论函数在上的极值; (2)若函数f(x)有两零点,且满足,求正实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】(1)求出,分、讨论,可得答案; (2)由零点存在定理可知,而题设,消去a可得,令,且,求出,,将其代入得,再利用导数分、讨论可得答案.. 【详解】(1)由知, 1)当时,且有,,单调递增,故无极值; 2)当时,有,,单调递减,而,,单增,故,无极大值. 综上,当时,无极值; 当时,极小值为,无极大值; (2)由(1)可知当时,,, 且, 由零点存在定理可知,而题设可知,消去a可得 ,令,且,即,, 将其代入,整理可令得, 而, 1)当时,且,有,单调递增,,满足题设; 2)当时,且,有,单调递减,,不满足题设; 综上,的取值范围为. 题型四:利用导数研究双变量问题 10.若对任意正实数x,y都有,则实数m的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】将不等式变式为,设后转化为恒成立,只需求函数的最大值即可. 【详解】因为, 所以,设, 则,, 令 恒成立,故单调递减, 当时,,函数单调递增; 当时,,函数单调递减;. 故 所以,得到. 故选:A. 11.已知函数,且有两个极值点,其中,则的最小值为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】的两个极值点是的两个根,根据韦达定理,确定的关系,用表示出,用表示出,求该函数的最小值即可. 【详解】解:的定义域, ,令,则必有两根, ,所以, , , , 当时,,递减, 所以 的最小值为 故选:A. 12.已知函数,若,且恒成立,则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意得到,由,得到,所以,构造函数,利用导数求出的最小值即可. 【详解】由题可知当时,函数单调递增,, 当时,,设,则必有, 所以,所以, 所以, 设,则, 则时,,函数单调递减, 当时,,函数单调递增, 所以, 所以的最小值为. 所以恒成立,即, 所以. 故答案为: 题型五、利用导数研究不等式问题 13.已知函数,. (1)若的极大值为1,求实数a的值; (2)若,求证:. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】(1)分类讨论,利用导数判断函数的单调区间,根据极大值建立方程求解即可; (2)把问题转化为证明,构造函数,利用导数研究函数最值即可证明. 【详解】(1)的定义域为,. 当时,,在上单调递增,函数无极值; 当时,令,得,令,得, 所以在上单调递增,在上单调递减, 故当时,取得极大值,极大值为,解得. 经验证符合题意,故实数a的值为. (2)当时,,故要证,即证. 令,则,. 令,,则, 所以在上单调递增, 又因为,, 所以,使得,即, 当时,,当时,, 所以在上单调递减,在上单调递增, 所以. 又因为,即, 所以, 所以,即,故得证. 14.已知函数,,且. (1)求曲线在点处的切线方程; (2)若对于区间上的任意两个实数,,都有,求实数的最小值. 【答案】(1) (2)4 【分析】(1)求出导函数,结合已知得出,进而解出.根据导数的几何意义得出切线的斜率,代入点斜式方程,整理即可得出答案; (2)根据导函数得出函数在区间上的单调性,求出函数的极值,结合端点处的函数值,求出函数的最值,即可得出答案. 【详解】(1)由已知可得,. 又,所以,解得, 所以,,,. 根据导数的几何意义可知, 曲线在点处的切线的斜率, 代入点斜式方程可得,, 所以,切线方程为. (2)由(1)知,, 解,可得. 解,可得或,所以在上单调递增,在上单调递增; 解,可得,所以在上单调递减. 所以,在处取得极大值,在处取得极小值. 又,, 所以,在区间上最大值为,最小值为, 所以,,恒成立. 又恒成立, 所以,实数的最小值为4. 15.已知函数(其中为自然对数的底数). (1)当时,试求函数在上的最值; (2)若对任意,不等式恒成立,求实数的取值范围; (3)设,证明:. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析. 【分析】(1)根据导函数正负得出函数单调性计算求解; (2)由题意,得恒成立,当时,即恒成立,令,求导并且判断单调性,即可得最小值,得参数的取值范围;当,时,恒成立,时,取,则显然不成立,再取交集即可; (3)由(2)得,两边取对并且化简累加进而证明不等式. 【详解】(1)当时,,, 当时,;当时,. 所以函数在上单调递减,在上单调递增, 所以函数在处取得最小值, 易知,则最大值. (2)若对任意,不等式恒成立,即:恒成立 当时,恒成立. 令,则. 当,,, 所以在上单调递减,在上单调递增. 所以时,取最小值,所以. 当时,若时,恒成立; 若,取,则显然不满足,所以 综上, (3)在(2)中,令可知对任意实数x都有,当时,取等号, 两边同量取对数得:,当时,取等号,故:(当时,取等号), 所以: 则: 即:. 2 / 2 学科网(北京)股份有限公司 $$