4.7 相似三角形的性质 第1课时-【七彩作业】2024-2025学年九年级数学上册同步教学课件（北师大版）河北专版

九年级上册 数学 北师大版 2024 1 第四章 图形的相似 4.7 相似三角形的性质（第1课时） 相似三角形的对应边成比例、对应角相等. 在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例这个性质呢？本节课我们将研究相似三角形的其他性质. 还记得相似三角形的定义吗？还记得相似多边形的对应边、对应角有什么关系吗？ 回顾复习 3 （1） △ACD与△A′C′D′ 相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比. 图1 （2） 如果CD =1.5 cm，那么模型房的房梁立柱有多高？ 如图1，小王依据图纸上的△ABC，以 1：2 的比例建造了模型房的房梁△A′B′C′，CD 和 C′D′ 分别是它们的立柱. 探究新知 图1 解：（1）△ACD与△A′C′D′ 相似. 理由是 ， . 相似比是 1 : 2. （2）由CD : C′D′ =1:2，得C′D′ = 2CD=3 cm，即模型房的房梁立柱高3 cm. 探究新知 5 A B C D E A′ B′ C′ D′ E′ 图2 F F′ 如图2，已知△ABC∽△A′B′C′， △ABC与△A′B′C′相似比为 k（k >0），AD⊥BC，A′D′⊥B′C′；AE平分∠BAC，A′E′ 平分∠B′A′C′；F，F′ 分别为 BC，B′C′ 的中点. 试探究 AD 与A′D′ 的比值关系，AE 与 A′E′ 呢？AF与 A′F′ 呢？ 探究新知 6 ∵△ABC∽△A′B′C′， ∴ 定理 相似三角形对应高的比，对应角平分线的比， 对应中线的比都等于相似比. A B C D E A′ B′ C′ D′ E′ F F′ 图3 归纳小结 7 如图4，已知△ABC∽△A′B′C′ ，△ABC 与△A′B′C′ 的相似比为 k（k >0）， 点 D，E 在 BC 边上，点 D′，E′ 在 B′C′ 边上 . （1） 若∠BAD = ∠BAC ， ∠B′A′D′ = ∠B′A′C′ ，则 等于多少？ 由“两角分别相等的两个三角形相似”，可知△ABD∽△A′B′D′， 于是 图4 探究新知 8 由“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”， 可知△ABE∽△A′B′E′，于是 （2） 若BE = BC ， B′E′ = B′C′ ，则 等于多少？ 如图4，已知△ABC∽△A′B′C′ ，△ABC 与△A′B′C′ 的相似比为 k（k >0）， 点 D，E 在 BC 边上，点 D′，E′ 在 B′C′ 边上 . 图4 探究新知 9 （1）△ASR 与△ABC 相似吗？为什么？ A B C S R E P D Q 图5 解：∵ 四边形 PQRS 是正方形， ∴ RS∥BC. ∴ ∠ASR=∠B，∠ARS=∠C. ∴△ASR∽△ABC. 例 如图5，AD 是△ABC 的高，点 P，Q 在BC边上，点 R 在 AC 边上， 点 S 在 AB 边上，BC = 60 cm，AD = 40 cm，四边形 PQRS 是正方形. 典例精讲 10 例 如图5，AD 是△ABC 的高，点 P，Q 在BC边上，点 R 在 AC 边上， 点 S 在 AB 边上，BC = 60 cm，AD = 40 cm，四边形 PQRS 是正方形. （2）求正方形 PQRS 的边长. A B C S R E P D Q 图5 解：∵ △ASR∽△ABC，∴ 设正方形 PQRS 的边长为 x cm， 则 AE= (40–x) cm， 答：正方形 PQRS 的边长为 24 cm. 解得x = 24 . 典例精讲 11 两个相似三角形的一组对应角平分线的长分别是 2 cm 和 5 cm，求这两个三角形的相似比. 在这两个三角形的一组对应中线中，如果较短的中线是 3 cm，那么较长的中线多长？ 这两个三角形的相似比是 2 : 5；较长的中线是 7.5 cm. 当堂训练 12 经历了这节课的探索学习，你在知识上和方法上有什么收获呢？请说说看. 相似三角形的性质： 相似三角形对应高的比，对应角平分线的比， 对应中线的比都等于相似比. 课堂小结 13 习题4.11 第1，2 ，3 ，4题. 课后作业 $$