4.5 相似三角形判定定理的证明-【七彩作业】2024-2025学年九年级数学上册同步教学课件（北师大版）河北专版

九年级上册 数学 北师大版 2024 1 第四章 图形的相似 4.5 相似三角形判定定理的证明 1.判定两个三角形全等的方法有哪些？ 2.判定两个三角形相似的方法有哪些？ 回顾复习 3 命题1 两角分别相等的两个三角形相似. 如何对文字命题进行证明 命题2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 能自己试试吗？ 命题3 三边成比例的两个三角形相似. 能自己试试吗？ 探究新知 4 已知：如图1，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′. 求证：△ABC∽△A′B′C′. 定理 两角分别相等的两个三角形相似. A B C C′ A′ B′ 图1 探究新知 则∠ADE=∠B， ∠AED=∠C， （平行于三角形一边的直线与其他两边相交， 截得的对应线段成比例） A B C 图1 D E 证明：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD=A′B′，过点D作BC的平行线，交AC于点E， C′ A′ B′ 探究新知 6 A B C 图1 D E 过点D作AC的平行线，交BC于点F， 则 （平行于三角形一边的直线与 其他两边相交，截得的对应线段成比例）. ∴ . ∵DE∥BC，DF∥AC， ∴四边形DFCE是平行四边形. ∴DE=CF. ∴ ∴ 而∠ADE=∠B，∠DAE=∠BAC，∠AED=∠C， ∴△ADE∽△ABC. ∵∠A=∠A′，∠ADE=∠B=∠B′，AD=A′B′， ∴△ADE≌△A′B′C′. ∴△ABC∽△A′B′C′. F C′ A′ B′ 7 定理 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 已知：如图2，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′， . 求证： △ABC∽△A′B′C′. C′ A B C A′ B′ D E 图2 探究新知 证明：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD=A′B′， 过D作BC的平行线，交AC于点E， 则∠ADE=∠B， ∠AED=∠C， C′ A B C A′ B′ 图2 D E 探究新知 9 ∴ △ADE∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）. ∴ . ∵ ，AD=A′B′， ∴ ∴ ∴ AE= A′C′. 而 ∠A=∠A′， ∴ △ADE≌△A′B′C′. ∴ △ABC∽△A′B′C′. A B C 图2 D E C′ A′ B′ 探究新知 10 证明：在△ABC 的边AB，AC（或它们的延长线） 上分别截取AD=A′B′，AE=A′C′，连接DE. 定理 三边成比例的两个三角形相似. 已知：如图3，在△ABC 和△A′B′C′ 中， . 求证：△ABC∽△A′B′C′. C′ A B C A′ B′ 图3 D E ∵ ， AD=A′B′，AE=A′C′， ∴ 探究新知 11 A B C A′ B′ 图3 D E 而∠BAC=∠DAE， ∴△ADE∽△ABC（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）. ∴ . 又 ，AD=A′B′， ∴ ∴ ∴DE=B′C′. ∴△ADE≌△A′B′C′. ∴△ABC∽△A′B′C′. C′ 探究新知 12 （1）所有的等边三角形都相似. ( ) （2）所有的直角三角形都相似. ( ) （3）所有的等腰三角形都相似. ( ) （4）所有的等腰直角三角形都相似. ( ) √ × × √ 1. 判断题： 当堂训练 13 B C A E D F 图4 B C A E D F B C E D F B A E D F B C A E D F D C F E A 2. 如图4，AD⊥BC于点D， CE⊥AB于点 E ，且交AD于点F， 你能从中找出几对相似三角形？ 当堂训练 14 3.如图5，在正方形网格上 △A1B1C1和△A2B2C2，它们相似吗？ 相似 图5 A1 A2 B1 C1 C2 B2 当堂训练 15 1.通过本节课的学习，你学会了哪些知识和方法？ 2.你还存在什么困惑？ 课堂小结 16 习题4.9第1，2 ，3 ，4题. 课后作业 $$