5.4 应用二元一次方程组——增收节支-【七彩作业】2024-2025学年八年级数学上册同步教学设计（北师大版）河北专版

课时目标 1.能借助表格分析较为复杂问题中的数量关系,建立方程组解决问题. 2.让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程,体会方程(组)是刻画现实世界数量关系的有效数学模型,发展模型意识和应用意识. 学习重点 体会列方程组解决实际问题的步骤,学会用图表分析较为复杂问题中的数量关系. 学习难点 将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型,会用图表分析数量关系. 课时活动设计 回顾引入 上节课,我们应用二元一次方程组解决了鸡兔同笼问题,这节课我们应用二元一次方程组解决增收节支问题. 师:“增收”顾名思义就是增加收入,如:“今年的总收入比去年增加了20%”,在这句话中,涉及到的等量关系是什么呢? 生:今年的总收入=去年的总收入×(1+20%). 师:“节支”顾名思义就是节约开支,如:“今年的总支出比去年减少了10%”,在这句话中,涉及到的等量关系是什么呢? 生:今年的总支出=去年的总支出×(1-10%). 设计意图:通过复习旧知识,回顾找等量关系的方法,要善于抓住关键词语“比”,在涉及到百分比的问题时,务必弄清以谁为单位“1”,避免个别同学在建立等量关系时出现错误,为后面的学习做准备. 探究新知 探究1　某工厂去年的利润(总收入-总支出)为200万元.今年总收入比去年增加了20%,总支出比去年减少了10%,今年的利润为780万元.去年的总收入、总支出各是多少万元? 思考一下,如何解决这类现实问题?解决这类问题的关键又是什么? 学生通过讨论交流得出解决这类问题的关键是找等量关系. 去年的利润是200万元,今年的利润是780万元;“今年总收入比去年增加了20%”对应的等量关系是“去年总收入×(1+20%)=今年总收入”;“总支出比去年减少了10%”对应的等量关系是“去年总支出×(1-10%)=今年总支出”. 题目中还有没有隐含的等量关系? 教师引导学生得到隐含的等量关系是“去年的总收入-去年的总支出=200万元”,“今年的总收入-今年的总支出=780万元”. 解:设去年的总收入为x万元,总支出为y万元,则今年的总收入为(1+20%)x万元,总支出为(1-10%)y万元. 由题意,得解得 所以去年的总收入是2 000万元,总支出是1 800万元. 探究2　拓展提升:某工厂去年的利润(总收入-总支出)为200万元.今年总收入比去年增加了20%,总支出比去年减少了10%,今年的利润为780万元.去年的总收入、总支出各是多少万元? 在探究1中,以“比”后面的数量为单位“1”,设去年的收入和支出分别为x,y,从而解决实际问题.可以以“比”前面的数量为单位“1”吗?可以设今年的收入和支出分别为x,y吗?那么去年的量该如何表示呢?哪种方法更简便呢? 解:设今年的总收入为x万元,则去年的总收入为万元;设今年的总支出为y万元,则去年的总支出为万元. 依据题意,可列方程组为　解得 ∴==2 000,==1 800. 所以去年的总收入为2 000万元,总支出为1 800万元. 探究3　变式训练:某工厂去年的利润(总收入-总支出)为200万元.今年总收入比去年增加了20%,总支出比去年减少了10%,今年的利润为780万元.今年的总收入、总支出各是多少万元? 此题与上一题相比,哪里有变化?你会采用哪种设法呢? 学生分组自由讨论,畅所欲言,教师巡视指导,肯定学生不同的方法,引导学生比较不同解法的优劣. 设计意图:本环节通过教师引导,带领学生逐步分解题目中的已知条件,降低学生理解题目的难度,引导学生逐步找到等量关系.并借助课本中的表格帮助学生进行思路上的梳理,完成对复杂问题的解答.通过变式训练,提醒学生要认真审题,巧妙设未知量,使自己的解法最优化. 归纳总结 1.列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤为:审、设、列、解、检、答. 2.解题过程中的注意事项:审清题意,巧设未知量,正确列等量关系式. 设计意图:对所学习的知识进行回顾和梳理,锻炼学生总结归纳的能力. 典例精讲 例　医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品,每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质,每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质,若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质,那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要? 分析:借助表格梳理题目中的数量关系. 甲原料x克 乙原料y克 所配制的营养品 其中所含蛋白质 　0.5x　  　0.7y　  　35　  其中所含铁质 　x　  　0.4y　  　40　  解:设每餐需要甲原料x克,乙原料y克. 根据题意,得 化简,得 ③-④,得5y=150,解得y=30. 把y=30代入①,得x=28. 答:每餐甲原料28克,乙原料30克恰好满足病人的需要. 设计意图:面对复杂的数量关系,可以借助表格进行分析,找出问题中所蕴含的等量关系.应充分思考,正确找到等量关系建立模型,列出正确的二元一次方程组.规范学生对解题步骤的书写,让学生感受到数学的严谨性. 巩固训练 1.一、二两班共有100名学生,他们的体育达标率(达到标准的百分率)为81%.如果一班学生的体育达标率为87.5%,二班学生的体育达标率为75%,那么一、二两班各有多少名学生? 设一、二两班分别有学生人数为x名、y名,填写下表并求出x,y的值. 一班 二班 两班总和 学生人数 　x　  　y　  　100　  达标学生人数 　0.875x　  　0.75y　  　81　  解:由题意,得解得 所以一班有48名学生,二班有52名学生. 2.某粮食生产专业户去年计划生产水稻和小麦共15吨,实际生产了17吨,其中水稻超产15%,小麦超产10%.该专业户去年实际生产水稻、小麦各多少吨? 解:设该专业户去年计划生产水稻x吨,小麦y吨;实际生产水稻(1+15%)x吨,小麦(1+10%)y吨. 由题意,得解得 (1+15%)x=11.5,(1+10%)y=5.5. 答:该专业户去年实际生产水稻11.5吨,小麦5.5吨. 设计意图:通过练习,巩固本节课所学知识,同时使学生学会规范的解题过程,培养学生逆向思维能力. 课堂小结 1.列方程解应用题的一般步骤有哪些? 2.如何快速准确地找到对应的等量关系? 3.寻找等量关系式要弄清以谁为单位“1”. 设计意图:通过小结,帮助学生梳理知识,让学生养成及时整理的习惯. 课堂8分钟. 1.教材第119页习题5.5第1,2,3,4题. 2.七彩作业. 5.4　应用二元一次方程组——增收节支 　　　　1.列方程解应用题的一般步骤. 2.找等量关系. 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $$