4.4 一次函数的应用-【七彩作业】2024-2025学年八年级数学上册同步教学设计（北师大版）河北专版

第1课时　确定一次函数的表达式 课时目标 1.了解两个条件可确定一次函数;一个条件可确定正比例函数. 2.能根据所给信息(图象、表格、实际问题等),利用待定系数法确定一次函数的表达式. 3.从一次函数“数”的角度入手,转移到“形”,让学生进一步体会数形结合的思想,发展数形结合解决问题的能力. 4.初步体会函数与方程的联系. 学习重点 了解两个条件可确定一次函数;一个条件可确定正比例函数. 学习难点 能根据所给信息(图象、表格、实际问题等),利用待定系数法确定一次函数的表达式. 课时活动设计 回顾引入 前面,我们学习了一次函数及其图象和性质,你能写出两个具体的一次函数表达式吗?如何画出它们的图象? 思考:反过来,已知一个一次函数的图象经过两个具体的点,你能求出它的表达式吗? 设计意图:通过回顾已学的知识,引起学生对新知识的思考. 探究新知 探究1　确定正比例函数的表达式 情境一:某物体沿一个斜坡下滑,它的速度v(m/s)与其下滑时间t(s)的关系如图所示. (1)写出v与t之间的关系式; (2)下滑3 s时物体的速度是多少? 分析:要求v与t之间的关系式,首先应观察图象,确定函数的类型,然后根据函数的类型设它对应的表达式,再把已知点的坐标代入表达式求出待定系数即可. 解:(1)设v与t之间的关系式为v=kt(t≥0). 由图象可知,当t=2时,v=5, 得5=2k,解得k=. 所以v与t之间的关系式为v=t(t≥0). (2)当t=3时,v=×3=. 所以当下滑3 s时,物体速度为 m/s. 总结:先将表达式中未知系数用字母表示出来,再根据条件求出这个未知系数,这种方法称为待定系数法. 情境二:求正比例函数y=(m-4)的表达式. 解:由正比例函数的定义知 m2-15=1且m-4≠0, ∴m=-4. ∴y=-8x. (情境一、二可根据学生情况进行选取) 方法总结:利用正比例函数的定义确定表达式:自变量的指数为1,系数不为0. 想一想:确定正比例函数的表达式需要几个条件?确定一次函数的表达式呢? 解:确定正比例函数的表达式需要一个条件.确定一次函数的表达式需要两个条件. 探究2　确定一次函数的表达式 已知一次函数的图象经过(0,5),(2,-5)两点,求一次函数的表达式. 解:设一次函数的表达式为y=kx+b,根据题意,得 -5=2k+b,① 将②代入①,得k=-5. ∴一次函数的表达式为y=-5x+5. 总结:根据图象确定一次函数的表达式的方法:从图象上选取两个已知点的坐标,然后运用待定系数法将两点的横、纵坐标代入所设表达式中求出待定系数,从而求出函数的表达式. 设计意图:让学生体会数形结合思想,发展数形结合解决问题的能力. 典例精讲 例1　在弹性限度内,弹簧的长度y(cm)是所挂物体质量x(kg)的一次函数.某弹簧不挂物体时长14.5 cm;当所挂物体的质量为3 kg时,弹簧长16 cm.请写出y与x之间的关系式,并求当所挂物体的质量为4 kg时弹簧的长度. 解:设y=kx+b,根据题意,得 14.5=b,① 16=3k+b.② 将①代入②,得k=0.5. 所以在弹性限度内,y=0.5x+14.5. 当x=4时,y=0.5×4+14.5=16.5(cm). 即物体的质量为4 kg时,弹簧长度为16.5 cm. 例2　正比例函数与一次函数的图象如图所示,它们的交点为A(4,3),B为一次函数的图象与y轴的交点,且OA=2OB.求正比例函数与一次函数的表达式. 解:设正比例函数表达式为y1=k1x,一次函数表达式为y2=k2x+b. 因为点A(4,3)是它们的交点,所以把A(4,3)代入y1=k1x中,得 4k1=3,k1=,所以y1=x. 又因为OA==5,OA=2OB,所以OB=,B点坐标为0,- . 所以b=-.① 把A(4,3)代入y2=k2x+b中,得4k2+b=3.② 将①代入②,得k2=. 所以y2=x-. 总结:解此类题要根据所给的条件建立数学模型,得出变化关系,并求出函数的表达式,根据函数的表达式作答. 求函数表达式的步骤:1.设函数表达式;2.根据已知条件列出有关方程;3.解方程;4.把求出的k,b值代回到表达式中即可. 设计意图:通过例题,规范学生对解题步骤的书写,总结求函数表达式的步骤. 巩固训练 1.如图,直线l是某正比例函数的图象,点A(-4,12),B(3,-9)是否在该函数的图象上? 解:设函数表达式为y=kx. 将(-1,3)代入y=kx中,得3=-k,k=-3. 所以该函数表达式为y=-3x. 把x=-4代入y=-3x中,得y=-3×(-4)=12,符合A(-4,12)的坐标. 所以点A在该图象上.同理可证,点B也在该函数图象上. 2.如图,直线l是一次函数y=kx+b的图象,填空: (1)当x=30时,y=　-18　;  (2)当y=30时,x=　-42　.  设计意图:通过实例巩固所学内容,使学生灵活运用待定系数法求表达式.培养学生教形结合思想和教学应用能力. 课堂小结 今天我们学习了哪些内容? 设计意图:通过提问方式进行小结,交流收获与不足,让学生养成学习——总结——再学习的良好学习习惯,有利于帮助学生理清知识脉络,同时明确本节课的学习目标,巩固学习效果. 课堂8分钟. 1.教材第90页习题4.5第1,2,4题. 2.七彩作业. 第1课时　确定一次函数的表达式 　　　　　　1.待定系数法. 2.正比例函数的表达式. 3.一次函数的表达式. 教学反思 第2课时　借助单个一次函数图象解决有关问题 课时目标 1.能通过函数图象获取信息,解决简单的实际问题. 2.通过对函数图象的观察与分析,培养学生数形结合的意识,发展形象思维;通过具体问题的解决,培养学生的数学应用能力. 3.在解决问题过程中,初步体会方程与函数的关系,建立知识之间的联系. 4.引导学生从事观察、操作、交流、归纳等探索活动,使学生初步形成多样的学习方式. 学习重点 能通过函数图象获取信息,解决简单的实际问题. 学习难点 在解决问题过程中,初步体会方程与函数的关系,建立各种知识之间的联系. 课时活动设计 回顾引入 问题1:从一次函数图象上可获得哪些信息? 解:(1)由一次函数的图象可确定k和b的符号; (2)由一次函数的图象可估计函数的变化趋势; (3)可直接观察出x与y的对应值; (4)由一次函数的图象与y轴的交点坐标可确定b值,从而确定一次函数图象的表达式. 问题2:一次函数具有什么性质? 解:在一次函数y=kx+b中,当k>0时,y随x的增大而增大,当b>0时,直线交y轴于正半轴,必过第一、二、三象限,当b<0时,直线交y轴于负半轴,必过第一、三、四象限. 当k<0时,y随x的增大而减小,当b>0时,直线交y轴于正半轴,必过第一、二、四象限;当b<0时,直线交y轴于负半轴,必过第二、三、四象限. 问题3:完成下列填空. 1.已知正比例函数的图象经过点(2,4),那么此正比例函数的表达式为　　　　,图象经过第　　　　象限.  2.已知一次函数的图象经过A(1,3),B(0,-2)两点,那么此一次函数的表达式为　　　　.  解:(1)y=2x　一、三　(2)y=5x-2 设计意图:通过对上节课学习内容的回顾,再次明确一次函数图象和性质,为进一步研究一次函数图象和性质的应用作好铺垫. 探究新知 探究1　一次函数图象的应用 由于持续高温和连日无雨,某水库的蓄水量随着时间的增加而减少.蓄水量V(万m3)与干旱持续时间t(天)的关系如下图所示,根据图象回答下列问题: (1)水库干旱前的蓄水量是多少? (2)干旱持续10天,蓄水量是多少?干旱持续23天呢? (3)蓄水量小于400万m3时,将发生严重干旱警报.干旱持续多少天后将发出严重干旱警报? (4)按照这个规律,预计干旱持续多少天水库将干涸? 解:(1)当t=0时,V=1200,因此水库干旱前的蓄水量是1200万m3. (2)当t=10时,V=1000. 当t=23时,V=740. 因此,干旱持续10天,23天的蓄水量分别是1000万m3,740万m3. (3)当V=400时,t=40.因此,干旱持续40天将发出严重干旱警报. (4)当V=0时,t=60.因此,预计干旱持续60天水库干涸. 设计意图:通过生动的现实情景引入一次函数图象的应用,目的是培养学生的识图能力. 探究2　一次函数与一元一次方程 一元一次方程0.5x+1=0与一次函数y=0.5x+1有什么联系? 小组交流讨论,之后老师给出答案,总结重点. 解:一元一次方程0.5x+1=0的解为x=-2,一次函数y=0.5x+1包括许多点.因此0.5x+1=0是y=0.5x+1的特殊情况. 当一次函数y=0.5x+1的函数值为0时,相应的自变量的值即为方程0.5x+1=0的解. 函数y=0.5x+1与x轴交点的横坐标即为方程0.5x+1=0的解. 练一练 1.直线y=2x+20与x轴交点坐标为(　-10　,　0　),这说明方程2x+20=0的解是x=　-10　.  2.若方程kx+b=0的解是x=5,则直线y=kx+b与x轴交点坐标为(　5　,　0　).  总结:一次函数与一元一次方程的关系 设计意图:通过练习题让学生认识到一次函数与一元一次方程的联系,能用函数关系解决方程问题,同时也能用方程的观点来看待函数. 典例精讲 例　某种摩托车的油箱加满油后,油箱中的剩余油量y(升)与摩托车行驶路程x(千米)之间的关系如下图所示.根据图象回答下列问题: (1)油箱最多可储油多少升? (2)一箱汽油可供摩托车行驶多少千米? (3)摩托车每行驶100千米消耗多少升汽油? (4)油箱中的剩余油量小于1升时,摩托车将自动报警.行驶多少千米后,摩托车将自动报警? 解:观察图象,得 (1)当x=0时,y=10.因此,油箱最多可储油10升. (2)当y=0时,x=500.因此,一箱汽油可供摩托车行驶500千米. (3)x从0增加到100时,y从10减少到8,减少了2,因此摩托车每行驶100千米消耗2升汽油. (4)当y=1时,x=450.因此,行驶450千米后,摩托车将自动报警. 想一想:如何解答实际情景函数图象的信息? 总结:1.理解横、纵坐标分别表示的的实际意义; 2.分析已知条件,通过作x轴或y轴的垂线,在图象上找到对应的点,由点的横坐标或纵坐标的值读出要求的值; 3.利用数形结合的思想: 将“数”转化为“形”由“形”定“数”. 设计意图:让学生熟悉从实际情景函数图象中获取信息,培养学生利用图象分析问题、解决问题的能力,发展几何直观;让学生进一步体会函数与方程,数与形的关系,建立良好的知识联系, 巩固训练 1. 一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)的图象如图所示,根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为(　A　) A.x=-1　　　　　B.x=2　　　　　C.x=0　　　　　D.x=3 2.某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李,如果超过规定,则需要购买行李票,行李票费用y(元)与行李质量x(千克)的关系如图: (1)旅客最多可免费携带多少千克行李? (2)超过30千克后,每千克需付多少元? 解:(1)设一次函数关系式为y=kx+b,将(60,6)和(80,10)代入,得 解得 ∴一次函数关系式为y=x-6. 当y=0时,x-6=0,x=30. ∴最多可免费携带30千克行李. (2)当x=31时,y=×31-6=0.2. ∴超过30千克后,每千克付0.2元. 3.全国每年都有大量土地被沙漠吞没,改造沙漠,保护土地资源已经成为一项十分紧迫的任务.某地区现有土地面积100万km2,沙漠面积200万km2,土地沙漠化的变化情况如下图所示. (1)如果不采取任何措施,那么到第5年底,该地区沙漠面积将增加多少万km2? (2)如果该地区沙漠的面积继续按此趋势扩大,那么从现在开始,第几年底后,该地区将丧失土地资源? (3)如果从现在开始采取植树造林措施,每年改造4万km2沙漠,那么到第几年底,该地区的沙漠面积能减少到176万km2. 解:(1)由图象可知,如果不采取任何措施,那么到第5年底,该地区沙漠面积将新增加10万km2. (2)设该图象函数表达式为y=kx+b. 将(1,2)和(5,10)代入,得 解得 ∴表达式为y=2x.当y=100时,100=2x,x=50. ∴第50年底后该地区丧失土地资源. (3)设经过m年后,该地区沙漠面积能减少到176万km2. (4-2)m=200-176,2m=24,m=12. ∴经过12年后,沙漠面积能减少到176万km2. 设计意图:这个环节充分发挥了学生的主观能动性,是对本节课学习内容的巩固及内化. 课堂小结 今天我们学习了哪些内容? 设计意图:通过提问方式进行小结,交流收获与不足,让学生养成学习——总结——再学习的良好学习习惯,有利于帮助学生理清知识脉络,同时明确本节课的学习目标,巩固学习效果. 课堂8分钟. 1.教材第92,93页习题4.6第1,2,3题. 2.七彩作业. 第2课时　借助单个一次函数图象解决有关问题 　　　　　　1.一次函数图象的应用. 2.一次函数与一元一次方程. 教学反思 第3课时　借助两个一次函数图象解决有关问题 课时目标 1.进一步培养学生的识图能力,能通过函数图象获取信息,解决简单的实际问题. 2.在函数图象信息获取过程中,进一步培养学生的数形结合意识,发展形象思维. 3.在解决实际问题的过程中,进一步发展学生分析问题、解决问题的能力和数学应用意识. 4.在现实问题的解决中,使学生初步认识数学与人类生活的密切联系,从而培养学生学习数学的兴趣. 学习重点 培养学生的识图能力,能通过函数图象获取信息. 学习难点 通过函数图象发展学生的分析问题、解决问题的能力. 课时活动设计 回顾引入 1.如何分析函数的图象信息? (1)理解横、纵坐标分别表示的的实际意义; (2)分析已知,通过作x轴或y轴的垂线,在图象上找到对应的点,由点的横坐标或者纵坐标的值读出要求的值; (3)利用数形结合的思想: 2. 某医药研究所开发了一种新药,在实际验药时发现,如果成人按规定剂量服用,那么每毫升血液中含药量y(毫克)随时间x(时)的变化情况如图所示: (1)服药后　2　时,血液中含药量最高,达到每毫升　6　毫克,接着逐步衰弱.  (2)服药后5时,血液中含药量为每毫升　3　毫克.  (3)当x≤2时,y与x之间的函数表达式是　y=3x　.  (4)如果每毫升血液中含药量3毫克或3毫克以上时,治疗疾病最有效,那么吃药后　1　小时能发挥最佳药效.  设计意图:通过与上一课时相似的问题,回顾旧知,导入新知学习,让学生在问题中巩固知识,体会数学的实际应用性. 探究新知 如图,直线l1反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系,直线l2反映了该公司产品销售成本与销售量的关系,根据图象完成填空. (1)当销售量为2t时,销售收入=　2 000　元,销售成本=　3 000　元.  (2)当销售量为6t时,销售收入=　6 000　元,销售成本=　5 000　元.  (3)当销售量为　4t　时,销售收入等于销售成本.  (4)当销售量　大于4t　时,该公司赢利(收入大于成本);当销售量　小于4t　时,该公司亏损(收入小于成本).  (5)l1对应的函数表达式是什么?l2对应的函数表达式是什么?. 分析:l1的图象过原点,表达式设为y=k1x,解这个方程只需再找一个点的坐标即可.l2表达式设为y=k2x+b2,解这个方程需要两个点的坐标,从图上可知所需坐标点. 解:设l1的表达式为y=k1x,由图可知,图象过点(4,4 000),代入,得4 000=4k1,解得k1=1 000,所以表达式为y=1 000x. 设l2的表达式为y=k2x+b2,由图可知,图象过点(0,2 000),(4,4 000),代入, 得2 000=b2,4 000=4k2+b2,解得k2=500,所以表达式为y=500x+2 000. 想一想: 上题中,l1对应的一次函数y=k1x+b1中,k1和b1的实际意义各是什么?l2对应的一次函数y=k2x+b2中,k2和b2的实际意义各是什么? 解:l1中,k1=1 000,b1=0,k1表示的是每销售1吨,销售收入是1 000元,b1表示未销售时,销售收入为0; l2中,k2=500,b2=2 000,k2表示的是销售量每增加1吨,销售成本增加500元,b2表示未销售时,为销售所花的成本是2 000元. 设计意图:此探究活动培养了学生的识图能力和探究能力,调动学生学习的自主意识.通过问题串的精心设计,引导学生根据实际问题建立适当的函数模型,利用该函数图象的特征解决这个问题.在此过程中渗透了数形结合的思想,同时发展学生的数学应用能力.使学生进一步认识到,k与b在实际问题中有特定的含义,这有助于帮助学生从图象上看出k,b的值,也为学生结合k,b的实际意义确定函数表达式奠定基础. 典例精讲 教师提出问题,学生先独立思考,然后再小组交流探讨. 教师板书一道例题书写过程,其余题目可由学生代表板书完成,最终教师展示答题过程. 例　我边防局接到情报,近海处有一可疑船只A正向公海方向行驶,边防局迅速派出快艇B追赶(如图2).图1中l1,l2分别表示两船相对于海岸的距离s(n mile)与追赶时间t(min)之间的关系. 图1　　　　图2 根据图象回答下列问题: (1)哪条线表示B到海岸的距离与追赶时间之间的关系? (2)A,B哪个速度快? (3)15 min内B能否追上A? (4)如果一直追下去,那么B能否追上A? (5)当A逃到离海岸12 n mile的公海时,B将无法对其进行检查.照此速度,B能否在A逃入公海前将其拦截? (6)l1与l2对应的两个一次函数s=k1t+b1与s=k2t+b2中,k1,k2的实际意义各是什么?可疑船只A与快艇B的速度各是多少? 解:(1)当t=0时,B距海岸0 n mile,即s=0,故l1表示B到海岸的距离与追赶时间之间的关系. (2)t从0增加到10时,l2的纵坐标增加了2,而l1的纵坐标增加了5,即10 min内,A行驶了2 n mile,B行驶了5 n mile,所以B的速度快. (3)如图3,延长l1,l2,可以看出,当t=15时,l1上的对应点在l2上对应点的下方,这表明,15 min时B尚未追上A. 图3 (4)如图4,延长l1,l2相交于点P. 因此,如果一直追下去,那么B一定能追上A. 图4 (5)从图5中可以看出,l1与l2交点P的纵坐标小于12,这说明在A逃入公海前,B能够追上A. 图5 (6)k1表示快艇B的速度,k2表示可疑船只A的速度.可疑船只A的速度是0.2 n mile/min,快艇B的速度是0.5 n mile/min. 想一想:你能用其他方法解决例题吗? 设计意图:进一步培养学生的识图能力和探究能力,调动学生学习的自主意识,通过问题串的精心设计,引导学生根据实际问题建立适当的函数模型,利用该函数图象的特征解决这个问题.在此过程中渗透数形结合的思想方法,发展学生的数学应用能力,加强学生运用一次函数的图象分析、解决问题,鼓励学生运用多种方法解决问题,提高学生的做题能力. 巩固训练 1.小敏从A地出发向B地行走,同时小聪从B地出发向A地行走,如图所示,相交于点P的两条线段l1、l2分别表示小敏、小聪离B地的距离y(km)与已用时间x(h)之间的关系,则小敏、小聪行走的速度分别是(　D　) A.3 km/h和4 km/h　　　　　　B.3 km/h和3 km/h C.4 km/h和4 km/h D.4 km/h和3 km/h 2.两人分别骑自行车和摩托车沿相同路线由甲地到乙地,他们的行驶路程与行驶时间之间的关系如图所示.已知甲、乙两地的距离是120 km,请根据图象回答下列问题. (1)谁先出发的?早多少时间? (2)两人在途中行驶的速度分别是多少? (3)骑自行车者出发后经过几个小时后,两人相遇? (4)在什么时间范围内,骑自行车者在骑摩托车者前面?在什么时间范围内,骑摩托车者在自行车者前面? 解:(1)观察图象可以看出骑自行车者出发早,早3小时. (2)由图象知,自行车行驶120 km耗时8小时,所以速度是120÷8=15(km/h). 摩托车行驶120 km耗时(5-3)=2小时.所以速度是120÷2=60(km/h). (3)因为两图象交点的横坐标为4,所以4小时后两人相遇. (4)由图象知,当时间在0~4小时内,骑自行车者在骑摩托车者前面;当时间在4~8小时内,骑摩托车者在骑自行车者前面. 设计意图:通过练习,学生可以更好地运用一次函数图象来解决问题,进一步提高学生的分析问题和解决问题的能力. 课堂小结 今天我们学习的内容是什么? 设计意图:通过提问方式进行小结,交流收获与不足,让学生养成学习——总结——再学习的良好学习习惯,有利于帮助学生理清知识脉络,同时明确本节课的学习目标,巩固学习效果. 课堂8分钟. 1.教材第95,96页习题4.7第1,2,3题. 2.七彩作业. 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $$