4.3 一次函数的图像-【七彩作业】2024-2025学年八年级数学上册同步教学设计（北师大版）河北专版

第1课时　正比例函数的图象与性质 课时目标 1.经历正比例函数图象的画图过程,初步了解画函数图象的一般步骤;经历正比例函数图象变化情况的探索过程,发展数形结合的意识和能力. 2.能熟练画出正比例函数的图象;掌握正比例函数及其图象的简单性质. 学习重点 正比例函数的图象的特点. 学习难点 正比例函数图象的特点的探索过程. 课时活动设计 概念引入 把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标,在直角坐标系内描出相应的点,所有这些点组成的图形叫做该函数的图象. 一次函数y=kx+b的图象是怎样的呢?我们先研究较为简单的正比例函数的图象. 设计意图:通过给出函数的图象概念,引出本节所学内容. 探究新知 问题1:如何画出正比例函数y=2x的图象? 学生先自己画图,分组讨论交流,教师进行讲评. 解:列表: x … -2 -1 0 1 2 … y … -4 -2 0 2 4 … 描点:以表中各组对应值作为点的坐标,在直角坐标系内描出对应的点. 连线:把这些点依次连接起来,得到y=2x的图象,它是一条直线. 小结:画函数图象的一般步骤:列表、描点、连线. 问题2:(1)画出正比例函数y=-3x的图象. (2)在所画的图象上任取几个点,找出它们的横坐标和纵坐标,并验证它们是否满足关系式y=-3x. 解:(1)图象如下图所示. (2)从图象上取点A(1,-3),B(-1,3),C(2,-6),D(-2,6). ∵-3=-3×1,3=-3×(-1),-6=-3×2,6=-3×(-2). ∴这几个点满足关系式y=-3x. 问题3:(1)满足关系式y=-3x的x,y所对应的点(x,y)都在正比例函数y=-3x的图象上吗? (2)正比例函数y=-3x的图象上的点(x,y)都满足关系式y=-3x吗? (3)正比例函数y=kx的图象有何特点?你是怎样理解的? 解:(1)满足关系式y=-3x的x,y所对应的点(x,y)都在正比例函数y=-3x的图象上. (2)正比例函数y=-3x的图象上的点(x,y)都满足关系式y=-3x. (3)正比例函数图象是一条过原点的直线. 思考:大家思考一下,画正比例函数图象时,最少可描几个点? 教师归纳:观察上图可以看出,每一个正比例函数的图象都过(0,0)点,所以只要再找一点就可以了. 解:正比例函数y=kx的图象是经过原点(0,0)的一条直线.因此,画正比例函数图象时,只要再确定一个点,过这点与原点画直线就可以了. 设计意图:学生通过描点画图过程,归纳并掌握“正比例函数的图象都是过原点的直线”这一共性,通过交流讨论,让学生思考图象上的点和满足函数关系式的点之间的对应关系. 做一做 在同一直角坐标系内画出正比例函数y=x,y=3x.y=-x和y=-4x图象,回答下列问题: (1)正比例函数y=x,y=3x中,随着x值的增大,y的值都增加了,其中哪一个增加得更快?你能解释其中的道理吗? (2)类似地,正比例函数y=-x,y=-4x中,随着x值的增大,y的值都减小了,其中哪一个减小得更快?你是如何判断的? 总结:1.当k>0时,y随x的增大而增大;当k<0时,y随x的增大而减小. 2.在正比例函数y=kx图象中,k的绝对值越大,直线越陡,相应的函数值上升或下降得越快. 设计意图:引导学生通过对图象的进一步观察与比较,归纳出函数值的增减速度与k的绝对值的内在关系,认识到k的绝对值越大,直线越陡,相应的函数值上升或下降得越快,从而进一步发展学生数形结合思想以及观察、思考问题的意识和能力. 典例精讲 例　在同一直角坐标系中,画出函数y=x,y=x,y=5x的图象,然后比较哪一个函数图象与x轴正方向所成的锐角最大,由此你得到什么猜想?再选几个图象验证你的猜想. 解:函数图象如下图所示. 其中,y=5x的图象与x轴正方向所成的锐角最大. 猜想:k的绝对值越大,与x轴正方向所成夹角越大. 设计意图:培养学生的画图能力,同时进一步熟悉正比例函数图象的性质,培养学生思维的多样性,发展学生解决问题的能力,发展学生的数学思维. 巩固训练 1.作函数图象的一般步骤为　列表　,　描点　,　连线　;正比例函数的图象是一条　直线　.  2.某函数具有下列两个条件: (1)它的图象是经过原点(0,0)的一条直线; (2)y的值随x值的增大而增大. 请你举出一个同时满足上述两个条件的函数(用关系式表示). 解:由(1),得这个函数是正比例函数.由(2),得k>0.所以只要满足这两个条件就可以了,如y=3x,y=2x等. 设计意图:这个环节充分发挥了学生的主观能动性,是对本节课学习内容的巩固及内化. 课堂小结 今天我们学习了哪些内容? 设计意图:通过提问方式进行小结,交流收获与不足,让学生养成学习——总结——再学习的良好学习习惯,有利于帮助学生理清知识脉络,同时明确本节课的学习目标,巩固学习效果. 课堂8分钟. 1.教材第85页习题4.3第1,2,3,4题. 2.七彩作业. 第1课时　正比例函数的图象与性质 　　　　　1.画函数图象的步骤. 2.正比例函数y=kx的图象的特点. 教学反思 第2课时　一次函数的图象与性质 课时目标 1.经历一次函数图象的画图过程,进一步熟悉画函数图象的一般步骤;经历一次函数图象变化情况的探索过程,发展数形结合的意识和能力. 2.能熟练画出一次函数的图象;掌握一次函数及其图象的简单性质. 学习重点 用“两点法”画出一次函数图象是研究一次函数性质的基础. 学习难点 直线y=kx+b(k,b是常数,k≠0)中常数k和b的取值对于直线的位置的影响. 课时活动设计 回顾引入 1.什么叫函数? 如果在一个变化过程中有两个变量x和y,并且对于变量x的每一个值,变量y都有唯一的值与它对应,那么我们称y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量. 2.函数的表示方法有哪几种?(1)关系式法;(2)列表法;(3)图象法. 3.同学们,上节课我们学习了正比例函数的图象,请画出正比例函数y=-2x的图象. 设计意图:通过回顾已学的知识,引起学生对新知识的思考. 探究新知 探究1　一次函数的图象 正比例函数y=-2x的图象是过原点的一条直线,那你们知道一次函数y=-2x+1的图象是什么形状吗?如何作出一次函数的图象? 要回答这个问题,必须弄清楚以下几点: (1)函数的图象是由无数个点构成的. (2)这些点在坐标系中是一对一对的有序实数. (3)此表达式实际上是一个二元一次方程,它的一对的x,y的值可看作是图象上的点的坐标. (4)要找出它的某个点,实际上就是求出这个二元一次方程的一组解. (5)把x的值作为横坐标,y的值作为纵坐标. (6)把函数作图问题转化为求方程的解的问题. 解:列表如下, x … -2 -1 0 1 2 … y … 5 3 1 -1 -3 … 描点:以表中各组对应值作为点的坐标,在直角坐标系内描出对应的点. 　　连线:把这些点依次连接起来,得到y=-2x+1的图象,它是一条直线. 探究2　一次函数图象的特点 教师提出问题,学生在小组内合作交流,师生共同总结归纳. 问题1:一次函数y=-2x+1图象是什么形状呢? 问题2:凡是满足关系式y=-2x+1的x,y的值所对应的点(x,y),如(1,-1),(4,-7)…都在一次函数y=-2x+1的图象上吗? 问题3:请你从一次函数y=-2x+1的图象上任意取一点,检验该点的横坐标x和纵坐标y是否满足关系式y=-2x+1. 问题4:一次函数y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的图象都是一条直线吗?举例验证. 问题5:几个点可以确定一条直线? 问题6:画一次函数图象时,只需要取几个点? 问题7:你认为一次函数y=kx+b的图象是什么形状?有什么特点?你是怎样理解的? 总结:一次函数y=kx+b的图象是一条直线,因此画一次函数图象时,只要确定两个点,再过这两点画直线就可以了.一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b. 探究3　一次函数图象的性质 在同一直角坐标系内分别画出一次函数y=2x+3,y=-x,y=-x+3和y=5x-2的图象. (1)上述四个函数中,随着x值的增大,y的值分别如何变化?相应图象上点的变化趋势如何? (2)直线y=-x与y=-x+3的位置关系如何?你能通过适当的移动将直线y=-x变为直线y=-x+3吗?一般地,直线y=kx+b与y=kx有怎样的位置关系呢? (3)直线y=2x+3与y=-x+3有什么共同点?一般地,你能从函数y=kx+b的图象上直接看出b的数值吗? 学生独立完成画图,小组交流讨论. 总结:一次函数y=kx+b的图象经过(0,b).当k>0时,y的值随着x值的增大而增大;当k<0时,y的值随着x值的增大而减小. 设计意图:通过独立画图让学生进一步熟悉画函数图象的步骤,关于一次函数的图象与性质通过小组合作交流,学生展示后教师点评,强调易错点,总结归纳重点. 典例精讲 例　正比例函数或一次函数(y=kx+b)的图象如图所示,请确定k,b的情况: (1) (2) (3) (4) 解:(1)k>0,b=0;(2)k<0,b=0;(3)k<0,b>0;(4)k<0,b<0. 设计意图:培养学生的读图能力,同时进一步熟悉一次函数图象的性质,培养了学生思维的多样性,发展学生解决问题的能力,发展学生的数学思维,培养学生的核心素养. 巩固训练 对于一次函数y=(2-m)x+1. (1)若y的值随x值的增大而增大,则m的取值范围是什么? (2)若y的值随x值的增大而减小,则m的取值范围是什么? 解:(1)当2-m>0时,即m<2时,y的值随x值的增大而增大. (2)当2-m<0时,即m>2时,y的值随x值的增大而减小. 设计意图:通过巩固训练,加深学生对一次函数图象的性质的理解. 课堂小结 1.一次函数图象是一条直线. 2.一次函数y=kx+b的图象经过(0,b).当k>0时,y的值随着x值的增大而增大;当k<0时,y的值随着x值的增大而减小. 设计意图:课堂小结不仅仅是总结知识,更是数学方法的小结,是高层次的自我认识过程,帮助学生自行建构知识体系,形成学习能力. 课堂8分钟. 1.教材第87,88页习题4.4第1,2,3,4题. 2.七彩作业. 第2课时　一次函数的图象与性质 　　　　　　1.一次函数y=kx+b的图象的特点. 2.一次函数图象的性质. 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $$