4.2 一次函数与正比例函数-【七彩作业】2024-2025学年八年级数学上册同步教学设计（北师大版）河北专版

课时目标 1.理解一次函数和正比例函数的概念. 2.经历一般规律的探索过程,发展抽象思维能力. 3.经历从实际问题中得到函数关系式这一过程,发展数学应用能力. 学习重点 理解一次函数和正比例函数的概念. 学习难点 能根据所给条件写出简单的一次函数表达式. 课时活动设计 回顾引入 教师提出问题: (1)什么是函数? (2)函数有哪些表示方式? (3)在现实生活中有许多问题都可以归结为函数问题,大家能不能举一些例子呢? 设计意图:为了激发学生的求知欲望,吸引注意力,这里采用了“复习旧知识,诱导新内容”的引入方法.问题(1)(2)复习上节课的内容,问题(3)是让学生把所学知识运用于实际生活,提高学生的应用意识. 探究新知 一次函数,正比例函数的概念 某辆汽车油箱中原有汽油60 L,汽车每行驶50 km耗油6 L. (1)完成下表: 汽车行驶路程x/km 0 50 100 150 200 300 耗油量y/L 　0　  　6　  　12　  　18　  　24　  　36　  (2)你能写出耗油量y(L)与汽车行驶路程x(km)之间的关系式吗? (3)你能写出油箱剩余油量z(L)与汽车行驶路程x(km)之间的关系式吗? 教师选学生填表,组织学生交流讨论问题. 解:(2)y与x之间的关系式为y=0.12x. (3)z与x之间的关系式为z=60-0.12x. 在上面的情境中,得到几个函数关系式:y=0.12x,z=60-0.12x.请同学们找出这些关系式的共同点,并回答问题: 1.这些式子表示的是什么关系? 解:函数关系. 2.这些函数中自变量分别是什么?因变量分别是什么? 3.这些函数关系式是关于自变量的几次式? 总结:一般地,若两个变量x,y间的对应关系可以表示成y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的形式,则称y是x的一次函数(x为自变量,y为因变量). 特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数. 想一想:正比例函数一定是一次函数吗?一次函数是正比例函数吗? 答:正比例函数一定是一次函数.但一次函数不一定是正比例函数. 设计意图:学生通过实例进一步增进对函数的认识,通过观察、比较、分析、归纳,找到这些函数表达式的共同点,逐步形成一次函数及正比例函数的概念.让学生感受一次函数与正比例函数的联系和区别,增进学生对不同函数间逻辑关系的认识. 典例精讲 例1　写出下列各题中y与x之间的关系式,并判断y是否为x的一次函数?是否为正比例函数? (1)汽车以60 km/h的速度匀速行驶,行驶路程y(km)与行驶时间x(h)之间的关系; (2)圆的面积y(cm2)与它的半径x(cm)之间的关系; (3)某水池有水15 m3,现打开进水管进水,进水速度为5 m3/h,x h后这个水池内有水y m3. 解: (1)由路程=速度×时间,得y=60x, y是x的一次函数,也是x的正比例函数. (2)由圆的面积公式,得y=πx2, y不是x的正比例函数,也不是x的一次函数. (3)这个水池每时增加5 m3水, x h增加5x m3水,因而y=15+5x,y是x的一次函数,但不是x的正比例函数. 例2　我国自2011年9月1日起,个人工资、薪金所得税征收办法规定:月收入低于3 500元的部分不收税:月收入超过3 500元但低于5 000元的部分征收3%的所得税……如某人月收入3 860元,他应缴纳个人工资、薪金所得税为(3 860-3 500)×3%=10.8(元). (1)当月收入大于3 500元而又小于5 000元时,写出应缴纳个人工资、薪金所得税y(元)与月收入x(元)之间的关系式; (2)某人月收入为4 160元,他应缴纳个人工资、薪金所得税多少元? (3)如果某人本月缴纳个人工资、薪金所得税19.2元,那么此人本月工资、薪金收入是多少元? 解:(1)当月收入大于3 500元而小于5 000元时, y=(x-3 500)×3%,即y= 0.03x- 105; (2)当x=4 160时, y=0.03×4 160- 105 = 19.8(元); (3)因为(5 000-3 500)×3%=45(元), 19.2<45,所以此人本月工资、 薪金收入低于5 000元.设此人本月工资、薪金收入是x元,则 19.2=0.03x-105, x=4 140. 即此人本月工资、薪金收入是4 140元. 设计意图:夯实概念,检测学生能否根据概念来判断一个函数是否为一次函数.一方面,使学生进一步感受现实世界函数大量存在,体会函数的知识可以分析和解决实际问题,另一方面,培养学生的应用意识、阅读能力与建立模型解决问题的能力. 巩固训练 1.某种大米的单价是2.2元/kg,当购买x kg大米时,花费为y元.y是x的一次函数吗?是x的正比例函数吗? 解:y=2.2x,y是x的一次函数,也是x的正比例函数. 2.如图,甲、乙两地相距100 km,现有一列火车从乙地出发,以80 km/h的速度向丙地行驶. 设x(h)表示火车行驶的时间,y(km)表示火车与甲地的距离. (1)写出y与x之间的关系式,并判断y是否为x的一次函数; (2)当x=0.5时,求y的值. 解:(1)y=100+80x,y是x的一次函数. (2)当x=0.5时,y=100+80×0.5=140. 设计意图:充分发挥了学生的主观能动性,是对本节课学习内容的巩固及内化. 课堂小结 今天我们学习了哪些内容? 设计意图:通过提问方式进行小结,交流收获与不足,让学生养成学习——总结——再学习的良好学习习惯,有利于帮助学生理清知识脉络,同时明确本节课的学习目标,巩固学习效果. 课堂8分钟. 1.教材第82页习题4.2第1,2,3,4题. 2.七彩作业. 4.2　一次函数与正比例函数 　　　　　　一次函数与正比例函数的概念: 一般地,若两个变量x,y间的对应关系可以表示成y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的形式,则称y是x的一次函数(x为自变量,y为因变量). 特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数. 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $$