3.2 平面直角坐标系-【七彩作业】2024-2025学年八年级数学上册同步教学设计（北师大版）河北专版

第1课时　平面直角坐标系 课时目标 1.从现实情境入手,感受建立平面直角坐标系的必要性,然后抽象出平面直角坐标系的相关概念. 2.会在给定的平面直角坐标系中,根据点的坐标描出点的位置,根据点的位置写出点的坐标. 3.经历知识的形成过程,用类比的方法思考和解决问题,进一步体会数形结合的思想. 学习重点 平面直角坐标系的形成过程及根据点的位置写出坐标和根据坐标描点. 学习难点 认识点与坐标的一一对应关系. 课时活动设计 情境引入 同学们,你们喜欢旅游吗?假如你到了某一个城市旅游,那么你应怎样确定旅游景点的位置呢?下面给出一张某市旅游景点的示意图,根据示意图,回答以下问题: (1)小红在旅游示意图上画上了方格,标上数字(如图1),并用(0,0)表示科技大学的位置,用(5,7)表示中心广场的位置,那么钟楼的位置如何表示呢?(2,5)表示哪个地点的位置?(5,2)呢? 图1　　　　图2 (2)如果小亮和他的朋友在中心广场,并以中心广场为“原点”做了如图2所示的标记,那么你能表示“碑林”的位置吗?“大成殿”的位置呢? 我们已经学习了许多确定位置的方法,在这个问题中,大家看用哪种方法比较合适? 设计意图:从具体实例入手,让学生充分表达自己观点,顺利引出本节课所要讲的内容.在此过程中,培养学生的表达能力,让学生学会用数学语言表达现实世界,提高学生数学的应用意识以及抽象概括的能力. 探究新知 探究1　自学明晰概念 师:我们从实际问题中建立起了平面直角坐标系的模型,下面请同学们带着以下问题自主学习课本第59页的内容: (1)什么是平面直角坐标系?它由哪些部分组成? 解:在平面内,两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系.通常,两条数轴分别置于水平位置与铅直位置,取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向.水平的数轴叫做x轴或横轴,铅直的数轴叫做y轴或纵轴,x轴和y轴统称坐标轴,它们的公共原点O称为直角坐标系的原点. (2)你会画一个平面直角坐标系吗?请自行在练习本上建立一个平面直角坐标系. 教师巡视,将有问题的坐标图形进行投影,大家一起找出错误并纠正. 探究2　由点写出坐标 1.写出图中的多边形ABCDEF各个顶点的坐标. 解:A(-2,0),B(0,-3),C(3,-3),D(4,0),E(3,3),F(0,3). 师:(结合上图)我们知道,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直,所以一个点的横、纵坐标也是唯一确定的,所以一个点所对应的坐标由几个呢? 2.想一想: (1)点B与点C的纵坐标相同,线段BC的位置有什么特点? (2)线段CE的位置有什么特点? 解:(1)由B(0,-3),C(3,-3)可以看出它们的纵坐标相同,即B,C两点到x轴的距离相等,所以线段BC平行于横轴(x轴),垂直于纵轴(y轴). (2)由C(3,-3),E(3,3),可以看出它们的横坐标相同,即B,C两点到y轴的距离相等,所以线段BC平行于纵轴(y轴),垂直于横轴(x轴). 探究3　由坐标找点 (1)请在平面直角坐标系中描出下列各点: A(-7,-2),B(-1,2),C(1,1),D(-1,-2),E(1,-5),F(-1,-6); (2)依次连接A,B,C,D,E,F,A,你得到什么图形? 师:由描点的方法可知,找点就是找两条直线的交点,那么这样的点有几个? (3)在平面直角坐标系中,点与实数对之间有何关系? 结合学生的回答,教师总结:在直角坐标系中,对于平面上的任意一点,都有唯一的一对有序实数对(即点的坐标)与它对应;反过来,对于任意一对有序实数对,都有平面上唯一的一点与它对应.这是从形和数两个方面来研究同一个问题,是典型的数形结合思想. 探究4　研究坐标象限 师:平面内,建立了直角坐标系后,把平面分成几个区域? 介绍象限,坐标轴等概念.教师给出一些点的坐标,让学生说出它们所在的象限或坐标轴.学生分组合作,互相交流讨论,教师对交流结果进行总结. 总结:在平面直角坐标系中,两条坐标轴将坐标平面分成了四部分,右上方的部分叫做第一象限,其他三部分按逆时针方向依次叫做第二象限,第三象限和第四象限. 注意:坐标轴上的点不属于任何象限. 设计意图:通过探究,学生对平面直角坐标系的概念以及相关知识点有了更加深入的理解,加强学生合作交流意识,培养学生抽象概括能力. 巩固训练 1.下列说法错误的是(　A　) A.平面内两条互相垂直的数轴就构成了平面直角坐标系 B.平面直角坐标系中两条数轴是互相垂直的 C.坐标平面被两条坐标轴分成了四个部分,每个部分称为象限 D.坐标轴上的点不属于任何象限 2.若点P(m,1-2m)的横坐标与纵坐标互为相反数,则点P一定在(　D　) A.第一象限　　　　B.第二象限　　　　C.第三象限　　　　D.第四象限 3.已知点P(3,a),并且P点到x轴的距离是2个单位长度,求P点的坐标. 解:因为P点到x轴的距离是2个单位长度,所以P点的纵坐标为|2|,即a=2或-2,所以P点的坐标为(3,2)或(3,-2). 设计意图:通过练习,巩固本节课所学内容. 课堂小结 通过本节课的学习,你学到了什么知识和方法?获得了哪些活动经验?还有什么疑惑? 设计意图:通过提问,学生回顾、总结、梳理本节课所学内容,使零散的知识系统化,同时培养学生的语言表达能力. 课堂8分钟. 1.教材第61,62页习题3.2第1,2,3,4题. 2.七彩作业. 第1课时　平面直角坐标系 　　　　　　1.平面直角坐标系的概念. 2.象限及各象限点的坐标的特征. 3.点与坐标的一一对应关系. 教学反思 第2课时　点的坐标特征 课时目标 1.知道在坐标轴上的点以及与坐标轴平行的直线上点的坐标的特征. 2.知道不同象限点的坐标的特征. 3.经历画坐标系、描点、连线、看图以及由点找坐标等过程,进一步体会平面直角坐标系中点与坐标之间的对应关系,发展数形结合意识. 4.通过由点确定坐标到根据坐标描点的转化过程,进一步培养学生的转化意识. 学习重点 体会平面直角坐标系中点与坐标之间的对应关系,发展数形结合意识. 学习难点 体会平面直角坐标系中点与坐标之间的对应关系,发展数形结合意识. 课时活动设计 复习回顾 在上节课中我们学习了平面直角坐标系的定义,以及横轴、纵轴、点的坐标的定义,练习了在平面直角坐标系中由点找坐标,还探讨了横坐标或纵坐标相同的点的连线与坐标轴的关系.那么,请同学们思考,坐标轴上点的坐标有什么特点? 设计意图:先回顾前面所学的知识,在此基础上提出问题,引导学生思考新知识.建立起新知识与旧知识之间的联系. 探究新知 在如图所示的直角坐标系中描出下列各点,并将各组内这些点依次用线段连接. (1)D(-3,5),E(-7,3),F(-6,3),B(0,3),C(1,3),D(-3,5); (2)F(-6,3),G(-6,0),A(0,0),B(0,3). 观察所描出的图形,它像什么? 解:连接起来的图形像“房子” 根据图形回答下列问题: (1)图形中哪些点在坐标轴上?它们的坐标有什么特点? (2)线段EC与x轴有什么特殊的位置关系?点E和点C的坐标有什么特点?线段EC上其他点的坐标呢? (3)点F和点G的坐标有什么共同特点?线段FG与y轴有怎样的位置关系? 解:(1)线段AG上的点都在x轴上,它们的纵坐标都等于0;线段AB上的点都在y轴上,它们的横坐标都等于0. (2)线段EC平行于x轴,点E和点C的纵坐标相同.线段EC上其他点的纵坐标相同,都是3. (3)点F和点G的横坐标相同,线段FG与y轴平行. 由点找坐标是已知点在直角坐标系中的位置,根据这点在方格纸上对应的x轴、y轴上的数字写出它的坐标,反过来,已知坐标,让你在直角坐标系中找点,你能找到吗?这就是本节课的内容. 议一议:在平面直角坐标系中,坐标轴上的点的坐标有什么特点? 学生在小组内讨论交流,师生总结. 总结:x轴上的点,纵坐标为0,可写成(x,0);y轴上的点,横坐标为0,可写成(0,y).平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同,横坐标不同;平行于y轴的直线上的点的横坐标相同,纵坐标不同. 设计意图:本题创设了一个相对轻松、有趣的情境,使学生进一步掌握在平面直角坐标系中由坐标找到点的位置,并让学生初步感受坐标轴上的点与坐标轴平行的直线上点的坐标的特征. 探究新知 如图,坐标系中所画图形是一个笑脸. (1)在“笑脸”上找出几个位于第一象限的点,指出它们的坐标,说说这些点的坐标有什么特点? (2)找出其他象限的点,看看这些点的坐标有什么特点? (3)不描出点,分别判断A(1,2),B(-1,-3),C(2,-1),D(-3,4)所在的象限. 解:(1)“笑脸”上第一象限的点的坐标有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(5,2),它们的纵坐标与横坐标都为正实数. (2)“笑脸”上第二象限的点的坐标有(-1,1),(-1,2),(-2,1),(-2,2),(-2,3),(-5,2),它们的横坐标为负实数,纵坐标为正实数; 第三象限的点的坐标有(-1,-1),(-3,-3),它们的纵坐标与横坐标都为负实数; 第四象限的点的坐标有(1,-1),(3,-3),它们的横坐标为正实数,纵坐标为负实数. (3)点A(1,2)在第一象限,点B(-1,-3)在第三象限,点C(2,-1)在第四象限,点D(-3,4)在第二象限. 教师提出问题,让学生先自主解答,然后再互相讨论交流,最后教师总结归纳. 总结:各象限内的点的坐标的符号特征:第一象限,横、纵坐标都为正;第二象限,横坐标为负、纵坐标为正;第三象限,横、纵坐标都为负;第四象限,横坐标为正、纵坐标为负. 设计意图:引导学生探索各象限内点的坐标的特征,发展学生数形结合的意识. 典例精讲 例　已知点A(a,b)在第三象限内,且|a|=1,-b=5求a+b-3的值. 解:∵点A(a,b)在第三象限内,∴a<0,b<0. 又∵|a|=1,-b=5,∴a=-1,b=-5. ∴a+b-3=-1-5-3=-9. 设计意图:通过练习,进一步巩固本节课所学知识. 巩固训练 1.在平面直角坐标系中,点(1,5)所在的象限是(　A　) A.第一象限　　　　B.第二象限　　　　C.第三象限　　　　D.第四象限 2.在平面直角坐标系中,若点A(a,-b)在第一象限内,则点B(a,b)所在的象限是(　D　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知点P(a,b)在第二象限,且|a|=3,|b|=8,求点P的坐标. 解:∵点P(a,b)在第二象限,∴a<0,b>0. 又∵|a|=3,|b|=8,∴a=-3,b=8. ∴点P的坐标为(-3,8). 设计意图:当堂检测,查漏补缺. 课堂小结 1.位于x轴上的点的坐标的特征是什么?位于y轴上的点的坐标的特征是什么? 2.与x轴平行的直线上点的坐标的特征是什么?与y轴平行的直线上点的坐标的特征是什么? 3.各象限的点的坐标的特征是什么? 设计意图:通过提问让学生回顾、总结、梳理本节课所学内容,使零散的知识系统化,同时培养学生的语言表达能力. 课堂8分钟. 1.教材第64页习题3.3第1,2,3,4题. 2.七彩作业. 第2课时　点的坐标特征 　　　　　　1.坐标轴上的点的特征. 2.与坐标轴平行(或垂直)的直线上的点的特征. 3.四个象限内点坐标的符号特征. 教学反思 第3课时　建立适当的平面直角坐标系求点的坐标 课时目标 1.能结合所给图形的特点,建立适当的平面直角坐标系,写出点的坐标. 2.能根据一些特殊点的坐标复原平面直角坐标系. 3.经历建立平面直角坐标系描述图形的过程,进一步发展数形结合意识. 学习重点 根据实际问题建立适当的坐标系,并能写出各点的坐标. 学习难点 根据一些特殊点的坐标复原坐标系. 课时活动设计 复习回顾 1.平面直角坐标系的定义. 在平面内,两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系. 2.象限. 如图所示,在平面直角坐标系中,两条坐标轴将坐标平面分成了四部分.右上方的部分叫做第一象限,其他三部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限. 3.坐标轴上点的坐标. 4.不同象限内点的坐标的特征: 设计意图:通过复习旧知,为后面的学习做准备. 探究新知 如图,矩形ABCD的长与宽分别是6,4,建立适当的直角坐标系,并写出各个顶点的坐标. 师:在没有直角坐标系的情况下不能写出各个顶点的坐标,所以应先建立直角坐标系,那么应如何选取直角坐标系呢?在你建立的直角坐标系中,各个顶点的坐标分别是什么?请大家思考. 生1:如下图所示,以点C为坐标原点,分别以CD,CB所在直线为x轴、y轴,建立直角坐标系.此时点C的坐标为(0,0). 由CD的长为6,CB长为4,可得A,B,D的坐标分别为A(6,4),B(0,4),D(6,0). 生2:如下图所示,以点D为坐标原点,分别以CD,AD所在直线为x轴、y轴,建立直角坐标系.则D点坐标为(0,0),可得A,B,C的坐标分别为A(0,4),B(-6,-4),C(-6,0). 师:这两位同学选取坐标系的方式都是以矩形的某一个顶点为坐标原点,矩形的相邻两边所在直线分别作为x轴、y轴,建立直角坐标系的.这样建立直角坐标系的方式还有两种,即以A或B为原点,矩形两邻边分别为x轴、y轴建立直角坐标系.(课堂上选择两位同学展示自己的成果,若与预设有出入,以学生结果为主,展开引导.)除此之外,还有其他方式吗? 生3:有,如下图所示,以矩形的中心(即对角线的交点)为坐标原点,平行于矩形相邻两边的直线为x轴、y轴建立直角坐标系,则A,B,C,D的坐标分别为A(3,2),B(-3,2),C(-3,-2),D(3,-2). 生4:把上图中的横坐标逐渐向上、下移动,纵坐标左、右移动,均可得到不同的坐标系,从而得到A,B,C,D四点的不同坐标. 师:从刚才我们讨论的情况看,大家能发现什么? 总结:1.建立直角坐标系有多种方法. 2.选取的直角坐标系不同,同一点的坐标不同,但图形的形状和性质不会改变. 设计意图:本环节借助方格纸建立直角坐标系,意在巩固前两个课时所学的内容,让学生清楚点与坐标的对应关系.同时,此环节兼顾了开放性,学生可根据自己的学习情况,自主建立不同的直角坐标系,然后交流对比,体会不同的直角坐标系对应了不同的点的坐标,但是图形的形状和性质不会改变. 典例精讲 例1　如图,建立适当的直角坐标系,并写出这个四角星的8个“顶点”的坐标. 至少让两名学生将自己的成果展示在黑板上,并与其他同学进行对比. 解:答案不唯一,合理即可. 例2　如图,对于边长为4的正三角形ABC,建立适当的直角坐标系,并写出各个顶点的坐标. 解:方法一:如下图所示,以点B为坐标原点,以BC所在直线为x轴、垂直BC所在直线做y轴,建立直角坐标系.此时B点坐标为(0,0),因为等边三角形边长为4,所以C点坐标为(4,0),过A点向BC引垂线,垂足为D,则AD=2,A点坐标为(2,2). 方法二:如下图所示,以BC中点为坐标原点,以BC所在直线为x轴、垂直BC所在直线做y轴,建立直角坐标系.此时B点坐标为(-2,0),C点坐标为(2,0),则A点坐标为(0,2). 设计意图:由学生板书,教师在学生板书过程中发现问题,及时纠错,在此过程中,依然让学生通过对比,去感受在同一问题中可以有多种建立直角坐标系的方法,并且在不同的直角坐标系中,同一点的坐标也是不同的,从而感受在解题过程中如何建立直角坐标系最为简单,再次深化优选的思想. 巩固训练 1.如图所示,小明在与同伴玩“找宝”游戏,他们准备到A、B、C三个点去找宝,现已知点A的坐标是(1,0),点B的坐标是(3,2),则点C的坐标是　(5,1)　.  2.(1)已知A(1,4),B(-4,0),C(2,0).△ABC的面积是　12　.  (2)若B,C的坐标不变,△ABC的面积为6,点A的横坐标为-1,那么点A的坐标为　(-1,2)或(-1,-2)　.  3.如图,已知正方形ABCD的边长为4,依据建立的直角坐标系,直接写出各个顶点的坐标. 解:A(4,4),B(0,4),C(0,0),D(4,0). 设计意图:通过课堂训练,巩固本节课所学内容,加深学生对本节课所学内容的理解.通过变式训练,逐渐增加题目难度.进而巩固本节课的学习目标. 课堂小结 通过本节课的学习,我们能在方格纸上建立适当的直角坐标系,描述物体的位置;学会了如何建立最恰当的直角坐标系,可以简明地写出点的坐标;可以在已知点的坐标的情况下建立正确的直角坐标系,并写出其他点的坐标. 设计意图:通过总结回顾本节课所学知识,帮助学生梳理本节课所学内容,同时培养学生反思的习惯. 课堂8分钟. 1.教材第66,67页习题3.4第1,2,3,4,5题. 2.七彩作业. 第3课时　建立适当的平面直角坐标系求点的坐标 　　　　1.依据图形,借助方格纸建立适当的直角坐标系. 2.依据图形,舍弃方格纸建立适当的直角坐标系. 3.已知点的坐标,建立适当的直角坐标系. 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $$