1.1 探索勾股定理-【七彩作业】2024-2025学年八年级数学上册同步教学设计（北师大版）河北专版

第1课时　探索勾股定理 课时目标 1.用数格子(割、补、拼等)和测量的方法体验勾股定理的探索过程. 2.理解勾股定理反映的直角三角形三边之间的数量关系. 3.会初步运用勾股定理进行简单的计算和解决实际问题,提高猜想、归纳的能力以及增强学生的合作意识,进一步发展空间观念的核心素养. 学习重点 勾股定理的探究. 学习难点 运用勾股定理进行简单的计算和解决实际问题. 课时活动设计 情境引入 同学们,听说过勾股定理吗?大家对这个神秘而又常用的定理感兴趣吗?感兴趣的话就让我们一起去探索真理吧.首先让我们追随毕达哥拉斯的脚步,走进他朋友的屋子,去看看屋中地板的图形里蕴含什么奥秘吧. 1.相传2 500年前,古希腊著名数学家毕达哥拉斯从朋友家地砖铺成的地面上找到了直角三角形三边之间的关系. 思考:A,B,C的面积之间有什么关系呢? 学生回答,教师总结:SA+SB=SC,a2+b2=c2. 得出结论:两直角边的平方和等于斜边的平方. 2.是不是所有的直角三角形的三边都具备这种特殊的关系呢?我们一起来探究一下吧. 设计意图:用毕达哥拉斯发现勾股定理的小故事,进一步激发学生探索勾股定理的兴趣. 探究新知 探究1　通过测量探究勾股定理 (1)请同学们在白纸上作出一个直角三角形,使它的两条直角边长分别是3 cm和4 cm,测量它斜边的长度,看看三边的平方之间有怎样的关系. (2)我们在方格纸上再分别作出几个直角三角形,计算它们三边的平方分别是多少,它们满足上面所猜想的数量关系吗? 探究2　通过数格子探究勾股定理 观察图1,图2,直角三角形三边的平方分别是多少?它们满足上面所猜想的数量关系吗? 图1　　　　图2 如图1,正方形A中有　9　个小方格,即A的面积为　9　个单位面积.正方形B中有　9　个小方格,即B的面积为　9　个单位面积.正方形C中有　18　个小方格,即C的面积为　18　个单位面积.  如图2,正方形A中有　16　个小方格,即A的面积为　16　个单位面积.正方形B中有　9　个小方格,即B的面积为　9　个单位面积.正方形C中有　25　个小方格,即C的面积为　25　个单位面积.  探究3　对于任意直角三角形,三边的平方是否满足上面发现的数量关系呢?借助几何画板来观察. 通过上述探究,教师总结勾股定理: 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2. 设计意图:学生经历了测量、计算,由特殊到一般的过程后,归纳总结,明晰勾股定理的内容. 典例精讲 例　如图,求出直角三角形中未知边的长度. 解:由勾股定理,可知x2+402=412,解得x=9或x=-9. 因为x为三角形的一条边,所以x=9.所以直角三角形中未知边的长度是9. 设计意图:通过例题的讲解,规范学生解题步骤,加深学生对新知识的理解与掌握. 巩固训练 1.设直角三角形的两条直角边长分别为a和b,斜边长为c. (1)已知a=6,c=10,则b=　8　;  (2)已知a=5,b=12,则c=　13　;  (3)已知c=25,b=15,则a=　20　.  2.已知在Rt△ABC中,AB=4,AC=3则BC的平方是　7或25　.  3.如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形E的边长为7 cm,则正方形A,B,C,D的面积的和是　49 cm2　.  设计意图:通过巩固训练,加深对所学知识的理解,学会用勾股定理解决一些简单的问题. 课堂小结 勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2. 设计意图:通过回顾本节课所学内容.加强学生对本节知识的理解,培养学生反思总结的习惯. 课堂8分钟. 1.教材第3页随堂练习第1题,第4页习题1.1第1,2题. 2.七彩作业. 第1课时　探索勾股定理 　　　　　1.勾股定理: 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2. 2.勾股定理的应用:在直角三角形中,已知任意两个边的长度,可以求出第三边的长度. 注意:①勾股定理应用的前提是直角三角形; ②要分清直角边和斜边; ③公式也可以变形为a2=c2-b2或b2=c2-a2. 教学反思   第2课时　勾股定理的验证及其应用 课时目标 1.进一步了解勾股定理,探索勾股定理的证明过程. 2.学会利用几何图形的割、补证明勾股定理. 3.能够利用勾股定理解决简单的实际问题. 4.在数学活动中发展学生的自主探究和合作交流的意识,体会勾股定理的应用价值. 学习重点 运用割补、拼图的方法证明勾股定理. 学习难点 灵活应用勾股定理解决实际问题. 课时活动设计 新课引入 小组合作展示:今天我们将研究利用拼图的方法验证勾股定理,请你利用自己准备的四个全等的直角三角形,拼出一个以斜边为边长的正方形. 提出问题,观察学生如何操作,再让学生展示过程,最后教师用课件展示拼图过程. 追问:还有其他拼法吗? 设计意图:通过学生自己动手操作,让学生在活动中体会图形的构成,既为勾股定理的验证作铺垫,同时又培养学生的动手能力和创新能力. 探究新知 问题:在下图中,分别以直角三角形的三条边为边长向外作正方形,你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗? 追问:如何计算大正方形的面积呢? 上节课我们仅仅是通过测量和数格子,对具体的直角三角形探索发现了勾股定理,对一般的直角三角形,勾股定理是否成立呢?这需要进一步验证.如何验证勾股定理呢?事实上,现在已经有几百种勾股定理的验证方法,这节课我们也将去验证勾股定理. 设计意图:通过观察图形,思考如何验证勾股定理.介绍世界上有数百种验证方法,激发学习兴趣.通过这一环节,明确仅仅探索得到勾股定理还不够,还需进行验证.当听到有数百种验证方法时,马上就有了去寻求属于自己的方法的欲望. 新知讲解 教师用多媒体演示课件,引导学生观察并思考. 为了计算大正方形的面积,小明对这个大正方形进行了“补”和“割”,如下图所示. 问题1:通过“补”的办法,你能表示出大正方形的面积吗? 教师引导学生通过两种方法表示大正方形的面积,同学独立思考,教师进行巡视,对于思路不清晰的学生给予指导. 证明:因为S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab, S大正方形=4S直角三角形+S小正方形=4×ab+c2=c2+2ab, 所以a2+b2+2ab=c2+2ab,即a2+b2=c2. 问题2:通过“割”的办法,你能表示出大正方形的面积吗? 教师引导学生用上面的等面积法进行证明,同学独立思考,教师进行巡视,对于有困难的学生给予指导. 证明:因为S大正方形=c2,S小正方形=(a-b)2, 又因为S大正方形=4S直角三角形+S小正方形,所以c2=4×ab+=a2+b2. 问题3:还有其他方法可以证明吗?我们来了解下. 如图,图中的三个三角形都是直角三角形,求证:a2+b2=c2. 证明:因为S梯形=(a+b)(a+b),S梯形=ab+ab+c2, 所以(a+b)(a+b)=ab+ab+c2,即a2+b2=c2. 事实上,勾股定理的证明方法十分丰富,达数百种之多.其中一类方法尤为独特,单靠移动几块图形就直观地证出了勾股定理,被誉为“无字的证明”,如以下两种: 设计意图:由学生操作自主探究,教师引导,运用数形结合的思想,通过等面积的方法来证明勾股定理,体现以“学生为主体,教师为引导者”的课堂理念.通过三种不同的证明方法培养学生的动手操作能力,观察分析问题的能力. 典例精讲 教师提出问题,学生先独立思考,解答.然后再小组交流探讨,教师巡视,如遇到有困难的学生适当点拨,最终教师展示答案. 例　我方侦察员小王在距离公路400 m处侦察,发现一辆敌方汽车在公路上疾驰.他赶紧拿出红外测距仪,测得汽车与他相距400 m,10 s后,汽车与他相距500 m,你能帮小王计算敌方汽车的速度吗? 分析:根据题意,可以画出示意图,如图所示.其中点A表示小王所在位置,点C、点B表示两个时刻敌方汽车的位置,由于小王距离公路400 m,因此∠C是直角,这样就可以由勾股定理来解决这个问题了. 解:由勾股定理,可以得到AB2=BC2+AC2,也就是5002=BC2+4002,所以BC=300 m. 敌方汽车10 s行驶了300 m,那么它1 h行驶的距离为300×6×60=108 000(m). 即它行驶的速度为108 km/h. 设计意图:通过例题的讲解,巩固对勾股定理的理解和掌握,培养学生的应用意识. 拓展应用 观察下图,判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2. 结论1:若钝角三角形中较长边长为c,较短边长为a,b,则a2+b2<c2. 结论2:若锐角三角形中较长边长为c,较短边长为a,b,则a2+b2>c2. 设计意图:给出问题,激发学生思考,并讨论交流.引导学生从数学现象背后发现数学规律,为后面学生独立解题打下一定的基础.学生通过数格子的方法可以得出,如果不是直角三角形,那么它的三边a,b,c不满足a2+b2=c2.通过这个结论,学生将对直角三角形三边之间的关系有进一步认识,并为后续直角三角形的判定打下基础. 巩固训练 1.如图,有两棵树,一棵高10 m,另一棵高4 m,两棵树相距8 m,一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶,小鸟至少飞行(　B　) A.8 m　　　　　B.10 m　　　　　C.12 m　　　　　D.14 m 第1题图　　　第3题图 2.如果梯子的底端离一幢楼5米,那么13米长的梯子可以达到该楼的高度是(　A　) A.12米 B.13米 C.14米 D.15米 3.如图,王大爷准备建一个蔬菜大棚,棚宽8 m,高6 m,长20 m,棚的斜面用塑料薄膜遮盖,不计墙的厚度,阳光透过的最大面积是　200 m2　.  设计意图:通过巩固训练,加强对所学知识的理解,灵活应用勾股定理解决实际问题. 课堂小结 1.本节课我们主要学习了哪些内容? 2.证明勾股定理的方法有哪些? 设计意图:通过梳理本节课所学知识,形成结构化的知识,便于学生理解和记忆,同时培养学生归纳、总结能力. 课堂8分钟. 1.教材第6页随堂练习,习题1.2第1,2,3题. 2.七彩作业. 教学反思   学科网（北京）股份有限公司 $$ 一、单元学习主题 本单元是“图形与几何”领域“图形的性质”主题中的“勾股定理”. 二、单元学习内容分析 1.课标分析 《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下简称《标准2022》)指出初中阶段图形与几何领域包括“图形的性质”“图形的变化”和“图形与坐标”三个主题,“图形的性质”强调通过实验探究、直观发现、推理论证来研究图形,在用几何直观理解几何基本事实的基础上,从基本事实出发推导图形的几何性质和定理.通过信息技术的演示或者代数推理,让学生掌握勾股定理并会验证勾股定理,进而应用勾股定理解决生活中的数学问题.探索勾股定理及其逆定理,并能运用他们解决一些简单的实际问题是课标对勾股定理的直接要求.在前面学生已经掌握了三角形的基本性质,研究了三角形的边满足相等的条件下等腰、等边三角形的相关知识,还研究了当三角形一个角是90°,即直角三角形的相关性质.对于直角三角形三边之间的关系将在本章研究.本章主要内容是勾股定理及其逆定理,勾股定理揭示了直角三角形三边的数量关系,是直角三角形非常重要的性质,它可以用来解决许多直角三角形的计算问题,是解直角三角形的重要工具之一,是搭建代数与几何的重要桥梁.同时本章对于渗透数学文化有着很好的载体,相关素材对于培养学生的民族自豪感,开展学科德育教育有积极的意义和作用. 2.本单元教学内容分析 　　北师大版教材八年级上册第一章“勾股定理”,本章包括三个小节:1.1探索勾股定理;1.2一定是直角三角形吗;1.3勾股定理的应用. 本章内容主要研究勾股定理及其逆定理,包括发现、证明、应用三个环节.首先让学生观察发现两直角边的平方和等于斜边的平方的结论并加以证明,从而得到勾股定理.然后运用勾股定理解决问题,在此基础上引入勾股定理的逆定理.在勾股定理和其逆定理的探索过程中,要引导学生观察、归纳和总结,并将结论运用到问题解决中,注意体会数形结合、转化等数学思想.在实际生活中,有不少问题的解决都涉及直角三角形的三边关系——勾股定理.数学源于生活,又应用于生活,是本章所体现的主要思想.本章的主要内容是勾股定理及其逆定理.勾股定理是初中数学中的一个重要的定理,它揭示了直角三角形中三边之间的数量关系,是数形结合的典范,是直角三角形特有的性质,可以解决许多直角三角形中的计算问题. 本章的重点是勾股定理及其逆定理,难点是勾股定理及其逆定理的应用. 本章主要有如下特点: 1.在呈现方式上,突出实践性与研究性.例如,证明勾股定理,是通过问题引出的. 2.突出学数学、用数学的意识与过程.勾股定理的应用尽量和实际问题联系起来. 3.对实际问题的选取,注意联系学生的实际生活,注意拓展学生的知识面,注意系统训练的科学性,减少操作性习题,增加探索性问题的比重. 本章节勾股定理的背景资料非常丰富,使学生对勾股定理的发展过程有所了解,感受勾股定理丰富的文化内涵,激发学生的学习兴趣.通过介绍我国在勾股定理研究方面取得的成就,激发学生热爱祖国,热爱祖国悠久文化的思想感情,培养学生的民族自豪感. 三、单元学情分析 本单元内容是北师大版数学八年级上册第一章勾股定理,学生已经学过三角形、等腰三角形、全等三角形及简单的多边形对学习勾股定理有很大的帮助,但本章内容思维量大,对思维的严谨、归纳推理能力要求较高,学生学起来有一点的难度. 八年级学生已经具备一定的观察、归纳、猜想和推理的能力.他们在小学已学习了一些几何图形的面积计算方法(包括割补、拼接),但运用面积法和割补思想来解决问题的意识和能力还不够.另外,学生普遍学习积极性较高,课堂活动参与较主动,但合作交流的能力还有待加强. 四、单元学习目标 1.在研究图形性质和运动等过程中,进一步发展空间观念,培养学生几何直观和抽象能力的核心素养. 2.在多种形式的数学活动中,发展合情推理能力,培养学生推理能力、运算能力. 3.经历从不同角度分析问题和解决问题,体验解决问题方法的多样性,发展学生创新意识. 4.探索勾股定理及其逆定理,并能运用它们解决一些简单的实际问题,培养学生的应用意识. 五、单元学习内容及学习方法概览 勾股定理 课时划分 内容本质与研究方法 1.1　探索勾股定理 第1课时　探索勾股定理 运用数形结合的思想,尝试通过测量、数格子等方法探索得到勾股定理 第2课时　勾股定理的验证及其应用 运用从特殊到一般的数学思想,进一步一般化,通过拼图验证勾股定理 1.2　一定是直角三角形吗 通过逆思考,培养学生的逆向思维,发展学生的主动应用意识 1.3　勾股定理的应用 运用化归思想,学生学会把实际问题抽象成数学问题,进一步发展应用意识 六、单元评价与课后作业建议 本单元课后作业整体设计体现以下原则: 针对性原则:每课时课后作业严格按照《标准2022》要求设定针对性的作业,及时反馈学生的学业质量情况. 层次性原则:教师注意将课后作业分层进行,注重知识的层次性和学生的层次性.知识由易到难,由浅入深,循序渐进,突出基础知识、基本技能,渗透人人学习数学,人人有所获.重视过程与方法,发展数学的应用意识和创新意识. 根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业. 学科网（北京）股份有限公司 $$