2.7.1 二次根式-【七彩作业】2024-2025学年八年级数学上册同步教学课件（北师大版）河北专版

八年级上册 数学 北师大版 2024 第二章 实数 2.7 二次根式 第1课时 实数 1.了解二次根式和最简二次根式的概念，能将二次根式(根号下仅限于数)化简为最简二次根式. 2.通过对二次根式的性质的探究，提高数学探究能力和归纳表达能力. 3.经历在具体情境中发现二次根式的过程，体会引入二次根式的必要性. 4.经历观察、比较、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体现发现的快乐，并提高应用的意识. 学习目标 学习重点：了解二次根式和最简二次根式的概念，能将 二次根式化简为最简二次根式. 学习难点：对二次根式的性质的探究. 学习重难点 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记为“ ”. 1.什么叫做平方根? 一般地，如果一个数x的平方等于a，即 x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根. 2.什么叫做算术平方根? 回顾复习 正数和0有算术平方根，负数没有平方根. 3.什么数有算术平方根? 回顾复习 思考 用带根号的式子填空，观察这些结果有什么特点？ (1)如图①的画框为正方形，若面积为8 dm2，则边长为____dm；若面积为S m2， 则边长为_____m． (2)如图②长方形的土地，若宽是长的 ，面积为13 m2，则它的长为_____m． 图① 图② 导入新课 问题1 上面问题中，得到的结果分别是 ， ， ， 这些式子分 别表示什么意义？ 分别表示8，S， 的算术平方根． 问题2 非负数b,m+n ,t2-2的算术平方根怎么表示？ ， ， . 学生活动一 【探究二次根式的定义】 探究新知 问题3 什么样的数才有算术平方根？ 只有非负数才有算术平方根. ①都含有“ ”; ②被开方数都是非负数. 问题4 这些式子有什么共同特征？ 探究新知 一般地，形如 的式子叫做二次根式. a叫做被开方数. 注意：a可以是数，也可以是式. 两个必备特征 外貌特征：含有“ ”. 内在特征：被开方数a ≥0. 1 2 探究新知 1.下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？ 解： (1)(4)(6)均是二次根式，(3)(5)(7)均不是二次根式． 是否含二次根号 被开方数是不是非负数 二次根式 不是二次根式 是 是 否 否 分析： 探究新知 2. (1) 使二次根式 在实数范围内有意义的 m的取值范围是_ ___. 解析：由m-2≥0，得 m≥2. 当m≥2时， 在实数范围内有意义. m≥2 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可. 学生活动二 【探究二次根式的取值】 探究新知 (2) 使式子 在实数范围内有意义的 a 的取值范围是_______. a＞1 解析：由 a-1≥0，得 a≥1. 又∵ 为分母， ∴a-1≠0，即 a≠1. ∴当a＞1时， 在实数范围内有意义. 若二次根式为分母时，应同时考虑分母不为零. 探究新知 (1)形如 的二次根式有意义的条件： (2)二次根式作为分式的分母时，如 有意义 的条件： m≥0. m ＞ 0. 求二次根式中字母的取值范围的依据： 探究新知 (1) 计算下列各式. 你有什么猜想？ 6 6 学生活动三 【探究二次根式的性质】 探究新知 (2)根据上面的猜想，估计下面每组两个式子是否相等，借助计算器 验证一下吧. 6.4807 6.4807 0.9258 0.9258 验证了猜想 探究新知 二次根式的性质 商的算术平方根，等于算术平方根的商. 积的算术平方根，等于算术平方根的积. (a≥0，b≥0) (a≥0，b>0) a，b必须都是非负数！ a必须是非负数，b必须是正数！ 探究新知 解： (1) 例1 化简 ： (1) ； (2) ； (3) . (2) (3) 学生活动四 【应用性质】 探究新知 观察例1的化简结果 ，这些数有什么特点呢？ 特点 被开方数中都不含分母，也不含能开得尽的因数或因式. 学生活动五 【探究最简二次根式】 探究新知 一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的 因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式. 最简二次根式 探究新知 下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？ 解： (1)不是，因为被开方数是小数（即含有分母）. (2)不是，因为被开方数含有分母. (3)是. (4)不是，因为被开方数32y中含有能开得尽方的因数16，16=42. (5)不是，因为分母中有二次根式. 探究新知 解：(1) 例2 化简 ：(1) ； (2) ； (3) . (2) (3) 化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式. 探究新知 你是怎么发现 的被开方数含有开得尽方的因数的？ 你是怎么判断 是最简二次根式的？ 被开方数50是偶数，可写成25×2的形式，25=52是一个完全平方数，是能开得尽方的因数. 中，根号内是整数，且不含有能开得尽方的因数，分母中又不含根号，所以是最简二次根式. 学生活动六 【方法总结】 探究新知 将二次根式化成最简二次根式的方法： 先将被开方数分解成平方因数与其他因数相乘的形式； 再根据二次根式的性质写成两个算术平方根相乘； 把平方因数开方，结果化为最简二次根式. 分子、分母同时乘以一个相同的数； 将分母变成平方形式. 带分数 假分数 小数 分数 探究新知 A. B. C. D. (1)下列各式是最简二次根式的是( ) (2)下列各式正确的是( ) C B A. B. C. D. 1.选择. 当堂训练 (1)使式子 有意义的a的取值范围为_________. 2.填空. 1<a≤4 (2)已知 ，则xy的值为_________. (3)当x= _____时， 有最小值，最小值为_______. -6 6 当堂训练 (3) (2) 3. 化简. (1) 解：(1) (2) (3) 当堂训练 二次根式概念： 二次根式 性质： 一般地，式子 叫做二次根式.a是被开方数. 最简二次根式： (a≥0，b≥0) (a≥0，b>0) 一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式. 课堂小结 1. 课本习题2.9 第1~3题 2.七彩作业 课后作业 $$