1.2 一定是直角三角形吗-【七彩作业】2024-2025学年八年级数学上册同步教学课件（北师大版）河北专版

八年级上册 数学 北师大版 2024 第一章 勾股定理 1.2 一定是直角三角形吗 勾股定理 1．掌握直角三角形的判别条件，掌握常见的勾股数． 2．经历直角三角形的判别条件的探索过程，并能进行简单的应用． 学习目标 学习重点：会通过边长判断一个三角形是否是直角三角形， 准确理解勾股定理逆定理的具体内容 学习难点：探索三角形是否是直角三角形过程及熟练应 用勾股定理逆定理解决生活中的实际问题 学习重难点 ①有一个内角为直角； ②两个锐角互余； ③两条直角边的平方和等于斜边的平方. 直角三角形有哪些性质？ 回顾复习 5 如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形吗？ 问题 我们前面学习的内容是已知直角三角形，利用这些性质解决问题，那如果我们想得到一个直角三角形应如何做呢？ 回顾复习 通过对三个题的练习回顾勾股定理及其简单应用，引出新课. 勾股定理可以解决直角三角形中边之间的数量关系，在生活中也可以利用勾股定理解决和我们生活相关的问题，我们这节课就来探索勾股定理的应用. 板书:3. 勾股定理的应用 6 同学们，你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗? 用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子就得到一个直角三角形，其直角在第4个结处. 导入新课 情境导入 如图：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？ 7 拿出事先准备好的绳子， 上面有13个等距的结，把这根绳子分成等长的12段．如图所示，拉紧绳子，构成一个三角形。 大家可以发现什么？ A C B （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） （13） 利用三边关系构造直角三角形 学生活动一 【一起探究】 探究新知 利用三边关系构造直角三角形 A C B （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） （13） ∠C=90° 探究新知 第（1）个结到第（4）个结是3个单位长度即b＝3；同理a＝4，c=5． 因为32＋42＝52， 即a2＋b2＝c2 是否三角形的三边满足a2＋b2＝c2， 我们就可以得到一个直角三角形呢？ 不妨再找几组数试一试． A C B （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） （13） b a c 探究新知 师生共同活动，找到三角形三边的数量关系. 不妨再找几组数试一试． 10 活动2：下面四组数分别是一个三角形的三边a，b，c的长： （1）5，12，13； （2）7，24，25； （3）8，15，17； （4）5，6，7. 问题1 这四组数都满足a2＋b2＝c2吗? 问题2 分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量， 它们都是直角三角形吗？ 学生活动二 【一起探究】 探究新知 通过让学生亲自动手作三角形，并用量角器量出各个内角，然后小组内交流，从而获得一个三角形是直角三角形时三边满足的条件． 11 Administrator (A) - 由于上面已有学生活动二，所以此处是否可以删去活动2 问题1 （1）52＋122＝169＝132； （2） 72＋242＝625＝252； （3） 82＋152＝289＝172； （4） 52＋62＝61≠72． 是直角三角形 是直角三角形 是直角三角形 不是直角三角形 探究新知 这四组数，前三组满足a2＋b2＝c2，而最后一组不满足． 学生们通过作三角形，测量三角形三个内角发现：前三组数满足a2＋b2＝c2，作出的三角形都是直角三角形；而最后一组数不满足a2＋b2＝c2，作出的三角形不是直角三角形． 12 归纳总结 （1）判定直角三角形的条件： 如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数. （2）常见的勾股数有：①3，4，5；②9，40，41；③8，15，17；④7，24，25；⑤5，12，13；⑥9，12，15. 探究新知 注意：（1）勾股数必须都是正整数；（2）判断一组数是不是勾股数，看较小两个数的平方和是否等于最大数的平方. 13 （3）勾股数有无数组,一组勾股数中，各数的相同整数倍得到一组新的勾股数. 探究新知 常见的勾股数 探究新知 例1 下列几组数能否作为直角三角形的三边长？请说说你的理由． （1）9，12，15； （2）15，36，39； （3）12，35，36； （4）12，18，32． 探究新知 利用边的数量关系判定三角形的基本题 16 解：根据直角三角形的判定条件进行判断． 　　（1）92＋122＝152；（2）152＋362＝392， ∴（1）（2）两组数可以作为直角三角形的三边； 　　 （3）122＋352≠362，（4）122＋182≠322， ∴（3）（4）两组数不能作为直角三角形的三边． 探究新知 例 2 一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量出了这个零件各边的尺寸，那么这个零件符合要求吗？ 3 4 5 12 13 B A C D 探究新知 解： 在△ABD中，AB2+AD2=9+16=25=BD2， ∴ △ABD是直角三角形，∠A是直角． 在△BCD中，BD2+BC2=25+144=169=132=CD2， ∴ △BCD是直角三角形，∠DBC是直角． ∴ 这个零件符合要求． 3 4 5 12 13 B A C D 探究新知 解：在△ABD中，AB2＋AD2＝9＋16＝25＝BD2，所以△ABD是直角三角形，∠A是直角． 在△BCD中，BD2＋BC2＝25＋144＝169＝132＝CD2，所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角． 因此这个零件符合要求． 19 例3 ①7，24，25；②8，15，19；③0.6，0.8，1.0；④3n，4n，5n(n＞1，且为自然数)．上面各组数中，勾股数有（ ）组． A．1 B．2 C．3 D．4 例4 （1）下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（ ） A．a＝1.5，b＝2，c＝3 B．a＝7，b＝24，c＝25 C．a＝6，b ＝8，c＝10 D．a＝3，b＝4，c＝5 B A 探究新知 例3.∵72＋242＝252，且7，24，25都是正整数，∴7，24，25是勾股数． ∵82＋152≠192，∴8，15，19不是勾股数． ∵0.6，0.8，1.0不是正整数，∴0.6，0.8，1.0不是勾股数． ∵(3n)2＋(4n)2＝25n2＝(5n)2(n＞1，且为自然数)，且它们都是正整数，∴3n，4n，5n(n＞1，且为自然数)是勾股数． 20 （2）如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为（ ） A．直角三角形 B． 锐角三角形 C．钝角三角形 D． 以上答案都不对 A 探究新知 B （3）如图，正方形ABCD是由9个边长为1的小正方形组成，每个小正方形的顶点都叫格点，连接AE，AF，则∠EAF=（ ） A．30° B． 45° C． 60° D． 35° 探究新知 随堂练习 1．如图是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，请你帮他看一下，挖的地基是否合格？ 当堂训练 本题是数学问题在生活中的实际应用，所以我们要把实际问题转化成数学问题来解决，运用直角三角形的判定条件，来判断它是否为直角三角形． 23 随堂练习 解：∵AD2＋DC2＝62＋82＝100，AC2＝92＝81， ∴AD2＋DC2≠AC2． ∴△ADC不是直角三角形，∠ADC≠90°． 又∵按标准应为长方形， 四个角应为直角， ∴该农民挖的地基不合格． D C B A 当堂训练 24 D C B A 2．如图，在△ABC中，D为BC边上的点，已知：AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，求DC． 当堂训练 先用三边的数量关系判定形状，然后用勾股定理求数据． 25 解：∵AD2＋BD2＝122＋52＝132＝AB2， ∴由勾股定理的逆定理知△ADB为直角三角形． ∴AD⊥BC． 在Rt△ADC中，由勾股定理，得 DC2＝AC2－AD2＝152－122＝92． ∴DC＝9． D C B A 当堂训练 3．如图，在△ABD中，∠A是直角，AB=3，AD=4，BC=12，DC=13，求四边形ABCD的面积． 当堂训练 解：连接BD， 在△ABD中，∠A是直角，AB=3，AD=4， ∴BD = = =5， △BCD中，BC=12，DC=13，DB=5， 52+122=132，即BC2+BD2=DC2，∴△BCD是直角三角形， ∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC= AD•AB+ BD•BC = ×（ 4×3 +5×12） =36． 当堂训练 谈谈你的收获. 课堂小结 本节课的收获： 1．判定直角三角形的方法：如果一个三角形的 三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形． 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数 2．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数. 课堂小结 30 1.课本习题1.3 第2~4题. 2.七彩作业. 课后作业 $$