1.2 一定是直角三角形吗 正文-【七彩作业】2024-2025学年八年级数学上册同步习题课件（北师大版）河北专版

2024 北师大版 八年级上册 数学 2 第一章　勾股定理 1.2　一定是直角三角形吗 直角三角形的判定 1. 下列各组数中，能作为一个直角三角形的三边长的是(　D　) A. 1，2，3 B. 6，7，8 C. 1，1，1 D. 5，12，13 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1.2　一定是直角三角形吗 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】A. 因为12＋22≠32，所以不能构成直角三角形，故该选项不符 合题意；B. 因为62＋72≠82，所以不能构成直角三角形，故该选项不符 合题意；C. 因为12＋12≠12，所以不能构成直角三角形，故该选项不符 合题意；D. 因为52＋122＝132，所以能构成直角三角形，故该选项符合 题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1.2　一定是直角三角形吗 素养达标 能力突破 基础通关 2. 【教材第10页习题1.3第2题改编】已知一个三角形的三边长分别为 a ， b ， c ，且它们满足( a ＋ b )2－ c2＝2 ab ，则该三角形的形状为 (　B　) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 【解析】因为( a ＋ b )2－ c2＝2 ab ，所以 a2＋2 ab ＋ b2－ c2＝2 ab .所以 a2 ＋ b2＝ c2.所以该三角形为直角三角形. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1.2　一定是直角三角形吗 素养达标 能力突破 基础通关 3. 长度分别为9 cm，12 cm，15 cm，36 cm，39 cm的五根木棍首尾连 接，最多可搭成直角三角形的个数为(　B　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【解析】因为92＝81，122＝144，152＝225，362＝1 296，392＝1 521， 且81＋144＝225，225＋1 296＝1 521，所以92＋122＝152，152＋362＝ 392.所以最多可搭成边长为9 cm，12 cm，15 cm和15 cm，36 cm，39 cm的两个直角三角形. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1.2　一定是直角三角形吗 素养达标 能力突破 基础通关 4. 下列说法中，错误的是(　D　) A. 在△ ABC 中，若∠ B ＝∠ C －∠ A ，则△ ABC 是直角三角形 B. 在△ ABC 中，若 a2＝( b ＋ c )( b － c )，则△ ABC 是直角三角形 C. 在△ ABC 中，若 a ∶ b ∶ c ＝3∶4∶5，则△ ABC 是直角三角形 D. 在△ ABC 中，若∠ A ∶∠ B ∶∠ C ＝3∶4∶5，则△ ABC 是直角三 角形 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1.2　一定是直角三角形吗 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】A. 在△ ABC 中，∠ B ＝∠ C －∠ A ，则∠ C ＝∠ B ＋∠ A ， ∠ C ＝90°，即△ ABC 是直角三角形，该说法是正确的，故该选项不符合题意；B. 在△ ABC 中， a2＝( b ＋ c )( b － c )＝ b2－ c2，即 a2＋ c2＝ b2， 则△ ABC 是直角三角形，该说法是正确的，故该选项不符合题意；C. 在△ ABC 中，若 a ∶ b ∶ c ＝3∶4∶5，设 a ＝3 k ， b ＝4 k ， c ＝5 k ( k ＞ 0)，因为(3 k )2＋(4 k )2＝(5 k )2，所以△ ABC 是直角三角形，该说法是正 确的，故该选项不符合题意；D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1.2　一定是直角三角形吗 素养达标 能力突破 基础通关 在△ ABC 中，若∠ A ∶∠ B ∶∠ C ＝3∶4∶5，设∠ A ，∠ B ，∠ C 的 度数分别为3 x ，4 x ，5 x ，则3 x ＋4 x ＋5 x ＝180°，解得 x ＝15°，则 5 x ＝75°，所以△ ABC 不是直角三角形，该说法是错误的，故该选项 符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1.2　一定是直角三角形吗 素养达标 能力突破 基础通关 5. (2023·邯郸广平县期中)一个三角形的三边长分别是15 cm，20 cm， 25 cm，则这个三角形的面积是(　B　) A. 250 cm2 B. 150 cm2 C. 200 cm2 D. 不能确定 【解析】因为152＋202＝625，252＝625， 所以152＋202＝252.所以此三角形是直角三角形.所以这个三角形的面积 为 ×15×20＝150(cm2). B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1.2　一定是直角三角形吗 素养达标 能力突破 基础通关 6. 如图是一个零件的示意图，测得 AB ＝4 cm， BC ＝3 cm， CD ＝12 cm， AD ＝13 cm.若∠ ABC ＝90°，则∠ ACD ＝ ⁠. 【解析】因为∠ ABC ＝90°， AB ＝4 cm， BC ＝3 cm，所以 AC2＝ AB2 ＋ BC2＝42＋32＝25.所以 AC ＝5 cm.因为 CD ＝12 cm， DA ＝13 cm， AC2＋ CD2＝52＋122＝169＝132＝ DA2，所以△ ACD 为直角三角形.所以 ∠ ACD ＝90°. 90°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1.2　一定是直角三角形吗 素养达标 能力突破 基础通关 7. 如图所示，在△ ABC 中， CD ⊥ AB 于点 D ， AC ＝4， BC ＝3， CD ＝ . (1)求 AD 的长； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解：(1)因为 CD ⊥ AB ， 所以∠ ADC ＝∠ BDC ＝90°. 所以 AD2＝ AC2－ CD2＝42－ ＝ . 所以 AD ＝ . 1.2　一定是直角三角形吗 素养达标 能力突破 基础通关 (2)△ ABC 是直角三角形吗？为什么？ 解：(2)△ ABC 是直角三角形. 理由：由(1)，知 AD ＝ ， 同理可得 BD ＝ ， 所以 AB ＝ AD ＋ BD ＝ ＋ ＝5. 因为32＋42＝52，所以 BC2＋ AC2＝ AB2. 所以△ ABC 是直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1.2　一定是直角三角形吗 素养达标 能力突破 基础通关 勾股数 8. (2023·邢台临西县期末)下列各组数中，属于勾股数的一组是(　D　) A. 0.3，0.4，0.5 B. 3，4，6 C. 6，7，8 D. 7，24，25 【解析】A. 0.3，0.4，0.5都不是正整数，故0.3，0.4，0.5不是勾股数， 故该选项不符合题意；B. 42＋32≠62，故3，4，6不是勾股数，故该选项 不符合题意；C. 62＋72≠82，故6，7，8不是勾股数，故该选项不符合题 意；D. 72＋242＝252，且7，24，25都是正整数，是勾股数，故该选项 符合题意. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1.2　一定是直角三角形吗 素养达标 能力突破 基础通关 9. 观察下列各组勾股数，并寻找规律： ①3，4，5；②6，8，10； ③8，15，17；④10，24，26…… 请根据你发现的规律写出第⑦组勾股数： ⁠. 【解析】通过观察前4组数据的规律，可知每组数据中的第一个数是2( n ＋1)，第二个数是 n ( n ＋2)，第三个数是( n ＋1)2＋1，且 n 为正整数， 所以2×(7＋1)＝16，7×(7＋2)＝63，(7＋1)2＋1＝65.所以第⑦组勾股数 为16，63，65. 16，63，65　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1.2　一定是直角三角形吗 素养达标 能力突破 基础通关 10. (2023·保定竞秀区期中)如图，在5×5的正方形网格中，从格点上的 点 A ， B ， C ， D 中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的个 数为(　C　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1.2　一定是直角三角形吗 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】如图，连接 AC ， AB ， AD ， CD ， BD ， BC . 设小正方形的边长为1，由勾股定理，得 AB2＝12＋22＝5， AC2＝22＋42＝20， AD2＝12＋32＝10， BC2＝52＝25， CD2＝12＋32＝10， BD2＝12＋22＝5，所以 AB2＋ AC2＝ BC2， AD2＋ CD2＝ AC2， BD2＋ AB2＝ AD2.所以△ ABC ， △ ADC ，△ ABD 都是直角三角形，共3个直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1.2　一定是直角三角形吗 素养达标 能力突破 基础通关 11. 下面几组数：①7，8，9；②12，9，15；③ m2＋ n2， m2－ n2，2 mn ( m ， n 均为正整数， m ＞ n )；④ a2， a2＋1， a2＋2.其中能作为直 角三角形的三边长的是(　B　) A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ③④ B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1.2　一定是直角三角形吗 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】因为72＋82＝113≠92，所以不能构成直角三角形，故①不符合 题意；因为122＋92＝225＝152，所以能构成直角三角形，故②符合题 意；因为( m2－ n2)2＋(2 mn )2＝ m4＋ n4＋2 n2 m2＝( m2＋ n2)2，所以能构 成直角三角形，故③符合题意；因为( a2)2＋( a2＋1)2＝2 a4＋2 a2＋1≠( a2 ＋2)2，所以不能构成直角三角形，故④不符合题意.所以能作为直角三 角形的三边长的是②③. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1.2　一定是直角三角形吗 素养达标 能力突破 基础通关 12. 已知整式 A ＝( n2－1)2＋(2 n )2，整式 B ＞0. 尝试 化简整式 A ； 发现 A ＝ B2，求整式 B ； 联想　由上可知， B2＝( n2－1)2＋(2 n )2，当 n ＞1时， n2－1，2 n ， B 为 直角三角形的三边长，如图.填写下表中 B 的值： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1.2　一定是直角三角形吗 素养达标 能力突破 基础通关 直角三角形三边 n2－1 2 n B 勾股数组Ⅰ / 8 ⁠ 勾股数组Ⅱ 35 / ⁠ 17　 37　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1.2　一定是直角三角形吗 素养达标 能力突破 基础通关 解：尝试： A ＝( n2－1)2＋(2 n )2＝ n4－2 n2＋1＋4 n2＝ n4＋2 n2＋1＝( n2 ＋1)2. 发现：因为 A ＝ B2， B ＞0，所以 B ＝ n2＋1. 联想：当2 n ＝8时， n ＝4，所以 B ＝ n2＋1＝42＋1＝17； 当 n2－1＝35时， n2＋1＝37. 故表中由上到下填17，37. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1.2　一定是直角三角形吗 素养达标 能力突破 基础通关 13. 在长方形 ABCD 中， AB ＝8， BC ＝6，点 E ， F 分别是边 AB ， BC 上的点，连接 DE ， DF ， EF . (1)如图1，当 CF ＝2 BE ＝2时，试说明△ DEF 是直角三角形； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1.2　一定是直角三角形吗 素养达标 能力突破 基础通关 解：(1)因为 CF ＝2 BE ＝2， AB ＝8， BC ＝6， 所以 BE ＝1， BF ＝ BC － CF ＝4.所以 AE ＝ AB － BE ＝7.因为四边形 ABCD 是长方形，所以∠ A ＝∠ B ＝∠ C ＝90°， CD ＝ AB ＝8， AD ＝ BC ＝6.在Rt△ ADE 中， DE2＝ AE2＋ AD2＝72＋62＝85.在Rt△ DCF 中， DF2＝ DC2＋ CF2＝82＋22＝68.在Rt△ BEF 中， EF2＝ BE2＋ BF2＝ 12＋42＝17.因为68＋17＝85，所以 DF2＋ EF2＝ DE2.所以△ DEF 是直角 三角形，且∠ DFE ＝90°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1.2　一定是直角三角形吗 素养达标 能力突破 基础通关 (2)如图2，若 E 是边 AB 的中点， DE 平分∠ ADF ，求 BF 的长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解：(2)如图2，作 EH ⊥ DF 于点 H ，则∠ A ＝∠ DHE ＝90°.因为 DE 平分∠ ADF ，所以∠ ADE ＝∠ HDE . 在△ AED 和△ HED 中，因为∠ A ＝∠ DHE ，∠ ADE ＝∠ HDE ， DE ＝ DE ， 所以△ AED ≌△ HED (AAS). 所以 DA ＝ DH ＝6， EA ＝ EH ＝ AB ＝4. 所以 EH ＝ EB ＝4. 1.2　一定是直角三角形吗 素养达标 能力突破 基础通关 在Rt△ EHF 和Rt△ EBF 中，因为 EF ＝ EF ， EH ＝ EB ， 所以Rt△ EHF ≌Rt△ EBF (HL). 所以 BF ＝ HF . 设 BF ＝ x ，则 HF ＝ x ， CF ＝6－ x ， 所以 DF ＝ DH ＋ HF ＝6＋ x . 在Rt△ CDF 中， DC2＋ CF2＝ DF2， 所以82＋(6－ x )2＝(6＋ x )2. 所以 x ＝ ，即 BF ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1.2　一定是直角三角形吗 素养达标 能力突破 基础通关 $$