1.1 第2课时 勾股定理的验证及其应用 正文-【七彩作业】2024-2025学年八年级数学上册同步习题课件（北师大版）河北专版

2024 北师大版 八年级上册 数学 2 第一章　勾股定理 1.1　探索勾股定理 第2课时　勾股定理的验证及其应用 勾股定理的验证 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1. 在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如下图形验证著名 的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简 称为“无字证明”.实际上它也可用于验证数与代数、图形与几何等领 域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是(　C　) A. 统计思想 B. 分类思想 C. 数形结合思想 D. 函数思想 C 第2课时　勾股定理的验证及其应用 素养达标 能力突破 基础通关 2. (2023·承德兴隆县期末)我国是最早了解勾股定理的国家之一.下面四 幅图中，不能证明勾股定理的是(　D　) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第2课时　勾股定理的验证及其应用 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】A. 因为 ab ＋ c2＋ ab ＝ ( a ＋ b )( a ＋ b )，所以 c2＋2 ab ＝ a2 ＋2 ab ＋ b2.所以 a2＋ b2＝ c2，即能证明勾股定理，故此选项不符合题 意；B. 因为4× ab ＋ c2＝( a ＋ b )2，所以 c2＋2 ab ＝ a2＋2 ab ＋ b2.所以 a2＋ b2＝ c2，即能证明勾股定理，故此选项不符合题意；C. 因为4× ab ＋( b － a )2＝ c2，所以2 ab ＋ b2－2 ab ＋ a2＝ c2.所以 a2＋ b2＝ c2，即能 证明勾股定理，故此选项不符合题意；D. 根据图形不能证明勾股定 理，故此选项符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第2课时　勾股定理的验证及其应用 素养达标 能力突破 基础通关 勾股定理的简单应用 3. 一艘轮船以16 n mile/h的速度离开港口向东南方向航行，同时另一艘 轮船在同地以12 n mile/h的速度离开港口向西南方向航行，则1.5 h后两 船相距 n mile. 30　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第2课时　勾股定理的验证及其应用 素养达标 能力突破 基础通关 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 【解析】如图，设港口在点 O 处，1.5 h后两轮船分别行驶到 A ， B 处， 由已知得 OB ＝16×1.5＝24(n mile)， OA ＝12×1.5＝18(n mile). 在△ OAB 中，由题意，知∠ AOB ＝90°，则由勾股定理，得 OB2＋ OA2＝ AB2，即242＋182＝ AB2，解得 AB ＝30 n mile. 所以1.5 h后两船相距30 n mile. 第2课时　勾股定理的验证及其应用 素养达标 能力突破 基础通关 4. 【教材第18页复习题第11题改编】一架长为10 m的梯子斜靠在墙 上，梯子的顶端距地面的垂直高度为8 m，梯子的顶端下滑2 m后，则 底端在水平方向滑动 m. 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第2课时　勾股定理的验证及其应用 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】如图，由题意，可知∠ ACB ＝90°， AB ＝10 m， AC ＝8 m， AE ＝2 m，在Rt△ ABC 中，由勾股定理，得 BC2＝ AB2－ AC2＝62，即 BC ＝6 m.当梯子的顶端从点 A 处下滑到点 E 处时，底端从点 B 处滑到点 D 处， DE ＝ AB ＝10 m， CE ＝ AC － AE ＝8－2＝6(m).在Rt△ CDE 中， CD2＝ DE2－ CE2＝82，即 CD ＝8 m.所以 BD ＝ CD － BC ＝8－6＝ 2(m). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第2课时　勾股定理的验证及其应用 素养达标 能力突破 基础通关 5. 如图是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，四边形 ABCD 和四边形 EFGH 都是正方形.在Rt△ ABF 中，∠ AFB ＝90°， AF ＝ 4， AB ＝5，则四边形 EFGH 的面积是 ⁠. 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 【解析】因为在Rt△ ABF 中，∠ AFB ＝90°， AF ＝4， AB ＝5，所以 BF2＝ AB2－ AF2＝52－42＝9.所以 BF ＝3. 因为△ ABF 与△ DAE 全等，所以 AE ＝ BF ＝3. 所以 EF ＝ AF － AE ＝1.又因为四边形 EFGH 为正方形，所以四边形 EFGH 的面积为1. 第2课时　勾股定理的验证及其应用 素养达标 能力突破 基础通关 6. 如图，星光蔬菜园要修建20个蔬菜大棚，棚高 h ＝5 m，棚宽 a ＝12 m，棚长 d ＝25 m，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米 的塑料薄膜. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解：因为 h ＝5 m， a ＝12 m，∠ C ＝90°， 所以 AB2＝ AC2＋ BC2＝52＋122＝169. 所以 AB ＝13 m. 所以建20个蔬菜大棚需要13×25×20＝6 500(m2)塑料薄膜. 答：需要6 500 m2的塑料薄膜. 第2课时　勾股定理的验证及其应用 素养达标 能力突破 基础通关 7. (2023·廊坊安次区月考)如图，在高为3 m，斜坡长为5 m的楼梯台阶 上铺地毯，则地毯的长度至少为(　C　) A. 5 m B. 6 m C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C. 7 m D. 8 m 【解析】由题意，知△ ABC 为直角三角形，且∠ ACB ＝90°，在Rt△ ABC 中， AC2＝ AB2－ BC2＝16，所以 AC ＝4 m.所以地毯的长度至少为 AC ＋ BC ＝7(m). 第2课时　勾股定理的验证及其应用 素养达标 能力突破 基础通关 8. 如图，将长方形 ABCD 纸片沿直线 BD 折叠，使点 C 落在点C'处， BC'交 AD 于点 E ， AD ＝8， AB ＝4，那么 S△ BED ＝ ⁠. 10　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 【解析】因为 AD ∥ BC ，所以∠ DBC ＝∠ BDA . 由折叠的性质，得∠ C ' BD ＝∠ DBC ，所以∠ C ' BD ＝∠ BDA . 所以 DE ＝ BE . 设 DE ＝ x ，则 BE ＝ x ， AE ＝8－ x .在Rt△ ABE 中，由勾股定理，得 BE2＝ AB2＋ AE2，即 x2＝42＋(8－ x )2.解得 x ＝5.所以 DE ＝5. 所以 S△ BED ＝ DE · AB ＝ ×5×4＝10. 第2课时　勾股定理的验证及其应用 素养达标 能力突破 基础通关 9. 勾股定理是几何中的一个重要定理.在我国古算书《周髀算经》中就 有“若勾三，股四，则弦五”的记载.如图1是由边长相等的小正方形和 直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理.图2是将图1放入 长方形内所得，∠ BAC ＝90°， AB ＝3， AC ＝4，点 D ， E ， F ， G ， H ， I 都在长方形 KLMJ 的边上，则长方形 KLMJ 的面积为 ⁠. 110　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第2课时　勾股定理的验证及其应用 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】如图，延长 AB 交 KF 于点 O ，延长 AC 交 GM 于点 P ，则四边 形 AOLP 是正方形，边长 AO ＝ AB ＋ AC ＝3＋4＝7，所以 KL ＝3＋7＝ 10， LM ＝4＋7＝11，所以矩形 KLMJ 的面积为10×11＝110. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第2课时　勾股定理的验证及其应用 素养达标 能力突破 基础通关 10. △ ADE 和△ ACB 是两直角边为 a ， b ，斜边为 c 的全等的直角三角 形，按如图所示的方式摆放，其中∠ DAB ＝90°，求证： a2＋ b2＝ c2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 证明：如图，连接 DB ，过点 D 作 DF ⊥ BC ，交 BC 的延长线于点 F ，则 DF ＝ EC ＝ b － a . 因为 S四边形 ADCB ＝ S△ ACD ＋ S△ ABC ＝ b2＋ ab ， S四边形 ADCB ＝ S△ ADB ＋ S△ DCB ＝ c2＋ a ( b － a )， 所以 b2＋ ab ＝ c2＋ a ( b － a ). 所以 a2＋ b2＝ c2. 第2课时　勾股定理的验证及其应用 素养达标 能力突破 基础通关 11. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个 “折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几 何？”意思是：一根竹子，原来高一丈(一丈为十尺)，虫伤有病，一阵 风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原 处还有多高的竹子？(　B　) A. 4尺 B. 4.55尺 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 【解析】设竹子折断处离地面 x 尺，则斜边为(10－ x )尺，根据勾股定 理，得 x2＋32＝(10－ x )2，解得 x ＝4.55.故原处还有4.55尺高的竹子. C. 5尺 D. 5.55尺 第2课时　勾股定理的验证及其应用 素养达标 能力突破 基础通关 12. 木工师傅为了让直角尺经久耐用，常常在直角尺的直角 顶点与斜边之间加一根小木条，如图1所示，图2为其示意图.若∠ BAC ＝90°，线段 AB 的长为15 cm，线段 AC 的长为20 cm，试求出小木条 AD 的最短长度. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第2课时　勾股定理的验证及其应用 素养达标 能力突破 基础通关 解：因为∠ BAC ＝90°， 所以△ ABC 是直角三角形. 所以 BC2＝ AC2＋ AB2. 因为 AB ＝15 cm， AC ＝20 cm， 所以 BC ＝25 cm. 要使得小木条 AD 最短，则 AD ⊥ BC ， 所以 S△ ABC ＝ AD · BC ＝ AB · AC . 即 AD ×25＝ ×15×20， 所以 AD ＝12 cm， 即小木条 AD 的最短长度为12 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第2课时　勾股定理的验证及其应用 素养达标 能力突破 基础通关 $$