精品解析：山东省德州市陵城区陵城区第七中学2022-2023学年八年级下学期期末数学模拟试题

2022-2023年陵城区七中八下期末测试模拟卷 一、单选题（本大题共12小题，共48分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 3，4，5 B. 6，8，10 C. 1.5，2，3 D. 5，12，13 2. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 3. 甲、乙、丙、丁四人将进行射击测试，已知每人平时10次射击成绩的平均数都是8.8环，方差分别是，，，，则射击成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 4. 关于一次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象经过第二象限 C. 图象与轴交于点 D. 函数值随的增大而增大 5. 下列说法： ①三角形的三条高一定都在三角形内 ②有一个角是直角的四边形是矩形 ③有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ④两边及一角对应相等的两个三角形全等 ⑤一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 一组数据﹣3，﹣3，﹣2，3，1的中位数是（ ） A. ﹣3 B. ﹣2 C. 1 D. 3 7. 如图，在中，，平分交于点，交于点，若，则的度数为（　　） A. 48° B. 42° C. 37° D. 32° 8. 矩形的两条对角线的夹角为60度，对角线长为15，则矩形的较短边长为（ ） A. 12 B. 10 C. D. 5 9. 为满足人民对美好生活的向往，造福子孙后代，环保部门要求相关企业加强污水治理能力，污水排放未达标的企业要限期整改．甲、乙两个企业的污水排放量W与时间t的关系如图所示，我们用表示t时刻某企业的污水排放量，用的大小评价在至这段时间内某企业污水治理能力的强弱．已知甲、乙两企业在整改期间排放的污水排放量与时间的关系如下图所示． 给出下列四个结论： ①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ②在时刻，乙企业的污水排放量高； ③在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都已达标； ④在，，这三段时间中，甲企业在的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③ 10. 如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线BD=8．点P、点Q分别是AB、BD上动点，则AQ+PQ的最小值为（ ） A. B. C. 5 D. 11. 已知直线，将直线向下平移a（a>0）个单位，得到直线，设直线与直线y＝x的交点为P，若，则a的值为（ ） A. 2 B. C. D. 6 12. 如图，把含有30°角的直角三角尺PMN放置在正方形ABCD中，∠PMN=30°，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在边AD和BC上，MN与BD交于点O．若O是MN的中点，则∠ONC的度数是（ ） A. 95° B. 100° C. 105° D. 110° 二、填空题 （本大题共6小题，共24分） 13. 当二次根式的值最小时，=______． 14. 如图，在中，，，BD平分，则的度数为______． 15. 若一组数据4，x，5，7，9的平均数为6，则这组数据的中位数为________． 16. 如图，直线与直线相交于点，则不等式的解集为___________． 17. 如图，长方体的长、宽、高分别是6，3，5，现一只蚂蚁从A点爬行到B点，设爬行的最短路线长为a，则a的值是_______． 18. 如图1，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿方向匀速运动至点A停止，已知点P的运动速度为，设点P的运动时间为，的面积为，若关于的图像如图2所示，则长方形ABCD的面积为______． 三、解答题（本大题共78分） 19. （1）计算： （2）已知，求的值． 20. 课堂上同学们正在讨论课本例题：如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，的距离为，若梯子顶端下滑的距离为，则点向外移动的距离为多少？ 同学甲：本题可以这样来做 解：在中，，，根据勾股定理得： ，则________， 又在中，，根据勾股定理得： ________，则________． 同学乙．我发现在本题答案中，梯子顶端下滑的距离比末端向外移动的距离小，说明在梯子下滑时，梯子顶端下滑的距离一定比末端向外移动的距离小． 同学丙：不一定，我能举个反例，比如，当梯子顶端下滑的距离为时， 在中，，，根据勾股定理得：________，则 ， 又在中，，根据勾股定理得： ________，则________．即：， 老师．通过上面的讨论，同学们发现有时大，有时大，那么有没有可能正好的情况存在呢？ 同学丁：有．当梯子顶端从处下滑时，末端向外也移动．你认为他的说法正确吗？说明理由． 21. 为进一步宣传防震减灾科普知识，增强学生应急避险和自救互救能力，某校组织七、八年级各200名学生进行“防震减灾知识测试”（满分100分）．现分别在七，八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩x（单位：分）进行统计、整理如下： 七年级：86，90，79，84，74，93，76，81，90，87． 八年级：85，76，90，81，84，92，81，84，83，84． 七、八年级测试成绩频数统计表 七年级 3 4 3 八年级 1 7 a 七、八年级测试成绩分析统计表 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 b 90 36.4 八年级 84 84 c 18.4 根据以上信息，解答下列问题： （1）a=______，b=______，c=______； （2）规定分数不低于85分记为“优秀”，估计这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生人数； （3）你认为哪个年级的学生掌握防震减灾科普知识的总体水平较好？请说明理由． 22. 如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转，使点E落在BD上，得到矩形AEFG，EF与AD相交于点H，连接AF． （1）求证：BD∥AF； （2）若AB＝1，BC＝2，求AH的长． 23. 某快递公司准备购买机器人来代替人工分拣．已知购买1台甲型机器人比购买1台乙型机器人多2万元；购买2台甲型机器人和3台乙型机器人共需24万元． （1）求甲、乙两种型号的机器人每台的价格分别为多少万元？ （2）已知甲、乙两种型号的机器人每台每小时分拣快递分别为1200件和1000件，该公司计划最多用39万元购买8台这两种型号的机器人，通过计算说明该公司如何购买，才能使得每小时的分拣量最大？ 24. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD=2AD，点E在线段OC上，且OE=CE． （1）求证：； （2）若，分别是，的中点， ①求证：△是等腰三角形； ②当时，时，求平行四边形的面积． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y=kx+b交y轴于点A（0，1），交x轴于点B（3，0）.平行于y轴的直线x=1交AB于点D，交x轴于点E，点P是直线x=1上一动点，且在点D的上方，设P（1，n）. （1）求直线AB的表达式； （2）求△ABP的面积（用含n的代数式表示）； （3）当S△ABP=2时，以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC，直接写出点C的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022-2023年陵城区七中八下期末测试模拟卷 一、单选题（本大题共12小题，共48分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 3，4，5 B. 6，8，10 C. 1.5，2，3 D. 5，12，13 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形的勾股定理，分别对选项进行分析，即可得出结果． 【详解】解：选项A：，故可以构成直角三角形； 选项B：，故可以构成直角三角形； 选项C：，故不能构成直角三角形； 选项D：，故可以构成直角三角形． 故选：C 【点睛】本题考查了利用勾股定理的逆定理判定直角三角形，解本题的关键在熟练掌握勾股定理． 2. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键． 3. 甲、乙、丙、丁四人将进行射击测试，已知每人平时10次射击成绩的平均数都是8.8环，方差分别是，，，，则射击成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】由平均数和方差对成绩结果的影响比较即可 【详解】∵甲乙丙丁四人平均数相等， ∴甲射击成绩最稳定 故选：A． 【点睛】本题考查了方差的作用．方差能够反映所有数据的信息，因而在刻画数据波动情况时比极差更准确．方差越大，数据波动越大；方差越小，数据波动越小，越稳定．只有当两组数据的平均数相等或接近时，才能用方差比较它们波动的大小． 4. 关于一次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象经过第二象限 C. 图象与轴交于点 D. 函数值随的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据一次函数的图象和性质作答即可． 【详解】一次函数图象经过第一、三、四象限，与轴交于点，函数值随的增大而增大，故BC错误，D正确， 当时，，故A错误， 故选D． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 5. 下列说法： ①三角形的三条高一定都在三角形内 ②有一个角是直角的四边形是矩形 ③有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ④两边及一角对应相等的两个三角形全等 ⑤一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【详解】解：①错误，理由：钝角三角形有两条高在三角形外． ②错误，理由：有一个角是直角的四边形是矩形不一定是矩形，有三个角是直角的四边形是矩形． ③正确，有一组邻边相等的平行四边形是菱形． ④错误，理由两边及一角对应相等的两个三角形不一定全等． ⑤错误，理由：一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形有可能是等腰梯形． 正确的只有③， 故选A． 6. 一组数据﹣3，﹣3，﹣2，3，1的中位数是（ ） A. ﹣3 B. ﹣2 C. 1 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据中位数的定义直接解答即可． 【详解】解：把这些数从小到大排列为：-3，-3，-2，1，3，最中间的数是-2， 则中位数是-2； 故选：B． 【点睛】本题考查了中位数，将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数；如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错． 7. 如图，在中，，平分交于点，交于点，若，则的度数为（　　） A. 48° B. 42° C. 37° D. 32° 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据等腰三角形的性质求得∠ACD的度数，然后求得其一半的度数，从而利用平行线的性质求得答案即可． 【详解】解：∵AB=AC，∠BAC=32°， ∴∠B=∠ACB=74°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠BCD=∠ACB=37°， ∵AE∥DC， ∴∠E=∠BCD=37°． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、平行线的性质以及角平分线的定义，解题时注意：等腰三角形的两个底角相等． 8. 矩形的两条对角线的夹角为60度，对角线长为15，则矩形的较短边长为（ ） A. 12 B. 10 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质和两条对角线的夹角为，得到等边三角形，再根据对角线长为15，即可求出矩形较短的边长． 【详解】解：如图所示：矩形，对角线，， ∵四边形是矩形， ∴ (矩形的对角线互相平分且相等)， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵ 所以该矩形较短的一边长为． 故选：C 【点睛】本题主要考查矩形的性质，勾股定理等支知识，掌握矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键． 9. 为满足人民对美好生活的向往，造福子孙后代，环保部门要求相关企业加强污水治理能力，污水排放未达标的企业要限期整改．甲、乙两个企业的污水排放量W与时间t的关系如图所示，我们用表示t时刻某企业的污水排放量，用的大小评价在至这段时间内某企业污水治理能力的强弱．已知甲、乙两企业在整改期间排放的污水排放量与时间的关系如下图所示． 给出下列四个结论： ①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ②在时刻，乙企业的污水排放量高； ③在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都已达标； ④在，，这三段时间中，甲企业在的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③ 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象位置的高低和倾斜程度，逐条判断即可． 【详解】解：①在这段时间内，甲企业的图象比乙企业的图象倾斜角度大，故①正确； ②在时刻，甲企业的污水排放量高，故②错误； ③在时刻，甲、乙两企业的污水排放量在达标量以下，故③正确； ④在，，这三段时间中，甲企业在的图象倾斜角度最大，故④错误． 故答案为：D． 【点睛】本题考查了函数图象的信息，解题关键是准确从图象中获得正确信息，仔细判断． 10. 如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线BD=8．点P、点Q分别是AB、BD上动点，则AQ+PQ的最小值为（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接AC交BD于O，过C作CP⊥AB于P，则此时，AQ+PQ的值最小，且最小值为CP的长度，根据菱形的想知道的AC⊥BD，BO=BD=4，根据勾股定理得到AO==3，求得AC=6，根据菱形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：连接AC交BD于O，过C作CP⊥AB于P， 则此时，AQ+PQ的值最小，且最小值为CP的长度， ∵在菱形ABCD中，AB=5，对角线BD=8， ∴AC⊥BD，BO=BD=4， ∴AO==3， ∴AC=6， ∵S菱形ABCD=AC•BD=AB•CP， ∴CP=， ∴AQ+PQ的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、轴对称-最短路线问题等知识，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最短问题，学会利用面积法求高，属于中考常考题型． 11. 已知直线，将直线向下平移a（a>0）个单位，得到直线，设直线与直线y＝x的交点为P，若，则a的值为（ ） A. 2 B. C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到点P的坐标为（-2，-2），代入平移后的解析式即可求出a． 【详解】解：如图， ∵点P在直线y=x上， ∴OA=PA， ∵， ∴OA=PA=2， ∵直线，将直线向下平移a（a>0）个单位，得到直线的解析式为， ∴点P的坐标为（-2，-2）， 将点P的坐标代入，得4-a=-2，解得a=6， 故选：D． 【点睛】此题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，根据题意得到P的坐标是解题的关键． 12. 如图，把含有30°角的直角三角尺PMN放置在正方形ABCD中，∠PMN=30°，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在边AD和BC上，MN与BD交于点O．若O是MN的中点，则∠ONC的度数是（ ） A. 95° B. 100° C. 105° D. 110° 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OM=OP，从而得出∠AMP=75°，即可求出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADB=45°， 在Rt△PMN中，∠MPN=90°， ∵O为MN的中点， ∴OP=MN=OM， ∵∠PMN=30°， ∴∠MPO=∠PMN=30°， ∴∠AMP=∠MPO+∠ADB=30°+45°=75°， ∴∠AMO=∠AMP+∠PMN=75°+30°=105°， ∵AD∥BC， ∴∠ONC=∠AMO=105°， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，发现OP=OM是解题的关键． 二、填空题 （本大题共6小题，共24分） 13. 当二次根式的值最小时，=______． 【答案】3 【解析】 【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案． 【详解】∵二次根式的值最小， ∴，解得：， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，正确把握定义是解题关键． 14. 如图，在中，，，BD平分，则的度数为______． 【答案】##60度 【解析】 【分析】利用等腰三角形“等边对等角”的性质以及三角形的内角和等于求出的度数，再利用角平分线的定义求出的度数，最后用三角形的内角和等于求出的度数． 【详解】， BD平分 故答案为： 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的定义以及三角形的内角和，熟练掌握相关性质和概念是解决本题的关键． 15. 若一组数据4，x，5，7，9的平均数为6，则这组数据的中位数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平均数和中位数的概念，掌握平均数和中位数的计算方法是解题的关键．根据这组数据的平均数为6可求出的值，进而根据中位数的概念可以求解． 【详解】解： 一组数据4，x，5，7，9的平均数为6， ， 解得， 这组数据为4，5，5，7，9， 这组数据的中位数为． 故答案为：． 16. 如图，直线与直线相交于点，则不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象的交点问题，解答本题的关键是熟练掌握图象在上方的部分对应的函数值大，图象在下方的部分对应的函数值小． 找到图象上直线在直线下方的部分对应的x的值即为不等式的解集． 【详解】解：由图可得，不等式的解集为． 故答案为：． 17. 如图，长方体的长、宽、高分别是6，3，5，现一只蚂蚁从A点爬行到B点，设爬行的最短路线长为a，则a的值是_______． 【答案】10 【解析】 【分析】分别利用不同的路径展开图不一样，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面， 则这个长方形的长和宽分别是8和6， 则所走的最短线段是； 第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是11和3， 所以走的最短线段是； 第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是9和5， 所以走的最短线段是； 三种情况比较而言，第一种情况最短，最短路程， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了勾股定理的拓展应用，平面展开图的最短路径问题，利用分类讨论“化立体为平面”是解决“怎样爬行最近”是解题关键． 18. 如图1，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿方向匀速运动至点A停止，已知点P的运动速度为，设点P的运动时间为，的面积为，若关于的图像如图2所示，则长方形ABCD的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据的面积变化找到P点的速度与长方形的边长之间的关系，当三角形面积不变时，P点位于DC上，由此即可解答． 【详解】由图像结合三角形面积变化，在3s~7s间，三角形面积不变， 则点P点位于DC上， （cm） 从7s后三角形面积开始变化， （cm） 长方形ABCD的面积为：S=68= 故答案为: 【点睛】本题考查了动点问题的函数图像，根据函数图像的变化规律求出矩形边长是关键． 三、解答题（本大题共78分） 19. （1）计算： （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式除法法则计算即可； （2）先算出和的值，再将所求式子变形后整体代入即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2），， ，， ． 【点睛】本题考查二次根式的计算、平方差公式，解题的关键是掌握二次根式运算的相关法则． 20. 课堂上同学们正在讨论课本例题：如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，的距离为，若梯子顶端下滑的距离为，则点向外移动的距离为多少？ 同学甲：本题可以这样来做 解：在中，，，根据勾股定理得： ，则________， 又在中，，根据勾股定理得： ________，则________． 同学乙．我发现在本题答案中，梯子顶端下滑的距离比末端向外移动的距离小，说明在梯子下滑时，梯子顶端下滑的距离一定比末端向外移动的距离小． 同学丙：不一定，我能举个反例，比如，当梯子顶端下滑的距离为时， 在中，，，根据勾股定理得：________，则 ， 又在中，，根据勾股定理得： ________，则________．即：， 老师．通过上面的讨论，同学们发现有时大，有时大，那么有没有可能正好的情况存在呢？ 同学丁：有．当梯子顶端从处下滑时，末端向外也移动．你认为他的说法正确吗？说明理由． 【答案】，，；，，； 同学丁：说法正确，理由如下： 在中，，， 根据勾股定理，得， 则， 又在中，， 根据勾股定理，得， 则，即. 【解析】 【分析】在中，根据勾股定理求出的值，从而得到的值，在中，根据勾股定理求出的值，即可得出的值；再根据同学甲、乙、丁的情况给出的数值分别代入求解即可. 【详解】解：同学甲：在中，，， 根据勾股定理，得， 则， 又在中，， 根据勾股定理，得，则． 故答案为：；；. 同学丙：在中，，， 根据勾股定理，得， 则， 又在中，， 根据勾股定理，得， 则．即. 故答案为：；；. 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键. 21. 为进一步宣传防震减灾科普知识，增强学生应急避险和自救互救能力，某校组织七、八年级各200名学生进行“防震减灾知识测试”（满分100分）．现分别在七，八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩x（单位：分）进行统计、整理如下： 七年级：86，90，79，84，74，93，76，81，90，87． 八年级：85，76，90，81，84，92，81，84，83，84． 七、八年级测试成绩频数统计表 七年级 3 4 3 八年级 1 7 a 七、八年级测试成绩分析统计表 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 b 90 36.4 八年级 84 84 c 18.4 根据以上信息，解答下列问题： （1）a=______，b=______，c=______； （2）规定分数不低于85分记为“优秀”，估计这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生人数； （3）你认为哪个年级的学生掌握防震减灾科普知识的总体水平较好？请说明理由． 【答案】（1）2，85，84 （2）七、八年级测试成绩达到“优秀“的学生人数分别为100人和60人 （3）八年级的学生掌握防震减灾科普知识的总体水平较好；理由见解析 【解析】 【分析】（1）从题目中给出的七，八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩中可直接求出a，c的值，根据中位数定义可求出b； （2）分别求出七、八年级优秀的比例，再乘以总人数即可； （3）两组数据的平均数相同，通过方差的大小直接比较即可． 【小问1详解】 ∵八年级的10名学生中有8名学生成绩低于90分， ∴， 根据众数的定义可知：， 把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：74，76，79，81，84，86，87，90，90，93， 根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为， 故答案为：2，85，84； 【小问2详解】 （2）七年级10名学生的成绩中不低于85分的所占比例为：， 八年级10名学生的成绩中不低于85分的所占比例为：， ∴七年级测试成绩达到“优秀“的学生人数为：（人）， 八年级测试成绩达到“优秀“的学生人数为：（人）， ∴七、八年级测试成绩达到“优秀“的学生人数分别为100人和60人； 【小问3详解】 ∵七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差， ∴ 八年级的学生掌握防震减灾科普知识的总体水平较好． 本题考查中位数、众数、方差的意义和计算方法，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键． 【点睛】本题考查中位数、众数、方差的意义与计算方法，理解各个概念与计算方法时解题关键． 22. 如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转，使点E落在BD上，得到矩形AEFG，EF与AD相交于点H，连接AF． （1）求证：BD∥AF； （2）若AB＝1，BC＝2，求AH的长． 【答案】（1）见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）根据SAS证明得，根据旋转的性质可得，从而得，故可证明结论； （2）证明，设，则，，运用勾股定理可得方程，解方程即可进一步求解． 【小问1详解】 证明：如图， 由旋转可得， 因为矩形AEFG由矩形ABCD旋转而得到， ， ， // 【小问2详解】 ∵BD//AF ∴∠ ， ∴∠， ∴∠ ∴ 设，则， ∵∠ ∴ 解得： ∴ 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键． 23. 某快递公司准备购买机器人来代替人工分拣．已知购买1台甲型机器人比购买1台乙型机器人多2万元；购买2台甲型机器人和3台乙型机器人共需24万元． （1）求甲、乙两种型号的机器人每台的价格分别为多少万元？ （2）已知甲、乙两种型号的机器人每台每小时分拣快递分别为1200件和1000件，该公司计划最多用39万元购买8台这两种型号的机器人，通过计算说明该公司如何购买，才能使得每小时的分拣量最大？ 【答案】（1）甲型号的机器人每台的价格为6万元，乙型号的机器人每台的价格为4万元；（2）购买甲型号机器人3台，乙型号机器人5台，每小时的分拣量最大． 【解析】 【分析】（1）仔细读题，并理解题意，找出等量关系．找到关键语句：“购买1台甲型机器人比购买1台乙型机器人多2万元；购买2台甲型机器人和3台乙型机器人共需24万元”．即可列出二元一次方程组，解之即可得出结论． （2）仔细读题，并理解题意，找出数量之间的关系．找到关键语句：“最多用39万元购买8台这两种型号的机器人”利用总价＝单价×数量，列出一元一次不等式，解之即可．再利用每天的总分拣量＝每天每台机器的分拣量×购买数量，可分别求出总分拣量，比较后即可得出结论． 【详解】解：（1）设甲型号的机器人每台的价格为x万元，乙型号的机器人每台的价格为y万元， 依题意得：，解得：， 答：甲型号的机器人每台的价格为6万元，乙型号的机器人每台的价格为4万元． （2）设购买甲型号机器人m台，则购买乙型号机器人（8﹣m）台， 依题意得：， 解得：， ∵m取正整数， ∴m可以为1，2，3． 当m＝1时，8﹣m＝7，每小时的分拣量为1200×1+1000×7＝8200（件）； 当m＝2时，8﹣m＝6，每小时的分拣量为1200×2+1000×6＝8400（件）； 当m＝3时，8﹣m＝5，每小时的分拣量为1200×3+1000×5＝8600（件）． ∵8200＜8400＜8600， ∴购买甲型号机器人3台，乙型号机器人5台，每小时的分拣量最大． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用．理解题意是解题的基础．找准等量关系和数量之间的关系，正确列出方程组和不等式是解题的关键． 24. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD=2AD，点E在线段OC上，且OE=CE． （1）求证：； （2）若，分别是，的中点， ①求证：△是等腰三角形； ②当时，时，求平行四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，， ， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴由等腰三角形的性质可知， ∴． （2） ①证明：∵△BOC是等腰三角形，E是CO中点， ∴， ∴， ∵G为AB中点， ∴， ∵E、F分别是OC、OD的中点， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． ②120 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质可知，，， ，则，，可得是等腰三角形，由等腰三角形的性质可知，进而结论得证； （2）①由等腰三角形的性质可知，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，由中位线的性质可知，由平行四边形的性质可知，可得，进而结论得证；②证明四边形是平行四边形，则，证明，则是等腰三角形，，设，则，，在中，由勾股定理得，，即，求出满足要求的值，进而可得的值，根据计算求解即可得平行四边形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②解：由题意知，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得，，即， 解得或 （不合题意，舍去）， ∴，， ∴， ∴平行四边形的面积为120． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，中位线，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y=kx+b交y轴于点A（0，1），交x轴于点B（3，0）.平行于y轴的直线x=1交AB于点D，交x轴于点E，点P是直线x=1上一动点，且在点D的上方，设P（1，n）. （1）求直线AB的表达式； （2）求△ABP的面积（用含n的代数式表示）； （3）当S△ABP=2时，以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC，直接写出点C的坐标. 【答案】（1）y＝﹣x+1；（2）n﹣1；(3) （3，4）或（5，2）或（3，2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求直线AB的解析式； （2）根据铅直高度与水平宽度的积可得三角形的面积； （3）先计算当S△ABP＝2时，P的坐标，以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC，分三种情况讨论：分别以三个顶点为直角顶点画三角形，根据图形可得C的坐标． 【详解】（1）设直线AB的解析式是y＝kx+b， 把点A（0，1），点B（3，0）代入得：解得：， ∴直线AB的解析式是：y＝﹣x+1； （2）∵P（1，n）， ∴D（1，），即PD＝n﹣， ∴S△ABP＝PD▪OB＝（n﹣）×3＝n﹣1； （3）当S△ABP＝2时，2＝n﹣1，解得n＝2， ∴点P（1，2）． ∵E（1，0）， ∴PE＝BE＝2， ∴∠EPB＝∠EBP＝45° ①如图1，∠CPB＝90°，BP＝PC， 过点C作CN⊥直线x＝1于点N． ∵∠CPB＝90°，∠EPB＝45°， ∴∠NPC＝∠EPB＝45°． 又∵∠CNP＝∠PEB＝90°，BP＝PC， ∴△CNP≌△BEP， ∴PN＝NC＝EB＝PE＝2， ∴NE＝NP+PE＝2+2＝4， ∴C（3，4）． ②如图2，∠PBC＝90°，BP＝BC， 过点C作CF⊥x轴于点F． ∵∠PBC＝90°，∠EBP＝45°， ∴∠CBF＝∠PBE＝45°． 又∵∠CFB＝∠PEB＝90°，BC＝BP， ∴△CBF≌△PBE． ∴BF＝CF＝PE＝EB＝2， ∴OF＝OB+BF＝3+2＝5， ∴C（5，2）． ③如图3，∠PCB＝90°， ∴∠CPB＝∠EBP＝45°， ∠CPB＝∠EBP，BP＝BP，∠PCB＝∠PEB＝90° ∴△PCB≌△BEP， ∴PC＝CB＝PE＝EB＝2， ∴C（3，2）． ∴以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC， 综上所述点C的坐标是（3，4）或（5，2）或（3，2）． 【点睛】本题是待定系数法求函数的解析式、一次函数图象上点的坐标特征，以及三角形的面积的综合应用，求得直线的解析式是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $