第二章二次函数与一元二次方程、不等式复习讲义-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2024-2025学年高一数学上学期同步复习讲义 第5讲 二次函数与一元二次方程、不等式（课上讲） 教学目标 1．了解一元二次不等式、二次函数、一元二次方程间的联系并掌握一元二次不等式的解法； 2．经历自主探究的过程，提高计算能力，分析和解决问题的能力，渗透数形结合，转化的思想； 3．体验数学学科的特点，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。 教学重难点 重点：三个“二次”之间的关系、一元二次不等式的解法及步骤； 难点：含参不等式的求解、高次（分式）不等式的求解、穿针引线法的应用。 教学内容 二次函数与一元二次方程、不等式 知识点一：二次函数与一元二次方程、不等式 1、“三个二次（二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）”的关系 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c（a>0）的图象 ax2＋bx＋c＝0（a>0）的根 有两相异实根 x1，x2（x1<x2） 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0（a>0）的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0（a>0）的解集 {x|x1<x<x2} 2、一元二次不等式的解法 （1）将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c>0（a>0）或ax2＋bx＋c<0（a>0）； （2）计算相应的判别式； （3）当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根； （4）利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集； 知识点二：简单分式不等式的解法 ①>0与（x＋1）（x＋3）>0等价吗？ ②≤0与（2x－1）（x＋2）≤0等价吗？ 定义：分母中含有未知数，且分子、分母都是关于x的多项式的不等式称为分式不等式. 解法：等价转化法解分式不等式 已知f（x）与g（x）是关于x的多项式，不等式，，，称为分式不等式．前面介绍过的符号法则可以进行推广，进而可以研究分式不等式．将分式不等式进行同解变形，利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式（组）即可求解．具体如下： ，即或，即； ，即或，即； ，即，即或； ，即，即或． 知识点三：绝对值不等式 1、a>0时，①；②或x>a 2、解含有绝对值不等式关键是如何去绝对值符号． 对于形如和的不等式，可利用绝对值的含义去绝对值符号得 或；． 知识点四：一元二次不等式恒成立问题 一般地，“不等式f（x）>0在区间[a，b]上恒成立”的几何意义是函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象全部在x轴上方．区间[a，b]是不等式f（x）>0的解集的子集． 恒成立的不等式问题通常转化为求最值问题，即： k≥f（x）恒成立⇔k≥f（x）max k≤f（x）恒成立⇔k≤f（x）min 知识点五：高次不等式的解法：穿根法（选） 步骤： ①将不等式化为形式，并将各因式x的系数化“+”； ②求方程各根，并在数轴上表示出来（从小根到大根按从左至右方向表示）； ③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点； ④若不等式（x的系数化“+”后）是“>0”，则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“<0”，则找“线”在x轴下方的区间. 说明：1、注意不等式若带“=”号，点画为实心，解集边界处应有等号；2、奇穿偶不穿。 【课前自我测评】 1．的解集为（       ） A． B．或 C． D． 2．设集合，则（       ） A． B． C． D． 3．不等式的解集为（        ） A．R B． C． D． 4．不等式的解集是（       ） A． B． C．或 D． 5．已知集合，，则（       ） A． B． C． D． 考点一：一元二次不等式（不含参）的求解 【例1-1】解下列不等式． （1）； （2）． 【例1-2】求下列不等式的解. （1） （2） 【变式训练】 1．解下列不等式： （1）； （2） 2．求下列不等式的解集： （1）；（2）；（3）． 3．解下列分不等式： （1）<0； （2）≤1 （3）≥0； （4）<3 4．解下列绝对值不等式： （1）不等式 的解集是_______ （2）不等式的解集为___________ （3）不等式的解集是___________. 5．解下列不等式： （1）； （2）； （3）； （4）. 考点二：一元二次不等式（含参）的求解 角度1：二次项系数不含参数 【例2-1】解下列关于的不等式：； 【变式训练】 1．已知函数， （1）当时，求不等式的解集. （2）求不等式的解集. 2．已知函数． （1）求关于x的不等式的解集； （2）若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围． 3．解关于的不等式. 角度2：二次项系数含参 【例2-2】解下列关于的不等式：（）. 【变式训练】 1．设函数. （1）若，解不等式； （2）若，解关于x的不等式 2．解关于x的不等式 考点三：一元二次不等式与对应函数、方程的关系 【例3】已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 【变式训练】 1．不等式的解集是，则的解集是（       ） A． B． C． D． 2．已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（        ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 3．已知关于x的不等式解集为，则下列说法错误的是（       ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 考点四：不等式恒成立问题 【例4-1】若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（       ） A． B． C． D．或 【例4-2】若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（      ） A． B． C．或 D．或 【变式训练】 1．对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．已知命题“，”是假命题，则m的取值范围是_________. 3．已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是________. a 【题组一：基础过关】 一、单选题 1．不等式的解集是（       ） A． B． C． D． 2．不等式的解集为（       ） A． B． C． D． 3．不等式的解集是（       ） A． B． C．或 D．或 4．已知，“对恒成立”的一个充要条件是（       ） A． B． C． D． 5．已知不等式的解集是，则实数a等于（       ） A． B． C．5 D．10 6．若不等式恒成立，则实数a的取值范围为 （       ） A． B． C． D．或 7．已知函数的图象都在轴的上方，求实数的取值范围（       ） A． B． C． D． 8．如果关于的不等式的解集是，则不等式的解集是（       ） A． B． C． D． 二、多选题 9．恒成立，a的值可以为（       ） A． B． C． D．4 10．已知关于x的不等式的解集为，则（       ） A． B． C． D．不等式的解集为 三、填空题 11．已知二次函数图象如图所示.则不等式的解集为_________. 12．若关于的不等式有解，则实数a的取值范围是____________． 四、解答题 13．已知不等式． （1）若不等式的解集是或，求的值； （2）若不等式的解集是，求的取值范围． 14．解关于的不等式：. 【题组二：拓展题】 1．已知关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（       ） A． B． C． D． 2．关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围是（      ） A． B．或 C． D．或 3．已知不等式的解集是，则不等式 的解集是________. 4．若不等式的解为，则实数a的取值范围是_____． 一、“三个二次（二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）”的关系 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c（a>0）的图象 ax2＋bx＋c＝0（a>0）的根 ax2＋bx＋c>0（a>0）的解集 ax2＋bx＋c<0（a>0）的解集 二、本节课我们学习了一元二次不等式的哪些内容，注意事项是什么？ 三、本节课我需要努力的地方是？ 4 $$ 2024-2025学年高一数学上学期同步复习讲义 第5讲 二次函数与一元二次方程、不等式（课上讲） 教学目标 1．了解一元二次不等式、二次函数、一元二次方程间的联系并掌握一元二次不等式的解法； 2．经历自主探究的过程，提高计算能力，分析和解决问题的能力，渗透数形结合，转化的思想； 3．体验数学学科的特点，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。 教学重难点 重点：三个“二次”之间的关系、一元二次不等式的解法及步骤； 难点：含参不等式的求解、高次（分式）不等式的求解、穿针引线法的应用。 教学内容 二次函数与一元二次方程、不等式 知识点一：二次函数与一元二次方程、不等式 1、“三个二次（二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）”的关系 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c（a>0）的图象 ax2＋bx＋c＝0（a>0）的根 有两相异实根 x1，x2（x1<x2） 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0（a>0）的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0（a>0）的解集 {x|x1<x<x2} 2、一元二次不等式的解法 （1）将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c>0（a>0）或ax2＋bx＋c<0（a>0）； （2）计算相应的判别式； （3）当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根； （4）利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集； 知识点二：简单分式不等式的解法 ①>0与（x＋1）（x＋3）>0等价吗？ ②≤0与（2x－1）（x＋2）≤0等价吗？ 定义：分母中含有未知数，且分子、分母都是关于x的多项式的不等式称为分式不等式. 解法：等价转化法解分式不等式 已知f（x）与g（x）是关于x的多项式，不等式，，，称为分式不等式．前面介绍过的符号法则可以进行推广，进而可以研究分式不等式．将分式不等式进行同解变形，利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式（组）即可求解．具体如下： ，即或，即； ，即或，即； ，即，即或； ，即，即或． 知识点三：绝对值不等式 1、a>0时，①；②或x>a 2、解含有绝对值不等式关键是如何去绝对值符号． 对于形如和的不等式，可利用绝对值的含义去绝对值符号得 或；． 知识点四：一元二次不等式恒成立问题 一般地，“不等式f（x）>0在区间[a，b]上恒成立”的几何意义是函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象全部在x轴上方．区间[a，b]是不等式f（x）>0的解集的子集． 恒成立的不等式问题通常转化为求最值问题，即： k≥f（x）恒成立⇔k≥f（x）max k≤f（x）恒成立⇔k≤f（x）min 知识点五：高次不等式的解法：穿根法（选） 步骤： ①将不等式化为形式，并将各因式x的系数化“+”； ②求方程各根，并在数轴上表示出来（从小根到大根按从左至右方向表示）； ③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点； ④若不等式（x的系数化“+”后）是“>0”，则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“<0”，则找“线”在x轴下方的区间. 说明：1、注意不等式若带“=”号，点画为实心，解集边界处应有等号；2、奇穿偶不穿。 【课前自我测评】 1．的解集为（       ） A． B．或 C． D． 【答案】B 解：因为时，解得或， 所以的解集为或. 故选：B. 2．设集合，则（       ） A．（ B．（ C． D． 【答案】C 由题意知，集合或，集合或，则. 故选：C. 3．不等式的解集为（        ） A．R B． C． D． 【答案】B 由，得， 得， 所以不等式的解集为. 故选：B 4．不等式的解集是（       ） A． B． C．或 D． 【答案】D 解：原式化为，即，故不等式的解集为. 故选：D 5．已知集合，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 因为，，所以 故选：D. 考点一：一元二次不等式（不含参）的求解 【例1-1】解下列不等式． （1）； （2）． 【答案】（1）（2）或 （1）解：（1）∵，∴，解得， 故原不等式的解集为． （2）∵，∴，解得或， 故原不等式的解集为或． 【例1-2】求下列不等式的解. （1） （2） 【答案】（1）（2） （1）由，得，解得， 所以不等式的解集为 （2）由，得，， 所以，且，解得 所以原不等式的解集为 【变式训练】 1．解下列不等式： （1）； （2） 【答案】（1）{或}（2） （1）解：由得：， 解得：或， 所以不等式的解集为：{或}； （2）解：由，得， 令，可知， 则对应抛物线开口向上， 所以的解集为：. 2．求下列不等式的解集： （1）；（2）；（3）． 【答案】（1）（2）或（3） （1）依题意：，解集为. （2）依题意：或，或，解集为或. （3）依题意：，，，，解集为. 3．解下列分不等式： （1）<0； （2）≤1 （3）≥0； （4）<3 【解答】（1）<0⇔（x－3）（x＋2）<0⇔－2<x<3，∴原不等式的解集为{x|－2<x<3}． （2）∵≤1，∴－1≤0，∴≤0，即≥0. 此不等式等价于（x－4）≥0且x－≠0，解得x<或x≥4， ∴原不等式的解集为 （3）根据商的符号法则，不等式≥0可转化成不等式组 解这个不等式组，可得x≤－1或x>3.即知原不等式的解集为{x|x≤－1或x>3}． （4）不等式<3可改写为－3<0， 即<0.可将这个不等式转化成2（x－1）（x＋1）<0，解得－1<x<1.所以，原不等式的解集为{x|－1<x<1} 4．解下列绝对值不等式： （1）不等式 的解集是_______ 【答案】 ，解得． （2）不等式的解集为___________ 【答案】 由，得，解得， 所以不等式的解集为， 故答案为： （3）不等式的解集是___________. 【答案】或 由不等式， 首先去绝对值可得到，或； 解之得：或． 5．解下列不等式： （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）. （1），可得， ∴不等式解集为. （2）原不等式等价于， ∴，可得. ∴不等式解集为. （3），可得， ∴不等式解集为. （4）原不等式等价于，即，显然无解， ∴不等式的解集为. 考点二：一元二次不等式（含参）的求解 角度1：二次项系数不含参数 【例2-1】解下列关于的不等式：； （不等式可化为. ①当时，，解集为，或； ②当时，，解集为； ③当时，，解集为，或. 综上所述， 当时，原不等式的解集为，或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为，或. 【变式训练】 1．已知函数， （1）当时，求不等式的解集. （2）求不等式的解集. 【答案】（1）（2）答案见解析 （1）当时，， 解得为，所以解集为 （2）由可得， ①当，即时，不等式解集为； ②当，即时，不等式可化为，此时解集为； ③当，即时，不等式解集为 综上所述，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 2．已知函数． （1）求关于x的不等式的解集； （2）若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）答案见解析（2） （1）解：由已知易得即为：， 令可得与， 所以，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； （2）解：由可得， 由，得， 所以可得， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 所以的取值范围是. 3．解关于的不等式. 原不等式可化为，即， ①当，即时，； ②当，即时，原不等式的解集为； ③当，即时，. 综上知：当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时原不等式的解集为. 角度2：二次项系数含参 【例2-2】解下列关于的不等式：（）. 【答案】当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 当时，原不等式，解的； 当时，原不等式，又 所以解集为； 当时，因为 所以解集为. 综上有，时，解集为； 时，解集为； 时，解集为. 【变式训练】 1．设函数. （1）若，解不等式； （2）若，解关于x的不等式 【答案】（1）或；（2）详见解析. （1）当时，由，解得或， 故当时，不等式的解集为或. （2）由可得， 当时，方程的两根分别为，. 当时，，解原不等式可得； 当时，原不等式即为，该不等式的解集为； 当时，，解原不等式可得. 综上所述，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为. 2．解关于x的不等式 解：关于x的不等式 可化为 （1）当时，，解得． （2）当，所以 所以方程的两根为-1和， 当，即时，不等式的解集为或}， 当，即时，不等式的解集为． 当，即时，不等式的解集为或}，． （3）当时， 因为方程的两根为—1和， 又因为，所以． 即不等式的解集是， 综上所述：当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为或 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为或}， 考点三：一元二次不等式与对应函数、方程的关系 【例3】已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 由题意知：且，得， 从而可化为，等价于，解得或. 故选：A. 【变式训练】 1．不等式的解集是，则的解集是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 解：因为不等式的解集是， 所以方程的两根为， 所以由韦达定理得，，即， 所以，解不等式得解集为 故选：C 2．已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（        ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 【答案】B 解：因为关于的不等式的解集为或，所以，所以选项A错误； 由题得，所以为.所以选项B正确； 设，则，所以选项C错误； 不等式为，所以选项D错误. 故选：B 3．已知关于x的不等式解集为，则下列说法错误的是（       ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 【答案】D 由已知可得－2，3是方程的两根， 则由根与系数的关系可得且，解得，所以A正确； 对于B，化简为，解得，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，化简为：，解得，D错误． 故选：D. 考点四：不等式恒成立问题 【例4-1】若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（       ） A． B． C． D．或 【答案】B 当时，不等式成立；当时，不等式恒成立， 等价于． 综上，实数的取值范围为． 故选：B． 【例4-2】若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（      ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 当时显然恒成立， 当时要使命题为真，则： 可得；而时不可能恒成立， 综上，k的取值范围是. 故选：B 【变式训练】 1．对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 当时，不等式为恒成立，故满足要求； 当时，要满足： ，解得：， 综上：实数的取值范围是. 故选：D 2．已知命题“，”是假命题，则m的取值范围是_________. 【答案】 由题意可知命题“，”是真命题，即，.因为，所以，则. 故答案为：. 3．已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是________. 【答案】 由题意得，“，”是真命题， 则对恒成立， 在区间上，的最小值为， 所以， 即a的取值范围是. 故答案为： 【题组一：基础过关】 一、单选题 1．不等式的解集是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 或，的图象是开口向上的抛物线， 所以不等式的解集是． 故选：B． 2．不等式的解集为（       ） A． B． C． D． 【答案】B ，， 解得或， 所以不等式的解集为. 故选：B 3．不等式的解集是（       ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 不等式可化为，即，解这个不等式，得，所以该不等式的解集是． 故选：A． 4．已知，“对恒成立”的一个充要条件是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 当时，，对恒成立； 当时，若，对恒成立， 则必须有，解之得， 综上，的取值范围为. 故“对恒成立”的一个充要条件是， 故选：B 5．已知不等式的解集是，则实数a等于（       ） A． B． C．5 D．10 【答案】A 由题设，有，可得. 故选：A. 6．若不等式恒成立，则实数a的取值范围为 （       ） A． B． C． D．或 【答案】B 当时，恒成立； 当时，则，解得， 综上所述，实数a的取值范围为[0，4）. 故选：B 7．已知函数的图象都在轴的上方，求实数的取值范围（       ） A． B． C． D． 【答案】A 的图象都在轴上方， ①时，k＝－5或k＝1， k＝－5时，函数为一次函数，不满足条件； k＝1时，y＝3满足条件； 故k＝1； ②k≠－5且k≠1时，函数为二次函数， 则，解得； 综上，. 故选：A. 8．如果关于的不等式的解集是，则不等式的解集是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 因为等价于，而的两根为， 因为不等式解集为，故可得，且，则； 则即，等价于，解得. 故选：B. 二、多选题 9．恒成立，a的值可以为（       ） A． B． C． D．4 【答案】BCD 恒成立， 即恒成立， 所以， 解得， 所以BCD符合，A不符合； 故选：BCD 10．已知关于x的不等式的解集为，则（       ） A． B． C． D．不等式的解集为 【答案】ABD 由题知，方程的两个根为，4，且，故A正确； 由韦达定理知，，解得，，故B正确； ，故C错误； 不等式等价于，即， 解得解集为，故D正确； 故选：ABD 三、填空题 11．已知二次函数图象如图所示.则不等式的解集为_________. 【答案】. 根据二次函数的图象可知，为方程的两根， 故，即， 则即，也即， ，解得或. 故不等式解集为. 故答案为：. 12．若关于的不等式有解，则实数a的取值范围是____________． 【答案】或； 当时，不等式为有解，故，满足题意； 当时，若不等式有解， 则满足，解得或； 当时，此时对应的函数的图象开口向下，此时不等式总是有解， 所以， 综上可得，实数a的取值范围是或；. 四、解答题 13．已知不等式． （1）若不等式的解集是或，求的值； （2）若不等式的解集是，求的取值范围． 【答案】（1）（2） （1）解：由题意可知关于的二次方程的两根分别为、， 所以，，解得． （2）解：若不等式的解集为，即恒成立，则满足 解得． 14．解关于的不等式：. 【答案】答案见解析. 1、当a＋1=0即 a＝-1时，原不等式变为－x＋2<0，即x>2. 2、当a>-1时，原不等式可转化为， ∴方程的根为. 若-1<a<，则>2，解得2<x<； 若a＝，则＝2，解得x∈∅； 若a>，则<2，   解得<x<2. 综上， 当a>时，原不等式的解集为{x|<x<2}； 当a＝时，原不等式的解集为∅； 当-1<a<时，原不等式的解集为{x|2<x<}. 当a＝-1时，原不等式的解集为{x|x>2}. 【题组二：拓展题】 1．已知关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 解：关于x的不等式的解集为， ，， 可化为， ， 关于x的不等式的解集是． 故选：D． 2．关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围是（      ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 解：因为不等式对恒成立， 所以对恒成立， 所以，当时，对恒成立． 当时，由题意，得，即，解得， 综上，的取值范围为． 故选：C 3．已知不等式的解集是，则不等式 的解集是________. 【答案】 依题意，，是方程的两个根，且， 于是得，解得：， 因此，不等式为：，解得， 所以不等式 的解集是. 故答案为： 4．若不等式的解为，则实数a的取值范围是_____． 【答案】或. 由不等式的解为 可知， 即， 解得或. 故答案为：或. 一、“三个二次（二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）”的关系 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c（a>0）的图象 ax2＋bx＋c＝0（a>0）的根 ax2＋bx＋c>0（a>0）的解集 ax2＋bx＋c<0（a>0）的解集 二、本节课我们学习了一元二次不等式的哪些内容，注意事项是什么？ 三、本节课我需要努力的地方是？ 4 $$