2.2基本不等式复习讲义-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2024-2025学年高一数学上学期同步复习讲义 第4讲 基本不等式 教学目标 1．理解并掌握基本不等式的公式，会运用基本不等式求最值； 2．经历自主探究的过程，提高计算能力，分析和解决问题的能力，渗透数形结合，转化的思想； 3．体验数学学科的特点，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。 教学重难点 重点：基本不等式≤； 难点：用基本不等式的变式如≥，（a，b∈R＋）证明不等式。 教学内容 基本不等式 1、基本不等式 如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）推论：（，） 【微点拨】基本不等式≥（a>0，b>0） （1）不等式成立的条件：a，b都是正数． （2）“当且仅当”的含义： ①当a＝b时，≥的等号成立， 即a＝b⇒＝； ②仅当a＝b时，≥的等号成立， 即＝⇒a＝b. 2、利用基本不等式求最值的条件（一正、二定、三相等） （1）x，y都是正数 （2）积xy（或和x+y）为定值 （3）x与y必须能够相等（等号能够取到） 3、常用结论 （1）若，则（当且仅当时取“=”） （2）若，则（当且仅当时取“=”） （3）若，则（当且仅当时取“=”） （4）若ab＜0，则 4、基本不等式链 （其中，当且仅当时，取“”号） 【课前自我测评】 1．判断正误． （1）对于任意均成立．（ ） （2）若a，b同号，则．（ ） （3）若，则恒成立．（ ） （4）若，且，则．（ ） 2．设x，y满足，且x，y都是正数，则的最大值是（ ） A．400       B．100       C．40       D．20 3．若实数a，b满足，则ab的最大值为（       ） A．2 B．1 C． D． 4．下列说法正确的为（       ） A． B．函数的最小值为4 C．若则最大值为1 D．已知时，，当且仅当即时，取得最小值8 考点一：和为定值求积的最值 【例1-1】若，都为正实数，，则的最大值是（       ） A． B． C． D． 【例1-2】的最大值为______________ 【变式训练】 1．已知正实数a，b，满足条件2a+b=1，则ab的最大值为（       ） A．4 B．8 C． D． 2．已知正数x、y满足x+=4，则xy的最大值为_______. 3．若，则的最大值是 _______ 4．若，则取最大值时的x的值为______. 考点二：积为定值求和的最值 【例2-1】已知，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【例2-2】已知正实数，满足，则的最小值是___________. 【变式训练】 1．若，则函数的最小值为（       ） A． B． C．4 D．2.5 2．若正数a，b满足，则的最小值为___________. 3．已知正实数a，b满足，则的最小值为______． 4．已知，则函数的最大值为___________. 考点三：常数代换法 【例3-1】若、是两正实数，，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【例3-2】若，其中，则的最小值为______． 【例3-2】已知 为正实数， 且， 则 的最小值为___________． 【变式训练】 1．已知正实数、满足，则的取值可能为（       ） A． B． C． D． 2．若，，且，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 3．已知 x，y＞0，当x+y＝2时，求的最小值（       ） A． B． C． D． 4．若，，且，则的最小值是______． 考点四：消元法 【例4-1】已知，则的最小值是（       ） A．14 B． C．8 D． 【例4-2】已知a＞0，b＞0，且，则的最小值为（  ） A． B．8 C． D．10 【变式训练】 1．已知，，则的最小值为_______． 2．若，且，则的最小值为_________． 考点五：二次与二次（或一次）商式 【例5-1】若，则有（       ） A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2 【例5-2】已知，则的最小值是________． 【变式训练】 1．若 ，则有（       ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 2．若函数在处取最小值，则（       ） A． B．2 C．4 D．6 考点六：基本不等式在实际中的应用 【例6-1】春节期间，车流量较大，可以通过管控车流量，提高行车安全，在某高速公路上的某时间段内车流量（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：万辆/小时）与汽车的平均速度（单位：千米/小时）、平均车长（单位：米）之间满足的函数关系（），已知某种车型的汽车的平均速度为100千米/小时时，车流量为1万辆/小时． （1）求该车型的平均车长； （2）该车型的汽车在该时间段内行驶，当汽车的平均速度为多少时车流量达到最大值？ 【例6-2】为宣传2022年北京冬奥会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为.设直角梯形的高为. （1）当时，求海报纸的面积； （2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？ 【变式训练】 1．某工厂拟建一个平面图形为矩形，且总面积为平方米的三级污水处理池，如图R3－1所示.已知池外墙造价为每米元，中间两条隔墙造价为每米元，池底造价为每平方米元（池壁的厚度忽略不计，且污水处理池无盖）.若使污水处理池的总造价最低，那么污水处理池的长和宽分别为（ ） A．米，米 B．米，米 C．米, 米 D．米，米 2．为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用t（t≥0）万元满足（k为常数）．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分）． （1）将该厂家2019年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数； （2）该厂家2019年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？ 一、单选题 1．函数的最小值为（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．若，且，则的最大值为（       ） A．4 B．2 C． D． 3．函数的最小值为（       ） A．7 B．7 C．6 D．2 4．函数y＝3x2＋的最小值是（       ） A．3－3 B．3 C．6 D．6－3 5．已知，，且，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 6．若，则的最小值为（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．设函数，则函数f（x）（       ） A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值 8．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知，，则下列各式中一定成立的是（       ） A． B． C． D． 故选：ABC． 10．设正实数､满足，则下列结论中正确的是（       ） A． B． C． D． 三、填空题 11．设且，则最小值为___________； 12．已知，且，若不等式恒成立，则实数的最大值是__________. 四、解答题 13．（1）已知，，，求的最小值； （2）已知，求的最大值. 14．已知实数，． （1）若，求的最小值． （2）若，求的最大值与的最小值； 一、本次课我学到了什么？ 二、本次课我需要更努力的地方？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学上学期同步复习讲义 第4讲 基本不等式 教学目标 1．理解并掌握基本不等式的公式，会运用基本不等式求最值； 2．经历自主探究的过程，提高计算能力，分析和解决问题的能力，渗透数形结合，转化的思想； 3．体验数学学科的特点，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。 教学重难点 重点：基本不等式≤； 难点：用基本不等式的变式如≥，（a，b∈R＋）证明不等式。 教学内容 基本不等式 1、基本不等式 如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）推论：（，） 【微点拨】基本不等式≥（a>0，b>0） （1）不等式成立的条件：a，b都是正数． （2）“当且仅当”的含义： ①当a＝b时，≥的等号成立， 即a＝b⇒＝； ②仅当a＝b时，≥的等号成立， 即＝⇒a＝b. 2、利用基本不等式求最值的条件（一正、二定、三相等） （1）x，y都是正数 （2）积xy（或和x+y）为定值 （3）x与y必须能够相等（等号能够取到） 3、常用结论 （1）若，则（当且仅当时取“=”） （2）若，则（当且仅当时取“=”） （3）若，则（当且仅当时取“=”） （4）若ab＜0，则 4、基本不等式链 （其中，当且仅当时，取“”号） 【课前自我测评】 1．判断正误． （1）对于任意均成立．（ ） （2）若a，b同号，则．（ ） （3）若，则恒成立．（ ） （4）若，且，则．（ ） 【答案】     错误     正确     错误     正确 （1）当，时，式子中的无意义，故该结论错误． （2）∵，同号， ∴ ∴，故该结论正确． （3）当，时，明显不成立，故该结论错误． （4）∵ ∴时，，则成立， 故该结论正确． 2．设x，y满足，且x，y都是正数，则的最大值是（ ） A．400       B．100       C．40       D．20 【答案】A ∵，当且仅当时，等号成立， ∴的最大值为400 故选：A． 3．若实数a，b满足，则ab的最大值为（       ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D ∵，， ∴，即，当且仅当时等号成立， ∴． 故选：D． 4．下列说法正确的为（       ） A． B．函数的最小值为4 C．若则最大值为1 D．已知时，，当且仅当即时，取得最小值8 【答案】C 对于选项,只有当时，才满足基本不等式的使用条件，则不正确； 对于选项,，令， 即在上单调递增，则最小值为, 则不正确； 对于选项,，则正确； 对于选项,当时，，当且仅当 时，即，等号成立，则不正确.故选：. 考点一：和为定值求积的最值 【例1-1】若，都为正实数，，则的最大值是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 因为，都为正实数，， 所以， 当且仅当，即时，取最大值. 故选：D 【例1-2】的最大值为______________ 【答案】 因为，所以 ， 由均值不等式可得： ， 当且仅当，即时，等号成立， 故答案为：. 【变式训练】 1．已知正实数a，b，满足条件2a+b=1，则ab的最大值为（       ） A．4 B．8 C． D． 【答案】C 因为正实数a，b，满足2a+b=1， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以ab的最大值为. 故选：C 2．已知正数x、y满足x+=4，则xy的最大值为_______. 【答案】8 解：， 当且仅当，即时，取等号， 所以xy的最大值为8. 故答案为：8. 3．若，则的最大值是 _______ 【答案】 ，故，则， 当且仅当即时取“=”， 故答案为：. 4．若，则取最大值时的x的值为______. 【答案】 ，当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 考点二：积为定值求和的最值 【例2-1】已知，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 解：，则，当且仅当即时取等号． 故选：D． 【例2-2】已知正实数，满足，则的最小值是___________. 【答案】4 正实数，满足，则, 当且仅当即时，取得等号， 故答案为：4 【变式训练】 1．若，则函数的最小值为（       ） A． B． C．4 D．2.5 【答案】D 解：因为，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以函数的最小值为， 故选：D. 2．若正数a，b满足，则的最小值为___________. 【答案】 解：因为、且， 所以，当且仅当，即、时取等号； 故答案为： 3．已知正实数a，b满足，则的最小值为______． 【答案】3 由题设，，当且仅当时等号成立. 故答案为：3 4．已知，则函数的最大值为___________. 【答案】 因为，所以，, 当且仅当，即时，等号成立.故当时， 取最大值，即. 故答案为：3. 考点三：常数代换法 【例3-1】若、是两正实数，，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 因为、是两正实数，， 则， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故选：C. 【例3-2】若，其中，则的最小值为______． 【答案】9 因，其中，即有， 则，当且仅当，即取“=”， 所以的最小值为9. 故答案为：9 【例3-2】已知 为正实数， 且， 则 的最小值为___________． 【答案】 由题意 当且仅当即时等号成立， 故答案为： 【变式训练】 1．已知正实数、满足，则的取值可能为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 解：因为正实数、满足， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：D 2．若，，且，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 解：因为，，且， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以，的最小值为. 故选：B 3．已知 x，y＞0，当x+y＝2时，求的最小值（       ） A． B． C． D． 【答案】C 由题，，当且仅当，即，即时取等号 故选：C 4．若，，且，则的最小值是______． 【答案】16 因为，，且， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值是. 故答案为：. 考点四：消元法 【例4-1】已知，则的最小值是（       ） A．14 B． C．8 D． 【答案】A 因为，则， 于是得， 当且仅当，即时取“=”， 所以当时，取最小值14. 故选：A 【例4-2】已知a＞0，b＞0，且，则的最小值为（  ） A． B．8 C． D．10 【答案】D 整理为：，由基本不等式得：，即，解得：或，由于，所以舍去，从而的最小值是10 故选：D 【变式训练】 1．已知，，则的最小值为_______． 【答案】#### ∵，， ∴， 当且仅当,即时取“等号”， ∴的最小值为, 故答案为：. 2．若，且，则的最小值为_________． 【答案】3 因为，所以， ，当且仅当时，等号成立． 故答案为：3． 考点五：二次与二次（或一次）商式 【例5-1】若，则有（       ） A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2 【答案】D ∵，∴， ∴， 当且仅当，即时，等号成立，即有最小值2. 故选：D. 【例5-2】已知，则的最小值是________． 【答案】 当时，，， 当且仅当，即当时，等号成立， 因此，函数的最小值为. 故答案为：. 【变式训练】 1．若 ，则有（       ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 【答案】A 因，则， 于是得，当且仅当，即时取“=”， 所以当时，有最大值. 故选：A 2．若函数在处取最小值，则（       ） A． B．2 C．4 D．6 【答案】C 由题意，，而，当且仅当，即时，等号成立， 所以. 故选：C. 考点六：基本不等式在实际中的应用 【例6-1】春节期间，车流量较大，可以通过管控车流量，提高行车安全，在某高速公路上的某时间段内车流量（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：万辆/小时）与汽车的平均速度（单位：千米/小时）、平均车长（单位：米）之间满足的函数关系（），已知某种车型的汽车的平均速度为100千米/小时时，车流量为1万辆/小时． （1）求该车型的平均车长； （2）该车型的汽车在该时间段内行驶，当汽车的平均速度为多少时车流量达到最大值？ 【答案】（1）5（2）80千米/小时 （1）解：由题意：当时，， ，． 该车型的平均车长为5米． （2）解：由（1）知，函数的表达式为（）． ，． 当且仅当，即时取等号． 故当汽车的平均速度为千米/小时时车流量达到最大值． 【例6-2】为宣传2022年北京冬奥会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为.设直角梯形的高为. （1）当时，求海报纸的面积； （2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？ 【答案】（1） （2）当海报纸宽为，长为，可使用纸量最少． （1）宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为，直角梯形的高为， 则梯形长的底边， 海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为， ，， 故海报面积为． （2）直角梯形的高为，宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为， ， 海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为， 海报宽，海报长， 故， 当且仅当，即， 故当海报纸宽为，长为，可使用纸量最少． 【变式训练】 1．某工厂拟建一个平面图形为矩形，且总面积为平方米的三级污水处理池，如图R3－1所示.已知池外墙造价为每米元，中间两条隔墙造价为每米元，池底造价为每平方米元（池壁的厚度忽略不计，且污水处理池无盖）.若使污水处理池的总造价最低，那么污水处理池的长和宽分别为（ ） A．米，米 B．米，米 C．米, 米 D．米，米 【答案】C 【解析】设污水池的宽为米，则长为米，总造价为，则（元），当且仅当时，即当时，总造价最低，此时，污水池的宽为米，长为米.故选：C. 2．为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用t（t≥0）万元满足（k为常数）．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分）． （1）将该厂家2019年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数； （2）该厂家2019年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？ 【答案】（1）；（2）2019年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大 【解析】（1）由题意有，得 故 ∴ （2）由（1）知： 当且仅当即时，有最大值. 答: 2019年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大. 一、单选题 1．函数的最小值为（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 解：因为，所以，当且仅当，即时取等号； 故选：D 2．若，且，则的最大值为（       ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 解：因为，且，所以，当且仅当时取等号； 故选：A 3．函数的最小值为（       ） A．7 B．7 C．6 D．2 【答案】B ， ， 当且仅当时等号成立. 故选：B 4．函数y＝3x2＋的最小值是（       ） A．3－3 B．3 C．6 D．6－3 【答案】D ， 当且仅当时等号成立. 故选：. 5．已知，，且，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 由题可知，乘“”得，当且仅当时，取等号，则的最小值为. 故选：A 6．若，则的最小值为（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 因为， 所以， （当且仅当且，即时取等号）, 即的最小值为4. 故选：D. 7．设函数，则函数f（x）（       ） A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值 【答案】D ∵x＜0， ∴ ， 当且仅当，即时，等号成立. ∴f（x）max＝﹣21， 故选：D. 8．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 当时，不等式恒成立， 对均成立． 由于， 当且仅当时取等号， 故的最小值等于3， ， 则实数a的取值范围是． 故选：D． 二、多选题 9．已知，，则下列各式中一定成立的是（       ） A． B． C． D． 【答案】ABC 解：对于A，因为，， 所以由基本不等式可得，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B，因为，，所以， 当且仅当即时等号成立，故B正确； 对于C，因为，，所以， 当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D，因为，，所以， 当且仅当时等号成立，故D错误． 故选：ABC． 10．设正实数､满足，则下列结论中正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】ABD 对于A中，由， 可得，当且仅当时，等号成立，所以A正确； 对于B中，由基本不等式得，所以，解得，所以B正确；对于C中，由基本不等式可得， 因为，故，当且仅当时，等号成立，所以C错误； 对于D中，由正实数满足，则， 可得，故，所以D正确. 故选：ABD. 三、填空题 11．设且，则最小值为___________； 【答案】9 . 当且仅当,即取等 故答案为：9 12．已知，且，若不等式恒成立，则实数的最大值是__________. 【答案】9 ，当且仅当a＝b＝时取等号， 不等式恒成立，则m≤9，故m的最大值为9. 故答案为：9. 四、解答题 13．（1）已知，，，求的最小值； （2）已知，求的最大值. 【答案】（1）2；（2）. （1），， 当且仅当时，等号成立 当时，的最小值为 （2），求 当且仅当即时，等号成立 当时，的最大值为 14．已知实数，． （1）若，求的最小值． （2）若，求的最大值与的最小值； 【答案】（1）9（2）2xy最大值为2；最小值为2 （1），，= 当且仅当时等号成立，最小值为9 （2）因为，又因为，所以，解得， 因为，所以，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以2xy最大值为2； 因为，所以，当且仅当时等号成立，所以， 所以最小值为2． 一、本次课我学到了什么？ 二、本次课我需要更努力的地方？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$