6.3.1 角的概念 课件 2024--2025学年人教版七年级数学上册

第6章 几何图形初步 6.3.1 角的概念 -1- 同学们听过这句诗吗？它的含义是什么？ 为什么宝剑磨了会锋利呢？ -1- -1- -1- -1- -1- 这个公共端点是角的顶点， 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角， 我们已经了解了生活中“角”的形象，那么什么样的图形才是角呢？ 这两条射线是角的两条边. -1- 角 重点 例1.下列关于角的说法正确的是( ) A.由两条射线组成的图形叫做角 B.角的边画得越长，角越大 C.在角一边延长线上取一点 D.角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形 未强调“射线有公共端点”. 角的两边是射线，没有延长线. D -1- (1)角通常用三个字母及符号“∠”来表示，如上图中角可以表示为∠AOB或∠BOA，表示顶点的字母O必须放在中间，其他两个字母A，B分别表示角的两边上的点. (2)当顶点处只有一个角时，可用一个大写字母表示角，这个字母应标在顶点上. 如上图的角可以表示为∠O. -1- (3)用一个数字表示一个角，如左图的角可以表示为∠1. (4)用一个字母(希腊字母α、β、γ等)表示一个角，如右图的角可以表示为∠α. 注意：这两种方法必须在图上标注后才能使用，并且只能表示单独的一个角. -1- 如图，能把∠α记作∠O吗？为什么？∠α还可以怎样表示呢？ 不能把∠α记作∠O，因为以O为顶点的角不止一个. ∠α记还可以用∠AOB来表示. -1- 角的表示方法 重点 例2.如图，下列说法正确的是( ) A.∠1与∠AOC表示同一个角 B.∠AOC也可以用∠0表示 C.图中共有三个角:∠AOB，∠AOC和∠BOC D.∠β表示的是∠AOC C -1- 角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. -1- 把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1″. -1- 1周角=____°，1平角=____°，1°=_____′，1′=_____″， 1″=_____′，1′=_____°，1°=_____″，1″=_____°. 把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1″. 360 180 60 60 3600 如：∠α的度数是48度56分37秒，记作：∠α=48°56′37″. -1- 以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制.此外，还有其它度量角的单位制.例如，我们以后将要学到的以弧度为基本度量单位的弧度制，在军事上经常使用的角的密位制等. -1- 除量角器外，工程测量中，还常用经纬仪来测量角的大小. -1- 借助三角尺，我们可以画出30°，45°，60°，90°等特殊角，借助量角器，可以画出任何给定度数(如36°，108°)的角. -1- 角的度量及换算 重点 例3.填空: (1)5400″=______°； (2)25.72°=_____°______′______″； (3)45°12′36″=________°. 解析:(1)5400″==90′，90′==1.5°； (2)0.72°=0.72×60′=43.2′，0.2′=0.2×60″= 12″ (3)36″==0.6′，12.6′==0.21°. 1.5 25 43 12 45.21 -1- 钟面角 难点 例4.(1)求上午10时30分，钟面上时针和分针的夹角； (2)在上午10时30分到11时之间，时针和分针何时成直角? 解:(1)上午10时30分，时针位于数字“10”和“11”正中间，分针位于数字“6”. 因为钟表上每一大格是30°，时针与分针之间共有4.5大格， 所以时针和分针的夹角是4.5×30°= 135°. -1- 钟面角 难点 例4.(1)求上午10时30分，钟面上时针和分针的夹角； (2)在上午10时30分到11时之间，时针和分针何时成直角? (2)时针60min转30°，则每分钟转0.5°；分针60min转360°，则每分钟转6°. 设从上午10时30分开始，再经过xmin(x≤30)，时针和分针成直角，如图. -1- 钟面角 难点 例4.(1)求上午10时30分，钟面上时针和分针的夹角； (2)在上午10时30分到11时之间，时针和分针何时成直角? 则135+0.5x-6x=90， 所以x=8， 即在10时38分，时针和分针成直角. -1- 角的个数的规律探究 难点 例5.观察图形，思考: (1)如图①，在∠AOB内部画1条射线0C，则图中共有多少个不同的角? (2)如图②，在∠AOB内部画2条射线0C，0D，则图中共有多少个不同的角? (3)若在∠AOB内部画3条射线，则共有多少个不同的角?画n条射线呢? -1- 角的个数的规律探究 难点 解法1:(顺序寻找法) (1)图①中以OA为始边，沿逆时针方向寻找另一边，有2个角:∠AOC，∠AOB以OC为始边，沿逆时针方向寻找另--边，有1个角：∠COB，则1+2=3，即共有3个不同的角. (1)如图①，在∠AOB内部画1条射线0C，则图中共有多少个不同的角? -1- (2)如图②，在∠AOB内部画2条射线0C，0D，则图中共有多少个不同的角? 角的个数的规律探究 难点 解法1:(顺序寻找法) (2)在图②中按照(1)中方法数角，以0A为始边的角有3个，以OC为始边的角有2个，以OD为始边的角有1个，则1+2+3=6,，即共有6个不同的角. -1- (3)若在∠AOB内部画3条射线，则共有多少个不同的角?画n条射线呢? 角的个数的规律探究 难点 (3)按照前面的规律，画3条射线时，1+2+3+4=10，共有10个不同的角； 画n条射线时，1+2+3+…+(n+1)=，共有个不同的角. -1- 角的个数的规律探究 难点 解法2:(类推法) (1)在∠AOB内部画1条射线OC，在原来∠AOB的基础上增加了2个以OC为边的角:∠BOC，∠AOC， 所以共有不同的角1+2=3(个). (1)如图①，在∠AOB内部画1条射线0C，则图中共有多少个不同的角? -1- (2)如图②，在∠AOB内部画2条射线0C，0D，则图中共有多少个不同的角? 角的个数的规律探究 难点 解法2:(类推法) (2)在∠AOB内部画2条射线OC，0D，在图①的基础上增加了3个以OD为边的角:∠BOD，∠COD，∠AOD，所以共有不同的角1+2+3=6(个). -1- (3)若在∠AOB内部画3条射线，则共有多少个不同的角?画n条射线呢? 角的个数的规律探究 难点 (3)如图③，在∠AOB内部画3条射线时，会在图②的基础上再增加4个以OE为边的角，所以共有不同的角1+2+3+94=10(个). 以此类推，画n条射线时，共有不同的角1+2+3+…+(n+1)=(个). -1- 正东： 正南： 正西： 正北： 西北方向： 西南方向： 东北方向： 东南方向： 射线 OA 八大方位 射线 OB 射线 OC 射线 OD 射线 OE 射线 OF 射线 OH 射线 OG -1- 射线OA表示的方向是：___________； 射线OB表示的方向是：___________； 射线OC表示的方向是：___________； 射线OD表示的方向是：___________. 北偏东65° 南偏东25° 南偏西80° 北偏西40° -1- 西北方向： 西南方向： 东北方向： 东南方向： 射线 OE 射线 OF 射线 OH 射线 OG (北偏西45°) (南偏西45°) (北偏东45°) (南偏东45°) -1- 1.说出下列各条射线表示的方向: 射线OA:________________; 射线0B:________________; 射线0C:________________; 射线0D:________________. 北偏东30° 南偏东45° 南偏西51°23′ 北偏西55° -1- 2.在图上画出表示下列方向的射线. 南偏东30°： 北偏东70°： 南偏西75°： 西北方向： 射线OA 射线OB 射线OC 射线OD -1- 方位角 重点 例6.如图，指出0A是表示什么方向的一条射线?仿照这条射线画出表示下列方向的射线: (1)射线OB:南偏东25°； (2)射线OC:南偏西60°； (3)射线OD:西北方向. 解:射线0A表示北偏东30°方向. (1)射线OB如图所示. (2)射线OC如图所示. (3)射线0D如图所示. -1- 利用方位角确定位置 重点 例7.元元家有一张某市城区地图(如图①)，上面标有医院、书店、少年宫三地.元元不小心把墨水撒到了地图上，少年宫的具体位置看不清楚了，只知道少年宫在医院的南偏东55°的方向上，在书店的北偏东30°的方向上.根据以上信息，你能帮元元确定出少年宫的位置吗?画图说明. 解:如图②所示，点A为少年宫的位置. -1- 1.角是( ) A.两条直线组成的图形 B.两条射线组成的图形 C.两条线段组成的图形 D.两条有公共端点的射线组成的图形 2.小明用一个10倍放大镜观察纸上10°的角，他看到的角的度数是( ) A.10° B.20° C.100° D.无法确定 3.下列说法正确的是( ) A.平角是一条直线 B.反向延长射线OA就得到一个平角 C.周角是一条射线 D.画一条射线就是一个周角 D A B -1- 37 4.下列四个图中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的是( ) C -1- 38 5.如图，下列说法错E的是( ) A.∠ECA是一个平角 B.∠ADE也可以表示为∠D C.∠BCA也可以表示为∠1 D.∠ABC也可以表示为∠B D -1- 39 6.将0.25°用分表示为( ) A.15′ B.25′ C.30′ D.45′ 7.已知∠α=39°18′，∠β=39.18°，∠γ=39.3°，下面结论正确的是( ) A.∠α＜∠γ＜∠β B.∠γ＞∠a=∠β C.∠a=∠γ＞∠β D.∠γ＜∠a＜∠β 8.填空:(1)15°=______′=_______″； (2)35.54°=______°______′_______″； A C 900 54000 35 32 24 -1- 40 9.若分针指向12，时针这时恰好与分针成60°的角，则此时是( ) A.9时 B.10时 C.4时或8时 D.2时或10时 10.下午3时40分，时针与分针所成的角度为_______. D 130° -1- 11.(1)已知0为直线AB上一点.如图①，画出射线OC，则图中共有____个角(除平角外) ； (2)如图②，画出射线0C，0D，则图中共有____个角( 除平角外)； 2 5 -1- (3)如图③，画出射线0C，OD，0E，则图中共有_____个角(除平角外)； (4)若在直线AB上方画10条以O为端点的射线，则图中共有多少个角(除平角外)? 9 解:设n为射线条数，依据角的个数的规律，可得共有个角，减去1个平角，可得角的个数为 -1. 当n=10时，-1=65， 即共有65个角(除平角外). -1- 12.如图，下列说法中错误的是( ) A.OA的方向是东北方向 B.OB的方向是北偏西30° C.OC的方向是南偏西60° D.OD的方向是南偏东30° B -1- 13.海面上货轮A在客轮B的北偏东68°方向上，则客轮B在货轮A的( )方向上. A.北偏东68° B.南偏西68° C.北偏东22° D.南偏西22° B -1- 14、如图,点O是学校所在位置,A村位于学校南偏东42°方向上,B村位于学校北偏东25°方向上,C村位于学校北偏西65°方向上,在B村和C村之间有一条公路OE(射线)平分∠BOC. (1)求∠AOE的度数. (2)公路OE上的车站D相对于学校0的方位是什么? (以正北、正南方向为基准) -1- 解:如图. (1)因为A村位于学校南偏东42°方向上， 所以∠1=42°. 因为B村位于学校北偏东25°方向上, 所以∠4=25°. 所以∠AOB=180°-∠1-∠4=113°. 因为C村位于学校北偏西65°方向上， 所以∠COM=65°. 所以∠BOC=∠COM+∠4=65°+25°=90°. 因为OE平分∠BOC, 所以∠BOE=∠COE=∠BOC=45°. 所以∠AOE=∠AOB+∠BOE=113°+45°=158°. -1- (2)∠EOM=∠BOE-∠4=45°-25°= 20°, 所以车站D在学校的北偏西20°方向上. (2)公路OE上的车站D相对于学校0的方位是什么?(以正北、正南方向为基准) -1- Lavf57.83.100 Lavf57.83.100 $$