第22章 《二次函数》 单元测试题 2024--2025学年人教版九年级数学上册

初三数学二次函数测试附详细答案 一、选择题：（把正确答案的序号填在下表中，每题3分，共24分） 1．（3分）与抛物线y=﹣x2+3x﹣5的形状大小开口方向相同，只有位置不同的抛物线是（　　） 　 A． B． C． D． y=﹣x2+3x﹣5 　 2．（3分）二次函数y=x2+bx+c的图象上有两点（3，﹣8）和（﹣5，﹣8），则此拋物线的对称轴是（　　） 　 A． 直线x=4 B． 直线x=3 C． 直线x=﹣5 D． 直线x=﹣1 　 3．（3分）抛物线y=x2﹣mx﹣m2+1的图象过原点，则m为（　　） 　 A． 0 B． 1 C． ﹣1 D． ±1 　 4．（3分）把二次函数y=x2﹣2x﹣1的解析式配成顶点式为（　　） 　 A． y=（x﹣1）2 B． y=（x﹣1）2﹣2 C． y=（x+1）2+1 D． y=（x+1）2﹣2 　 5．（3分）直角坐标平面上将二次函数y=﹣2（x﹣1）2﹣2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，则其顶点为（　　） 　 A． （0，0） B． （1，﹣2） C． （0，﹣1） D． （﹣2，1） 　 6．（3分）（2008•长春）二次函数y=kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　） 　 A． k＜3 B． k＜3且k≠0 C． k≤3 D． k≤3且k≠0 　 7．（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则 abc，b2﹣4ac，2a+b，a+b+c这四个式子中，值为正数的有（　　） 　 A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个 　 8．（3分）（2008•长春）已知反比例函数y=的图象如图所示，则二次函数y=2kx2﹣x+k2的图象大致为（　　） 　 A． B． C． D． 　 二、填空题：（每空2分，共50分） 9．（10分）已知抛物线y=x2+4x+3，请回答以下问题： （1）它的开口向　_________　，对称轴是直线　_________　，顶点坐标为　_________　； （2）图象与x轴的交点为　_________　，与y轴的交点为　_________　． 　 10．（6分）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过第二、三、四象限，则a　_________　0，b　_________　0，c　_________　0． 　 11．（4分）抛物线y=6（x+1）2﹣2可由抛物线y=6x2﹣2向　_________　平移　_________　个单位得到． 　 12．（2分）顶点为（﹣2，﹣5）且过点（1，﹣14）的抛物线的解析式为　_________　． 　 13．（2分）对称轴是y轴且过点A（1，3）、点B（﹣2，﹣6）的抛物线的解析式为　_________　． 　 14．（2分）抛物线y=﹣2x2+4x+1在x轴上截得的线段长度是　_________　． 　 15．（2分）抛物线y=x2+（m﹣2）x+（m2﹣4）的顶点在原点，则m=　_________　． 　 16．（2分）已知抛物线y=﹣x2﹣2x+m的顶点在x轴上方，则m　_________　． 　 17．（2分）已知二次函数y=（m﹣1）x2+2mx+3m﹣2，则当m=　_________　时，其最大值为0． 　 18．（4分）二次函数y=ax2+bx+c的值永远为负值的条件是a　_________　0，b2﹣4ac　_________　0． 　 19．（8分）如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于A（﹣1，0）、点B（3，0）和点C（0，﹣3），一次函数的图象与抛物线交于B、C两点． （1）二次函数的解析式为　_________　； （2）当自变量x　_________　时，两函数的函数值都随x增大而增大； （3）当自变量　_________　时，一次函数值大于二次函数值； （4）当自变量x　_________　时，两函数的函数值的积小于0． 　 20．（2分）已知抛物线y=ax2+2x+c与x轴的交点都在原点的右侧，则点M（a，c）在第　_________　象限． 　 21．（4分）已知抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A，与x轴的正半轴交于B、C两点，且BC=2，S△ABC=3，那么b=　_________　． 　 三、解答题：（每题13分，共26分） 22．（13分）某商人如果将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价1元其销售量就要减少10件，问他将售出价（x）定为多少元时，才能使每天所赚的利润（y）最大并求出最大利润． 　 23．（13分）如图，在一块三角形区域ABC中，∠C=90°，边AC=8，BC=6，现要在△ABC内建造一个矩形水池DEFG，如图的设计方案是使DE在AB上． （1）求△ABC中AB边上的高h； （2）设DG=x，当x取何值时，水池DEFG的面积最大？ （3）实际施工时，发现在AB上距B点1.85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为保护大树，请设计出另外的方案，使三角形区域中欲建的最大矩形水池能避开大树． 　 初三数学二次函数测试题 参考答案与试题解析 　 一、选择题：（把正确答案的序号填在下表中，每题3分，共24分） 1．（3分）与抛物线y=﹣x2+3x﹣5的形状大小开口方向相同，只有位置不同的抛物线是（　　） 　 A． B． C． D． y=﹣x2+3x﹣5 考点： 二次函数的性质．版权所有 分析： 二次函数的开口方向是由二次项系数a确定，当a＞0时，开口向上．当a＜0时开口向下．当二次项系数的值相同时，两个函数的形状相同． 解答： 解：因为抛物线y=﹣x2+3x﹣5的二次项系数是﹣， 观察四个选项可知，只有选项B的二次项系数是﹣， 当二次项系数相等时，抛物线的形状大小开口方向相同． 故选B． 点评： 二次函数图象的形状以及开口方向都是有二次函数的二次项系数确定． 　 2．（3分）二次函数y=x2+bx+c的图象上有两点（3，﹣8）和（﹣5，﹣8），则此拋物线的对称轴是（　　） 　 A． 直线x=4 B． 直线x=3 C． 直线x=﹣5 D． 直线x=﹣1 考点： 二次函数的性质．版权所有 分析： 利用二次函数的对称性可求得对称轴． 解答： 解：两点（3，﹣8）和（﹣5，﹣8）关于对称轴对称， 对称轴x==﹣1， 则此拋物线的对称轴是直线x=﹣1．故选D． 点评： 本题考查二次函数的对称性． 　 3．（3分）抛物线y=x2﹣mx﹣m2+1的图象过原点，则m为（　　） 　 A． 0 B． 1 C． ﹣1 D． ±1 考点： 二次函数图象上点的坐标特征．版权所有 分析： 把原点坐标代入抛物线y=x2﹣mx﹣m2+1，即可求出． 解答： 解：根据题意得：﹣m2+1=0， 所以m=±1． 故选D． 点评： 此题考查了点与函数的关系，点在图象上，将点代入函数解析式即可求得． 　 4．（3分）把二次函数y=x2﹣2x﹣1的解析式配成顶点式为（　　） 　 A． y=（x﹣1）2 B． y=（x﹣1）2﹣2 C． y=（x+1）2+1 D． y=（x+1）2﹣2 考点： 二次函数的三种形式．版权所有 分析： 利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式． 解答： 解：y=x2﹣2x﹣1=x2﹣2x+1﹣1﹣1=（x﹣1）2﹣2． 故选B． 点评： 二次函数的解析式有三种形式： （1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）； （2）顶点式：y=a（x﹣h）2+k； （3）交点式（与x轴）：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）． 　 5．（3分）直角坐标平面上将二次函数y=﹣2（x﹣1）2﹣2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，则其顶点为（　　） 　 A． （0，0） B． （1，﹣2） C． （0，﹣1） D． （﹣2，1） 考点： 二次函数图象与几何变换．版权所有 专题： 动点型． 分析： 易得原抛物线顶点，把横坐标减1，纵坐标加1即可得到新的顶点坐标． 解答： 解：由题意得原抛物线的顶点为（1，﹣2）， ∵图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位， ∴新抛物线的顶点为（0，﹣1）． 故选C． 点评： 考查二次函数的平移问题；用到的知识点为：二次函数图象的平移与顶点的平移一致． 　 6．（3分）（2008•长春）二次函数y=kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　） 　 A． k＜3 B． k＜3且k≠0 C． k≤3 D． k≤3且k≠0 考点： 抛物线与x轴的交点．版权所有 分析： 利用kx2﹣6x+3=0有实数根，根据判别式可求出k取值范围． 解答： 解：∵二次函数y=kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点， ∴方程kx2﹣6x+3=0（k≠0）有实数根， 即△=36﹣12k≥0，k≤3，由于是二次函数，故k≠0，则k的取值范围是k≤3且k≠0． 故选D． 点评： 考查二次函数与一元二次方程的关系． 　 7．（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则 abc，b2﹣4ac，2a+b，a+b+c这四个式子中，值为正数的有（　　） 　 A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个 考点： 二次函数图象与系数的关系．版权所有 专题： 开放型． 分析： 根据二次函数的性质，对a、b、c的值进行判断．利用二次函数图象与x轴的交点个数，对判别式b2﹣4ac进行判断，利用对称轴公式对2a+b进行判断，将特殊值代入解析式，对a+b+c进行判断． 解答： 解：（1）abc＞0，理由是， 抛物线开口向上，a＞0， 抛物线交y轴负半轴，c＜0， 又对称轴交x轴的正半轴，＞0，而a＞0，得b＜0， 因此abc＞0； （2）b2﹣4ac＞0，理由是， 抛物线与x轴有两个交点，b2﹣4ac＞0； （3）2a+b＞0，理由是，0＜﹣＜1，a＞0，∴﹣b＜2a，因此2a+b＞0； （4）a+b+c＜0，理由是， 由图象可知，当x=1时，y＜0；而当x=1时，y=a+b+c．即a+b+c＜0． 综上所述，abc，b2﹣4ac，2a+b，a+b+c这四个式子中，值为正数的有3个． 故选B． 点评： 本题考查了二次函数的图象与系数之间的关系，同时结合了不等式的运算，此题是一道结论开放性题目，难度系数比较大． 　 8．（3分）（2008•长春）已知反比例函数y=的图象如图所示，则二次函数y=2kx2﹣x+k2的图象大致为（　　） 　 A． B． C． D． 考点： 二次函数的图象；反比例函数的图象．版权所有 专题： 压轴题． 分析： 本题可先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致． 解答： 解：∵函数y=的图象经过二、四象限，∴k＜0， ∴抛物线开口向下，对称轴x=﹣=＜0， 即对称轴在y轴的左边． 故选D． 点评： 本题将二次函数与反比例函数综合在一起进行考查，增加了题目的研究性，也是中考中的热点题型． 　 二、填空题：（每空2分，共50分） 9．（10分）已知抛物线y=x2+4x+3，请回答以下问题： （1）它的开口向　上　，对称轴是直线　x=﹣2　，顶点坐标为　（﹣2，﹣1）　； （2）图象与x轴的交点为　（﹣1，0）（﹣3，0）　，与y轴的交点为　（0，3）　． 考点： 抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．版权所有 专题： 计算题． 分析： （1）a＞0开口向上，对称轴为x=﹣，顶点坐标（﹣，）； （2）令y=0求得图象与x轴的交点．再令x=0，求得与y轴的交点即可． 解答： 解：（1）∵抛物线y=x2+4x+3， ∴a=1，b=4，c=3， ∵a＞0， ∴开口向上， 对称轴为x=﹣=﹣2， =﹣1； ∴顶点坐标（﹣2，﹣1）； （2）令y=0，得x2+4x+3=0， 解得：x1=﹣1，x2=﹣3， ∴与x轴的交点为（﹣1，0）（﹣3，0） 令x=0，得y=3， 与y轴的交点为（0，3）． 故答案为：上；x=﹣2；（﹣2，﹣1）；（﹣1，0）（﹣3，0）；（0，3）． 点评： 本题考查了抛物线和x轴的交点问题，以及二次函数的性质，是基础知识要熟练掌握． 　 10．（6分）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过第二、三、四象限，则a　＜　0，b　＜　0，c　≤　0． 考点： 二次函数图象与系数的关系．版权所有 专题： 应用题． 分析： 根据题意可知该函数图象的开口向下，对称轴在x的负半轴上，据此可以判定a、b、c的符号． 解答： 解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过第二、三、四象限， ∴该函数图象的开口向下，与y轴交于原点或负半轴，对称轴在x的负半轴上， ∴a＜0，c≤0，x=﹣＜0， ∴＞0， ∴b＜0； 即a＜0，b＜0，c≤0． 故答案为：＜，＜，≤． 点评： 本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，＜根据开口判断a的符号，根据与x轴，y轴的交点判断c的值以及b用a表示出的代数式，难度适中． 　 11．（4分）抛物线y=6（x+1）2﹣2可由抛物线y=6x2﹣2向　左　平移　1　个单位得到． 考点： 二次函数图象与几何变换．版权所有 专题： 动点型． 分析： 易得原抛物线的顶点和新抛物线的顶点，利用点的平移可得抛物线的平移规律． 解答： 解：∵原抛物线的顶点为（﹣1，﹣2），新抛物线的顶点为（0，﹣2）， ∴抛物线y=6（x+1）2﹣2可由抛物线y=6x2﹣2向 左平移1个单位得到． 故答案为：左，1． 点评： 考查二次函数的平移问题；用到的知识点为：二次函数图象的平移，看二次函数顶点的平移即可． 　 12．（2分）顶点为（﹣2，﹣5）且过点（1，﹣14）的抛物线的解析式为　y=﹣x2﹣4x﹣9　． 考点： 待定系数法求二次函数解析式．版权所有 分析： 已知抛物线的顶点坐标，设顶点式y=a（x+2）2﹣5，将点（1，﹣14）代入求a，再化为一般式即可． 解答： 解：设顶点式y=a（x+2）2﹣5， 将点（1，﹣14）代入，得a（1+2）2﹣5=﹣14， 解得a=﹣1， ∴y=﹣（x+2）2﹣5，即y=﹣x2﹣4x﹣9． 点评： 本题考查了待定系数法求抛物线解析式的一般方法，需要根据题目条件，合理地选择解析式． 　 13．（2分）对称轴是y轴且过点A（1，3）、点B（﹣2，﹣6）的抛物线的解析式为　y=﹣3x2+6　． 考点： 待定系数法求二次函数解析式．版权所有 专题： 函数思想． 分析： 由二次函数图象上点的坐标特征，将点A（1，3）、点B（﹣2，﹣6）代入抛物线的方程y=ax2+bx+c（a≠0），利用待定系数法求该抛物线的解析式即可． 解答： 解：设该抛物线方程为：y=ax2+bx+c（a≠0）； ∵该抛物线的对称轴是y轴， ∴x=﹣=0， ∴b=0；① 又∵抛物线过点A（1，3）、点B（﹣2，﹣6）， ∴3=a+b+c，② ﹣6=4a﹣2b+c，③ 由①②③，解得， a=﹣3；b=0，c=6， ∴该抛物线的解析式是：y=﹣3x2+6． 故答案为y=﹣3x2+6． 点评： 本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式．解答该题的关键是根据已知条件“该抛物线的对称轴是y轴”推知x=﹣=0． 　 14．（2分）抛物线y=﹣2x2+4x+1在x轴上截得的线段长度是　　． 考点： 抛物线与x轴的交点．版权所有 分析： 根据函数与方程的关系，设出方程的两根，解出x1+x2与x1•x2的值，然后再代入抛物线y=﹣2x2+4x+1在x轴上截得的线段长度公式来求解． 解答： 解：令y=0得，方程﹣2x2+4x+1=0， ∵抛物线y=﹣2x2+4x+1在x轴上的交点的横坐标为方程的根，设为x1，x2， ∴x1+x2=2，x1•x2=﹣， ∴抛物线y=﹣2x2+4x+1在x轴上截得的线段长度是： |x1﹣x2|==． 故答案为． 点评： 此题主要考查一元二次方程与函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根． 　 15．（2分）抛物线y=x2+（m﹣2）x+（m2﹣4）的顶点在原点，则m=　2　． 考点： 二次函数的性质．版权所有 分析： 根据二次函数顶点在原点，即可得出m﹣2=0，0=m2﹣4，即可得出答案． 解答： 解：∵抛物线y=x2+（m﹣2）x+（m2﹣4）的顶点在原点， ∴0=m2﹣4， ∴m=±2，且m﹣2=0， ∴m=2． 故答案为：2． 点评： 此题主要考查了二次函数顶点坐标在原点的性质，根据题意得出m﹣2=0，0=m2﹣4是解决问题的关键． 　 16．（2分）已知抛物线y=﹣x2﹣2x+m的顶点在x轴上方，则m　＞﹣1　． 考点： 二次函数的性质．版权所有 分析： 根据题意，顶点的纵坐标大于0列出不等式解则可． 解答： 解：根据题意有=﹣1，且＞0， 即＞0， 解得m＞﹣1． 点评： 本题考查用公式法写出抛物线顶点的纵坐标和解不等式． 　 17．（2分）已知二次函数y=（m﹣1）x2+2mx+3m﹣2，则当m=　　时，其最大值为0． 考点： 二次函数的最值．版权所有 专题： 计算题． 分析： 根据二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当a＜0，x=﹣时，y有最大值得到m﹣1＜0，且=0，化简得2m2﹣5m+2=0，然后解方程得m1=，m2=2，最后确定满足条件的m的值． 解答： 解：a=m﹣1，b=2m，c=3m﹣2， ∵二次函数有最大值为0， ∴a＜0即m﹣1＜0，且=0， 即=0， 化简得2m2﹣5m+2=0，m1=，m2=2， ∵m＜1， ∴m=． 故答案为：． 点评： 本题考查了二次函数的最值问题：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当a＞0，x=﹣时，y有最小值；当a＜0，x=﹣时，y有最大值；也考查了一元二次方程的解法． 　 18．（4分）二次函数y=ax2+bx+c的值永远为负值的条件是a　＜　0，b2﹣4ac　＜　0． 考点： 抛物线与x轴的交点．版权所有 分析： 二次函数y=ax2+bx+c的值永远为负即函数图象的开口向下且函数与x轴没有交点，根据此即可算出a和b2﹣4ac的取值． 解答： 解：因为二次函数y=ax2+bx+c的值永远为负值， 所以函数图象的开口向下，所以a＜0． 此外，函数与x轴没有交点，所以b2﹣4ac＜0， 所以二次函数y=ax2+bx+c的值永远为负值的条件是a＜0，b2﹣4ac＜0． 点评： 本题主要考查对于二次函数图象的理解，同时还要掌握函数图象与x轴没有交点的性质． 　 19．（8分）如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于A（﹣1，0）、点B（3，0）和点C（0，﹣3），一次函数的图象与抛物线交于B、C两点． （1）二次函数的解析式为　y=x2﹣2x﹣3　； （2）当自变量x　＞1　时，两函数的函数值都随x增大而增大； （3）当自变量　0＜x＜3　时，一次函数值大于二次函数值； （4）当自变量x　＜﹣1　时，两函数的函数值的积小于0． 考点： 待定系数法求二次函数解析式．版权所有 分析： （1）已知A（﹣1，0）、点B（3，0）两点，设抛物线解析式的交点式y=a（x+1）（x﹣3），再将点C（0，﹣3）代入求a即可； （2）一次函数图象都是y随x增大而增大的，根据抛物线的对称轴x=1，确定抛物线的增减性； （3）根据两函数图象的交点及图象的位置，确定一次函数值大于二次函数值时，自变量的取值范围； （4）由图象可知，当x＞3时，两函数值同正，当﹣1＜x＜3时，两函数值同负，当x＜﹣1时，两函数值一正、一负； 解答： 解：（1）∵抛物线经过A（﹣1，0）、点B（3，0）两点， ∴设抛物线解析式的交点式y=a（x+1）（x﹣3）， 将点C（0，﹣3）代入，得a=1， ∴y=（x+1）（x﹣3），即y=x2﹣2x﹣3； （2）∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、点B（3，0）两点， ∴抛物线对称轴为x==1，抛物线开口向上， 当x＞1时，两函数的函数值都随x增大而增大； （3）由图象可知，当0＜x＜3时，一次函数值大于二次函数值； （4）由图象可知，当x＜﹣1时，两函数值一正、一负，它们的积小于0． 点评： 本题考查了用交点式求二次函数解析式的方法，还考查了通过图象探讨二次函数性质的能力． 　 20．（2分）已知抛物线y=ax2+2x+c与x轴的交点都在原点的右侧，则点M（a，c）在第　三　象限． 考点： 二次函数图象与系数的关系．版权所有 分析： 与x轴交点都在原点右侧，可知交点横坐标都为正值，即ax2+2x+c=0的解为正，所以根据根与系数关系可知，x1+x2=﹣，x1x2=，即可确定a，c的符号，从而可确定点M所在的象限． 解答： 解：设x1，x2为方程ax2+2x+c=0的根， 则根与系数关系可知，x1+x2=﹣=﹣，x1x2=， ∵函数与x轴的交点都在原点的右侧， ∴x1+x2＞0，x1x2＞0， ∴a＜0，c＜0， ∴点M（a，c）在第三象限． 点评： 本题考查了二次函数上点的坐标特征． 　 21．（4分）已知抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A，与x轴的正半轴交于B、C两点，且BC=2，S△ABC=3，那么b=　﹣4　． 考点： 抛物线与x轴的交点．版权所有 分析： 由题意抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A，令x=0，求出A点坐标，又与x轴的正半轴交于B、C两点，判断出c的符号，将其转化为方程的两个根，再根据S△ABC=3，求出b值． 解答： 解：∵抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A， 令x=0得，A（0，c）， ∵该抛物线的开口向上，且与x轴的正半轴交于B、C两点， ∴抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴， ∴c＞0， 设方程x2+bx+c=0的两个根为x1，x2， ∴x1+x2=﹣b，x1x2=c， ∵BC=2=|x1﹣x2|． ∵S△ABC=3， ∴=3， ∴c=3， ∵|x1﹣x2|==， ∴4=b2﹣12，∵x1+x2=﹣b＞0 ∴b＜0 ∴b=﹣4． 点评： 此题主要考查一元二次方程与函数的关系及三角形的面积公式，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根，两者互相转化，要充分运用这一点来解题． 　 三、解答题：（每题13分，共26分） 22．（13分）某商人如果将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价1元其销售量就要减少10件，问他将售出价（x）定为多少元时，才能使每天所赚的利润（y）最大并求出最大利润． 考点： 二次函数的应用．版权所有 专题： 压轴题． 分析： 日利润=销售量×每件利润．每件利润为x﹣8元，销售量为100﹣10（x﹣10），据此得关系式． 解答： 解：由题意得， y=（x﹣8）[100﹣10（x﹣10）]=﹣10（x﹣14）2+360（10≤a＜20）， ∵a=﹣10＜0 ∴当x=14时，y有最大值360 答：他将售出价（x）定为14元时，才能使每天所赚的利润（y）最大，最大利润是360元． 点评： 本题重在考查运用二次函数性质求最值常用配方法或公式法． 　 23．（13分）如图，在一块三角形区域ABC中，∠C=90°，边AC=8，BC=6，现要在△ABC内建造一个矩形水池DEFG，如图的设计方案是使DE在AB上． （1）求△ABC中AB边上的高h； （2）设DG=x，当x取何值时，水池DEFG的面积最大？ （3）实际施工时，发现在AB上距B点1.85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为保护大树，请设计出另外的方案，使三角形区域中欲建的最大矩形水池能避开大树． 考点： 二次函数的应用；二次函数的最值．版权所有 专题： 应用题；方案型． 分析： （1）由三角形ABC的面积可求出AB边上的高； （2）由相似三角形对应高的比等于相似比，可用含x的代数式表示GF，得到水池的面积y关于x的二次函数，由二次函数的性质，可求面积最大时x的值； （3）根据相似形可算出BE小于1.85，大树在最大水池的边上，为了避开，以C为点在三边上各去一点． 矩形二边与三角形二直角边重合． 解答： 解：如图，（1）过点C作CI⊥AB，交GF于H，在△ABC中用勾股定理得：AB=10， ∵S△ABC=BC=AB•CI， ∴×6×8=×10×CI， ∴CI=4.8； ∴△ABC中AB边上的高h=4.8． （2）∵水池是矩形， ∴GF∥AB， ∴△CGF∽△CAB， ∵CH，CI分别是△CGF和△CAB对应边上的高， ∴=， ∴=， ∴GF=10﹣， ∵10﹣＞0， ∴0＜x＜， 设水池的面积为y，则 y=x（10﹣）=﹣x2+10x， 当x=﹣=2.4时，水池的面积最大； （3）∵FE⊥AB，CI⊥AB， ∴FE∥CI， ∴△BFE∽△BCI， ∴FE：CI=BE：BI， 又∵FE=2.4，CI=4.8， 在Rt△BCI中用勾股定理可得BI=3.6， ∴BE===1.8， ∵BE=1.8＜1.85， ∴这棵大树在最大水池的边上． 为了保护这棵大树，设计方案如图： 点评： 根据题意寻找关系式，准确列出二次函数，由函数的性质，计算出面积最大时GD的值． 　 参与本试卷答题和审题的老师有：HLing；zcx；zhangCF；leikun；lanyan；zxw；王岑；137-hui；zhqd；nhx600；lanchong；冯延鹏；WWF；sd2011；zhjh；gsls；shenmeng；zhehe；蓝月梦；hbxglhl；CJX；张长洪；KBBDT2010（排名不分先后） 2014年10月6日 1 学科网（北京）股份有限公司 $$