精品解析：河北省石家庄二十三中2023-2024学年高二下学期期末数学试题

高二第二学期期末考试数学学科 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “且”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，，，则的大小关系为 A. B. C. D. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 已知定义在R上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，且，则为虚数单位的最小值是　　 A. B. C. D. 7. 已知函数，若，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 8. 对于实数，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知定义在上的偶函数满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. C. 若函数在区间上单调递增，则在区间上单调递减 D. 若函数在区间上的解析式为，则在区间上的解析为 10. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. 在上有两个极值点 B. 在处取得最小值 C. 在处取得极小值 D. 函数在上有三个不同的零点 11. 设点M是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点M是的重心 B. 若，则点M在线段的延长线上 C. 若，且，则的面积是面积的 D. 已知平面向量，满足，则为等腰三角形 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数满足如下条件：①定义域为；②存在，使得 ；③，试写出一个符合上述要求的函数__________. 13. 若正实数a，b满足，则的最小值为___________. 14. 已知直线分别与曲线，相切于点，，则的值为____________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数且，. （1）求的解析式； （2）令，求在区间，上的值域. 16. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若的极小值为，求的值． 17. 已知，，是同一平面内的三个不同向量，其中. （1）若，且，求； （2）若，且，求的最小值，并求出此时与夹角的余弦值. 18. 为了丰富在校学生的课余生活，某校举办了一次趣味运动会活动，学校设置项目A“毛毛虫旱地龙舟”和项目B“袋鼠接力跳”．甲、乙两班每班分成两组，每组参加一个项目，进行班级对抗赛．每一个比赛项目均采取五局三胜制（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束），假设在项目A中甲班每一局获胜的概率为，在项目B中甲班每一局获胜的概率为，且每一局之间没有影响． （1）求甲班在项目A中获胜的概率； （2）设甲班获胜的项目个数为X，求X的分布列及数学期望． 19. 已知函数. （1）当时，求的图象在点处的切线方程； （2）对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二第二学期期末考试数学学科 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别解不等式得到集合和，再根据并集的运算即可求得. 【详解】由题意得：，， 所以， 故选：D. 2. “且”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由不等式的性质可判断出充分性成立，通过举反例可知必要性不成立，即可选出答案. 【详解】因为且，由同向可加性及正向同向可乘性知，充分性成立； 若且，可取，不满足且，则必要性不成立 . 所以“且”是“且”充分不必要条件， 故选： 3. 已知，，，则的大小关系为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用等中间值区分各个数值的大小． 【详解】， ， ，故， 所以． 故选A． 【点睛】本题考查大小比较问题，关键选择中间量和函数的单调性进行比较． 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，排除C、D项，再由当时， ，所以排除A，即可求解. 【详解】由题意，函数的定义域为， 且，所以函数为奇函数， 其图象关于原点对称，所以排除C、D项， 又由当时，，可得，所以排除A项． 故选：B． 5. 已知定义在R上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知，函数关于对称，作出函数的图象，数形结合可求解. 【详解】由函数为偶函数，知函数关于对称， 又函数在上单调递增，知函数在上单调递减， 由，知，作出函数的图象，如下： 由图可知，当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 所以不等式的解集为：或， 故选：C 6. 已知，且，则为虚数单位的最小值是　　 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数|z|=1的几何意义即可求得|z﹣2﹣2i|（i为虚数单位）的最小值．利用复数|z|=1的几何意义即可求得|z﹣2﹣2i|（i为虚数单位）的最小值． 【详解】∵|z|=1且z∈C，作图如图： ∵|z﹣2﹣2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P（2，2）的距离， ∴|z﹣2﹣2i|的最小值为：|OP|﹣1=2﹣1． 故选A． 【点睛】本题考查复数求模，着重考查复数模的几何意义，考查作图、用图的能力，属于中档题． 7. 已知函数，若，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得，构造函数，求导即可得到其最大值，从而得到结果. 【详解】由，得，即. 因为，则，当时，，所以在上单调递增，所以，则.令，则，所以在上单调递增，在上单调递减. 故选：C 8. 对于实数，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造同构函数，分析单调性，转化为恒成立，即，再求解的最小值即可. 【详解】已知，由知.故排除BD. 由得，， 构造函数，是上的增函数， 则由得，即， 令， ，由得， 当，则单调递减， 当，则单调递增， ， 则，又，则. 故选：C. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知定义在上的偶函数满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. C. 若函数在区间上单调递增，则在区间上单调递减 D. 若函数在区间上的解析式为，则在区间上的解析为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用函数的对称性可判断A选项；利用已知条件结合偶函数的性质可判断B选项；利用函数周期性可判断C选项；设，利用 【详解】对于A选项，因为，则函数的图象关于点对称，A错； 对于B选项，因为且函数为偶函数， 所以，可得，所以，， 所以，对任意的，，B对； 对于C选项，因为，若函数在区间上单调递增， 的图象关于点对称，则在区间上单调递减,且周期为4， 则在上单调递减，C对； 对于D选项，当时，，， 所以，，D错. 故选：BC. 10. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. 在上有两个极值点 B. 在处取得最小值 C. 在处取得极小值 D. 函数在上有三个不同的零点 【答案】AC 【解析】 【分析】利用导数可求得的单调性，结合极值可作出的图象，结合图象依次判断各个选项即可. 【详解】定义域为，， 当时，；当时，； 在，上单调递增，在上单调递减， 极大值为，极小值为， 当时，，，恒成立； 可作出图象如下图所示， 对于A，的极大值点为，极小值点为，A正确； 对于B，不是的最小值，B错误； 对于C，在处取得极小值，C正确； 对于D，由图象可知，有且仅有两个不同的零点，D错误. 故选：AC. 11. 设点M是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点M是的重心 B. 若，则点M在线段的延长线上 C. 若，且，则的面积是面积的 D. 已知平面向量，满足，则为等腰三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】设的中点为，由向量的线性运算可得，由重心的性质即可判断选项；由向量的线性运算即可判断选项；结合图象，由三点共线的充要条件即线性运算可得点的位置，结合图象，及面积公式即可判断选项；由向量的线性运算及数量积运算即可判断选项． 【详解】解：对于，设的中点为，若， 则点是的重心，故正确； 对于，若，即有，即， 则点在边的延长线上，故错误； 对于，若，且， 由图可得为的中点，则的面积是面积的，故正确； 对于，因为，所以， 即， 所以， 因为，所以点在的角平分线上， 所以，所以， 所以，所以为等腰三角形，故正确． 故选：． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数满足如下条件：①定义域为；②存在，使得 ；③，试写出一个符合上述要求的函数__________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据条件求解. 【详解】设 ， 则函数定义域为； 故答案为： . 13. 若正实数a，b满足，则的最小值为___________. 【答案】1 【解析】 【分析】利用基本不等式可得，以为整体求解． 【详解】∵，当且仅当时等号成立 即，则 ∴或（舍去），即 故答案为：1． 14. 已知直线分别与曲线，相切于点，，则的值为____________. 【答案】1 【解析】 【分析】利用导数求切点处的切线方程，可得，通过指数式对数式的运算，求出的值. 【详解】由，，有，， 在点处的切线方程为， 在点处的切线方程为， 则有，得， 所以，可得. 故答案为：1. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数且，. （1）求的解析式； （2）令，求在区间，上的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入计算即可； （2）由（1）得，令，先求出的范围，再代入即可. 【小问1详解】 由已知， 解得或（舍去） 所以； 【小问2详解】 由（1）得 令，因为， 则， 则，， 即在区间，上的值域为， 16. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若的极小值为，求的值． 【答案】（1）当时，在上单调递增，当时，在区间和上单调递增，在区间上单调递减. （2）4 【解析】 【分析】（1）根据题意先对函数求导后，然后对分情况讨论，从而可求解； （2）根据函数极小值为，结合（1）从而求解. 【小问1详解】 因为的定义域为，所以， 当时，，则在上递增， 当时： 若时，解之得：或， 所以得：在区间，上单调递增， 若时，解之得：， 所以得：在区间上单调递减. 综上所述，当时，在上单调递增， 当时，在区间和上单调递增，在区间上单调递减. 【小问2详解】 由（1）知，当时在上单调递增，故不存在极值， 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以在处取得极小值， 所以，解之得，故的值为4. 17. 已知，，是同一平面内的三个不同向量，其中. （1）若，且，求； （2）若，且，求的最小值，并求出此时与夹角的余弦值. 【答案】（1）或 （2），此时 【解析】 【分析】（1）先设,根据坐标求模公式，即可求解. (2) 根据题意，条件可化简为，再根据基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 因为，且，所以设， 所以， 解得， 所以或. 【小问2详解】 由，得， 所以， 因为，，可得， 因为，所以， 当且仅当，时取等号. 所以. 设与夹角为，则此时. 18. 为了丰富在校学生的课余生活，某校举办了一次趣味运动会活动，学校设置项目A“毛毛虫旱地龙舟”和项目B“袋鼠接力跳”．甲、乙两班每班分成两组，每组参加一个项目，进行班级对抗赛．每一个比赛项目均采取五局三胜制（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束），假设在项目A中甲班每一局获胜的概率为，在项目B中甲班每一局获胜的概率为，且每一局之间没有影响． （1）求甲班在项目A中获胜的概率； （2）设甲班获胜的项目个数为X，求X的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2） X 0 1 2 P 【解析】 【分析】（1）记“甲班在项目A中获胜”为事件A，利用独立事件的乘法公式求解即可； （2）先算出“甲班在项目B中获胜”的概率，然后利用独立事件的乘法公式得到X的分布列，即可算出期望 【小问1详解】 记“甲班在项目A中获胜”为事件A， 则， 所以甲班在项目A中获胜的概率为 【小问2详解】 记“甲班在项目B中获胜”为事件B， 则， X的可能取值为0，1，2， 则， ， ． 所以X的分布列为 X 0 1 2 P ． 所以甲班获胜的项目个数的数学期望为 19. 已知函数. （1）当时，求的图象在点处的切线方程； （2）对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）解法一：由可得，令，利用导函数讨论函数的单调性进而求最小值即可；解法二：令，由， 可得的必要条件为，再利用导数证明充分性，即当时，即可；解法三：分离参数可得，利用导函数求单调性进而求最值即可. 【小问1详解】 当时，，， 所以的图象在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 （解法一）由可得， 令，则， 令， 则， 因为当时，，当时，，所以， ①当，即时，单调递增， 所以，又， 令， 令，则， 易知单调递减，所以， 所以在上单调递增，， 所以，即， 由零点存在定理知存在，使得， ， 令，则， 令，则， 因为当时，单调递增，当时，，单调递减， 所以，所以，， 所以单调递减，所以， 所以符合题意； ②当，即时，矛盾， 综上所述. （解法二）由可得. 令，有， 所以的必要条件为， 下面证明充分性： 当时， 令，则， 令，则， 又当时，，所以单调递增，单调递增， 又， 所以当时，单调递减， 当时，单调递增. 所以， 所以当时，， 综上所述，. （解法三）由可得. 令，则， 令，则， 令，则， 因为当时，单调递增，当时，，单调递减， 所以， 所以，所以， 即单调递减，又， 所以当时，，即单调递增， 当时，，即单调递减， 所以，所以. 【点睛】方法点睛：本题考查导数的几何意义和不等式恒成立问题，第二问需要求函数的高阶导数，利用高阶导数分析一阶导数的单调性，结合零点存在性定理判断零点问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $