精品解析：湖南省桂阳县第三中学2023-2024学年九年级上学期入学考试数学测试卷 (2)

湖南省桂阳县第三中学2023-2024年九年级上期入学考试测试卷（2） 一．填空题．（每题3分,共24分） 1. 下列各式，，，1﹣，中分式有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点M（2019，–2019）在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 若一次函数的函数值随的增大而增大，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中，错误的是（　　） A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 菱形的对角线互相垂直平分 C. 矩形的对角线相等且互相垂直平分 D. 角平分线上的点到角两边的距离相等 6. 如图，直线，且平分，，则（　　） A. B. C. D. 7. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝4cm，∠AOD＝120°，则BC的长为（ ）cm． A. B. 4 C. D. 2 8. 如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A,设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y.则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是( ) A. B. C. D. 二．填空题．（每题3分,共24分） 9. 在函数中，自变量x的取值范围是___． 10. 某班课间活动抽查了20名学生每分钟跳绳次数，获得如下数据单位：次：50，63，77，83，87，88，89，91，93，100，102，111，117，121，130，133，146，158，177，188.则跳绳次数在90-110这一组的频率是______． 11. 已知点 P 在第四象限，该点到 x 轴的距离为 3，到 y 轴的距离为 1，则点 P的坐标为_______． 12. 如图，在□ABCD中，∠BCD的平分线交AD于点E，AE＝2，DE＝3，则四边形ABCD的周长为_________． 13. 已知点M（2，﹣3），将它先向左平移2个单位，再向上平移4个单位后得到点N，则点N的坐标是_____． 14. 若三角形的两边长为4和5，要使其成为直角三角形，则第三边的长为_______． 15. 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，再添加一个条件________（写出一个即可），可使四边形ABCD是平行四边形．（图形中不再添加辅助线） 16. 如图，将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，……如此继续下去，结果如下表：则an＝__________（用含n的代数式表示）． 所剪次数 1 2 3 4 … n 正三角形个数 4 7 10 13 … an 三．解答题．（17-19每题6分，20-23每题8分，24-25每题10分，26题12分，共82分） 17. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点，，均在格点上． （1）画出向左平移4个单位长度后得到的，并写出点的坐标； （2）画出将绕原点O按顺时针方向旋转90°得到的，并写出点的坐标； （3）画出以原点O为旋转中心的中心对称图形，并写出点的坐标． 18. 计算题： 19. 先化简，再求值：，其中x=3． 20. 贫困户马大爷家，在村干部的帮助下办起了一个养鸡场，办场时买来的一批小鸡，经过一段时间的精心饲养全部成活为商品鸡，可以出售了．为按质定价，将这些商品鸡按质量等次分成A（1.0kg），B（1.2kg），C（1.5kg），D（1.8kg），E（2.0kg）五个等次（各等次按该等次的平均重量统计），下图是这些商品鸡出售时重量数据的部分统计图． （1）求马大爷家办场时买的小鸡只数； （2）补全直方图； （3）求马大爷家这一批商品鸡的平均重量． 21. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，分别过点C、D作CF∥BD，DF∥AC，连接BF交AC于点E． （1）求证：△FCE≌△BOE； （2）当△ADC满足什么条件时，四边形OCFD为菱形？请说明理由． 22. 已知直线经过点，． （1）求直线的解析式； （2）若直线与直线相交于点C，求点C的坐标； （3）根据图象，写出关于x的不等式的解集． 23. 以诗育德，以诗启智，以诗怡情，以诗塑美，万州区某中学开展诗歌创作比赛，积极营造诗韵书香学生生活．年级决定购买两种笔记本奖励在此次创作比赛中的优秀学生，已知种笔记本的单价比种笔记本的单价便宜元，已知用元购买种笔记本的数量是用元购买种笔记本的数量的倍． 求种笔记本的单价； 根据需要，年级组准备购买两种笔记本共本，其中购买种笔记本的数量不超过种笔记本的二倍．设购买种笔记本本，所需经费为元，试写出与的函数关系式，并请你根据函数关系式求所需的最少经费． 24. 在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一．所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：∵，∴ 即，∴，∴． 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求的值． 解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0） 则，，，∴ 根据材料回答问题： （1）已知，则＝　 　； （2）解分式方程组：； （3）若，x≠0，y≠0，z≠0，且abc＝5，求xyz的值． 25. 如图，等边（三边相等，三个内角都是的三角形）的边长为，动点和动点同时出发，分别以每秒的速度由A向和由向A运动，其中一个动点到终点时，另一个也停止运动，设运动时间为，，和交于点． （1）在运动过程中，与始终相等吗？请说明理由； （2）连接，求为何值时，； （3）若于点，点为上的点，且使最短．当时，的最小值为多少？请直接写出这个最小值，无需说明理由． 26. 如图，在中，，，． （1）求BC边上的高线长； （2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将折叠得到，连接PA、PE、PF． ①如图2，当时，求AP的长； ②如图3，当点P落在BC上时，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省桂阳县第三中学2023-2024年九年级上期入学考试测试卷（2） 一．填空题．（每题3分,共24分） 1. 下列各式，，，1﹣，中分式有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，找到分母中含有字母的式子的个数即可． 【详解】解：式子，，1﹣中的分母中含有字母，是分式． 故选：B． 【点睛】本题主要考查分式的概念，正确的理解分式的概念是解题的关键． 2. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B．该图案是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C．该图案既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； D．该图案不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意． 故选：C． 3. 在平面直角坐标系中，点M（2019，–2019）在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣），再根据点M的坐标的符号，即可得出答案． 【详解】解：∵M（2019，﹣2019）， ∴点M所在的象限是第四象限． 故选D． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）． 4. 若一次函数的函数值随的增大而增大，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数图象的增减性来确定（k-2）的符号，从而求得k的取值范围． 【详解】解：∵在一次函数y=（k-2）x+1中，y随x的增大而增大， ∴k-2＞0， ∴k＞2， 故选B． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系．在直线y=kx+b（k≠0）中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小． 5. 下列命题中，错误的是（　　） A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 菱形的对角线互相垂直平分 C. 矩形的对角线相等且互相垂直平分 D. 角平分线上的点到角两边的距离相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质对A进行判断；根据菱形的性质对B进行判断；根据矩形的性质对C进行判断；根据角平分线的性质对D进行判断． 【详解】解：A、平行四边形的对角线互相平分，所以A选项的说法正确； B、菱形的对角线互相垂直平分，所以B选项的说法正确； C、矩形的对角线相等且互相平分，所以C选项的说法错误； D、角平分线上的点到角两边的距离相等，所以D选项的说法正确． 故选：C． 6. 如图，直线，且平分，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质，根据平行线性质求出，利用角平分线求出，再利用平行线的性质求出答案即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 故选：A． 7. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝4cm，∠AOD＝120°，则BC的长为（ ）cm． A. B. 4 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用矩形对角线的性质得到OA=OB．结合∠AOD=120°知道∠AOB=60°，则△AOB是等边三角形；最后在直角△ABC中，利用勾股定理来求BC的长度即可． 【详解】解：∵矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC=4cm， ∴OA=OB=AC=2cm． 又∵∠AOD=120°， ∴∠AOB=60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB=OA=OB=2cm． ∴在直角△ABC中，∠ABC=90°，AB=2cm，AC=4cm， ∴BC=(cm)． 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质和等边三角形的性质和判定的应用，勾股定理，解此题的关键是求出OA、OB的长，题目比较典型，是一道比较好的题目． 8. 如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A,设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y.则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据特殊点和三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：由题意可知，P点在AD段时面积为零，在DC段时面积y由0逐渐增大到8，在CB段因为底和高不变所以面积y不变，在BA段时面积y逐渐减小为0， 故选：B． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象识别，根据动点P的位置正确得出三角形的面积变化情况是解答的关键． 二．填空题．（每题3分,共24分） 9. 在函数中，自变量x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【详解】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数可知，要使在实数范围内有意义，必须. 10. 某班课间活动抽查了20名学生每分钟跳绳次数，获得如下数据单位：次：50，63，77，83，87，88，89，91，93，100，102，111，117，121，130，133，146，158，177，188.则跳绳次数在90-110这一组的频率是______． 【答案】0.2 【解析】 【详解】首先找出在90～110这一组的数据个数，再根据频率=频数÷总数可得答案． 解：跳绳次数在90～110这一组的有9l，93，100，102共4个数， 频率是：4÷20=0.20． 故答案为0.20． “点睛”此题主要考查了频率，关键是掌握频率=频数÷总数． 11. 已知点 P 在第四象限，该点到 x 轴的距离为 3，到 y 轴的距离为 1，则点 P的坐标为_______． 【答案】（1，﹣3） 【解析】 【分析】根据点P在第四象限,所以P点的横坐标在x轴的正半轴上,纵坐标在y轴的负半轴上,由P点到x轴的距离为3,到y轴的距离为1,即可推出P点的横、纵坐标. 【详解】解:点P在第四象限， P点的横坐标在x轴的正半轴上,纵坐标在y轴的负半轴上, P点到x轴的距离为3,到y轴的距离为1, P点的坐标为(1,-3). 故答案：(1,-3). 【点睛】本题主要考查点的坐标的性质等知识点,关键在于数量掌握关于第四象限的点的横、 纵坐标的性质. 12. 如图，在□ABCD中，∠BCD的平分线交AD于点E，AE＝2，DE＝3，则四边形ABCD的周长为_________． 【答案】16 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质及角平分线的性质得到DE＝DC＝AB，故可求出周长． 【详解】解：在□ABCD中，CE平分∠BCD交AD于点E， ∴∠DEC＝∠ECB，∠DCE＝∠BCE，AB＝DC，AD＝BC， ∴∠DEC＝∠DCE， ∴DE＝DC＝AB， ∵AE＝2，DE＝3， ∴AD＝AE+DE＝2+3＝5，CD＝DE＝3， ∴AD+DC＝5+3＝8， ∴四边形ABCD的周长为2×8＝16． 故答案为：16． 【点睛】此题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是熟知等腰三角形与平行四边形的性质． 13. 已知点M（2，﹣3），将它先向左平移2个单位，再向上平移4个单位后得到点N，则点N的坐标是_____． 【答案】（0，1） 【解析】 【分析】将点M的横坐标减去2，纵坐标加上4即可得到点N的坐标． 【详解】解：∵点M（2，﹣3），将它先向左平移2个单位，再向上平移4个单位后得到点N， ∴点N的坐标是（2﹣2，﹣3+4），即（0，1）， 故答案为（0，1）， 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移：解题关键是要懂得左右平移点的纵坐标不变，而上下平移时点的横坐标不变，平移变换是中考的常考点，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 14. 若三角形的两边长为4和5，要使其成为直角三角形，则第三边的长为_______． 【答案】3或##或3 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，再分5为斜边或第三边为斜边两种情况考虑，即可求出第三边． 【详解】解：当较大的数5为斜边时，第三边， 当第三边为斜边时，第三边， 故答案为：3或． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，即如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，熟练掌握勾股定理的逆定理及分情况考虑是解题关键． 15. 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，再添加一个条件________（写出一个即可），可使四边形ABCD是平行四边形．（图形中不再添加辅助线） 【答案】ABCD或AD=BC 【解析】 【分析】可再添加一个条件AD＝BC或ABCD，根据平行线的判定定理即可求解． 【详解】解：根据平行四边形的判定，可再添加一个条件：AD＝BC或ABCD 故答案为：ABCD或AD=BC． 【点睛】此题主要考查平行四边形的判定．是一个开放条件的题目，熟练掌握判定定理是解题的关键． 16. 如图，将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，……如此继续下去，结果如下表：则an＝__________（用含n的代数式表示）． 所剪次数 1 2 3 4 … n 正三角形个数 4 7 10 13 … an 【答案】3n+1 【解析】 【详解】从表格中的数据，不难发现：多剪一次，多3个三角形．即剪n次时，共有4+3（n-1）=3n+1． 故 答案为3n+1 三．解答题．（17-19每题6分，20-23每题8分，24-25每题10分，26题12分，共82分） 17. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点，，均在格点上． （1）画出向左平移4个单位长度后得到的，并写出点的坐标； （2）画出将绕原点O按顺时针方向旋转90°得到的，并写出点的坐标； （3）画出以原点O为旋转中心的中心对称图形，并写出点的坐标． 【答案】 （1）如下图，； （2）如下图，； （3）如图，． 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质画图，并写出点的坐标； （2）根据旋转的性质画图，并写出点的坐标； （3）根据中心对称的性质画图，并写出点的坐标． 【详解】解：略． 【点睛】本题考查了作平移、旋转、中心对称图形，解题的关键是掌握平移、旋转、中心对称的概念． 18. 计算题： 【答案】 【解析】 【分析】根据有理数的乘方、立方根、平方根、绝对值进行计算即可． 【详解】解： 【点睛】本题考查了实数的混合运算，涉及到了有理数的乘方、立方根、平方根、绝对值，熟练掌握相关的法则是解题的关键． 19. 先化简，再求值：，其中x=3． 【答案】， 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式= ． 当x=3时，原式=． 【点睛】本题考查分式的化简求值、完全平方公式、平方差公式，熟练掌握分式的混合运算法则是解答的关键. 20. 贫困户马大爷家，在村干部的帮助下办起了一个养鸡场，办场时买来的一批小鸡，经过一段时间的精心饲养全部成活为商品鸡，可以出售了．为按质定价，将这些商品鸡按质量等次分成A（1.0kg），B（1.2kg），C（1.5kg），D（1.8kg），E（2.0kg）五个等次（各等次按该等次的平均重量统计），下图是这些商品鸡出售时重量数据的部分统计图． （1）求马大爷家办场时买的小鸡只数； （2）补全直方图； （3）求马大爷家这一批商品鸡的平均重量． 【答案】（1）1000只； （2）补全的直方图如右图所示； （3）1.48kg． 【解析】 【分析】（1）根据等次C的频数和所占的百分比，可以求得马大爷家办场时买的小鸡只数； （2）根据直方图中的数据和（1）中的结果，可以求得等次D的频数，然后即可将直方图补充完整； （3）根据直方图中的数据，可以计算出马大爷家这一批商品鸡的平均重量． 【详解】解：（1）马大爷家办场时买的小鸡有：400÷40%＝1000（只）， 即马大爷家办场时买的小鸡有1000只； （2）等次D有：1000﹣120﹣200﹣400﹣80＝200（只）； （3）（120×1.0+200×1.2+400×1.5+200×1.8+80×2.0）＝1.48（kg）， 即马大爷家这一批商品鸡的平均重量是1.48kg． 【点睛】本题考查频数分布直方图以及平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 21. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，分别过点C、D作CF∥BD，DF∥AC，连接BF交AC于点E． （1）求证：△FCE≌△BOE； （2）当△ADC满足什么条件时，四边形OCFD为菱形？请说明理由． 【答案】（1）证明：∵CF∥BD，DF∥AC， ∴四边形OCFD是平行四边形，∠OBE=∠CFE， ∴OD=CF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB=OD， ∴OB=CF， 在△FCE和△BOE中， ， ∴△FCE≌△BOE（AAS）； （2）当△ADC满足∠ADC=90°时，四边形OCFD为菱形． 【解析】 【分析】（1）证明四边形OCFD是平行四边形，得出OD=CF，证出OB=CF，即可得出△FCE≌△BOE（AAS）； （2）证出四边形ABCD是矩形，由矩形的性质得出OC=OD，即可得出四边形OCFD为菱形． 【详解】（1）略 （2）解：当△ADC满足∠ADC=90°时，四边形OCFD为菱形； 理由如下： ∵∠ADC=90°，四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形， ∴OA=OC，OB=OD，AC=BD， ∴OC=OD， ∴四边形OCFD为菱形． 【点睛】本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质和菱形的判定是解题的关键． 22. 已知直线经过点，． （1）求直线的解析式； （2）若直线与直线相交于点C，求点C的坐标； （3）根据图象，写出关于x的不等式的解集． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数的交点，一次函数与一元一次不等式的关系，关键是正确从函数图象中获得正确信息． （1）利用待定系数法把点A，点B代入可得关于k、b得方程组，再解方程组即可； （2）联立两个函数解析式，再解方程组即可； （3）根据C点坐标可直接得到答案． 【小问1详解】 直线经过点，， ， 解得， 直线的解析式为：； 【小问2详解】 若直线与直线相交于点C， ． 解得， 点； 【小问3详解】 由（2）得， 根据图象可得不等式的解集为：． 23. 以诗育德，以诗启智，以诗怡情，以诗塑美，万州区某中学开展诗歌创作比赛，积极营造诗韵书香学生生活．年级决定购买两种笔记本奖励在此次创作比赛中的优秀学生，已知种笔记本的单价比种笔记本的单价便宜元，已知用元购买种笔记本的数量是用元购买种笔记本的数量的倍． 求种笔记本的单价； 根据需要，年级组准备购买两种笔记本共本，其中购买种笔记本的数量不超过种笔记本的二倍．设购买种笔记本本，所需经费为元，试写出与的函数关系式，并请你根据函数关系式求所需的最少经费． 【答案】（1）种笔记本的单价为6元．（2）所需经费最少为702元． 【解析】 【分析】设种笔记本的单价为元，则种笔记本的单价为元．根据题意列出分式方程，求解即可； 由知种笔记本的单价为元，得到：，由于，所以W随的增大而减小．再根据A种笔记本的数量不超过B种笔记本数量的2倍，得到，解之可得m的取值范围，最后取值代入可得． 【详解】解： 设种笔记本的单价为元，则种笔记本的单价为元． 解得； 经检验：是原方程的解，且符合题意． 答：种笔记本的单价为元． 由知种笔记本的单价为元， 又∵ ∴W随的增大而减小． 又∵A种笔记本的数量不超过B种笔记本数量的2倍 ∴； 解得：； ∵m为正整数 ∴当时，取得最小值，最小值为702元． 答：所需最少经费为702元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用及其解法；一元一次不等式的应用及其解法；其中将分式方程化为整式方程并求出其解以后，必须进行检验以判断是否为增根，如为增根则必须舍去；一元一次不等式在得到解集之后也要根据题目当中的已知条件进得取值． 24. 在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一．所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：∵，∴ 即，∴，∴． 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求的值． 解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0） 则，，，∴ 根据材料回答问题： （1）已知，则＝　 　； （2）解分式方程组：； （3）若，x≠0，y≠0，z≠0，且abc＝5，求xyz的值． 【答案】（1）3；（2）；（3）xyz的值为． 【解析】 【分析】（1）仿照材料一，取倒数，再约分，化简即可； （2）仿照材料一，取倒数，再约分．利用加减消元法求解即可； （3）先化简已知条件，将x和z用y表示出来，再代入式子，用含b的式子表示出x，y，z，再相乘化简即可． 【详解】（1）∵ ∴ 即x﹣1+＝2 ∴x+＝3 故答案为：3． （2）∵ ∴ ∴ ∴①×2﹣②×3得 ＝ ∴m＝﹣75 ③ 将③代入①得＝ 解得n＝ 经检验，m＝﹣75，n＝是原方程的解 ∴原方程的解是m＝﹣75，n＝． （3）∵，x≠0，y≠0，z≠0， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 将上式代入，化简得 ∴ ∴，z＝＝ 又∵abc＝5 ∴xyz＝ ∴xyz的值为． 【点睛】本题考查了给材料阅读，然后仿做并探索较为复杂的化简计算题型，难度较大． 25. 如图，等边（三边相等，三个内角都是的三角形）的边长为，动点和动点同时出发，分别以每秒的速度由A向和由向A运动，其中一个动点到终点时，另一个也停止运动，设运动时间为，，和交于点． （1）在运动过程中，与始终相等吗？请说明理由； （2）连接，求为何值时，； （3）若于点，点为上的点，且使最短．当时，的最小值为多少？请直接写出这个最小值，无需说明理由． 【答案】（1） 与始终相等，理由如下： 为等边三角形， ，， 又动点和动点同时出发，分别以每秒的速度由A向和由向A运动， ， ， ， 与始终相等； （2）． （3）7 【解析】 【分析】（1）本题根据题干的条件证明，利用全等三角形性质，即可解题． （2）本题考查几何动点问题及等腰三角形的性质，根据，推出，得到，结合（1）中，等量代换得到，再题意列出方程，即可求解． （3）本题考查利用将军饮马模型求线段和的最小值及等边三角形的判定和性质，作D点关于的对称点交于点，连接，交于点P，再利用轴对称性确定线段，证明为等边三角形，再由等边三角形的性质求解的长即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， 平行于， ， ， 由（1）可知，， ， ， 解得． 【小问3详解】 解：， 平分， 作D点关于的对称点交于点，连接，交于点P， ， ， ， ，， ，又， 为等边三角形， ， 的最小值为7． 【点睛】本题考查了等边三角形判定和性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、几何动点问题、将军饮马模型求线段和的最小值，解题的关键在于利用轴对称找出动点取得最小值的位置． 26. 如图，在中，，，． （1）求BC边上的高线长； （2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将折叠得到，连接PA、PE、PF． ①如图2，当时，求AP的长； ②如图3，当点P落在BC上时，求证：． 【答案】（1）2；（2）①； ②沿EF将折叠得到，当点P落在BC上时，则AE=PE， ∵点E为线段AB的中点， ∴AE=BE， ∴AE=PE=BE， ∴∠B=∠EPB，∠EAP=∠EPA， ∴∠EPA+∠EPB=，即：AP⊥BC， ∵∠C=60°， ∴∠CAP=30°， ∵AF=PF， ∴∠APF=∠CAP=30°， ∴∠CPF=90°-30°=60°， ∴CPF是等边三角形， ∴． 【解析】 【分析】（1）过点A作AD⊥BC于D，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理，即可求解； （2）①设AP与EF交于点O，根据折叠的性质，得∠AFE=45°，EF垂直平分AP，从而得∠AEF=60°，∠EAO=30°，进而即可求解；②由折叠得性质，得AE=PE，结合点E为线段AB的中点，可得AP⊥BC，再结合∠C=60°，AF=PF，可得∆CPF是等边三角形，进而即可得到结论． 【详解】解：（1）如图1中，过点A作AD⊥BC于D． ∵在Rt△ABD中，，， ∴设BD=AD=x，则，解得：x=2， ∴BC边上的高线长为2； （2）①设AP与EF交于点O， ∵，沿EF将折叠得到， ∴∠AFE=∠AFP=×90°=45°，EF垂直平分AP， ∵，， ∴∠BAC=180°-45°-60°=75°， ∴∠AEF=180°-75°-45°=60°， ∴∠EAO=30°， ∵点E为线段AB的中点，， ∴AE=， ∴OE=， ∴AO=， ∴AP=2AO=； ②略． 【点睛】本题主要考查折叠的性质，勾股定理，，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $