24.2.2 直线和圆的位置关系 第4课时 切线长定理 课件 -2024-2025学年人教版九年级数学上册

第4课时 切线长定理 24.2.2 直线和圆的位置关系 教 材 分 析 本节课要研究切线长定理，是在学生已学过直线图形以及有关圆的定义、切线的判定和性质后进行的。 切线长定理起着承上启下的作用，是今后计算和证明的重要依据，并有广泛的应用。 学情分析 一、学生的合情推理与演绎推理能力 学生通过操作、观察两条切线长，能够发展合情推理能力和演绎推理能力。 二、数学语言概括与表达能力 学生经历知识的形成与运用过程，有助于培养数学语言概括、表达能力。 三、解决问题的能力 学生在探索切线长定理过程中，学会用数形结合思想、方程思想、一题多解来解决问题。 学生运用切线长定理解题，能够提高运用知识和技能解决问题的能力。 四、学习意识与兴趣 培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识。 激发学生学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意识 学习目标 1.掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算 与证明.（重点） 2.了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念. 3.学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想.（难点） 教学方法及教材处理 鉴于教材及九年级学生基本形成逻辑思维能力的特点，选用启发式教学方法，在演示、观察、练习等师生共同活动中，启发学生，让每个学生都动手、动口、动脑积极思考，进行创造性的学习。 复习： 1. 圆的切线的性质是什么？ 2. 圆的切线的判定方法有几种？ （1） 定义：只有一个公共点 （2）数量关系圆心到直线的距离等于圆的半径 （3）切线的判定定理 过半径的外端点 垂直于半径 问题1 过圆外一点作圆的切线，可以作几条？请欣赏小颖同学的作法！（思考她作法的依据） O P 直径所对的圆周角是直角 切线长的定义 P 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做切线长． A O ①切线是直线，不能度量. ②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，是可以度量． 切线长与切线的区别： 如图，从圆外一点P引圆的两条切线，切点分别为A、B，连结OP、OA、OB． 切线长PA、PB有何关系？ ∠APO和∠BPO有何关系？ B P O A 相等 相等 思考探究 问题2 过圆外一点作圆的切线，可以作几条？ 如图，如图，PA、PB是⊙O的两条切线，点A、B是切点， 求证： PA=PB，∠APO=∠BPO 证明∵PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点 ∠APO=∠BPO ∴OA⊥AP，OB⊥BP ∴∠OAP=∠OBP=90° ∵OA=OB，OP=OP ∴PA=PB B P O A B P O A 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等，圆心和这一 点的连线平分两条切线的夹角. ∵ PA、PB分别切⊙O于A、B ∴PA = PB， ∠OPA=∠OPB 几何语言: 切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法. 拓展结论 PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙O于点D、E，交AB于C. （1）写出图中所有的垂直关系； OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP. （3）写出图中所有的全等三角形； △AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP. （4）写出图中所有的等腰三角形. △ABP △AOB （2）写出图中与∠OAC相等的角； ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC. B P O A C E D 例1 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，点A、B是切点，在弧AB上任取一点C，过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB于点D、E.已知PA=7，∠P=40°.则 ⑵ ∠DOE= . ⑴ △PDE的周长是 ； 14 O P A B C E D 70° 1.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B， 如果AP=4，∠APB= 40°，则∠APO= ，PB= . 课堂练习 20° 4 B P O A B P O A 练一练 PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点， ⊙O的半径为3. （1）若OP=5，则切线长PA= ； （2）若∠BPA=60°，则OP= . 4 6 6.如图，PA、PB是圆⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=25°. 求∠P的度数. 课堂练习 方法一：利用△APB是等腰三角形可先求∠PAB. B P O A C 方法二：连接OB，利用∠AOB与∠P的关系. 3. PA、PB是⊙O的两条切线，切点为A、B，∠P= 50°， 点C是⊙O上异于A、B的点，则∠ACB= . 65°或115° B P O A 课堂练习 B P O A 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等，圆心和这一 点的连线平分两条切线的夹角. ∵ PA、PB分别切⊙O于A、B ∴PA = PB， ∠OPA=∠OPB 几何语言: 课前准备：尺规、铅笔、练习本 A B C A B C 思考探究 问题3 一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一个圆形的 用料，使得圆形的面积最大？ 当圆与三角形三边都相切时，截下圆的面积最大. 问题4 如何作圆，使它和已知三角形的各边都相切？ 已知：△ABC. 求作：和△ABC的各边都相切的圆. 作法： 1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O. 2.过点O作OD⊥BC.垂足为D. 3.以O为圆心，OD为半径作圆O. ⊙O就是所求的圆. A B c O 三角形的内切圆 三角形的内心 1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆， 这个三角形叫做圆的外切三角形. 2.三角形内切圆的圆心叫做 三角形的内心. ①三角形的内心就是三角形 的三个内角角平分线的交点. ②三角形的内心到三角形的三边的距离相等. 内切圆、内心 A B C O 名称 确定方法 图形 性质 外心 内心 三边 中垂线 的交点 1.OA=OB=OC 2.外心不一定在三 角形的内部． 三条 角平分线 的交点 1.到三边的距离相等； 2.OA、OB、OC分别 平分三个内角； 3.内心在三角形内部． 比一比:三角形的外心和内心 A B C O A B O C 三角形外接圆的圆心 三角形内切圆的圆心 如图，△ABC 中，∠A=50°，点O是△ABC 的内心，求∠BOC 的度数 . 课堂练习 A B C O 例2 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、 F，且AB=9，BC=14，CA=13，求AF、BD、CE的长. 解: 设AF=x，则AE=x. ∴CE=CD=AC-AE=13-x， BF=BD=AB-AF=9-x. 由 BD+CD=BC，可得 (13-x)+(9-x)=14， 解得 x=4. ∴ AF=4，BD=5，CE=9. A C B E D F O 4.如图，△ABC的内切圆⊙O与三边分别切于D、E、F三点， 已知AF=3，BD+CE=12，则△ABC的周长是 . A B C F E D O 30 课堂练习 思考：△ABC的内切圆半径为r， △ABC的周长为C，求△ABC的面积. 规律探索 A C B E D F O S△ABC=S△ABO+S△BCO+S△ACO r r r 直角三角形的两直角边分别是3cm ,4cm,试问：它的外接圆半径是 cm;内切圆半径是 cm？ 2.5 1 课堂小结 课后反思 在切线长定理的教学中，教学设计要依学生实际出发，教材是知识的载体，教学中的设计应依据学生的现实，尊重学生已有的知识与经验，确保学生的成功率。实际上，教师的教总要在学生那里得到体现与落实，学生是课堂教学活动的主体，所以，在教学过程中，要呈现学生力所能及的问题，这是有效教学的必要条件，另外，教学内容的选取，还必须充分尊重知识发生、发展的自身规律，使教学过程自然流畅、有亲和力。 $$