小升初拓展培优：环形跑道问题（讲义）-2023～2024学年六年级下册数学苏教版

环形跑道问题 (知识归纳+典例分析+高频真题+答案解析) 一、基本概念 环形跑道：指一个闭合的圆形跑道，运动员可以在上面进行多次循环跑动。 速度：运动员在跑道上每单位时间所跑过的距离。 时间：运动员跑动所需的时间。 路程：运动员在跑道上跑过的总距离，对于环形跑道来说，通常是跑道的整数倍。 二、基本关系式 速度 = 路程 / 时间 时间 = 路程 / 速度 路程 = 速度 × 时间 在环形跑道问题中，特别需要注意的是运动员之间的相对位置和相遇、追及的情况。 三、相遇与追及问题 1、相遇问题：当两个或多个运动员从环形跑道的不同位置同时出发，同向或反向跑动，最终在某个点相遇时，称为相遇问题。 （1）相向而行：如果两个运动员相向而行，他们每合走一圈就会相遇一次。此时，他们的路程和等于环形跑道的周长，即路程和 = 速度和 × 相遇时间。 （2）同向而行：如果两个运动员同向而行，快者要追上慢者，需要多跑一圈的距离。此时，他们的路程差 等于环形跑道的周长，即路程差 = 速度差 × 追及时间。 2、追及问题：当两个运动员从环形跑道的同一位置或不同位置同时出发，同向跑动，快者追上慢者时，称为追及问题。追及问题的关键是确定快者比慢者多跑的路程，这个路程通常是环形跑道的周长或其整数倍。 四、解题步骤 1、明确问题：确定题目中的已知条件和所求问题。 2、画出示意图：根据题目描述，画出环形跑道的示意图，标出运动员的起始位置和跑动方向。 3、选择关系式：根据题目类型（相遇或追及）和已知条件，选择合适的关系式进行计算。 4、代入数据：将题目中的已知数据代入关系式进行计算。 5、检验答案：检查计算结果是否符合题目要求和实际情况。 【典例1】王强和李军在一个300米的环形跑道上同时从起跑线上起跑，王强每秒跑6米，李军每秒跑4米．问几秒后王强第一次追上李军？ 【答案】见试题解答内容 【分析】由于此为一个环形跑道，所以王强第一次追上李军时正好比王强多跑一圈，即300米，根据路程差÷速度差＝追及时间可知，王强第一次追上李军需要时间为：300÷（6﹣4）． 【解答】解：300÷（6﹣4）， ＝300÷2， ＝150（秒）． 答：150秒后，王强第一次追上李军． 【点评】明确王强第一次追上李军时正好比王强多跑一圈是完成本题的关键． 【典例2】环形跑道周长是500米，甲乙两人从起点按顺时针方向同时出发．甲每分钟跑120米，乙每分钟跑100米，两人都是每跑200米停下休息1分钟．那么甲第一次追上乙需要多少分钟？ 【答案】见试题解答内容 【分析】甲追上乙时，甲比乙多跑一圈，即500米．追及时间＝路程差÷速度差＝700÷（120﹣100）分钟，即可得此时间内甲乙跑了的距离和休息时间；当休息时间相同时即能追上，若不相同还要按以上方式进行计算，直到相等为止．甲追上乙一圈需要时间+休息时间之和，即可得解． 【解答】解：因为甲比乙多跑了500米，所以甲比乙多休息了2次，也就是乙比甲多跑了2分钟的路．因此甲实际追了乙500+100×2＝700（米） 甲追上乙用了： 700÷（120﹣100） ＝700÷20 ＝35（分钟） 120×35÷200﹣1 ＝4200÷200﹣1 ＝20（次） 35+20＝55（分钟） 答：甲第一次追上乙需要55分钟． 【点评】本题考查了环形跑道的追及问题，读懂题意并找到等量关系是解题的关键．此题考查了追及问题，难点在于考虑休息时间，难度较大． 【典例3】如图所示，沿着某单位围墙外面的小路形成一个边长300米的正方形，甲、乙两人分别从两个对角处沿逆时针方向同时出发，已知甲每分走90米，乙每分走70米．问：至少经过多长时间甲才能看到乙？ 【答案】见试题解答内容 【分析】首先分析出当甲乙在同一边上时，甲才能看到乙．接着用估计的方法，甲走3面墙900米用了10分钟，乙走了700米，过了2面墙带100米，这时甲还看不到乙．甲再走一面墙，用了分钟，乙走了米，100300，说明乙又过了拐角，甲仍看不到乙．甲还要走一面墙，用了分钟，乙又前进了米，100600，此时甲能看到乙了．甲共走了1016（分）40（秒）． 【解答】解：300×3＝900（米） 900÷90＝10（分钟） 10÷33（分） 3分＝3分20秒 10分+3分20秒+3分20秒＝16分40秒 答：经过16分40秒甲才能看到乙． 【点评】解答这类题目，一定要弄清题里数量间的关系，理清思路，抓住关键问题“必须在一条直线上时甲才能看到乙”，再进行推算就可以了． 【典例4】湖海塘一圈5400米，红红每分钟跑120米，明明每分钟跑180米，两人同时反方向跑步。 （1）估计两人在何处相遇，在图中用▲标出。 （2）从出发到两人第二次相遇，经过了多长时间？ 【答案】（1）；（2）36分钟。 【分析】（1）先根据时间＝路程÷速度，求出两人相遇的时间，再求出红红离起点的距离，即可画图； （2）先根据时间＝路程÷速度，求出两人第一次相遇的时间，再乘2即可求出第二次相遇，经过的时间。 【解答】解：（1）5400÷（120+180）×120 ＝5400÷300×120 ＝18×120 ＝2160（米） 所以在红红距离起点2160米处相遇，如图： （2）5400÷（120+180）×2 ＝5400÷300×2 ＝18×2 ＝36（分钟） 答：从出发到两人第二次相遇，经过了36分钟。 【点评】本题主要考查行程问题，关键利用路程、速度和时间之间的关系做题；注意跑的方向。 【典例5】小颖和小亮兄妹俩同时从A点出发，沿着长方形的小路背向而行，小颖的速度是小亮的。出发不久，两人在距离C点32米的E点处相遇。求这个长方形小路的长度。 【答案】336米。 【分析】因为父子两人同时从A点出发，相遇时所用时间一样，路程和速度成正比例，小颖的速度是小亮的，也就是说，小颖走的路程是小亮走的路程的，把小亮所走的路程看作单位“1”，全路程也就是（1），两人在距C点32米的E处相遇，小亮比小颖多走的路程应该是32×2＝64（米）；据此分析可解答。 【解答】解：32×2＝64（米） 64÷（1） ＝64 ＝200（米） 200×（1） ＝200 ＝336（米） 答：这个长方形小路的长度是336米。 【点评】本题主要考查了学生对单位“1”的理解，以及时间一定，路程和速度成正比例的理解与掌握。注意小亮多走的路程。 1．如图，在长为490米的环形跑道上，A、B两点之间的跑道长50米，甲、乙两人同时从A、B两点出发反向奔跑．两人相遇后，乙立刻转身与甲同向奔跑，同时甲把速度提高了25%，乙把速度提高了20%．结果当甲跑到点A时，乙恰好跑到了点B．如果以后甲、乙的速度和方向都不变，那么当甲追上乙时，从一开始算起，甲一共跑了多少米？ 2．早晨，小军和小强沿周长是1800米的湖边跑步．小军比小强跑得快．第一次，两人从同一地点出发向相反方向跑，9分钟相遇．第二次，两人都放慢速度，每分钟都少跑25米，那么，几分钟后两人相遇？如果两人的相遇地点与刚才的相遇地点相差33米，那么，第二次小军每分钟跑多少米？ 3．在环行跑道上，小明和小华同时从同一地点同向而行，每隔12分钟小明就可以追上小华一次．若两人在原地点同时出发，相背而行，则每隔4分钟就相遇一次．求两人跑一圈各需几分钟？ 4．甲乙两人合作清理400米的环行跑道，两人同时从同一地点背向而行各自进行工作，最初甲清理的速度比乙快，中途乙曾用10分钟去换取工具，而后工作效率是原来的2倍，结果从开始算起，经过1小时，完成清理工作，并且两人清理的跑道一样长，问乙换取工具后又工作了多少时间？ 5．甲、乙两人沿着400米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行．甲的速度是每分钟290米，乙的速度是每分钟250米，经过多少分钟甲比乙多跑2圈？（用你喜欢的方法解） 6．甲、乙两车绕周长为400千米的环形跑道行驶，它们从同一地点同时出发，背向而行，5小时相遇，如果两车每小时各加快10千米，那么相遇点距离前一次相遇地点3千米，已知乙车比甲车快，求甲车原来每小时行多少千米？ 7．一只猫追赶一只老鼠，猫和老鼠同时从平行四边形ABCD的A点出发，老鼠沿ABC方向跑，猫沿ADC方向跑，结果猫在E点将老鼠抓住了．老鼠与猫的速度比是17：20，C点与E点相距6米，猫和老鼠所跑的平行四边形的周长是多少米？ 8．甲乙二人沿400米环形跑道同时从某点开始反方向跑步，已知甲的速度比乙的速度快，当两人第一次相遇时甲跑了多少米？ 9．环形跑道一周之长为1080米，甲乙两人骑自行车从同一地点同时出发，朝同一方向行驶，经过54分钟后，甲追上了乙，如果甲每分钟减少50米，乙每分钟增加30米，从同一地点同时背向而行，则经过3分钟后两人相遇．原来甲乙两人每分钟各行多少米？ 10．甲、乙两人在同一条椭圆形跑道上进行特殊训练．他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑，每人跑完一圈到达出发点后，立即回头加速跑第二圈．跑第一圈时，乙的速度是甲速度的，甲跑第二圈时的速度比跑第一圈提高了，乙跑第二圈时的速度比跑第一圈提高了．已知甲、乙两人第二次相遇点距第一次相遇点192米．问：这条椭圆形跑道第多少米？ 11．有一种机器人玩具装置，配备长、短不同的两条跑道，其中长跑道长400厘米，短跑道长300厘米，且有200厘米的公用跑道（如图）．机器人甲按逆时针方向以每秒6厘米的速度在长跑道上跑动，机器人乙按顺时针方向以每秒4厘米的速度在短跑道上跑动．如果甲、乙两个机器人同时从A点出发 （1）出发后经过多少秒，两个机器人第一次相遇？ （2）当两个机器人在跑道上第二次迎面相遇时，机器人甲共跑了多少厘米？ 12．甲、乙、丙三人环湖跑步锻炼，同时从湖边一固定点出发，乙、丙二人同向，甲与乙、丙反向，在甲第一次遇上乙后1.25分钟第一次遇上丙，再经过3.75分钟第二次遇上乙．已知甲速与乙速的比是3：2，湖的周长是1800米．求甲、乙、丙三人的速度每分钟各是多少米？ 13．小明和小刚沿大龙湖环湖跑道练习跑步，两人从同一地点同时出发，反向而行，小明的速度是160米/分，小刚的速度是140米/分，25分钟后两人第一次相遇。 （1）大龙湖环湖跑道全长多少米？ （2）如果相遇后两人改为同向而行，那么多少分钟后小刚和小明相距400米？ 14．A、B是圆形跑道直径的两端，小张在A点与小王在B点同时出发反向行走（如图），他们在C点第一次相遇，C点离A点跑道长80米；在D点第二次相遇，D点离B点跑道长60米，求这个圆形跑道长度． 15．在400米的环形道路上，A、B两点相距100米．甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，按逆时针方向跑步，甲每秒跑10米，乙每秒跑9米，每人每跑100米都要停10秒．那么甲追上乙需要多少秒？ 16．一个周长是300米环形操场，甲每分钟走100米，乙每分钟走60米，甲乙两人同时从起点同方向走，第多少分钟时他们又在起点相遇？ 17．一个周长为300米的环形跑道，甲每分钟走100米，乙每分钟走70米，丙每分钟走50米，甲乙丙三人同时从同一地点同方向走，多少分钟后他们又在同一点？ 18．小刚和小强在400米的环形跑道上，从同一地点相背出发．小刚每秒跑4.5米，小强每秒跑5.5米，出发后多少秒两人第一次相遇？ 19．甲、乙二人在圆形跑道上跑步，已知甲的速度比乙快，如果二人在同一地方同时出发，同向跑，则经过3分20秒可以第一次相遇；若反向跑，则经过40秒也可以第一次相遇，已知甲跑步的速度每秒跑6米，这个圆形跑道的直径有多少米？（圆周率取3） 20．有一个正方形比赛场地，边长12米，甲、乙、丙三只机器虫，从顶点A同时出发，朝同一方向绕边前进，甲机器虫的速度是0.96米/分，乙机器虫的速度是0.81米/分，丙机器虫的速度是0.72米/分，多少分钟后甲机器虫能同时看到乙机器虫、丙机器虫的背？此时甲机器虫的位置在何处？ 21．小强和小若一起在周长是400米的操场上跑步．小强跑一圈要5分钟，小若跑一圈要8分钟． （1）如果两人同时同地出发，相背而行，多少分钟后两人相遇？ （2）如果两人同时同地出发，同方向而行，多少分钟后小强超过小若两圈？ 22．甲、乙两人在圆形跑道上，同时从某地出发沿相反方向跑步．甲的速度是乙的3倍，他们第一次与第二次相遇地点之间的路程是100米．环形跑道有多少米？ 23．沿湖一周的路长为1920米，甲、乙两个人在沿湖的路上竞走，两人同时同地出发，反方向行走，甲比乙走得快，12分钟后两人相遇，如果两人每分钟都多走16米，则相遇地点与前两次相差20米．求甲、乙两人原来的行走速度． 24．一条环形跑道长400米，小红每分钟跑300米，小星每分钟跑250米，两人同时同地同向出发，经过多长时间，小红第一次追上小星？又经过多少时间，小红第3次追上小星？ 25．甲、乙两人沿着400米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行．甲每分钟跑280米，乙每分钟跑240米．经过多少分甲比乙多跑两圈？（用方程解答） 26．学校有一条400米的环形跑道，小强和小明同时同地同向起跑，小强每秒跑7米，小明每秒跑5米，小强第一次追上小明时两人各跑了多少米？第二次追上小明时两人各跑了几圈？ 27．爸爸妈妈在操场上跑步，妈妈每8分钟跑一圈，爸爸每6分钟跑一圈，他们同时从起点出发，至少再过几分钟又能在起点相遇？ 28．如图所示为含有一端直路和一圈组成的封闭环形路，有甲、乙两辆汽车同时从点A同向出发（走到圆形环路后，都按逆时针方向走），连续行驶．A、B长5千米，圆周长30千米，每辆汽车总是沿A→B（转圆周走）→B→A→B…走，已知甲车速度是乙车速度的，求甲、乙两车第一次迎面相遇的位置与点A的距离． 29．小红和她的爸爸、妈妈一起去体育场散步．小红围着体育场的圆形跑道走一圈要6分钟，她爸爸走一圈用4分钟，她妈妈走一圈用5分钟．现在她们一家同时从起点出发，他们至少几分钟后在起点相遇？ 30．甲、乙两人沿着直径是100米的环形跑道同时同地背向而行，甲出发3分钟后首次与乙相遇，首次相遇时乙走了全程的40%，甲每分钟走多少米？ 1．【答案】见试题解答内容 【分析】相遇后乙的速度提高20%，跑回B点，即来回路程相同，乙速度变化前后的比为5：6，所以所花时间的比为6：5． 设甲在相遇时跑了6个单位时间，则相遇后到跑回A点用了5个单位时间． 设甲原来每单位时间的速度V甲，由题意得：6V甲+5×V甲×（1+25%）＝490，得：V甲＝40（米）．从A点到相遇点路程为40×6＝240，所以V乙＝（490﹣50﹣240）÷6（米）．然后再求出两人速度变化后各自的速度；从相遇点开始，甲追上乙时，甲比乙多行一圈，进而求出甲一共跑的路程，解决问题． 【解答】解：乙速度变化前后的比为1：（1+20%）＝5：6， 所以所花时间的比为6：5． 设甲原来每单位时间的速度V甲，由题意得： 6V甲+5×V甲×（1+25%）＝490， 6V甲+5×V甲×1.25＝490， 得：V甲＝40（米）． 从A点到相遇点路程为： 40×6＝240（米）， 所以V乙为： （490﹣50﹣240）÷6， ＝200÷6， （米）． 两人速度变化后，甲的速度为： 40×（1+25%）＝50（米）， 乙的速度为： （1+20%）， 1.2， ＝40（米）， 从相遇点开始，甲追上乙时，甲比乙多行一圈，所以甲一共跑了： 490÷（50﹣40）×50+240， ＝490÷10×50+240， ＝49×50+240， ＝2450+240， ＝2690（米）； 答：甲一共跑了2690米． 【点评】此题属于环形跑道问题，有一定难度，所以应认真分析，求出甲乙二人速度变化前后的速度是解答此题的关键． 2．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据题意，第一次两人每分钟速度和是1800÷9＝200（米），第二次速度和是200﹣25×2＝150（米），因此第二次相遇时间是1800÷150＝12（分）； （2）由求出的第二次的相遇时间12分钟以及第一次的相遇时间9分钟，可知前后相差12﹣9＝3分钟，就是因为速度差造成的．每分钟都少跑25米，则9分钟小军少跑25×9米，又知第二次的相遇地点与刚才的相遇地点相差33米，也就是小军3分钟跑了（25×9+33）米，因此第二次小军每分钟跑（25×9+33）÷（12﹣9）＝86米．解决问题． 【解答】解：（1）1800÷[1800÷9﹣25×2]， ＝1800÷[200﹣50]， ＝1800÷150， ＝12（分）； 答：12分钟后两人相遇． （2）（9×25+33）÷（12﹣9）＝86米 答：第二次小军每分钟跑86米． 【点评】（1）此题解答的关键是求出两人每次的速度和，进而求出相遇时间； （2）此题解答的关键是求出两次相遇的时间差，以及路程差，进而解决问题． 3．【答案】见试题解答内容 【分析】小明每追上小华一次就比小华多行一圈，根据追及路程÷追及时间＝速度差可设环行跑道一周的长度为1，则小明和小华的速度差为1÷12；由每隔4分钟就相遇一次可知两个的速度和为1÷4，则小明的速度为：（）÷2，由此计算出小明的速度后，即能求出小华的速度，进而求出两人跑一圈各需几分钟． 【解答】解：设环行跑道一周的长度为1，则： 两人的速度差为：1÷12； 速度和为：1÷4； 则小明的速度为： （）÷2， 2， ． 则小华的速度为：． 小明跑一圈需要：16（分钟）； 小华跑一圈需要：112（分钟）． 答：小明跑一圈需要6分钟，小华跑一圈需要12分钟． 【点评】由两人的追及时间及相遇时间求出两人的速度是完成本题的关键． 4．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据题干可得，甲乙清理的跑道长度之和是400米；甲工作的时间是1小时＝60分；乙因途中换工具用去10分钟，所以乙用的时间是50分钟，由此可以设乙开始的工作效率是每分钟x米，则甲的工作效率是每分钟（1）x米，乙后来的工作效率是：每分钟2x米；根据甲的工作效率、工作时间与工作总量的关系列出方程即可求得x的值；从而求得了乙换工具前后的工作效率； （2）设乙换工具之后工作了y分钟，则没换工具之前工作了（50﹣y）分钟；由此根据乙的工作效率、工作时间与工作总量之间的关系列出方程进行解答． 【解答】解：（1）1小时＝60分钟， 设乙开始的工作效率是每分钟x米，则甲的工作效率是每分钟（1）x米，乙后来的工作效率是：每分钟2x米；根据题意可得方程： （1）x×60＝400÷2， 80x＝200， x＝2.5， 则乙后来的工作效率为：2.5×2＝5（米/分钟）； （2）设乙换工具之后工作了y分钟，则没换工具之前工作了（50﹣y）分钟；根据题意可得方程： 5y+（50﹣y）×2.5＝400÷2， 5y+125﹣2.5y＝200， 2.5y＝75， y＝30， 答：乙换工具后又工作了30分钟． 【点评】此题等量关系较为复杂，要求学生要认真审题，根据题干先求得甲的工作效率，其中正确设出未知数是本题的关键． 5．【答案】见试题解答内容 【分析】设x分钟后，甲比乙多跑两圈，则此时甲跑了290x米，乙跑了250x米，多跑两圈即400×2米，由此可得方程：290x﹣250x＝400×2，解方程即可． 【解答】解：设x分钟后，甲比乙多跑两圈，可得方程： 290x﹣250x＝400×2 40x＝800 x＝20 答：经过20分钟后，甲比乙多跑两圈． 【点评】根据路程差÷速度差＝追及时间用算式法列式为：400×2÷（290﹣250）． 6．【答案】见试题解答内容 【分析】甲、乙两车原来的速度和＝400÷5＝80（千米/小时） 现在两车的速度和＝80+10+10＝100（千米/小时）； 现在的相遇用时＝400÷100＝4（小时），由于乙车比甲车快，甲车现在4小时比原来多走：10×4＝40（千米），这40千米甲以原来的速度走（5﹣4＝）1小时，还多出3千米． 所以甲车原来的速度：（40﹣3）÷（5﹣4）＝37（千米/小时）． 【解答】解：加速后两车的相遇时间为： 400÷（400÷5+10×2） ＝400÷（80+20）， ＝400÷100， ＝4（小时）； 甲车原来的速度： （40﹣3）÷（5﹣4） ＝37÷1， ＝37（千米/小时）． 答：原来甲车每小时行37千米． 【点评】由所给条件求出两车加速后的相遇时间是完成本题的关键． 7．【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意知道，猫和老鼠所用的时间相等，所以速度比就是路程比，由此知道老鼠和猫的路程比是17：20，把老鼠走的路程看作17份，猫走的路程是20份，猫比老鼠多走（20﹣17）份，而根据题意知道猫比老鼠多跑6+6＝12米，由此求出1份，进而求出猫和老鼠走的路程也就是平行四边形的周长． 【解答】解：猫比老鼠多跑：6+6＝12（米）， 1份是：12÷（20﹣17）， ＝12÷3， ＝4（米）， 猫和老鼠跑的总距离就是四边形的周长：4×（17+20）， ＝4×37， ＝148（米）， 答：猫和老鼠所跑的平行四边形的周长是148米． 【点评】关键是根据题意把比转化为份数，找准对应量，求出1份数，进而求出答案． 8．【答案】见试题解答内容 【分析】由甲的速度比乙的速度快，可得甲乙速度比＝（1）：1＝11：10，从而求出在相同时间甲乙所行的路程比11：10，根据甲乙二人沿400米环形跑道同时从某点开始反方向跑步，是相遇问题就用环形跑道长除以甲乙所行路程总份数，即可得出1份的，再乘以11就是甲跑的米． 【解答】解：甲乙速度比＝（1）：1＝11：10， 当两人第一次相遇时甲跑了： 400÷（10+11）×11， ＝400÷21×11， ＝4400÷21， ＝209（米）， 答：当两人第一次相遇时甲跑了209米． 【点评】解答此题主要是根据甲的速度比乙的速度快，求出甲乙的所行的路程比，又知从某点开始反方向跑步，这就变成相遇问题来解决． 9．【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意知道，甲乙两人骑自行车从同一地点同时出发，朝同一方向行驶，经过54分钟后，甲追上了乙，用1080÷54＝20米就是甲、乙的速度差，可设乙的速度是x，则甲的速度就是x+20，再根据如果甲每分钟减少50米，乙每分钟增加30米，从同一地点同时背向而行，则经过3分钟后两人相遇列出方程解答即可． 【解答】解：甲、乙的速度差：1080÷54＝20米， 设乙的速度是x米，则甲的速度是x+20米， （x+20﹣50+x+30）×3＝1080 2x×3＝1080 6x＝1080 x＝180 x+20＝180+20＝200（米） 答：甲每分钟走200米，乙每分钟走180米． 【点评】本题主要考查多次相遇问题，利用相遇问题的基本数量关系：速度和×时间＝路程非常关键． 10．【答案】见试题解答内容 【分析】设一开始时甲的速度是a，于是乙的速度便是a．再设跑道长是L，根据题干条件求出甲乙两人的速度之比，再根据甲、乙二人第二次相遇点距第一次相遇点190米，即可求出椭圆的跑道长． 【解答】解：设一开始时甲的速度是a，于是乙的速度便是a．再设跑道长是L． 则甲、乙第一次相遇点，按甲前进方向距出发点为L， 甲跑完第一圈，乙跑了L，乙再跑余下的L，甲已折返，且以a（1）a的速度跑，所以在乙跑完第一圈时，甲已折返跑了L， 这时，乙折返并以a×（1）a的速度跑着． 从这时起，甲、乙速度之比是a：a＝16：9， 所以在二人第二次相遇时，甲跑了余下的LL的，而乙跑了它的， 即第二次相遇时距出发点 L， 可见两次相遇点间的距离是（）LL＝192米， 则L＝192400（米）， 答：这条椭圆形跑道第400米． 【点评】本题主要考查了应用类问题的知识点，解答本题的关键是熟练弄清楚追及问题的过程，有一定难度． 11．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由题意可知：用路程（200+200）除以速度和（6+4）即可得出； （2）由（1）可知机器人甲第一次相遇跑的路程是40×6＝240厘米，机器人乙第一次相遇跑的路程是40×4＝160厘米，然后再求出机器人乙行跑完（100+240﹣200）路程用的时间，即（100+240﹣200）÷4＝35秒，即机器人乙回到出发点A的时间，这时机器人甲跑的路程是6×35＝210厘米，这时机器人甲所处的地点，210﹣160＝50厘米，即离A点左50厘米处，即与乙错开，再相遇还需要的时间是（400﹣50）÷（6+4）＝35秒，所以从第一次相遇到第二次相遇时间是2个35秒，第一次相遇用40秒，所以在第二次相遇后，它们用了40+70＝110秒，用甲的速度乘以时间即可求出机器人甲共跑的路程． 【解答】解：（1）（200+200）÷（6+4） ＝400÷10 ＝40（秒）， 答：出发后经过40秒，两个机器人第一次相遇． （2）机器人甲第一次相遇行驶的路程是40×6＝240（厘米）， 机器人第一次相遇乙行驶的路程是40×4＝160（厘米）， 机器人乙回到出发点A的时间： （100+240﹣200）÷4 ＝140÷4 ＝35（秒） 甲行驶的路程是： 6×35＝210（厘米）， 机器人甲处的位置： 210﹣160＝50（厘米）， 即离A点左50厘米处， 再相遇还需要的时间是： （400﹣50）÷（6+4） ＝350÷10 ＝35（秒） 甲行驶的路程是： 6×（40+35+35） ＝6×110 ＝660（厘米） 答：机器人甲共跑了660厘米． 【点评】本题关键求出甲第一次相遇后又行驶的时间，然后运用速度乘以时间等于路程进行解答即可． 12．【答案】见试题解答内容 【分析】在甲第一次遇上乙后1.25分钟第一次遇上丙，再经过3.75分钟第二次遇乙，则甲乙二人相时间为1.25+3.75＝5分钟，两人相遇时共行了一周即1800米，所以两人的速度和为每分钟1800÷5＝360米．甲乙两人的速度比为3：2．由此可知甲的速度为每分钟360216米．由于甲与乙相遇时间为5分钟，甲第一次遇上乙后1.25分钟第一次遇上丙，则甲丙的相遇时间为5+1.25＝6.25分钟，则甲丙的速度和为每分钟1800÷6.25＝288米，进而求出丙的速度． 【解答】解：甲的速度为每分钟： 1800÷（1.25+3.75） ＝1800÷5 ＝216（米）； 乙的速度为每分钟： 1800÷5﹣216 ＝360﹣216 ＝144（米）． 丙的速度为每分钟： 1800÷6.25﹣216 ＝288﹣216 ＝72（米）． 答：甲每分钟跑216米，乙每分钟跑144米，丙每分钟跑72米． 【点评】根据“甲第一次遇上乙后1.25分钟第一次遇上丙，再经过3.75分钟第二次遇乙”求出甲乙的相遇时间，进而求出两人的速度和是完成本题的关键． 13．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）在环形跑道上反向而行，可按相遇问题计算，跑道的长度就是相遇路程，相遇路程＝速度和×相遇时间； （2）在环形跑道上同向而行，路程差÷速度差＝时间。 【解答】解：（1）（160+140）×25 ＝300×25 ＝7500（米） 答：大龙湖环湖跑道全长7500米。 （2）400÷（160﹣140） ＝400÷20 ＝20（分） 答：如果相遇后两人改为同向而行，那么20分钟后小刚和小明相距400米。 【点评】找出题中数量之间的关系，根据数量之间的关系解决问题。 14．【答案】见试题解答内容 【分析】如图，第一次相遇，两人合起来走了半个周长；第二次相遇，两个人合起来又走了一圈；从出发开始算，两个人合起来走了一周半．因此，第二次相遇时两人合起来所走的行程是第一次相遇时合起来所走的行程的3倍，那么从A到D的距离，应该是从A到C距离的3倍，即A到D是80×3＝240（米）；进而根据图形，计算出半圆弧的长，然后乘2即可． 【解答】解：（80×3﹣60）×2 ＝（240﹣60）×2 ＝180×2 ＝360（米） 答：这个圆形跑道长度是360米． 【点评】此题属于复杂的环形跑道相遇问题，解答此题的关键是认真分析题意，弄清相遇问题中的数量关系，进行分析解答即可． 15．【答案】见试题解答内容 【分析】本题要从两个方面去分析： 如果乙在甲的前边，则两人相距100米： 假设甲乙都不停地跑，那么甲追上乙的时间是100÷（10﹣9）＝100（秒），甲、乙每跑100米停10秒，等于甲跑100÷10＝10（秒）休息10秒，乙跑100÷9＝11（秒）休息10秒．跑100秒甲要停100÷10﹣1＝9（次）共用100+10×9＝190（秒），此时甲已跑的路程为1000米；跑100秒乙要停100÷111＝8次，在第180秒时乙已跑路程为100×9＝900米（他此时已休息8次，花80秒），并在该处休息到第190秒，甲刚好在乙准备动身时赶到，他们确实碰到一块了．所以甲追上乙需要的时间是190秒． 如果乙在甲的后边，则两人相距400﹣100＝300米．追及100米的距离需要190秒，追及第2个100米和第3个100米都需要380秒，则追及300米需要190+380×2＝950秒． 【解答】解：如果如果乙在甲的前边，则两人相距100米： 假设甲乙都不停地跑，那么甲追上乙的时间是100÷（10﹣9）＝100（秒）， （100÷10﹣1）×10+100 ＝9×10+100， ＝190（秒）． 答：如果乙在甲的前边，则两人相距100米，甲追上乙需要190秒． 如果乙在甲的后边，则两人相距400﹣100＝300（米）， 追及100米的距离需要190秒， 追及第2个100米和第3个100米都需要380秒， 则追及300米需要190+380×2＝950（秒）． 答：如果乙在甲的后边，则两人相距300米，甲追上乙要950秒． 【点评】首先根据距离差÷速度差＝追及时间求出如果不休息追上乙需要的时间是完成本题的关键． 16．【答案】见试题解答内容 【分析】甲跑一圈的时间是300÷100＝3（分钟），乙跑一圈的时间是300÷60＝5（分钟），甲乙两人同时从起点同方向走，他们又在起点相遇的时间是3和5的最小公倍数，据此解答即可． 【解答】解：300÷100＝3（分钟）， 300÷60＝5（分钟）， 5×3＝15（分钟） 答：15分钟后，他们又在起点相遇． 【点评】本题关键是明确甲乙两人同时从起点同方向走，他们又在起点相遇的时间是3和5的最小公倍数． 17．【答案】见试题解答内容 【分析】容易求出甲追上乙的时间，10分钟后第一次相遇，20分钟后第二次相遇，30分钟后第三次相遇．甲追上丙的时间，6分钟后第一次相遇，12分钟后第二次相遇，18分钟后第三次相遇，24分钟后第四次相遇，30分钟后第五次相遇．可见30分钟后甲、乙、丙三人同时相遇． 【解答】解：甲追及乙的时间：300÷（100﹣70）＝10分钟 甲追及丙的时间：300÷（100﹣50）＝6分钟 乙追及丙的时间：300÷（70﹣50）＝15分钟 也就是甲和乙要再次相遇需要10分钟，也就是甲和丙要再次相遇需要6分钟，也就是乙和丙要再次相遇需要15分钟， 三个人要一起相遇，需要的时间就是他们两两相遇的时间的最小公倍数，也就是10分钟，6分钟，15分钟的最小公倍数． 10、6和15的最小公倍数是30，也就是30分钟后三个人可以再次相遇． 【点评】此题先看成是追及问题，甲追及乙，甲追及丙，乙追及丙．它们追及的路程都是环形跑道的长度300米，追及速度是他们的速度差，关键在于运用关系式：追及时间＝追及路程÷追及速度． 18．【答案】见试题解答内容 【分析】由于是从同一地点相背出发，则两人每一次相遇时，两人共行一周，即400米．小刚每秒跑4.5米，小强每秒跑5.5米，所以两人每秒共行4.5+5.5米，所以两人第一次相遇时间是：400÷（5.5+4.5）秒． 【解答】解：400÷（5.5+4.5） ＝400÷10， ＝40（秒）． 答：出发后40秒两人第一次相遇． 【点评】明确两人第一次相遇时共行一周，根据共行路程÷速度和＝相遇时间进行解答是完成本题的关键． 19．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由两人从同一地点出发同向而行，经过3分钟20秒相遇可知：甲乙行驶的路程之差＝跑道1圈的长度； （2）由两人从同一地点出发背向而行，经过40秒相遇可知：甲乙行驶的路程之和＝跑道1圈长度； 由上述可推理可设乙的速度是每秒跑x米，即可列出方程，求出x的值，即可求出跑道的长度，再利用圆的周长公式即可求出这个圆形跑道的直径． 【解答】解：3分20秒＝200秒， 设乙的速度是x米/秒，根据题意可得方程： （x+6）×40＝200×6﹣200x， 40x+240＝1200﹣200x， 240x＝960， x＝4， 所以跑道的长度是：（6+4）×40＝400（米）， 则跑道的直径是：400÷3（米）， 答：跑道的直径是米． 【点评】此题属于相遇和追及应用题，做此题的关键是结合题意，根据路程、速度和时间的关系，进行列式解答即可得出结论． 20．【答案】600分钟，顶点A。 【分析】先计算出第一次甲追上乙的时间，甲机器虫能同时看到乙机器虫、丙机器虫的背，说明此时甲在某个顶点，乙、丙在甲的前方，距离不超过一条边的长，据此解答即可。 【解答】解：12×4÷（0.96﹣0.81） ＝48÷0.15 ＝320（分钟） 0.81×200＝162（米） 162÷（12×4）＝3.375（不符合题意） 0.81×200×2＝324（米） 324÷（12×4）＝6.75（不符合题意） 0.81×200×3＝486（米） 486÷（12×4）＝10.125（符合题意） 200×3＝600（分钟） 答：600分钟后甲机器虫能同时看到乙机器虫、丙机器虫的背，此时甲机器虫的位置在顶点A。 【点评】本题主要考查了环形跑道问题，题目较难，根据甲与乙、丙之间的距离不超过一条边的长列出算式是本题解题的关键。 21．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）把操场一圈的长度看作单位“1”，小强的速度是，小若的速度是，如果两人同时同地出发，相背而行，两人相遇时共行了一圈，用1除以两个人的速度和即可求出相遇时间． （2）如果两人同时同地出发，同方向而行，小强超过小若两圈，即追及问题，行了2个单位“1”，然后除以两人的速度差即可求出时间． 【解答】解：（1）1÷（） ＝1 （分钟） 答：如果两人同时同地出发，相背而行，分钟后两人相遇． （2）2÷（） ＝2 （分米） 答：如果两人同时同地出发，同方向而行，分钟后小强超过小若两圈． 【点评】本题考查了环形跑道上的相遇与追及问题，关键是明确行驶的方向和确定各自的速度． 22．【答案】见试题解答内容 【分析】甲的速度是乙的3倍，把乙的路程看成1份，则相同时间内甲的路程为3份，整个跑道为4份，两次相遇路程为100米，乙从第一次相遇到第二次相遇，就走了一个1份，所以这个100米就是乙的路程，所以环形跑道为100×4＝400米；据此解答． 【解答】解：根据分析可得，甲的速度是乙的3倍，把乙的路程看成1份，则相同时间内甲的路程为3份，整个跑道为4份， 乙从第一次相遇到第二次相遇，正好走了一个1份，所以这个100米就是乙的路程， 环形跑道的长度为：100×4＝400（米）； 答：环形跑道有400米． 【点评】本题关键是根据在时间相同的情况下速度比就等于路程比，进而得出甲、乙两人相遇时行的份数，结合图示得出第一次与第二次相遇地点之间的路程100米是乙每次相遇的路程． 23．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据题干不难得出甲乙的速度之和是：1920÷12＝160米；则提高速度后的速度之和就是160+16+16＝192米/分，所以提高速度后甲乙二人相遇的时间是：1920÷192＝10分钟； （2）因为甲的速度较快，提高速度之后，二人行走的时间变短，所以甲比原来少走了20米，由此设甲原来的速度是x米/分，则提高速度后，甲的速度是x+16米/分，由此根据，即可列出方程，求出x的值即可解答． 【解答】解：甲乙原来的速度之和是：1920÷12＝160（米）， 提高速度之后的速度之和是：160+16+16＝192（米）， 所以提高速度之后二人相遇的时间是：1920÷192＝10（分钟）， 设甲原来的速度是x米/分，则提高速度后，甲的速度是x+16米/分，根据题意可得方程： 12x﹣10（x+16）＝20， 12x﹣10x﹣160＝20， 2x＝180， x＝90， 则乙原来的速度是：160﹣90＝70（米/分）， 答：甲原来的速度是90米/分，乙原来的速度是70米/分． 【点评】解答此题的关键是根据甲乙第一次相遇的时间求出甲乙的速度之和，从而得出第二次相遇的时间，设出甲的速度，利用甲前后两次行走的路程之差即可列出方程解决问题． 24．【答案】见试题解答内容 【分析】在环形跑道上同时同地同向而行，当小红第一次追上小星时，也就是小红比小星多跑一圈，先求出两人的速度差，再依据时间＝路程差÷速度差即可求出第一次追上小星的时间，再乘2就是小红第3次追上小星的时间． 【解答】解：400÷（300﹣250） ＝400÷50 ＝8（分钟） 8×2＝16（分钟） 答：经过8分钟，小红第一次追上小星，又经过16分钟，小红第3次追上小星． 【点评】解答本题的关键是明确：当小红第一次追上小星时，也就是小红比小星多跑一圈． 25．【答案】见试题解答内容 【分析】设x分钟后，甲比乙多跑两圈，则此时甲跑了280x米，乙跑了240x米，多跑两圈即400×2米，由此可得方程：280x﹣240x＝400×2． 【解答】解：设x分钟后，甲比乙多跑两圈，可得方程： 280x﹣240x＝400×2． 40x＝800， x＝20． 答：经过20分钟后，甲比乙多跑两圈． 【点评】根据路程差÷速度差＝追及时间用算式法列式为：400×2÷（280﹣240）． 26．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由于是环形跑道，当小强第一次追上小明时，小强正好比小明多跑一周，两人的速度差为每秒7﹣5＝2米，则小强第一次追上小明用时400÷2＝200秒．则此时小强跑了200×7＝1400米，则小明跑了1400﹣400＝1000米． （2）小强每秒跑7米，小明每秒跑5米，则两人的速度差为每秒钟7﹣5＝2米，由于是环形跑道，当小强第二次追上小明时，小强正好比小明多跑二圈，即400×2＝800米，根据路程差÷速度差＝追及时间可知，小强第二次追上小明需800÷2＝400秒钟，此时小强跑了7×400÷400＝7圈，则小明跑了7﹣2＝5圈．据此解答即可． 【解答】解：（1）400÷（7﹣5）×7 ＝400÷2×7 ＝1400（米） 1400﹣400＝1000（米） 答：小强第一次追上小明时小强跑了1400米，小明跑了1000米． （2）400×2÷（7﹣5）×7÷400 ＝800÷2×7÷400 ＝400×7÷400 ＝7（圈） 7﹣2＝5（圈） 答：第二次追上小明时，小强跑了7圈，小明跑了5圈． 【点评】（1）明确小强第一次追上小明时，小强正好比小明多跑一周，并由此根据追及距离÷速度差＝追及时间求出追及时间是完成本题的关键． （2）在此类问题中，如果两人同时同向出发，则速度快的第二次追上速度慢的时，速度快的比速度慢的正好多跑二圈． 27．【答案】见试题解答内容 【分析】爸爸回到起点用的时间是6分钟的整数倍，妈妈回到原地是8分钟的整数倍，则第一次同时回到起点就是6和8的最小公倍数分钟，因此得解． 【解答】解：6＝2×3， 8＝2×2×2， 所以6和8的最小公倍数是2×3×2×2＝24（分钟）， 答：至少再过24分钟又能在起点相遇． 【点评】灵活应用最小公倍数的求解方法来解决实际问题． 28．【答案】见试题解答内容 【分析】因为走到圆形环路后，都按逆时针方向走，所以甲、乙两车第一次迎面相遇的地方应该在AB之间，走一个全程应该为30+2×5＝40千米，由于已知甲车速度是乙车速度的，所以乙车走一个全程，甲车走个全程，乙车走2个全程，甲车走个全程，乙车走3个全程，甲车走个全程，即将相遇，即相遇时应该共同走3+2个全程，据此列式解答即可． 【解答】解：（30+5×2）×5÷（1） ＝40×5 ＝200 ＝122（千米） 12240×3 ＝122120 ＝2（千米） 答：甲、乙两车第一次迎面相遇的位置在AB之间，到点A的距离为2千米． 【点评】本题主要考查环形跑道问题，解答此题的关键是求出乙共跑了几圈才相遇，考查了学生对问题的分析判定能力． 29．【答案】见试题解答内容 【分析】可以通过求5、4、6的最小公倍数的方法求出再次相遇时间． 【解答】解：6、4、5的最小公倍数是60， 所以他们至少60分钟后在起点相遇． 答：他们至少60分钟后在起点相遇． 【点评】此题考查了学生运用求最小公倍数的方法解决行程问题的能力． 30．【答案】见试题解答内容 【分析】直径是100米的环形跑道的周长是：100×3.14＝314米，由于是两人是相背而行，所以每次相遇时两人都共行一周，当首次相遇时乙走了一周的40%，则甲走了一周的1﹣40%，所以相遇时甲行了314×（1﹣40%）米，所以甲每分钟走314×（1﹣40%）÷3米． 【解答】解：100×3.14×（1﹣40%）÷3， ＝314×60%÷3， ＝62.8（元）． 答：甲每分钟走62.8米． 【点评】完成本题要注意环形跑道的直径是100米，而不是周长是100米，因此首先求出跑道的周长是完成本题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$